Ненасыщаемые кубатурные формулы вычисления гиперсингулярных интегралов

Актуальность и цели. Гиперсингулярные интегралы в настоящее время находят все большие области применения – аэродинамика, теория упругости, электродинамика и геофизика. При этом их вычисление в аналитическом виде возможно лишь в весьма частных случаях. Поэтому приближенные методы вычисления гиперсингулярных интегралов являются актуальной задачей вычислительной математики. Этой задаче посвящено много работ. В частности, И. В. Бойковым и Ю. Ф. Захаровой опубликованы циклы работ по построению оптимальных методов вычисления гиперсингулярных интегралов. В 1975 г. в докладах АН СССР (т. 221, № 1) опубликована статья К. И. Бабенко, в которой он сообщил об открытии им принципиально новых – ненасыщаемых численных методов. Отличительной особенностью последних является способность автоматически подстраиваться под классы корректности решений рассматриваемых задач. Анализ известных квадратурных и кубатурных формул вычисления гиперсингулярных интегралов показал, что они являются насыщаемыми. Поэтому является актуальной задача построения ненасыщаемых алгоритмов вычисления гиперсингулярных и полигиперсингулярных интегралов. Этой задаче посвящена данная работа. Материалы и методы. Построение ненасыщаемых методов вычисления гиперсингулярных интегралов основано на конструктивной теории функций и теории сплайнов. Результаты. Построены оптимальные квадратурные формулы вычисления одного класса гиперсингулярных интегралов. Построены ненасыщаемые квадратурные и кубатурные формулы вычисления одномерных гиперсингулярных интегралов и полигиперсингулярных интегралов. Проведено сравнение эффективности вычисления гиперсингулярных интегралов насыщаемыми и ненасыщаемыми квадратурами. Выводы. Построенные ненасыщаемые методы позволяют эффективно вычислять гиперсингулярные интегралы при решении прикладных задач, когда априори неизвестна гладкость интегрируемых функций.