Приведение уравнения ветвления к полиномиальному

Актуальность и цели. Исследование локальной топологической структуры множества решений нелинейного уравнения, как правило, сводится к решению конечномерного уравнения ветвления, строящегося по исходному уравнению. Однако для оператора, определяющего уравнение ветвления, часто удается лишь получить многочлен Тейлора любой степени. Какой должна быть эта степень, чтобы локальная топологическая структура множества решений усеченного уравнения была эквивалентна структуре решений истинного уравнения, неизвестно. Цель настоящей работы состоит в разрешении этой проблемы. Материалы, методы и результаты. Результаты работы основываются на развитой трудами Р. Тома, Дж. Мезера теории особенностей дифференцируемых отображений. Многочлен Тейлора степени r, построенный по уравнению ветвления, определяет r-струю отображений, т.е. класс отображений, имеющих одинаковые многочлены Тейлора степени r. Струя называется r-достаточной, если любые два представителя этой струи имеют одинаковую локальную топологическую структуру множеств решений в окрестности критической точки. Для установления r-достаточности струи строится полиномиальное уравнение, получившее название гомологического уравнения. Свойства решений этого уравнения позволяют установить наличие r-достаточности струи или ее отсутствие. Поскольку оператор, определяющий уравнение ветвления и его многочлен Тейлора степени r принадлежат одной r-струе, то, установив r-достаточность струи, мы можем утверждать, что локальные структуры множества решений уравнения ветвления и усеченного уравнения эквивалентны. Вывод. Использование гомологического уравнения позволяет привести исследование локальной структуры множества решений уравнения ветвления к исследованию множества решений полиномиального уравнения, которое определяется многочленом Тейлора.