Применение теории случайных матриц к описанию колебаний в гранулярных средах

Показано, что динамическая матрица $M$, описывающая гармонические колебания в гранулярных средах может быть представлена в виде $M=AA^{\text{T}}$, где строки матрицы $A$ соответствуют степеням свободы отдельных гранул, а столбцы — упругим контактам между гранулами. Такое представление динамической матрицы позволяет оценить плотность колебательных состояний с помощью теории случайных матриц. Полученная плотность колебательных состояний примерно постоянна в широком диапазоне частот $\omega_-<\omega<\omega_+$, который определяется отношением числа степеней свободы к суммарному числу контактов в системе, что находится в хорошем согласии с результатами численных экспериментов.