Выражение объема асимптотического параллелепипеда

При изометрическом погружении области пространства Лобачевского $L^n$ в евклидово пространство $E^{2n-1}$ существует координатная сеть, составленная из асимптотических линий. С ее помощью строится $n$-мерный параллелепипед $P$, называемый асимптотическим. Рассматриваются свойства его объема $V$. В случае $n=2$ известна формула Хацидакиса. Исходя из аналогии с этим случаем, Д. Мур высказал предположение о том, что объем $V$ можно выразить через значения углов $\omega_i$ между асимптотическими линиями в вершинах $P$ и он ограничен. Получено выражение $V$ для $P$ на универсальном накрытии $3$- и $4$-мерных аналогов псевдосферы и доказано, что объем $V$ ограничен универсальной постоянной. Доказано, что существуют погружения областей $L^3$ в $Е^5$, для которых объем не выражается в виде альтернированной суммы значений одной функции двух переменных, зависящих от $\omega_i$.