On isometric reflections in Banach spaces

Получена следующая характеризация гильбертовых пространств. Пусть $E$ – банахово пространство, единичная сфера $S$ которого обладает гиперплоскостью симметрии. В этом случае $E$ является гильбертовым пространством тогда и только тогда, когда удовлетворяется какое-либо из следующих двух условий: а) группа изометрии $\operatorname{Iso}E$ пространства $E$ имеет плотную орбиту на $S'$; б) единичная компонента $G_0$ группы $\operatorname{Iso}E$, наделенной сильной операторной топологией, действует топологически неприводимо на $E$.
Приводятся некоторые результаты о бесконечномерных группах Коксетера, порожденных изометрическими отражениями, которые позволяют анализировать структуру групп изометрии, содержащих достаточно много отражений.