A Note on Operator Equations Describing the Integral

Изучаем операторные уравнения, соответствующие цепному правилу и замене переменных
\begin{equation} f\circ g + c = I\ (Tf\circ g\cdot Tg), \quad f,g\in C^1(\mathbb{R}),\tag{1} \end{equation}
где $T\!: C^1(\mathbb{R})\to C(\mathbb{R})$ и где $I$ определен на $C(\mathbb{R})$. Рассматриваем соответствующие условия на $I$ и $T$ такие, что (1) корректно определено и, после перенормировки (1) в форме
\begin{equation} V(f\circ g)=Tf\circ g\cdot Tg, \quad f,g\in C^1(\mathbb{R})\tag{2} \end{equation}
с оператором $V\!: C^1(\mathbb{R})\to C(\mathbb{R})$, мы приводим общую форму $T$, $V$ и $I$. Простые начальные условия гарантируют, что производная и интеграл являются единственными решениями для $T$ и $I$. Также рассматриваем операторный аналог для правила Лейбница и изучаем его сюръективность.