Уравнение Гринберга для медленного движения электрона в слабонеоднородной электромагнитной волне

Рассмотрено продольное взаимодействие нерелятивистского электронного потока с полем электромагнитной волны, амплитуда которой адиабатически медленно изменяется в проcтранстве. На основе метода полного тока Гринберга записана самосогласованная система уравнений Гамильтона, описывающая движение электронов с учетом сил объемного заряда. Система приведена к нормализованному виду, в котором малым параметром является обратный пролетный угол электронов. Найдено каноническое преобразование к медленным переменным, в которых гамильтониан задачи не зависит от времени. Получено и проанализировано уравнение Гринберга для усредненного движения электронов потока, описывающее нелинейное взаимодействие волн пространственного заряда и потенциального движения электронного потока в слабонеоднородном переменном поле. Показано, что пространственная неоднородность поля приводит к локальному изменению плазменной частоты колебаний электронов, а также что в результате действия сил объемного заряда электронов адиабатический инвариант Гапонова–Миллера не сохраняется. Получено условие применимости кинематического приближения в описании медленной эволюции системы.