On $M$-functions associated with modular forms

Пусть $f$ — новая нормализованная собственная параболическая форма веса $k$ и уровня $N$, а $\chi$ — характер Дирихле, кондуктор которого взаимно прост с $N$. Обозначим через $\mathfrak L(f\otimes \chi, s)$ одну из функций $\log L(f\otimes \chi, s)$ или $(L'/L)(f\otimes \chi, s)$. В этой статье мы изучаем распределение значений $\mathfrak L$, когда меняется один из параметров $\chi$ или $f$. Во-первых, для квазихарактеров $\psi\colon \mathbb{C} \to \mathbb{C}^\times$ мы находим предел среднего значения $\operatorname{Avg}_\chi \psi(L(f\otimes\chi, s))$, когда кондуктор $\chi$ — простое число, стремящееся к бесконечности. Во-вторых, мы доказываем результат о равномерной распределенности значений $\mathfrak L(f\otimes \chi,s)$, устанавливая аналитические свойства определенной выше предельной функции. В-третьих, мы изучаем предел гармонических средних $\operatorname{Avg}^h_f \psi(L(f, s)),$ когда $f$ пробегает множество нормализованных собственных параболических новых форм веса $k$ и уровня $N\to \infty$. Большинство результатов доказываются в предположении обобщенной гипотезы Римана для $L(f\otimes\chi, s)$.