On a one-parameter class of cosine polynomials

Пусть $a\geqslant 0$  — действительное число. Тогда для любых целого $n\geqslant 2$ и действительного $x\in (0,\pi)$ имеем
$$ 1+\cos(x)+\sum_{k=2}^n \frac{\cos(kx)}{k+a} >\frac{1}{(a+2)(a+3)}. $$
Эта оценка является точной. Она обобщает результат Брауна и Кумандоса, доказавших это неравенство при $a=0$.