Electrical networks, Lagrangian Grassmannians, and symplectic groups

В этой работе мы уточняем результат Т. Лама о вложении пространства $E_n$ электрических сетей на плоском графе с $ n $ граничными точками в полностью неотрицательный грассманиан $\mathrm {Gr} _ {\geq 0} (n-1,2n) $, показав вначале, что имеет место вложение $\mathrm {Gr} (n-1, V) \subset \mathrm {Gr} (n-1,2n) $, где $ V \subset \mathbb R ^ {2n} $  — некоторое подпространство размерности $ 2n-2 $. Роль уменьшения размерности объемлющего пространства для нас принципиальна. Далее мы доказываем, что образ на самом деле попадает внутрь лагранжевого грассманиана $ \mathrm {LG} (n-1, V) \subset \mathrm {Gr} (n-1, V) $. Как известно, $ \mathrm {LG} (n-1) $ можно отождествить с $ \mathrm {Gr} (n-1,2n-2) \cap \mathbb {P} L $, где $ L \subset \bigwedge ^ {n-1} \mathbb R ^ {2n-2} $  — подпространство размерности $ C_n $ ($C_n$  — число Каталана). Кроме того, это пространство фундаментального представления симплектической группы $ \mathrm{Sp} (2n- 2) $, которое соответствует последней вершине диаграммы Дынкина. Мы показываем, что линейные отношения, задающие образ $ E_n $ в $ \mathrm {Gr} (n-1,2n) $, найденные Ламом, определяют это пространство $ L $. Это связывает комбинаторное описание $ E_n $, обнаруженное Ламом, и теорию представлений симплектической группы.