The birational geometry of Markov numbers

Как известно, вырождения комплексной проективной плоскости в поверхности, особенности которых являются факторособенностями, контролируются целыми положительными решениями $(a,b,c)$ знаменитого уравнения Маркова $x^2+y^2+z^2=3xyz$. Оказывается, что все эти вырождения связаны друг с другом через цепочки более простых вырождений, описываемых в терминах бирациональной геометрии. Мы явно описываем эти цепочки бирациональных преобразований и показываем, где расположены эти цепочки среди всех решений уравнения Маркова. Для данной марковской тройки $(a,b,c)$ количество бирациональных модификаций зависит от количества ветвей в дереве Маркова, которые надо перейти, чтобы дойти до ветви Фибоначчи. Мы показываем, что каждая из этих ветвей соответствует поезду Мори универсального семейства некоторой конкретной циклической факторособенности, определяемой тройкой $(a,b,c)$. В качестве побочного продукта мы получаем новые алгебраические/комбинаторные данные для каждого числа Маркова, а также находим новые связи с гипотезой Маркова (она же гипотеза Фробениуса о единственности), имеющие отношения к цепным дробям Хирцебруха – Юнга, соответствующим особенностям Wahl'а.