Топологические приложения свойств колец Стенли–Райснера симплициальных комплексов

Методы коммутативной и гомологической алгебры позволяют получать результаты о свойствах кольца Стенли–Райснера $\Bbbk[K]$ симплициального комплекса $K$. Возникла задача: описать топологические свойства симплициальных комплексов с данными свойствами колец $\Bbbk[K]$. Известно, что для симплициального комплекса $K=\partial P^*$, где $P^*$ — многогранник, двойственный к простому многограннику $P$ размерности $n$, глубина $\operatorname{depth}\Bbbk[K]$ равна $n$. Недавно появилась более общая конструкция, сопоставляющая любому выпуклому многограннику $P$ симплициальный комплекс $K_P$. Актуальной стала задача описания свойств колец $\Bbbk[K_P]$. В настоящей работе получены результаты по обеим задачам. В том числе дана характеризация глубины кольца $\Bbbk[K]$ в терминах топологии линков комплекса $K$, и показано, что $\operatorname{depth}\Bbbk[K_P] = n$ для произвольного выпуклого многогранника $P$ размерности $n$. Получен ряд соотношений на биградуированные числа Бетти комплексов $K_P$. Также показана взаимосвязь рассматриваемых вопросов с понятием комплексов $k$-Коэна– Маколея и на основе этой взаимосвязи введена и исследована новая фильтрация на множестве симплициальных комплексов.
Библиография: 23 названия.