Дроби для $ \sqrt{2}$, $ \sqrt{3}$, $ \sqrt{5}$, квазипифагоровы тройки и появление царского локтя, фута и дюйма в Египте времен Древнего царства

На основании анализа размеров египетских архитектурных сооружений и предметов искусства первой половины III тысячелетия до н.э. предложена реконструкция истории нахождения дробей для $\sqrt2, \sqrt3, \sqrt5$, стартующая с $7/5, 17/10$ и $11/5$ соответственно. Анализ архитектурных пропорций времен фараонов Джосера и Снофру (XXVII в. до н.э.) говорит о наиболее вероятном использовании, вплоть до строительства последним Ломанной пирамиды, мерных модулей, отличных от царского локтя в $7$ ладоней. Показано, что во времена фараона Джосера использовался модуль в $8$ ладоней, а для $\sqrt2, \sqrt3, \sqrt5$ применялись, скорее всего, дроби $7/5, 7/4$ и $9/4$, первые две из которых и привели со временем к появлению и закреплению главенствующего положения царского локтя. Отказ от применения царского локтя при анализе ранних архитектурных сооружений позволил математически более точно рассмотреть их пропорции, что привело к обнаружению ряда более точных приближений для квадратных корней, в том числе и дроби $161/72$ для $\sqrt5$ во время III династии. Последнее может быть доводом за представление о знании в Египте теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника уже в первой половине III тысячелетия.