Об абсолютной суммируемости тригонометрических рядов

Пусть при $\alpha>-1$ $\sigma^\alpha_n(x)$ обозначают $(C,\alpha)$-средние тригонометрического ряда
$$ \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos nx+b_n\sin nx.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad{(1)} $$

Ряд (1) абсолютно $(c,\alpha)$-суммируем в точке $x$ с показателем $k$ (или $|c,\alpha|_k$-суммируем) если
$$ \sum_{n=1}^\infty n^{k-1}/\sigma_n^\alpha(x)-\sigma_{n-1}^\alpha(x)/<+\infty. $$

Доказано, что если $k\geqslant1$, $\alpha\geqslant0$ и ряд (1) $|c,\alpha|_k$-суммируем на множестве положительной лебеговой меры, то
$$ \sum_{n=1}^\infty(|a_n|^k+|b_n|^k)n^{k(1-\alpha)-1}<+\infty.\qquad\qquad\qquad\qquad{(2)} $$

Получены достаточные условия $|c,\alpha|_k$-суммируемости почти всюду, в частности, доказано, что если $1\leqslant k\leqslant2$, $0\leqslant\alpha<1/2$ и последовательность $\{(|a_n|^2+|b_n|^2)^{1/2}\}$ убывает, то условие (2) является необходимым и достаточным условием $|c,\alpha|_k$-суммируемости почти всюду.
Установлены аналогичные условия $|c,\alpha|_k$-суммируемости ортогональных рядов.
Библ. 20 назв.