Предельные ультрасферические ряды и их аппроксимативные свойства

В статье рассмотрены новые ряды вида $\sum_{k=0}^\infty f_k^{-1} \widehat P_k^{-1}(x)$, в которых общий член $f_k^{-1}\widehat P_k^{-1}(x)$, $k=0,1,\dots$, получен в результате предельного перехода при $\alpha\to-1$ из общего члена $\widehat f_k^\alpha \widehat P_k^{\alpha,\alpha}(x)$ ряда Фурье $\sum_{k=0}^\infty f_k^\alpha \widehat P_k^{\alpha,\alpha}(x)$ по ультрасферическим полиномам Якоби $\widehat P_k^{\alpha,\alpha}(x)$, образующим при $\alpha>-1$ ортонормированную систему с весом $(1-x^2)^\alpha$ на $[-1,1]$. Исследованы свойства частичных сумм $S_n^{-1}(f,x) =\sum_{k=0}^nf_k^{-1}\widehat P_k^{-1}(x)$ предельного ультрасферического ряда $\sum_{k=0}^\infty f_k^{-1} \widehat P_k^{-1}(x)$. В частности, показано, что оператор $S_n^{-1}(f)=S_n^{-1}(f,x)$ является проектором на подпространство алгебраических полиномов $p_n=p_n(x)$ степени не выше $n$, т.е. $S_n(p_n)=p_n$; кроме того, $S_n^{-1}(f,x)$ совпадает с $f(x)$ в концевых точках $\pm1$, т.е. $S_n^{-1}(f,\pm1)=f(\pm1)$. Доказано, что функция Лебега $\Lambda_n(x)$ частичных сумм $S_n^{-1}(f,x)$ имеет порядок роста, равный $O(\ln n)$, а точнее, доказано, что $\Lambda_n(x) \le c(1+\ln(1+n\sqrt{1-x^2}\mspace{2mu}))$, $-1\le x\le 1$.
Библиография: 1 название.