| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Об одном уточнении теоремы Шнайдера–Ленга В. А. Подкопаева, А. Я. Янченко Национальный исследовательский университет «Московский энергетический институт»
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S000143462305022X 
Реферативные базы данных:
  1. Обозначения. Исторический обзор. Формулировка результатовВведем обозначения. Через $\mathbb N$, $\mathbb Z$, $\mathbb Q$, $\mathbb R$, $\mathbb C$ будем обозначать, как обычно, множества натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел соответственно. Если $K$ – поле алгебраических чисел, то через $\mathbb Z_K$ будем обозначать кольцо его целых чисел. Если $\alpha$ – алгебраическое число, то через $\operatorname{deg}\alpha$, $H(\alpha)$ будем обозначать его степень и высоту; кроме этого, будем называть размером $\alpha$ (и обозначать $\overline{|\alpha|}$) максимум модулей всех его сопряженных. Если $P$ – многочлен от переменных $\omega_1,\dots,\omega_n$ с алгебраическими коэффициентами из некоторого поля (или кольца) $K$ (обозначение: $P\in K[\omega_1,\dots,\omega_n]$), то будем называть размером $P$ (и обозначать $\overline{|P|}$) максимум размеров его коэффициентов. Также будем без ссылок использовать стандартные неравенства для размеров $\overline{|\alpha|}$. Если $f(z)$ – целая функция, то при всяком $R \! > \! 0$ положим $M_f(R) \! = \! \max_{|z|=R} |f(z)|$. Порядок $\rho$ целой функции определяется равенством
$$
\begin{equation*}
\rho=\varlimsup_{R\to+\infty}\frac{\ln\ln M_f(R)}{\ln R}.
\end{equation*}
\notag
$$
При $\rho<+\infty$ $f(z)$ называется целой функций конечного порядка. Если $\varphi(z)$ – мероморфная (в $\mathbb C$) функция, то будем говорить, что ее порядок не превосходит числа $\rho$, если найдется представление $\varphi(z)=f_1(z)/f_2(z)$, где целые функции $f_1(z)$, $f_2(z)$ не имеют общих нулей и порядок каждой из них не превосходит $\rho$. В 1949 г. Шнайдер доказал теорему, из которой следовала трансцендентность ряда чисел (относящихся к седьмой проблеме Гильберта, теореме Линдемана, значениям эллиптических функций и других). В середине 60-х годов Ленг по-иному переформулировал эту теорему, которая с тех пор носит название теоремы Шнайдера–Ленга. Приведем ее формулировку [1; добавление, с. 546]. Теорема. Пусть $K$ – конечное расширение поля рациональных чисел; $f_1(z),\dots, f_N(z)$ – мероморфные функции порядка $\le\rho$. Предположим, что поле $K(f_1,\dots,f_N)$ имеет степень трансцендентности $\ge 2$ над $K$ и что дифференцирование $D=d/dz$ отображает кольцо $K[f_1,\dots,f_N]$ в себя. Пусть $\omega_1,\dots,\omega_m$ – различные комплексные числа, среди которых нет полюсов функций $f_i$, такие, что $f_i(\omega_\nu)\in K$ для всех $i=1,\dots,N$ и $\nu=1,\dots,m$. Тогда $m\le 10\rho[K:\mathbb Q]$. Теорема Шнайдера–Ленга является одним из немногих результатов в теории чисел, где устанавливаются общие арифметические свойства мероморфных решений достаточно большого класса систем нелинейных алгебраических дифференциальных уравнений (в то время как арифметические свойства решений многих классов линейных дифференциальных уравнений хорошо изучены). В этой теореме одним из условий является требование к степени трансцендентности поля $E=K(f_1,\dots,f_N)$, которая должна быть не менее двух. Далеко не всегда (особенно, если решения задаются, например, рядами) проверка этого условия проста. Поэтому возникает естественный вопрос о том, что будет, если степень трансцендентности поля $E$ меньше двух, т.е. равна единице (случай степени трансцендентности, равной нулю, тривиален). Ответ на этот вопрос дает доказанная в данной статье следующая теорема. Теорема 1. Пусть $K$ – поле алгебраических чисел, $[K:\mathbb Q]<+\infty$, $m\in\mathbb N$ и при всяком $i=1,\dots,m$ $P_i\in K[t_i,\omega_1,\dots,\omega_m]$, причем Пусть Тогда выполнены следующие утверждения:
Замечание. В теореме 1 п. 1) в большой степени повторяет утверждение теоремы Шнайдера–Ленга, и его доказательство (как будет видно из доказательства теоремы 1) аналогично доказательству теоремы Шнайдера–Ленга. Некоторое же обобщение системы уравнений (замена уравнений вида $g'=P_1(g_1,\dots,g_m)$ на уравнения вида $P(g'_1,g_1,\dots,g_m)=0$) требуется для того, чтобы вывести из теоремы 1 следствия, относящиеся к уравнению вида $P(y,y',\dots,y^{(m)})=0$. А именно, следствием теоремы 1 является следующая Теорема 2. Пусть $K$ – поле алгебраических чисел, $[K:\mathbb Q]<+\infty$, $m\in\mathbb N$, $P\in K[\omega_0,\dots,\omega_m]$, $P=\sum_{j=0}^Na_j\omega_m^j$, где все $a_j\in K[\omega_0,\dots,\omega_{m-1}]$ и $a_N\ne 0$. Пусть $T=(\partial P/\partial\omega_m)a_N$. Пусть $g(z)$ – мероморфная (в $\mathbb C$) функция конечного порядка, удовлетворяющая дифференциальному уравнению $P(g,g',\dots,g^{(m)})=0$. Пусть $G\subset\mathbb C$ такое множество, что $z\in G$ тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия: Тогда справедливы следующие утверждения:
Так как арифметические свойства эллиптических функций и экспонент хорошо изучены, то теорема 2 описывает общие арифметические свойства мероморфных решений (конечного порядка) произвольного автономного алгебраического дифференциального уравнения. Следствием теоремы 2 является следующее утверждение. Теорема 3. Пусть $m\in\mathbb N$, $P\in\mathbb C[t_0,\dots,t_m]$, $y=g(z)$ – периодическая (с периодом $T$) мероморфная функция конечного порядка, удовлетворяющая дифференциальному уравнению $P(y,y',\dots,y^{(m)})=0$. Пусть $L$ – поле, порожденное присоединением к полю рациональных чисел $\mathbb Q$ всех коэффициентов многочлена $P$; $N$ – степень трансцендентности поля $L$; $M=1+m+N$. Тогда существует дискретное множество $B$ (зависящее только от $g(z)$ и многочлена $P$) такое, что при любом $z_0\notin B$ среди чисел есть хотя бы одно трансцендентное. Замечание. Отметим, что если в условии теоремы 3 все коэффициенты многочлена $P$ – алгебраические числа, то хотя бы одно трансцендентное есть уже среди набора чисел $\{z_0,T,g(z_0),g'(z_0),\dots,g^{(m-1)}(z_0)\}$. 2. Вспомогательные утвержденияЛемма 1 [1; с. 548, лемма 2]. Пусть $K$ – поле алгебраических чисел, $[K:\mathbb Q]<+\infty$. Пусть $n,q\in\mathbb N$, $n>q$; $a_{ij}\in\mathbb Z_K$ при $i=1,\dots,q$, $j=1,\dots,n$, причем существует $A>0$ такое, что $\overline{|\alpha_{ij}|}\le A$ при всех $i$, $j$. Тогда найдутся постоянные $\mu_1$, $\mu_2$ (зависящие только от поля $K$) такие, что система уравнений имеет нетривиальное решение $(x_1^\circ,\dots,x_n^\circ)\in\mathbb Z_K^n$, где $\overline{|x_i^\circ|}\le\mu_1(\mu_2nA)^{q/(n-q)}$ при всех $i=1,\dots,n$. Лемма 2 (А. О. Гельфонд). Пусть действительные числа $r$, $R$ таковы, что $0<2r<R$; $f(z)$ голоморфна в круге $|z|\le R$ и имеет в круге $|z|<r$ $N$ нулей (с учетом их кратности). Тогда при любом натуральном $s$ справедлива оценка Лемма 3. Пусть $K$ – поле алгебраических чисел, $[K:\mathbb Q]<+\infty$. Пусть $m\in\mathbb N$ и при всех $i=1,\dots,m$ Пусть $h_1(z),\dots,h_m(z)$ – мероморфные функции, удовлетворяющие системе дифференциальных уравнений
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} P_1(h'_1,h_1,\dots,h_m)=0, \\ \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots.\,. \\ P_m(h'_m,h_1,\dots,h_m)=0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда найдется постоянная $\delta_0>0$ (зависящая только от многочленов $\{P_i\}$) такая, что при всяком $s\in\mathbb N$, $s\ge 2$, и любом $i=1,\dots,m$ справедливы равенства
$$
\begin{equation*}
h_i^{(s)}(z)=\frac{G_{is}(h_1(z),\dots,h_m(z),h'_1(z),\dots,h'_m(z))} {(Q(h_1(z),\dots,h_m(z),h'_1(z),\dots,h'_m(z)))^{2s}}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где все $G_{is}\in\mathbb Z_K[u_1,\dots,u_m,v_1,\dots,v_m]$. При этом $\operatorname{deg}Q\le\delta_0$, $\ln\overline{|Q|}\le\delta_0$, Доказательство. Дифференцируя уравнения исходной системы, найдем при всяком $i=1,\dots,m$:
Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, Q_i=\frac{\partial P_i}{\partial v_i}(v_i,u_1,\dots,u_m), \qquad A_i=\biggl(-\sum_{j=1}^m\,\frac{\partial P_i}{\partial u_j}(v_i,u_1,\dots,u_m)v_j\biggr) \prod_{j\ne i}Q_j, \\ Q=\prod_{j=1}^mQ_j. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $A_i\equiv A_i(u_1,\dots,u_m,v_1,\dots,v_m)$, $Q\equiv Q(u_1,\dots,u_m,v_1,\dots,v_m)$ и при всех $i=1,\dots,m$ выполнено
$$
\begin{equation}
h''_i(z)=\frac{A_i(\overline u_0,\overline v_0)}{Q(\overline u_0,\overline v_0)}\,,
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $\overline u_0=(h_1(z),\dots,h_m(z))$, $\overline v_0=(h'_1(z),\dots,h'_m(z))$.
Пусть $\delta_1=\max\{\operatorname{deg}Q,\operatorname{deg}A_1, \dots,\operatorname{deg}A_m\}$; обозначим также через $\delta_2$ максимум логарифмов размеров коэффициентов многочленов $Q,A_1,\dots,A_m$. Положим $\delta_0=10[K:Q](m+2)\ln(m+2)(\delta_1+\delta_2+2)$. Докажем лемму индукцией по $s$. 1) При $s=2$ из (2) найдем
$$
\begin{equation*}
h''_i(z)=\frac{G_{i2}}{Q^4}(\overline u_0,\overline v_0),
\end{equation*}
\notag
$$
где $G_{i2}=A_iQ^3$.
Учитывая определение $\delta_0$, в этом случае имеем требуемую оценку
$$
\begin{equation*}
\operatorname{deg}G_{i2}=2\delta_0,\qquad \ln\overline{|G_{i2}|}\le\delta_0 3\ln 3.
\end{equation*}
\notag
$$
2) Предположим, что утверждение леммы верно при $s=k$, $k\ge 2$, т.е.
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, h_i^{(k)}(z) =\frac{G_{ik}}{Q^{2k}}(\overline u_0,\overline v_0), \\ \operatorname{deg}G_{ik}\le\delta_0 k, \qquad \ln\overline{|G_{ik}|}\le \delta_0(k+1)\ln(k+1). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Дифференцируя последнее равенство, найдем (с учетом (2)):
$$
\begin{equation*}
h_i^{(k+1)}(z)=\frac{B_{ik+1}}{Q^{4k}}(\overline u_0,\overline v_0),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, B_{i\,k+1} &=\biggl(\sum_{j=1}^m\,\frac{\partial G_{ik}}{\partial u_j}\,v_j +\sum_{j=1}^m\,\frac{\partial G_{ik}}{\partial v_j}\,\frac{A_j}{Q}\biggr)Q^{2k} \\ &\qquad{}-2kQ^{2k-1}G_{ik}\biggl(\sum_{j=1}^m\,\frac{\partial Q}{\partial u_j}v_j +\sum_{j=1}^m\,\frac{\partial Q}{\partial v_j}\,\frac{A_j}{Q}\biggr) \equiv Q^{2k-2}G_{ik+1} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и $G_{ik+1}\in K[u_1,\dots,u_m,v_1,\dots,v_m]$. С учетом определения постоянной $\delta_0$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \operatorname{deg}G_{ik+1} \le\operatorname{deg}G_{ik}+\delta_0=\delta_0(k+1), \\ \begin{split} \ln\overline{|G_{ik+1}|} &\le\ln\overline{|G_{ik}|}+\delta_0\ln(k+1) \\ &\le\delta_0(k+1)\ln(k+1)+\delta_0\ln(k+1) \le\delta_0(k+2)\ln(k+2). \end{split} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
При этом справедливо равенство Таким образом, лемма доказана. Следствие. В условиях леммы 3 при любых $\psi_1,\psi_2\in\{h_1(z),\dots,h_m(z)\}$ и любых целых неотрицательных $l_1$, $l_2$, $s$ справедливы равенства где $Q,G_{l_1l_2s}\in\mathbb Z_K[u_1,\dots,u_m,v_1,\dots,v_m]$, причем $\operatorname{deg}Q\le\delta_0$, $\ln\overline{|Q|}\le\delta_0$, Доказательство. Имеем
$$
\begin{equation*}
(\psi_1^{l_1}\psi_2^{l_2})^{(s)}=\sum_{t_1+\dotsb+t_{l_1}+r_1+\dotsb+r_{l_2}=s} B_{s\,\overline t\,\overline r}\psi_1^{(\overline t)}\psi_2^{(\overline r)},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
B_{s\,\overline t\,\overline r}=\frac{s!}{t_1!\,\dotsb t_{l_1}!\, r_1!\,\dotsb r_{l_2}!}\,,\qquad \psi_1^{(\overline t)}=\psi_1^{(t_1)}\dotsb\psi_1^{(t_{l_1})},\qquad \psi_2^{(\overline r)}=\psi_2^{(r_1)}\dotsb\psi_2^{(r_{l_2})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя лемму 3, найдем, что ($\|\overline t\|=t_1+\dotsb+t_{l_1}$, $\|\overline r\|=r_1+\dotsb+r_{l_2}$)
$$
\begin{equation*}
(\psi_1^{l_1}\psi_2^{l_2})^{(s)} =\sum_{\|\overline t\|+\|\overline r\|=s} B_{s\,\overline t\,\overline r}\prod_{j=1}^{l_1} \frac{G_j}{Q^{2t_j}}\prod_{i=1}^{l_2}\frac{F_i}{Q^{2r_i}}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где все $Q,G_j,F_i\in\mathbb Z_K[h_1,\dots,h_m,h'_1,\dots,h'_m]$, и при этом
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \operatorname{deg} Q,\ln\overline{|Q|}\le\delta_0, \qquad \operatorname{deg} G_j\le\delta_0(t_j+1), \qquad \ln\overline{|G_j|}\le\delta_0(t_j+1)\ln(t_j+1), \\ \operatorname{deg} F_i\le\delta_0(r_i+1), \qquad \ln\overline{|F_i|}\le\delta_0(r_i+1)\ln(r_i+1) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
при всех $i$, $j$. Но тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (\psi_1^{l_1}\psi_2^{l_2})^{(s)} =\frac{G_{l_1l_2s}(h_1,\dots,h_m,h'_1,\dots,h'_m)} {Q^{2s}(h_1,\dots,h_m,h'_1,\dots,h'_m)}\,, \\ \begin{split} \ln\overline{|G_{l_1l_2s}|} &\le s\ln(l_1+l_2+1)+ m\biggl(\sum_{j=1}^m\ln(\delta_0t_j+1) +\sum_{i=1}^m\ln(\delta_0r_i+1)\biggr) \\ &\qquad{}+\delta_0\biggl(\sum_{j=1}^m(t_j+1)\ln(t_j+1) +\sum_{i=1}^m(r_i+1)\ln(r_i+1)\biggr) \\ &\le(1+s)\ln(l_1+l_2+1)+2m\delta_0(s+1)+\delta_0(1+s+2m)\ln(s+1) \\ &\le 2m\delta_0(s+1)(\ln(l_1+l_2+1)+\ln(s+1)) \le 4m\delta_0(s+1)\ln(s+l_1+l_2+1). \end{split} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 4 (теорема Брио–Буке, [3; § 1 и § 7]). Пусть неприводимый многочлен $P\in\mathbb C[\omega_1,\omega_2]$; $h(z)$ – мероморфная в $\mathbb C$ функция такая, что $P(h(z),h'(z))=0$. Тогда Лемма 5. Пусть $\mathscr L_1$ – множество всех рациональных функций из $\mathbb C(z)$; $\mathscr L_2$ – множество всевозможных функций вида $R(e^{az})$, где $R(\omega)$ – рациональная функция из $\mathbb C(z)$, $a\in\mathbb C\setminus\{0\}$; $\mathscr L_3$ – множество эллиптических функций. Пусть $m\in\mathbb N$ и мероморфные в $\mathbb C$ функции $\varphi_1(z),\dots,\varphi_m(z)\in\mathscr L_1\cup\mathscr L_2\cup\mathscr L_3$; кроме этого, пусть степень трансцендентности поля $\mathbb C(\varphi_1(z),\dots,\varphi_m(z))$ над $\mathbb C$ равна единице. Тогда выполнены следующие утверждения: Доказательство. 1) При любом $R>0$ будем обозначать $T_f(R)$ число различных периодов функции $f$, лежащих в круге $|z|\le R$. Тогда если $f\in\mathscr L_1$, то $T_f(R)=0$; если $f\in\mathscr L_2$, то $T_f(R)\ge\delta_1 R$; если $f\in\mathscr L_3$, то $T_f(R)\ge\delta_2 R^2$ при некоторых постоянных $\delta_1$, $\delta_2$, зависящих от $f$ и не зависящих от $R$.
Проведем доказательство индукцией по $m$. При $m=1$ утверждение леммы очевидно. Предположим, что лемма верна при всех $m\le k-1$. Пусть $m=k$, $k\ge 2$. Тогда лемма выполнена для набора функций $\varphi_2,\dots,\varphi_k$. Без ограничения общности считаем, что
Предположим, что $\psi_1\in\mathscr L_i$, $\psi_2\in\mathscr L_j$, $i\ne j$. Считаем без ограничения общности, что $i<j$ (если это не так, то перенумеруем функции). Так как $\psi_1$, $\psi_2$ алгебраически зависимы над $\mathbb C$, то найдется неприводимый многочлен
$$
\begin{equation*}
P\in\mathbb C[\omega_1,\omega_2], \qquad P=a_N(\omega_2)\omega_1^N+\dotsb+a_0(\omega_2)
\end{equation*}
\notag
$$
(где $a_i(\omega_2)\in\mathbb C[\omega_2]$, $a_N(\omega_2)\ne 0$) такой, что Пусть $z_0\in\mathbb C$ такое, что $a_0(\psi_2(z_0))a_N(\psi_2(z_0))\ne 0$. Тогда при любом периоде $T$ функции $\psi_2(z)$ для функции
$$
\begin{equation*}
h(z)=a_N(\psi_2(z_0))\psi_1^N(z)+\dotsb+a_0(\psi_2(z_0))
\end{equation*}
\notag
$$
имеем $h(z_0+T)=0$, т.е. мероморфная функция $h(z)$ имеет при всяком $R>0$ на круге $|z|\le R$ не менее $T_{\psi_2}(R)$ нулей, что означает, что либо некоторый многочлен имеет на круге $|z|\le R$ не менее $\delta_3 R$ нулей, либо некоторая функция, являющаяся многочленом от $e^{az}$ при некотором $a\in\mathbb C\setminus\{0\}$, имеет на круге $|z|\le R$ не менее $\delta_3 R^2$ нулей. Обе ситуации (так как $\psi_1$, $\psi_2$ не постоянные) невозможны, поэтому получаем противоречие с предположением о том, что $\psi_1$, $\psi_2$ лежат в разных $\mathscr L_i$.
2) Пусть $\psi_1,\psi_2\in\mathscr L_2$ и $\psi_1=R_1(e^{az})$, $\psi_2=R_2(e^{bz})$, где $R_1,R_2\in\mathbb C(\omega)$. Если бы $a$, $b$ были линейно независимы над $\mathbb Q$, то $e^{az}$, $e^{bz}$ были бы алгебраически независимы над $\mathbb C$, и тогда в силу алгебраической зависимости $\psi_1$, $\psi_2$ было бы справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
a_N(R_2(e^{az}))(R_1(e^{bz}))^N+\dotsb+a_0(R_2(e^{az})) \equiv 0
\end{equation*}
\notag
$$
(при некоторых $a_0(\omega),\dots,a_N(\omega)\in\mathbb C(\omega)$, не все из которых нули), что невозможно. Поэтому $a=(p/q)b$ при некоторых $p,q\in\mathbb Z\setminus\{0\}$. Но тогда $\psi_1=R_1((e^{bz/q})^p)$, $\psi_2=R_2((e^{bz/q})^q)$, откуда $\psi_1,\psi_2\in\mathscr L_2$ и каждая из $\psi_i$ является рациональной функцией от $e^{z/q}$.
3) Рассмотрим случай $\psi_1,\psi_2\in\mathscr L_3$. Пусть $\omega_1$, $\omega_2$ – основные периоды для $\psi_1$, $\eta_1$, $\eta_2$ – основные периоды для $\psi_2$. Рассмотрим решетки $\Omega_1=\{a_1\omega_1+a_2\omega_2;\,a_i\in\mathbb Z\}$, $\Omega_2=\{a_1\eta_1+a_2\eta_2;\,a_i\in\mathbb Z\}$ и $\Omega_1\cap\Omega_2$. Из условий теоремы вытекает, что $\psi_1$, $\psi_2$ алгебраически зависимы над $\mathbb C$. Отсюда следует [4; с. 126–127], что каждый из периодов $\eta_1$, $\eta_2$ является линейной комбинацией с рациональными коэффициентами периодов $\omega_1$, $\omega_2$ (и обратно). Пусть $\{\xi_1,\xi_2\}$ – базис решетки $\Omega_1\cap\Omega_2$. Тогда $\psi_1(z)$, $\psi_2(z)$ – эллиптические функции с периодами $\xi_1$, $\xi_2$. Тогда если $\wp_1(z)$ – эллиптическая функция Вейерштрасса с элементарными периодами $\xi_1$, $\xi_2$, то (см., например, [4; гл. 3, § 16]) существуют рациональные функции $\{A_i(\omega),B_i(\omega),\,i=1,2\}$ такие, что
$$
\begin{equation*}
\psi_i(z)=A_i(\wp_1(z))+B_i(\wp_1(z))\wp'_1(z), \qquad i=1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как одна из $\psi_i$ есть $\wp(z)$, тогда и $\wp(z)=A(\wp_1(z))+B(\wp_1(z))\wp'_1(z)$ при некоторых рациональных функциях $A$, $B$, откуда все $\varphi_1,\dots,\varphi_k$ также имеют требуемый вид, что завершает доказательство при $m=k$.
Таким образом, по индукции лемма 5 доказана. 3. Доказательство теоремы 1Домножив, если нужно, каждое уравнение системы (1) на подходящее целое число, будем далее считать, что все многочлены из (1) имеют коэффициенты из $\mathbb Z_K$. Если в множестве $G$ нет ни одной точки, то теорема, очевидно, справедлива. Поэтому далее считаем, что $G$ не пусто. Возможны два случая. 1) Пусть степень трансцендентности поля $\mathbb C(g_1(z),\dots,g_m(z))$ над $\mathbb C$ меньше двух. Тогда степень трансцендентности поля $\mathbb C(g_1(z),\dots,g_m(z),g'_1(z),\dots,g'_m(z))$ над $\mathbb C$ меньше двух. Если все $g_i(z)$ – константы, то утверждение теоремы верно. Если среди $\{g_i(z)\}$ есть не константа, то степень трансцендентности над $\mathbb C$ поля $\mathbb C(g_1(z),\dots, g_m(z),g'_1(z),\dots,g'_m(z))$ равна единице. Тогда при всех $i$ $\{g_i,g'_i\}$ алгебраически зависимы над $\mathbb C$. Применяя вначале при каждом $i$ лемму 4, а затем к совокупности $\{g_1,\dots,g_m\}$ лемму 5, получим справедливость утверждения теоремы. 2) Пусть степень трансцендентности поля $\mathbb C(g_1(z),\dots,g_m(z))$ над $\mathbb C$ не менее двух. Тогда применим рассуждения, аналогичные тем, которые использованы Ленгом в доказательстве своей теоремы [1; добавление, теорема, с. 546]. Так как $g_1(z),\dots, g_m(z)$ – мероморфные в $\mathbb C$ конечного порядка, то найдется число $\rho>0$ и целые функции $\psi_1(z),\dots,\psi_m(z)$ такие, что $g_i\psi_i$, $\psi_i$ – целые функции обладающие следующими свойствами:
Пусть поле $K_1$ – алгебраическое расширение поля $K$, полученное добавлением к $K$ чисел $g'_i(\omega)$ при всех $i=1,\dots,m$, $\omega\in\Omega$. Фиксируем какое-либо натуральное число $A(\Omega)$ такое, что
Далее в доказательстве через $\gamma_i$ будем обозначать положительные постоянные, зависящие только от поля $K$, многочленов $P_1,\dots,P_m$ (из (1)) и порядков функции $g_1(z),\dots,g_m(z)$. Рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
\varphi(z)=\sum_{l_1,l_2=0}^LC_{l_1l_2}f_1^{l_1}(z)f_2^{l_2}(z).
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $S_0=[L^2/(2d)]$. Выберем коэффициенты $C_{l_1l_2}\in\mathbb Z_{K_1}$ так, что $\varphi^{(s)}(\omega)=0$ при всех $s=0,1,\dots,S_0$ и $\omega\in\Omega$. По следствию из леммы 3
$$
\begin{equation*}
\varphi^{(s)}(\omega)=\sum_{l_1,l_2=0}^LC_{l_1l_2} \frac{G_{l_1l_2s}(g_1(\omega),\dots,g_m(\omega),g'_1(\omega),\dots,g'_m(\omega))} {Q^{2s}(g_1(\omega),\dots,g_m(\omega),g'_1(\omega),\dots,g'_m(\omega))}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим систему линейных уравнений относительно неизвестных $C_{l_1l_2}$:
$$
\begin{equation}
(A(\Omega))^{\gamma_1LS_0}Q^{2S_0}\varphi^{(s)}(\omega)=0,\qquad s=0,1,\dots,S_0,\quad \omega\in\Omega,
\end{equation}
\tag{4}
$$
или
$$
\begin{equation*}
\sum_{l_1,l_2=0}^LC_{l_1l_2}B_{l_1l_2s\omega}=0,\qquad s=0,1,\dots,S_0,\quad \omega\in\Omega.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом (используя следствие из леммы 3) найдем, что все $B_{l_1l_2s\omega}\in\mathbb Z_{K_1}$ и для их размеров имеет место оценка
$$
\begin{equation*}
\ln\overline{|B_{l_1l_2s\omega}|} \le\gamma_2S_0\ln(L+S_0)+\gamma_3(L+S_0)A(\Omega) \le\gamma_4 S_0\ln S_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Применив лемму 1, найдем, что существуют $\{C_{l_1l_2}\}\in\mathbb Z_{K_1}$, не все равные нулю, для которых выполняется система равенств (4). При этом Таким образом, построенная функция
$$
\begin{equation*}
\varphi(z)=\sum_{l_1,l_2=0}^LC_{l_1l_2}(f_1(z))^{l_1}(f_2(z))^{l_2}
\end{equation*}
\notag
$$
такова, что
Так как (по предположению об алгебраической независимости функций $f_1$, $f_2$ над $\mathbb C$) $\varphi(z)\not\equiv 0$, то найдется $S_1\in\mathbb N$, $S_1>S_0$, такое, что $\varphi^{(s)}(\omega)=0$ при всех $S=0,1,\dots,S_1-1$ и любых $\omega\in\Omega$, но $\varphi^{(S_1)}(\omega_0)\ne 0$ при некотором $\omega_0\in\Omega$. Применим к функции $H(z)=\varphi(z)(\psi_1(z)\psi_2(z))^L$ лемму 2 при $N=S_1d$, $r=A(\Omega)$, $R=S_1^{1/(2\rho)}$. Так как $A(\Omega)<\ln\ln L$, то, учитывая оценки (3), (5), получим
$$
\begin{equation*}
\ln M_{H^{(S_1)}}(r) \le\gamma_6S_1\ln S_1-\gamma_7\,dS_1\ln S_1\le-\gamma_8\,dS_1\ln S_1
\end{equation*}
\notag
$$
(так как считаем, что $d$ достаточно велико). Отсюда, в частности, следует, что $\ln|H^{(S_1)}(\omega_0)|\le -\gamma_8 dS_1\ln S_1$. Но
$$
\begin{equation*}
H^{(S_1)}(\omega_0)=\bigl(\psi_1(\omega_0)\psi_2(\omega_0)\bigr)^L \varphi^{(S_1)}(\omega_0).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому и
$$
\begin{equation}
\ln|\varphi^{(S_1)}(\omega_0)| \le -\gamma_8 dS_1\ln S_1+\gamma_9 L\ln A(\omega)\le -\gamma_{10} dS_1\ln S_1.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Далее, $\varphi(\omega_0)$ – алгебраическое число из поля $K_1$. При этом Одновременное выполнение оценок (6), (7) при $\gamma_{10}d\gg\gamma_{13}[K_1:\mathbb Q]$ невозможно, если $\varphi^{(S_1)}(\omega_0)\ne 0$ (так как произведение всех сопряженных любого целого алгебраического числа есть число целое и, значит, не меньшее чем 1). Поэтому $\varphi^{(S_1)}(\omega_0)=0$, что противоречит выбору $S_1$, $\omega_0$. Таким образом, теорема 1 доказана. 4. Доказательство теорем 2, 3 Доказательство теоремы 2. Теорема 2 следует из теоремы 1, если записать уравнение $P(g,g',\dots,g^{(m)})=0$ как систему следующим образом: Доказательство теоремы 3. Рассмотрим при всяком $k\in\mathbb N$ функции $\varphi_k(z)=z^k+g(z)$. Если предположить, что при всяком $k$ функция $\varphi_k(z)$ имеет вид либо $R_1(e^{az})$, либо $R_2(\wp(z))\wp'(z)+R_3(\wp(z))$ (где $\{R_i(t)\}$ – рациональные функции), то в силу периодичности функции $g(z)$ найдутся два различных $k_1,k_2\in\mathbb N$ таких, что либо справедливы равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} z^{k_1}+g(z)=F_1(e^{az}), \\ z^{k_2}+g(z)=F_2(e^{az}), \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
либо справедливы равенства где $\{F_i(t),P_i(t),Q_i(t)\}$ – рациональные функции. Но тогда, вычитая в каждой системе из первого равенства второе, найдем, что либо $z^{k_1}-z^{k_2}=F_1(e^{az})-F_2(e^{az})$, либо что невозможно в силу периодичности функций $e^{az}$, $\wp(z)$.
Таким образом, найдется $k_0\in\mathbb N$ такое, что $\varphi(z)=z^{k_0}+g(z)$ не лежит ни в одном из классов
$$
\begin{equation*}
\{R_1(t)\}, \qquad \{R_2(e^{at})\}, \qquad \{H_1(\wp(z))\wp'(z)+H_2(\wp(z))\wp'(z)\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $R_1(t),R_2(t),H_1(t)$, $H_2(t)\in\mathbb C(t)$. Кроме этого, функция $\varphi(z)$ и все ее производные лежат в расширении $E$ поля $\mathbb Q$, полученном присоединением к нему функций $z$, $g(z),g'(z),\dots,g^{(m-1)}(z)$ и всех коэффициентов многочлена $P$.
Степень трансцендентности поля $E$ над $\mathbb Q$ не более $M$, поэтому найдется многочлен $A\in\mathbb Q[t_0,\dots,t_M]$ такой, что $A(\varphi(z),\varphi'(z),\dots,\varphi^{(M)}(z))\equiv 0$. Тогда функция $\varphi(z)$ удовлетворяет условиям теоремы 2. Положим $B=\mathbb C\setminus G$, где $G$ – множество из условий теоремы 2. Предположим, что найдется $z_0\notin B$ (т.е. $z_0\in G$) такое, что все числа $z_0,T,g(z_0),g'(z_0),\dots,g^{(M-1)}(z_0)$ – алгебраические из некоторого поля $K$, $[K:\mathbb Q]<+\infty$. Тогда при любом целом $l$ числа $\varphi(z_0+lT),\dots,\varphi^{(M-1)}(z_0+lT)$ также лежат в $K$, так как
$$
\begin{equation*}
\varphi^{(s)}(z_0+lT)=(z^{k_0})^{(s)}|_{z_0+lT}+g^{(s)}(z_0).
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, в силу периодичности функции $g(z)$ все числа $z_0+lT$ также лежат в $G$, т.е. количество элементов в $G$ бесконечно. Получившееся противоречие с утверждением теоремы 2 завершает доказательство теоремы 3. 5. Заключение1. Теорему 1 можно рассматривать как определенное обобщение теоремы Шнайдера–Ленга (если не учитывать отсутствие в теореме 1 точной оценки на число элементов множества $G$). Можно отметить, что
Поэтому все следствия из теоремы Шнайдера–Ленга (относящиеся к установлению трансцендентности чисел) имеют место и в случае теоремы 1. 2. Можно привести примеры систем дифференциальных уравнений, не удовлетворяющих условиям теоремы Шнайдера–Ленга, но удовлетворяющих условиям теоремы 1. Например, если $\wp(z)$ – эллиптическая функция Вейерштрасса с алгебраическими инвариантами $g_2$, $g_3$, то функции $f_1=z$ и $f_2=\wp(z^3)$ удовлетворяют системе дифференциальных уравнений
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} f'_1-1=0, \\ (f'_2)^2-9f_1^4(4f_2^3-g_2f_2-g_3)=0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
3. Несложно привести примеры функций, удовлетворяющих условиям теоремы 3. Такой, например, является периодическая функция (с периодом 1) вида $f(z)=P(\wp_1(z),\dots,\wp_n(z))$, где $P(t_1,\dots,t_n)$ – многочлен, а $\wp_i(z)$ – эллиптические функции Вейерштрасса с периодами $\{1;\tau_i\}$. В заключение авторы выражают благодарность рецензенту за ряд ценных замечаний, способствовавших улучшению данной статьи. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{PodYan23} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|