| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Теоремы о неявной функции для непрерывных отображений и их приложения А. В. Арутюновa, С. Е. Жуковскийa, Б. Ш. Мордуховичb a Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, г. Москва b Wayne State University, Detroit, MI, USA
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623050164 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеПусть $(X,\|\cdot\|_X)$, $(Y,\|\cdot\|_Y)$ – банаховы пространства, $P$ – топологическое пространство, $F\colon X\times P \to Y$ – заданное отображение. Рассмотрим уравнение относительно неизвестного $x$ и параметров $p\in P$ и $y\in Y$. Достаточные условия существования решения $x(p,y)$ при значениях параметров, близких к заданным, дает классическая локальная теорема о неявной функции (см., например, [1]–[3]). Напомним формулировку этой теоремы из [4]. Если $F(\overline x,\overline p)=\overline y$ для заданных $(\overline x,\overline p)\in X\times P$ и $\overline y\in Y$, отображение $F$ достаточно гладко по $x$ и производная по Фреше отображения $F$ в точке $\overline x$ невырождена, то существует непрерывное отображение $\xi$, определенное в некоторой окрестности точки $(\overline p, \overline y)$, удовлетворяющее тождеству $F(\xi(p,y),p)\equiv y$. Аналогичный результат получен, например, в [5]. Для негладких липшицевых отображений $F$ теоремы о неявных и обратных функциях были получены в [6], [7] и некоторых других работах.В этой статье задача о неявной функции рассматривается для случая, когда $X$ и $Y$ являются пространствами Асплунда. Приведена локальная теорема о неявной функции в терминах регулярной копроизводной отображения $F$ по переменной $x$. Использование этой обобщенной производной позволило получить достаточные условия существования неявной функции без априорного предположения гладкости $F$ по $x$ и лишь в предположении замкнутости $F$ по переменной $x$. В этой работе получены также достаточные условия существования нелокальной неявной функции, т.е. отображения $\xi$, определенного на всем пространстве параметров $P\times Y$ (а не на некоторой окрестности) и удовлетворяющего тождеству $F(\xi(p,y),p)\equiv y$, $(p,y)\in P\times Y$. Для гладких отображений $F$ нелокальные теоремы о неявных и обратных функциях были получены, например, в [8]–[10]. Для негладких липшицевых по $x$ отображений $F$ теоремы о неявных и обратных функциях были получены, например, в [11] и некоторых других работах. В настоящей статье достаточные условия существования нелокальной неявной функции получены без априорного предположения гладкости $F$ по $x$ и лишь в предположении непрерывности $F$ по $x$. Полученные теоремы о неявной функции применены к исследованию следующей задачи. Пусть $f\colon X\times P \to \mathbb{R}$ – заданная функция. Рассмотрим экстремальную задачу с параметрами $p\in P$ и $y\in Y$. Под решением задачи (1.1), соответствующим значению параметра $p \in P$, будем понимать точку $\widehat{x}\in X$, являющуюся допустимой (т.е. $F(\widehat{x},p)=y$), и удовлетворяющую неравенству $f(\widehat{x},p)\leq f(x,p)$ при любом допустимом $x\in X$.Функцией минимума для задачи (1.1) будем называть функцию $\mu\colon P \to \mathbb{R}\cup\{+\infty,-\infty\}$, определенную по формуле
$$
\begin{equation}
\mu(p,y)=\inf \{f(x,p)\colon x\in X, \,F(x,p)=y\}, \qquad p\in P, \quad y\in Y.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Здесь $\mu(p,y):=+\infty$ для тех $(p,y)$, для которых множество допустимых точек $\{x\in X\colon F(x,p)=y\}$ пусто. В настоящей работе за счет применения полученных теорем о неявной функции выведены условия полунепрерывности сверху функции минимума. Функция минимума играет важную роль в оптимизации и вариационном анализе. Свойства функции минимума подробно описаны, например, в [12]–[15] (см. комментарии и библиографию там же). Применяемый в настоящей работе подход, основанный на использовании регулярной копроизводной, позволяет существенно расширить класс экстремальных задач, для которых возможно исследовать топологические и метрические свойства функции минимума. В частности, относительно отображения $F$, определяющего ограничения типа равенств в задаче (1.1), по переменной $x$ мы далее будем предполагать лишь замкнутость. 2. Предварительные сведенияПусть $(X,\|\cdot\|_X)$, $(Y,\|\cdot\|_Y)$ – банаховы пространства, $P$ – топологическое пространство. Обозначим через $B_X(x,r)$ замкнутый шар в пространстве $X$ с центром в точке $x\in X$ радиуса $r\geq 0$, т.е. $B_X(x,r):=\{u\in X\colon \|x-u\|_X\leq r\}$. Аналогичное обозначение будем использовать для шаров в других нормированных пространствах. Пусть задано отображение $G\colon X\to Y$. Будем говорить, что отображение $G$ является $\alpha$-накрывающим относительно множества $U\subset X$, если
$$
\begin{equation*}
B_X(x,r)\subset U \quad \Rightarrow \quad B_Y(G(x),\alpha r) \subset G(B_X(x,r)), \qquad x\in X, \quad r\geq 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем говорить, что отображение $G$ является $\alpha$-накрывающим в окрестности точки $\overline x\in X$, если существует окрестность $U$ точки $\overline x$ такая, что $G$ является $\alpha$-накрывающим отображением относительно $U$. Обозначим через $\operatorname{cov} (G,\overline x)$ точную верхнюю границу всех $\alpha>0$ таких, что $G$ является $\alpha$-накрывающим в окрестности точки $\overline x$. Если множество таких положительных чисел $\alpha$ пусто, то положим $\operatorname{cov} (G,\overline x)=0$. Для дифференцируемого по Фреше в точке $\overline x$ отображения $G$ обозначим его производную в точке $\overline x$ через $\nabla G(\overline x)$. Известно (см., например, [13]), что для непрерывно дифференцируемого по Фреше отображения $G\colon X\to Y$ соотношение $\operatorname{cov} (G,\overline x)>0$ равносильно невырожденности линейного оператора $\nabla G(\overline x)$. Кроме того, в этом случае $\operatorname{cov} (G,\overline x)$ совпадает с константой Банаха линейного оператора $\nabla G(\overline x)$. Будем говорить, что отображение $G\colon X\to Y$ липшицево с константой Липшица $\beta\geq 0$ на множестве $U\subset X$ ($\beta$-липшицево на $U$), если
$$
\begin{equation*}
\|G(x_1)-G(x_2)\|_Y\leq \beta \|x_1-x_2\|_X \qquad \forall \, x_1,x_2\in U.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем говорить, что отображение $G\colon X\to Y$ липшицево с константой Липшица $\beta$ в окрестности точки $\overline x\in X$ ($\beta$-липшицево в окрестности точки $\overline x\in X$), если существует окрестность $U$ точки $\overline x$ такая, что отображение $G$ является $\beta$-липшицевым на $U$. Будем говорить, что отображение $G\colon X\to Y$ липшицево, если отображение $G$ является $\beta$-липшицевым на $X$ при некотором $\beta\geq 0$. Точную нижнюю границу всех констант $\beta\geq 0$, для которых отображение $G\colon X\to Y$ является $\beta$-липшицевым в окрестности точки $\overline x\in X$, обозначим через $\operatorname{lip} (G,\overline x)$, т.е.
$$
\begin{equation*}
\operatorname{lip} (G,\overline x):= \inf \bigl\{ \beta \geq 0\colon \exists \, r>0\colon \|G(x_1)-G(x_2)\|_Y\leq \beta \|x_1-x_2\|_X \ \forall \, x_1,x_2\in B_X(\overline x,r)\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если множество таких чисел $\beta$ пусто, то положим $\operatorname{lip} (G,\overline x)=+\infty$. Обозначим график отображения $G$ через $\operatorname{gph} G$, т.е.
$$
\begin{equation*}
\operatorname{gph} G:=\bigl\{(x,G(x))\in X \times Y\colon x\in X\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем говорить, что отображение $G$ замкнуто относительно замкнутого множества $U\subset X$, если множество $\operatorname{gph} G \cap (U\times Y)$ замкнуто в пространстве $X\times Y$ с метрикой
$$
\begin{equation*}
d ((x_1,y_1),(x_2,y_2)) =\rho_X(x_1,x_2)+\rho_Y(y_1,y_2), \qquad (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in X\times Y.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем говорить, что отображение $G$ замкнуто в некоторой окрестности точки $\overline x$, если существует замкнутая окрестность $U$ точки $\overline x$ такая, что отображение $G$ замкнуто относительно множества $U$. Будем говорить, что отображение $G$ замкнуто, если оно замкнуто относительно $X$. Далее, в доказательстве основных результатов, мы будем пользоваться следующим очевидным утверждением. Свойства отображения быть $\alpha$-накрывающим относительно множества $U$, $\beta$-липшицевости на $U$ и замкнутости относительно $U$ сохраняются при уменьшении множества $U$. В последующем изложении важную роль будет играть понятие регулярной копроизводной отображения. Сформулируем его. Пусть $(Z,\|\cdot\|_Z)$ – нормированное пространство и задано множество $\Theta \subset Z$. Регулярным нормальным конусом к множеству $\Theta$ в точке $\overline z \in\Theta$ называется множество
$$
\begin{equation}
\widehat{N}(\overline z;\Theta):=\biggl\{z^*\in Z^*\colon \limsup_{z\stackrel{\Theta}{\to}\overline z} \frac{\langle z^*,z-\overline z\rangle}{\|z-\overline z\|_Z}\leq 0\biggr\}.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Если множество $\Theta$ выпукло, то регулярный нормальный конус (2.1) совпадает с нормальным конусом. Пусть заданы отображение $G\colon X\to Y$ и точка $\overline x\in X$. Регулярной копроизводной отображения $G$ в точке $\overline x$ называется многозначное отображение $\widehat{D}^*G(\overline x)\colon Y^* \rightrightarrows X^*$, определяемое по формуле
$$
\begin{equation*}
\widehat{D}^*G(\overline x)(y^*):= \bigl\{x^*\in X^*\colon (x^*,-y^*)\in \widehat{N} \bigl((\overline x,G(\overline x)); \operatorname{gph} G\bigr)\bigr\}, \qquad y^*\in Y^*.
\end{equation*}
\notag
$$
Если отображение $G$ является дифференцируемым по Фреше в точке $\overline x$, то справедливо соотношение $\widehat{D}^*G(\overline x)(y^*)=\{\nabla G(\overline x)^*y^*\}$ для любого $y^*\in Y^*$. Здесь $\nabla G(\overline x)^*$ – оператор, сопряженный с $\nabla G(\overline x)$. Положим
$$
\begin{equation*}
a(G,\overline x):=\sup_{\eta>0}\inf\bigl\{\|x^*\|_{X^*}\colon x^*\in \widehat{D}^*G(x)(y^*), \,x\in B_X(\overline x,\eta), \,\|y^*\|_{Y^*}=1\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Сформулируем критерий накрываемости отображения в окрестности заданной точки. Для этого напомним одно понятие, связанное с геометрией банаховых пространств (см., например, [13; § 2.2]). Банахово пространство $Z$ называется пространством Асплунда, если для любой выпуклой непрерывной функции, определенной на произвольном открытом выпуклом множестве $O\subset Z$, множество точек, в которых она дифференцируема по Фреше, всюду плотно в $O$. Пространства Асплунда подробно исследованы в геометрической теории банаховых пространств и имеют обширные приложения в вариационном анализе. Известно, например, что банахово пространство $Z$ является пространством Асплунда тогда и только тогда, когда сопряженное пространство к любому замкнутому сепарабельному подпространству в $Z$ сепарабельно. Любое рефлексивное банахово пространство является пространством Асплунда. Сформулируем критерий накрываемости в терминах регулярной копроизводной применительно к “однозначным” отображениям. В полной общности приведенные ниже предложения получены в [13], [16]. Предложение 1 (см. [13; теорема 4.4]). Пусть $X$ и $Y$ – пространства Асплунда, $G$ замкнуто в некоторой окрестности точки $\overline x$. Тогда следующие утверждения эквивалентны: Сформулируем теперь критерий липшицевости в терминах регулярной копроизводной применительно к “однозначным” отображениям. Положим
$$
\begin{equation*}
b(G,\overline x):=\inf_{\eta>0}\sup\bigl\{\|x^*\|_{X^*}\colon x^*\in \widehat{D}^*G(x)(y^*), \, x\in B_X(\overline x,\eta), \,\|y^*\|_{Y^*}=1\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, $b(G,\overline x)\geq 0$. Предложение 2 (см. [13; теорема 4.7]). Пусть $X$ и $Y$ – пространства Асплунда, $G$ замкнуто в некоторой окрестности точки $\overline x$. Тогда следующие утверждения эквивалентны: 3. Локальная теорема о неявной функцииПусть $(X,\|\cdot\|_X)$, $(Y,\|\cdot\|_Y)$ – пространства Асплунда, $P$ – топологическое пространство, заданы отображение $F\colon X\times P \to Y$ и точка $(\overline x, \overline p)\in X\times P$, $\overline y:=F(\overline x, \overline p)$. Сформулируем условия существования решения уравнения относительно неизвестного $x\in X$ при значениях параметров $p\in P$ и $y\in Y$ близких к $\overline p$ и $\overline y$ соответственно.Теорема 1. Предположим, что отображение $F(\cdot,\overline p)$ замкнуто в окрестности точки $\overline x$, а отображение $F(\overline x,\cdot)$ непрерывно в точке $\overline p$. Пусть Тогда существуют окрестность $\Omega\subset P$ точки $\overline p$, окрестность $W\subset Y$ точки $\overline y$, константа $c>0$ и отображение $\xi\colon \Omega\times W\to X$ такие, что Эта теорема носит локальный характер, т.е. она гарантирует существование неявной функции не на всем пространстве параметров $P\times Y$, а только на некоторой не заданной заранее окрестности точки $(\overline p,\overline y)$. Сравним теорему 1 с классической теоремой о неявной функции. В классической теореме о неявной функции предположения сильнее, но и утверждение сильнее, так как классическая теорема гарантирует непрерывность неявной функции. В то же время в теореме 1 предположения слабее, и в ней рассматривается лишь существование неявной функции, а вопрос о непрерывности неявной функции $\xi$ не рассматривается вовсе. В предположениях теоремы 1 может не существовать непрерывной неявной функции (см. [17; пример 2]). Однако неявная функция $\xi$ в теореме 1 непрерывна в точке $(\overline p,\overline y)$ в силу (3.2). Доказательство теоремы 1 приведем ниже. Оно существенно опирается на результаты теории точек совпадения отображений метрических пространств (см., например, [18], [19]). Напомним, что точкой совпадения двух отображений $\Psi,\Phi\colon X\to Y$ называется точка $\xi\in X$ такая, что $\Psi(\xi)=\Phi(\xi)$. Следующее вспомогательное утверждение является прямым следствием теоремы 3.1 о точках совпадения из [18]. Лемма 1 (см. [18; теорема 3.1]). Пусть заданы отображения $\Psi,\Phi\colon X\to Y$, число $r>0$, точка $\overline x \in X$ и числа $\alpha>0$ и $\beta\geq 0$. Предположим, что отображение $\Psi$ является $\alpha$-накрывающим относительно шара $B_X(\overline x,r)$ и замкнутым относительно этого шара, отображение $\Phi$ является $\beta$-липшицевым на $B_X(\overline x,r)$, $\beta<\alpha$, и выполняется неравенство Тогда существует точка $\xi\in X$ такая, что Доказательство теоремы 1. В силу (3.1) существуют числа $\alpha$ и $\beta$ такие, что
$$
\begin{equation}
a(F(\cdot,\overline p),\overline x)> \alpha >\beta > \limsup_{(x,p) \to (\overline x, \overline p)} b(F(\cdot,p)-F(\cdot,\overline p),\overline x).
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Из неравенства $a(F(\cdot,\overline p),\overline x)> \alpha$ и предложения 1 следует, что $\operatorname{cov} (F(\cdot,\overline p), \overline x)>\alpha$ и, значит, существует $r_1>0$ такое, что отображение $F(\cdot,\overline p)$ является $\alpha$-накрывающим относительно $B_X(\overline x,r_1)$. Из неравенства
$$
\begin{equation*}
\beta > \limsup_{(x,p)\to (\overline x, \overline p)} b(F(\cdot,p)-F(\cdot,\overline p),\overline x)
\end{equation*}
\notag
$$
следует, что существует окрестность $O$ точки $\overline p$ и число $r_2>0$ такие, что $\beta > b(F(\cdot,p)-F(\cdot,\overline p),x)$ для любых $x\in B_X(\overline x, r_2)$ и $p\in O$. Отсюда
$$
\begin{equation*}
\operatorname{lip} (F(\cdot,p)-F(\cdot,\overline p),x)<\beta
\end{equation*}
\notag
$$
в силу предложения 2 и, значит, отображение $F(\cdot,p)-F(\cdot,\overline p)$ является $\beta$-липшицевым на $B_X(\overline x,r_2)$ для любого $p\in O$.
Поскольку отображение $F(\cdot,\overline p)$ замкнуто в некоторой окрестности точки $\overline x$, то существует $r_3>0$ такое, что отображение $F(\cdot,\overline p)$ замкнуто относительно $B_X(\overline x,r_3)$. Положим $ r:=\min\{r_1,\,r_2,\,r_3\}$. Поскольку отображение $F(\overline x,\cdot)$ непрерывно в точке $\overline p$ и $F(\overline x,\overline p)=\overline y$, то существуют окрестность $\Omega\subset P$ точки $\overline p$ и окрестность $W\subset Y$ точки $\overline y$ такие, что
$$
\begin{equation*}
\|F(\overline x,p)-y\|_Y\leq (\alpha-\beta)r \qquad\text{для любых}\quad (p,y)\in \Omega\times W.
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем произвольную точку $(p,y)\in \Omega\times W$. Положим
$$
\begin{equation*}
\Psi(x):=F(x,\overline p), \quad \Phi(x):=F(x,\overline p)- F(x,p)+y, \qquad x\in X.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда по построению отображение $\Psi$ является $\alpha$-накрывающим относительно шара $B_X(\overline x,r)$ и замкнутым относительно этого шара, отображение $\Phi$ является $\beta$-липшицевым на $B_X(\overline x,r)$, $\beta<\alpha$, и выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
\|\Psi(\overline x)-\Phi(\overline x)\|_Y =\|F(\overline x,p)-y\|_Y \leq (\alpha-\beta) r.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, все предположения леммы 1 выполняются. Следовательно, существуют точка $\xi=\xi(p,y)$, для которой выполняется (3.4). Из (3.4), полагая $c:=(\alpha-\beta)^{-1}$, получаем (3.2). Теорема доказана. 4. Нелокальная теорема о неявной функцииПусть $(X,\|\cdot\|_X)$, $(Y,\|\cdot\|_Y)$ – пространства Асплунда, $P$ – топологическое пространство, заданы отображение $F\colon X\times P \to Y$. Сформулируем условия существования решения уравнения относительно неизвестного $x\in X$ при всех значениях параметров $p\in P$ и $y\in Y$.Теорема 2. Предположим, что $F(\cdot,p)$ непрерывно при любом $p\in P$. Пусть Тогда для любого числа $k$, для которого и для любого $\overline x\in X$ существует отображение $\xi\colon P \times Y\to X$ такое, что Эта теорема носит нелокальный характер, т.е. она гарантирует существование неявной функции на всем пространстве параметров $P\times Y$. Зафиксируем $(\overline x,\overline p)\in X\times P$. Если пространство $P$ является метрическим и отображение $F(\overline x,\cdot)$ липшицево, то теорема 2 гарантирует непрерывность отображения $\xi$ в точке $(\overline p, F(\overline x,\overline p))$. Если пространство $P$ является топологическим, то в теореме 2 для непрерывности отображения $\xi$ в точке $(\overline p, F(\overline x,\overline p))$ достаточно, чтобы отображение $F(\overline x, \cdot )$ было непрерывно. В теореме 2 непрерывной на $P\times Y$ неявной функции $\xi(\cdot,\cdot)$ может не существовать. Так, например, в [17; пример 2] было показано следующее. Пусть отображение $F\colon \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ определено по формуле
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F(x)&=\frac{1}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}} \begin{pmatrix} x_1^2-x_2 \\ 2x_1 x_2\end{pmatrix} \qquad \text{при}\quad x=(x_1,x_2) \neq 0, \\ F(0)&=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда выполняется условие регулярности (4.1). В то же время любое отображение $\xi(\cdot)$, удовлетворяющее соотношению $F(\xi(y))\equiv y$, имеет точку разрыва в любой окрестности нуля. Прежде чем перейти к доказательству теоремы 2, напомним достаточные условия существования минимума из [20] (см. также [21]). Предложение 3 (см. [20; теорема 3]). Пусть функция $g\colon X\to \mathbb{R}$ полунепрерывна снизу, $g(x)\geq 0$ для любого $x\in X$ и задано число $k>0$. Если выполняется условие типа Каристи то для любого $x_0\in X$ существует точка $\xi \in X$ такая, что Теорема 3 в [20] представляет собой достаточное условие существования точек минимума полунепрерывных снизу ограниченных снизу собственных функций (функция $g\colon X\to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}$ называется собственной, если $g(x)\neq +\infty$ при некотором $x\in X$), определенных на полном метрическом пространстве. Приведенное здесь предложение 3 является прямым следствием теоремы 3 из [20] для функций на пространствах Асплунда. Доказательство теоремы 2. Зафиксируем произвольные $p\in P$ и $y\in Y$. Зададим функцию $g\colon X\to \mathbb{R}$ по формуле Покажем, что для функции $g$ выполняются все предположения предложения 3.
Функция $g$ непрерывна, поскольку непрерывно отображение $F(\cdot,p)$. Кроме того, очевидно, $g(x) \geq 0$ для любого $x\in X$. Возьмем произвольное положительное $k$, для которого выполняется соотношение (4.2). Покажем, что для функции $g$ выполнено условие типа Каристи (4.4). Возьмем произвольный $x\in X$ такой, что $g(x)>0$. Имеем $F(x,p)-y\neq 0$ и Поэтому из предложения 1 следует, что отображение $F(\cdot,p)$ является $k$-накрывающим относительно шара $B_X(x,R)$ при некотором $R>0$. Возьмем произвольное положительное $t$ такое, что
$$
\begin{equation}
t\leq 1, \qquad r:=\frac{t}{k}\|F(x,p)-y\|_Y \leq R.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Поскольку $r\leq R$ и отображение $F(\cdot,p)$ является $k$-накрывающим относительно шара $B_X(x,R)$, то Кроме того, $\|t(F(x,p)-y)\|_Y=rk $ в силу (4.5) и, значит, в силу (4.5). Следовательно, и, значит, существует точка $x'\in B_X(x,r)$ такая, что $F(x',p)=F(x,p)-r (F(x,p)-y)$. Очевидно, $x'\neq x$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g(x') &=\|F(x',p)-y\|_Y=\|F(x,p)-y -t (F(x,p)-y)\|_Y= (1-t) \|F(x,p)-y\|_Y \\ &=\|F(x,p)-y\|_Y -t \|F(x,p)-y\|_Y=\|F(x,p)-y\|_Y - rk \\ &\leq \|F(x,p)-y\|_Y -k \|x-x'\|_X= g(x) - k \|x-x'\|_X. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь первое равенство следует из определения функции $g$, второе равенство – из соотношения $F(x',p)=F(x,p)-r (F(x,p)-y)$, третье равенство – из соотношения $t\in (0,1]$, пятое равенство из соотношения (4.5), неравенство – из включения $x'\in B_X(x,r)$, последнее равенство – из определения функции $g$. Следовательно, для построенного $x'$ выполняется соотношение $g(x')+k\|x-x'\|\leq g(x)$. Итак, доказано, что для функции $g$ выполнено условие типа Каристи (4.4).
В силу предложения 3 существует точка $\xi=\xi(p,y)$ такая, что
$$
\begin{equation*}
g(\xi)=0\qquad\text{и}\qquad \|\xi-\overline x\|_X\leq k^{-1}g(\overline x).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $g(x)\equiv \|F(x,p)-y\|_Y$, $p\in P$, то из полученных соотношений следует (4.3). Теорема доказана. Замечание 1. Пусть выполнены предположения теоремы 2 и, кроме того, пространство $P$ является метрическим пространством с метрикой $\rho$ и отображение $F(\overline x,\cdot)$ липшицево. Тогда для любого числа $k$, удовлетворяющего (4.2), и для любого $\overline x\in X$ существует отображение $\xi\colon P \times Y\to X$, удовлетворяющее (4.3), и константа $\widetilde{c} >0$ такая, что Приведем предложение, которое гарантирует устойчивость неявной функции для уравнения $F(x,p)=y$. Пусть задано отображение $F_2\colon X\times P \to Y$. Предложение 4. Предположим, что для отображения $F_2$ выполняются предположения теоремы 2, т.е. $F_2(\cdot,p)$ непрерывно при любом $p\in P$ и Тогда для любого числа $k$, для которого для любых отображений $F_1\colon X\times P \to Y$ и $\xi_1\colon P\times Y \to X$, для которых существует отображение $\xi_2\colon P\times Y \to X$ такое, что Доказательство. Положим
$$
\begin{equation*}
F(x,p):=F_2(x+\xi_1(p),p), \qquad (x,p)\in X\times P, \quad \overline x:=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что для отображения $F$ выполняются предположения теоремы 2. Следовательно, существует отображение $\xi\colon Y \times P\to X$ такое, что выполняется (4.3). Положим $\xi_2:=\xi+\xi_1$. Тогда
$$
\begin{equation*}
F_2(\xi_2(p,y),p)\equiv F_2(\xi(p,y)+\xi_1(p,y),p)\equiv F(\xi(p,y),p) \equiv y
\end{equation*}
\notag
$$
и имеет место оценка
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\xi_2(p,y)-\xi_1(p,y)\|_X &= \|\xi(p,y)-\overline x\|_X \leq\frac{1}{k} \|F(\overline x,p)-y\|_Y \\ &=\frac{1}{k}\|F_2(\xi_1(p,y),p)-y\|_Y =\frac{1}{k}\|F_2(\xi_1(p,y),p)-F_1(\xi_1(p,y),p)\|_Y \\ &\leq \frac{1}{k} \sup_{x\in X}\|F_1(x,p)-F_2(x,p)\|_Y \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для любых $(p,y)\in P\times Y$. Здесь первое равенство следует из соотношений $\xi_2=\xi+\xi_1$ и $\overline x=0$, первое неравенство – из (4.3), второе равенство – из определения отображения $F$, а третье равенство – из предположения $F_1(\xi_1(p,y),p)\equiv y$, $(x,p)\in X\times P$. Предложение доказано. Приведенное предложение гарантирует устойчивость неявной функции для уравнения $F_2(x,p)=y$. А именно, если для $F_2$ выполняются предположения теоремы 2, отображение $F_1$ близко к отображению $F_2$ в смысле нормы равномерной сходимости, и $\xi_1$ – решение уравнения $F_1(x,p)=y$, то существует близкое к $\xi_1$ решение $\xi_2$ уравнения $F_2(x,p)=y$. 5. Приложения. Полунепрерывность сверху функции минимумаКак и выше, пусть $(X,\|\cdot\|_X)$, $(Y,\|\cdot\|_Y)$ – пространства Асплунда, $P$ – топологическое пространство, заданы отображение $F\colon X\times P \to Y$ и точка $(\overline x, \overline p)\in X\times P$, $\overline y:=F(\overline x, \overline p)$. Рассмотрим задачу (1.1). Пусть $\mu\colon P \to \mathbb{R}\cup\{+\infty,-\infty\}$ – функция минимума для задачи (1.1), определенная по формуле (1.2). Используя полученную выше теорему о неявной функции, приведем условия полунепрерывности сверху функции $\mu$. Теорема 3. Предположим, что выполнены следующие условия: Пусть, кроме того, пространство $P$ является метрическим с метрикой $\rho$, а также существуют окрестность $\Theta\subset X\times P$ точки $(\overline x,\overline p)$ и числа $\kappa_1\geq 0$ и $\kappa_2\geq 0$, для которых выполняется
$$
\begin{equation}
f(x,p)-f(\overline x,\overline p) \leq \kappa_1 \|x-\overline x\|_X +\kappa_1 \rho(p,\overline p) \qquad \forall \, (x,p)\in \Theta,
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Тогда существует $\kappa>0$ такое, что для функции $\mu$ справедливо соотношение для всех $p$ и $y$ достаточно близких к $\overline p $ и $\overline y$ соответственно. Доказательство. Все предположения теоремы 1 выполняются. Поэтому существуют окрестность $\Omega\subset P$ точки $\overline p$, окрестность $W\subset Y$ точки $\overline y$, число $c>0$ и отображение $\xi\colon \Omega \times W \to X$ такие, что имеет место соотношение (3.2). Следовательно, точка $x=\xi(p,y)$ является допустимой в задаче (1.1) и, значит,
Покажем, что функция $\mu$ полунепрерывна сверху в точке $(\overline p,\overline y)$. Возьмем произвольное $\varepsilon>0$. Поскольку функция $f$ полунепрерывна сверху в точке $(\overline x,\overline p)$, то, уменьшая окрестность $\Omega$ точки $\overline p$, получаем, что существует окрестность $U$ точки $\overline x$ такая, что
$$
\begin{equation}
f(x,p)<f(\overline x, \overline p)+\varepsilon \qquad \forall \, (x,p)\in U \times \Omega.
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Поскольку отображение $\xi(\cdot,\cdot)$ непрерывно в точке $(\overline p,\overline y)$ и $\xi(\overline p,\overline y)=\overline x$, то, уменьшая окрестности $\Omega$ и $W$ точек $\overline p$ и $\overline y$ соответственно, получаем, что
$$
\begin{equation*}
\xi(p,y)\in U \qquad \forall \, (p,y)\in \Omega\times W.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда в силу (5.6) следует, что
$$
\begin{equation*}
f ( \xi(p,y),p)< f (\overline x, \overline p) +\varepsilon \qquad \forall \, (p,y)\in \Omega\times W.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому в силу (5.5) и (5.1) выполняется соотношение
$$
\begin{equation*}
\mu(p,y) \leq f ( \xi(p,y),p)< f (\overline x, \overline p) +\varepsilon=\mu (\overline p,\overline y)+\varepsilon \qquad \forall \, (p,y)\in \Omega\times W.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, доказано, что функция $\mu$ полунепрерывна сверху в точке $(\overline p,\overline y)$.
Предположим теперь, что пространство $P$ является метрическим с метрикой $\rho$, а также существуют окрестность $\Theta=\Theta_X\times \Theta_P\subset X\times P$ точки $(\overline x,\overline p)$ и числа $\kappa_1\geq 0$ и $\kappa_2\geq 0$, для которых выполняются соотношения (5.2) и (5.3). Покажем, что существует $\kappa>0$ такое, что справедливо соотношение (5.4) для $p$ и $y$, достаточно близких к $\overline p $ и $\overline y$ соответственно. Уменьшая окрестность $\Theta_P$ точки $\overline p$ и окрестность $W$ точки $\overline y$, в силу непрерывности отображения $\xi(\cdot,\cdot)$ в точке $(\overline p,\overline y)$ получаем, что
$$
\begin{equation}
\xi(p,y) \in \Theta_X \qquad \forall \, (p,y)\in \Theta_P \times W.
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|F(\overline x,p) -y \|_Y &= \| (F(\overline x,p) - F(\overline x, \overline p)) - (y -\overline y)\|_Y \leq \| F(\overline x,p)-F(\overline x, \overline p)\|_Y +\|y -\overline y \|_Y \\ &\leq \kappa_2\rho(p,\overline p)+\|y -\overline y \|_Y \qquad \forall \, p\in \Theta_P, \quad \forall\, y\in W. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Здесь первое равенство вытекает из соотношения $F(\overline x,\overline p)=\overline y$, а последнее неравенство – из (5.3), поскольку $(\overline x, p)\in \Theta_X\times \Theta_P =\Theta$.
Применяя приведенные оценки получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mu(p,y) &\leq f(\xi(p,y),p) \leq f(\overline x,\overline p) +\kappa_1 \|\overline x- \xi(p,y)\|_X +\kappa_1 \rho (p,\overline p) \\ &\leq f(\overline x,\overline p) + \kappa_1 c \| F(\overline x, p)-y\|_Y + \kappa_1 c\|y-\overline y\|_Y+\kappa_1\rho(p,\overline p) \\ &\leq f(\overline x,\overline p) +\kappa_1\kappa_2 c \rho(p,\overline p) + \kappa_1 c\|y-\overline y\|_Y+ \kappa_1 \rho(p,\overline p) \\ & \leq f(\overline x,\overline p) +\kappa \bigl(\rho (p,\overline p) + \|y-\overline y\|_Y\bigr) =\mu(\overline p, \overline y) + \kappa \bigl(\rho (p,\overline p) + \|y-\overline y\|_Y\bigr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для $(p,y)\in \Theta_P\times W$. Здесь первое неравенство вытекает из того, что $\xi(p,y)$ – допустимая точка в силу (3.2); второе неравенство следует из предположения (5.2), поскольку $(\xi(p,y),p)\in \Theta_X\times \Theta_P=\Theta$ в силу (5.7); третье неравенство – из (3.2); четвертое неравенство – из (5.8); четвертое – из (5.3); последнее неравенство выполняется при $\kappa:=\max\{\kappa_1\kappa_2c, \kappa_1 c,\kappa_1\}$; равенство вытекает из соотношения (5.1). Теорема доказана. Обсудим теорему 3. Условие регулярности (3.1) существенно. Если оно нарушается, то множество допустимых точек $x$ может быть пусто при $(p,y)$ сколь угодно близких к $(\overline p,\overline y)$. В этом случае в теореме 3 $\mu(p,y)=+\infty$ и, значит, утверждение о полунепрерывности сверху функции $\mu$ в точке $(\overline p, \overline y)$ нарушается. Приведем соответствующий пример. Пример 1. Пусть $X=Y=P=\mathbb{R}^1$, $f\colon \mathbb{R}^1\times \mathbb{R}^1\to \mathbb{R}^1$ – произвольная неотрицательная липшицевая функция, $f(0,0)=0$, $\overline x=\overline p= \overline y =0$, $F\colon \mathbb{R}^1\times \mathbb{R}^1\to \mathbb{R}^1$, В предположениях теоремы 3 функция $\mu$ может не быть полунепрерывной снизу (а значит, и непрерывной) в точке $(\overline p,\overline y)$. Приведем соответствующий пример. Пример 2. Пусть $X=\mathbb{R}^2$, $Y=P=\mathbb{R}^1$, $F(x,p)=x_1$, $f(x,p)=\max \{-1,px_2\}$, $x=(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2$, $p\in \mathbb{R}^1$. Тогда задача (1.1) принимает вид Здесь $p\in \mathbb{R}^1$ и $y\in \mathbb{R}^1$ – параметры. Пусть $\mu$ – функция, определенная по формуле (1.2). При $p\neq 0$ и $y\in \mathbb{R}$ точка $x=(y,x_2)$ при $x_2=-p^{-1}$ является допустимой, $f((y,-p^{-1}),p)=-1$ и $f(x,p)\geq -1$ для любого $x\in \mathbb{R}^2$. Значит, $\mu(p,y)=-1$ при любых $p\neq 0$ и $y\in \mathbb{R}$. При $p= 0$ и $y\in \mathbb{R}$ имеем $f(x,p)\equiv 0$, $x\in \mathbb{R}^2$, $p\in \mathbb{R}$, и множество допустимых точек непусто. Значит, $\mu(0,0)=0$. Следовательно, функция $\mu$ не полунепрерывна снизу в точке $(\overline p,\overline y)=(0,0)$. В то же время предположения теоремы 3 для рассматриваемой задачи выполняются. В частности, в (3.1) левая часть равна единице, а правая часть равна нулю. Приведем простой пример применения теоремы 3. Пример 3. Пусть $X=\mathbb{R}^2$, $P=Y=\mathbb{R}^1$, $F\colon \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^1\to \mathbb{R}^1$, $\overline x=(0,0)$, $\overline p=\overline y =0$, Пусть, кроме того, $f\colon \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ – произвольная липшицевая функция, для которой $f(0,0)=0$ и $f(x_1,x_2)\geq 0$ при $x=(x_1,x_2)$: $|x_1|=|x_2|$. В сделанных предположениях задача (1.1) принимает вид Здесь $p\in \mathbb{R}^1$ и $y\in \mathbb{R}^1$ – параметры.Непосредственно проверяется, что в приведенном примере выполнены все предположения теоремы 3. В частности, в силу предложений 1 и 2
$$
\begin{equation*}
a(F(\cdot,\overline p),\overline x) \geq 1 > 0= \limsup_{(x,p)\to (\overline x,\overline p)} b(F(\cdot,p)-F(\cdot,\overline p),\overline x).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому из теоремы 3 следует, что функция $\mu$, определенная по формуле (1.2), полунепрерывна сверху в точке $(\overline p, \overline y)=(0,0)$. Кроме того, поскольку функции $f$ и $F$ липшицевы в окрестности нуля, то для них выполняется (5.2) и (5.3) и, значит, выполняется неравенство (5.4) для $p$ и $y$, достаточно близких к нулю. Поскольку по построению $\mu(\overline p,\overline y)=\mu(0,0)=0$, то в силу (5.4) существует $\kappa > 0$ такое, что $\mu(p,y) \leq \kappa (|p| + |y|)$ для любых $p$ и $y$ достаточно близких к нулю. В приведенном примере значение функции $\mu$ в точках $(p,y)$, отличных от точки $(0,0)$, не известно, поскольку конкретная функция $f$ не задана. Тем не менее, применение теоремы 3 позволило показать, что функция $\mu$ полунепрерывна сверху в точке $(0,0)$ и получить ее оценку в окрестности этой точки. Отметим также, что в приведенном примере функция $f$ может не быть ограниченной снизу и минимум может не достигаться при некоторых значениях параметров $(p,y)$. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AruZhuMor23} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|