| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 6 научных статьях (всего в 6 статьях) Чебышевские множества с кусочно-непрерывной метрической проекцией И. Г. Царьковab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623050255 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеНам понадобятся следующие обозначения. Для произвольного множества $M$ в некотором линейном нормированном пространстве $X$ через $\varrho(y,M)$ обозначим расстояние до множества $M$, т.е. величину Через $P_Mx$ обозначим множество всех ближайших точек из $M$ для $x\in X,$ т.е. множество Отображение $P_M$ называют метрической проекцией на множество $M$. Через
$$
\begin{equation*}
B(x,r)=\bigl\{y\in X\mid \|y-x\|\le r\bigr\} \qquad\text{и}\qquad S(x,r)=\bigl\{y\in X\mid \|y-x\|= r\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
обозначим соответственно шар и сферу с центром $x$ радиуса $r\ge 0$. В случае $x=0$ и $r=1$ будем вместо указанных обозначений писать единичные шар и сферу: $B$ и $S$ соответственно. Через $\mathring {B}(x,r)$ обозначим открытый шар в линейном нормированном пространстве $(X,\|\cdot\|)$ с центром $x$ радиуса $r$, т.е. множество $\{y\in X\mid\|y-x\|<r\}$. Для произвольных $x\in X$ и $\delta>0$ рассмотрим также метрические $\delta$-проекции $P_M^\delta x$ и $\mathring {P}_M^\delta x$, представляющие собой соответственно множества
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bigl\{y\in M\mid \|y-x\| &\le\varrho(x,M)+\delta\bigr\}=M\cap B(x,\varrho(x,M)+\delta), \\ \bigl\{y\in M\mid\|y-x\| &<\varrho(x,M)+\delta\bigr\}=M\cap \mathring {B}(x,\varrho(x,M)+\delta). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для произвольного множества $M\subset X$ через $\operatorname{diam}M$ обозначим диаметр множества $M$, т.е. величину Целью этой работы является изучение геометрической структуры чебышевских множеств и связанных с этим понятием свойств устойчивости метрической проекции, а также свойств локальной и глобальной солнечности. Последние понятия значимы не только в теории аппроксимации (см. [1]–[10]), но и полезны в других областях математики. В частности, эти свойства играют особую роль в задачах геометрической оптики и в вопросах гладкости решений уравнения эйконала (см. [11]–[14]). В самой теории приближения они играют не только техническую роль, но и дают возможность получать характеризации элементов наилучших приближений для дальнейшего использования в алгоритмах численной аппроксимации. 2. Свойства регулярности и солнечностиВ работе [10] из теоремы 1 вытекает следующее утверждение. Теорема A. Пусть $(X,\|\cdot\|)$ – банахово пространство, $\varepsilon>0$, и пусть для всех точек $x\in B(z,R+\varepsilon)$: $r(x):=\varrho(x,M)>a$ выполнено неравенство Тогда если $R>r(z)\ge a$, то верна оценка Определение 1. Пусть $M$ – множество в линейном нормированном пространстве $X=(X,\|\cdot\|)$. Точка $x\in X\setminus M$ называется точкой $\gamma_r$-солнечности, если для любого $\delta>0$ шар $B(x,\varrho(x,M)-\delta)$ можно поместить в некоторый шар $B(z,r)$, $r>\varrho(x,M)$, не пересекающийся с множеством $M$. Замечание 1. Теорема 1 утверждает на самом деле, что точка $x$ является точкой $\gamma_R$-солнечности для множества $M$. Из работы [9; следствие 2.1] вытекает следующее утверждение. Теорема B. Пусть $(X,\|\cdot\|)$ – линейное нормированное пространство, $M\subset X$, метрическая проекция однозначна на некоторой окрестности и непрерывна в точке $x_0\in X$: $\varrho(x_0,M)>0$. Тогда Определение 2. Линейное нормированное проcтранство $X=(X,\|\cdot\|)$ назовем равномерно выпуклым, если для всех $\varepsilon>0$ и $a\in (0,1]$ существует $\delta>0$ такое, что для любых $f,g\in S$ из условия $\|f-ag\|+a\|g\|-\|f\|<\delta$ вытекает, что $\|f-g\|<\varepsilon$. Определение 3. Точка $x_0\in X\setminus M$ называется точкой локальной чебышевской солнечности (см. обзоры [2]–[4]), если существует единственная ближайшая точка $y_0$ из $M$, которая является ближайшей в $M$ для всех точек из пересечения некоторой окрестности $O(x_0)$ и луча $\ell_{y_0}$, выходящего из $y_0$ и проходящего через $x_0$. Точка $x_0\in X\setminus M$ называется точкой локальной солнечности, если $P_Mx_0\ne\varnothing$ и существует ближайшая точка $y_0$ из $M$, которая является ближайшей в $M$ для всех точек из пересечения некоторой окрестности $O(x_0)$ и луча $\ell_{y_0}$, выходящего из $y_0$ и проходящего через $x_0$. Если любая ближайшая точка из $M$ обладает этим свойством, то точка $x_0$ назывется точкой локальной строгой солнечности. Теорема 1. Пусть $X=(X,\|\cdot\|)$ – равномерно выпуклое пространство, $M\subset X$, и пусть точка $x\in X\setminus M$ является точкой $\gamma_{R'}$-солнечности и существования (т.е. $P_Mx\ne \varnothing$), $R'>\varrho(x,M)$. Тогда любая ближайшая точка $y\in M$ для $x$ является локальной точкой светимости, точнее для каждой точки пересечения луча $\ell:=\{y+t(x-y)\mid t\ge 0\}$ с шаром ${B}(y,R')$ точка $y$ является ближайшей. Более того, $P_Mz=\{y\}$ для всех точек $z$ пересечения $\ell\cap\mathring {B}(x,R')$. Доказательство. Докажем сначала, что $x$ – точка строгой локальной солнечности $M$. Рассмотрим произвольную точку $y\in P_Mx$. Пусть число $R>\varrho(x,M)$, $R'>R+3\delta$, где $\delta>0$ – достаточно малое число, которое будет выбрано далее и затем будет устремлено к нулю (вместе с числом $\varepsilon>0$). Докажем, что все точки луча $\ell:=\{y+t(x-y)\mid t\ge 0\}$, для которых расстояние до точки $y$ не превосходит $R$, имеют точку $y$ в качестве ближайшей в $M$. Предположим противное, что существует точка $z\in\ell$ такая, что $\|y-z\|=R$, и точка $q\in M$ такая, что $\|q-z\|=R-\sigma$ для некоторого $\sigma>0$. Без потери общности будем считать, что $\varrho(x,M)=1$, $x=0$. В этом случае $R>1$.
Пусть $\varepsilon\in(0,\sigma/(4R^2))$. В силу локальной равномерной выпуклости проcтранства $X$ для всех $g\in S$, $\varepsilon>0$ и $a\in(0,1]$ существует $\delta(\varepsilon,a)=\delta(\varepsilon,a,g)>0$ такое, что для любых $f\in S$ из условия $\|f-ag\|+a\|g\|-\|f\|<\delta(\varepsilon,a)$ вытекает, что $\|g-f\|<\varepsilon$. Пусть
$$
\begin{equation*}
a\ge\frac{1}{2R}\,,\qquad \delta=\min\biggl\{\frac{1}{2}\,\delta\biggl(\varepsilon,\frac{1}{2R}\biggr), \frac{\sigma}{4R}\,,\frac{1}{2}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из $\gamma_{R'}$-солнечности $M$ вытекает, что для $R'>R+3\delta$ найдутся $z_\delta\in X$ такие, что $B(z_\delta,R')\cap M=\varnothing$ и $B(z_\delta,R')\supset B(0,1-\delta)$. Напомним, что условие $B(u_1,r_1)\subset B(u_2,r_2)$ равносильно условию $\|u_1-u_2\|\le r_2-r_1$.
Пусть $w$ – точка пересечения $S(0,1-\delta)$ и луча $\{ t(0-z_\delta)\mid t\ge 0\}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
B(z_\delta,R')\supset B(z_\delta,\|w-z_\delta\|)\supset B(0,1-\delta)
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
Возьмем точку $z'\in[z_\delta,w]$ такую, что $R-\delta=\|w-z'\|$; в этом случае
$$
\begin{equation*}
B(z_\delta,\|w-z_\delta\|)\supset B(z',\|w-z'\|)\supset B(0,1-\delta) \qquad\text{и}\qquad \|-z'\|=R-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, Рассмотрим точки $y',y''\in [0,y]$ такие, что $\|y'\|=1-\delta$ и $y''\in S(z',R-\delta)$; тогда $y''\in [y',y]$.
Возьмем в качестве $f$ элемент $(y''-z')/(R-\delta)$, а в качестве $g$ возьмем элемент $(w-z')/(R-\delta)$ ($f$ и $g$ упомянуты выше). Так как $0-z'=a(w-z')$ при $a=(R-1)/(R-\delta)$, то $ag=-z'/(R-\delta)$, и
$$
\begin{equation*}
\|f-ag\|=\frac{1}{R-\delta}\|(y''-z')-(-z')\| =\frac{\|y''\|}{R-\delta}\le\frac{1}{R-\delta}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая, что $\|ag\|=(R-1)/(R-\delta)$, мы получим, что
$$
\begin{equation*}
\|f-ag\|+\|ag\|-\|f\|\le\frac{\delta}{R-\delta}<2\delta.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\varepsilon>\|g-f\|=\frac{\|y''-w\|}{R-\delta} \qquad\text{и}\qquad \|w-y'\|\le\|y''-y'\|+\|w-y''\|<\delta+\varepsilon(R-\delta).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу подобия треугольников $\triangle 0y'w$ и $\triangle z'0z$ верно равенство поэтому Отсюда чего не может быть, так как шар $B(z',R-\delta)$ не пересекается с $M$. Таким образом, мы доказали, что для точки $z\in \ell$ такой, что $\|y-z\|=R$, точка $y$ является ближайшей для $z$. Из произвольной малости числа $\delta$ вытекает, что число $R$ можно считать сколь угодно близким к $R'$, откуда следует, что для любой точки $z\in \ell$ такой, что $\|y-z\|\le R$, точка $y$ является ближайшей для $z$. И поэтому шар $B(z,R')$, $\|y-z\|=R'$, является опорным в точке $y$ к множеству $M$, и поскольку сфера $S(z,R')$ не содержит невырожденных отрезков, то $\mathring {B}(z,R')\supset B(0,1)\setminus\{y\}$. Более того, $\mathring {B}(z,R')\supset B(y+t(x-y),t)\setminus\{y\}$ для всех $t\in[0,R')$. Поэтому точка $y$ является единственной ближайшей для каждой точки пересечения луча $\ell:=\{y+t(x-y)\mid t\ge 0\}$ с шаром $\mathring {B}(x,R')$. Теорема доказана. Определение 4. Пусть $\varnothing\ne M\subset X$. Точка $x\in X\setminus M$ называется точкой солнечности, если существует точка $y\in P_Mx\ne\varnothing$ (называемая точкой светимости) такая, что $y\in P_M((1-\lambda)y+\lambda x)$ для всех $\lambda\ge 0$ (это геометрически означает, что из точки $y$ исходит луч (солнечный луч), проходящий через $x$, для каждой точки которого $y$ является ближайшей из $M$. Точка $x\in X\setminus M$ называется точкой строгой солнечности, если $P_Mx\ne\varnothing$ и каждая точка $y\in P_Mx$ является точкой светимости. Если все точки из $K\subset X\setminus M$ являются точками солнечности (строгой солнечности), то множество $M$ называют солнцем (строгим солнцем) относительно множества $K$. В случае, когда $K=X\setminus M$, говорят, что $M$ – солнце (строгое солнце). Чебышевским множеством называется такое множество, для которого каждая точка пространства $X$ имеет единственную ближайшую в этом множестве. Чебышевским солнцем называется чебышевское множество, являющееся строгим солнцем. Замечание 2. Если множество $M$ является чебышевским и каждая точка $X\setminus M$ является точкой локальной чебышевской солнечности, то $M$ – чебышевское солнце (см. обзоры [2]–[4]). Отметим также, что всякое ограниченно компактное чебышевского множества $M$ является солнцем. Для случая равномерно выпуклых пространств неизвестно, является ли чебышевское множество солнцем. Для гильбертовых бесконечномерных пространств этот вопрос равносилен до сих пор нерешенной задаче о выпуклости (или невыпуклости) чебышевских множеств. Определение 5. Точка $x_0\in X\setminus M$ называется точкой регулярности, если существует ее окрестность $O_\delta(x_0)$, на которой метрическая проекция однозначна и непрерывна. Точки из $X\setminus M$, не являющиеся регулярными, будем называть особыми. Отметим, что множество всех особых точек, объединенное с множеством $M$, является замкнутым в пространстве $X$. Замечание 3. Из теорем 1, A и B вытекает, что окрестность $O_\delta(x_0)$ из определения 5 состоит из точек локальной строгой солнечности в случае равномерно выпуклого пространства $X$. Замечание 4. Отметим, что утверждение теоремы 1, в частности, состоит в том, что точка $x$ является точкой локальной чебышевской солнечности для множества $M$. Нам понадобится одно из эквивалентных определений равномерно выпуклого пространства. Определение 6. Линейное нормированное проcтранство $X=(X,\|\cdot\|)$ назовем равномерно выпуклым, если для всех $r\in(0,1]$ существует функция $\omega=\omega_r\colon[0,2]\to[0,2]$, $\omega(\delta)\to 0$ при $\delta\to 0$, такая, что для всех $x\in B(0,1)$: $\|x\|\in[r,1]$ и $\delta\in[0,1]$. Нам понадобится только то, что из определения 2 вытекает утверждение определения 6. Зафиксируем произвольное число $r\in(0,1]$ и рассмотрим произвольный элемент $x\in B(0,1)$: $\|x\|\in[r,1]$. Для произвольного $\varepsilon>0$ найдется $\delta':=\delta/(1+\delta)$ (для некоторого $\delta\in(0,1)$, т.е. $\delta=\delta'/(1-\delta')$) такое, что для всех $a\in[r/(1+\delta),1]$ верно неравенство $\|f-g\|<\varepsilon $, если $\|f-ag\|+a\|g\|-\|f\|\le \delta'$. Пусть $g=x/\|x\|$, рассмотрим произвольную точку $f'\in B(x,1-\|x\|+\delta))\setminus \mathring {B}(0,1)$ и положим $f:=f'/\|f'\|$. В этом случае $1\le \|f'\|\le 1+\delta$ и верно неравенство
$$
\begin{equation*}
\|f'-x\|+\|x\|-\|f'\|\le 1-\|x\|+\delta+\|x\|-1=\delta.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда
$$
\begin{equation*}
\|f-ag\|+a\|g\|-\|f\|\le\frac{\delta}{\|f'\|}\le\frac{\delta}{1+\delta}=\delta',
\end{equation*}
\notag
$$
где $a=\|x\|/\|f'\|\in[r/(1+\delta),1]$ и поэтому $\|f'-g\|\le\|f'-f\|+\|f-g\|\le\delta+ \varepsilon$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{diam}\bigl(B(x,1-\|x\|+\delta)\bigr)\setminus \mathring {B}(0,1)\le\varepsilon+\delta.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым доказана необходимость условия из определения 6. Замечание 5. Отметим, что если $a\in(0,R]$, то для всех $x\in B(0,R)$ таких, что $\|x\|\in[a,R]$, и $\delta\in[0,R]$. Следствие 1. Пусть $X=(X,\|\cdot\|)$ – равномерно выпуклое пространство, $M\subset X$, $x\in X\setminus M $, $y\in P_Mx$, и $\{x_n\}$ – некоторая последовательность, сходящаяся к точке $x$. Предположим, что $\{y_n\}\subset M$ – последовательность, для которой найдется последовательность точек $\{z_n\}$ такая, что $y_n\in P_Mz_n$, $n\in\mathbb N$, и такая, что $x_n\in[y_n,z_n)$, $n\in\mathbb N$, и $\|z_n-x_n\|\ge\delta$ для некоторого $\delta>0$. Тогда Доказательство. Без потери общности можно считать, что $\|z_n-x_n\|=\delta$. Пусть $\omega(\,\cdot\,)$ – функция для $X$ из замечания 5. Учитывая, что $y\in P_M^{\varepsilon_n}x_n$ для $\varepsilon_n:=\|x-x_n\|$ в силу замечания 1 мы получим, что где Следствие доказано. Из теорем A, B и 1 непосредственно вытекает следующее утверждение. Следствие 2. В равномерно выпуклом банаховом пространстве $X$ для любого множества $M\subset X$, обладающего непрерывной однозначной метрической проекцией на некоторой окрестности $O(x_0)$ некоторой точки $x_0\in X\setminus M$, выполняется свойство локальной чебышевской солнечности, т.е. для любой точки $x\in O(x_0)$ существует (единственная ближайшая) $y$ из $M$ такая, что $y$ будет ближайшей в $M$ для всех точек из пересечения окрестности $O(x_0)$ и луча $\ell_y$, выходящего из $y$ и проходящего через $x$. Теорема 2. Пусть $X$ – равномерно выпуклое линейное нормированное пространство, $M\subset X$, точка $x_0\in X\setminus M$ является точкой регулярности, $P_Mx_0=\{y_0\}$. Тогда все точки полуинтервала $(y_0,x_0]$ являются точками регулярности. Доказательство. Зафиксируем произвольное $\lambda\in[0,1)$. Пусть $\varphi(x):=x+\lambda(P_Mx-x)$, тогда это отображение непрерывно на некоторой окрестности $O_\delta(x_0)$ по свойству регулярности точки $x_0$. Положим Учитывая равенство $P_Mx=P_Mz_\lambda$ для $z_\lambda=x+\lambda(P_Mx-x)=\varphi(x)$ и равенство $P_My=P_M\psi(y)$, мы получим, что отображения взаимно обратны.
Докажем от противного, что отображение $\psi$ непрерывно. Предположим, что существует последовательность $\{x_n\}\in O_\delta(x_0)$ такая, что $\|x_n-x_m\|\ge\varepsilon$ для любых различных $m,n\in\mathbb{N}$ для некоторого $\varepsilon>0$, и последовательность $\{z_n:=x_n+\lambda(y_n- x_n)\}$ сходится к $z=z_\lambda=x+\lambda(P_Mx-x)$ при $n\to\infty$, где $P_Mx_n=\{y_n\}$, $P_Mx=\{y\}$, $n\in\mathbb{N}$. В силу следствия 1 $\|y-y_n\|\to 0$ при $n\to\infty$, тогда
$$
\begin{equation*}
0\leftarrow\|z-z_n\|+\lambda\|y-y_n\|\ge(1-\lambda)\|x-x_n\|, \qquad n\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
что противоречит выбору последовательности $\{x_n\}$.
Таким образом, функция $\psi$ непрерывна, и функция $\varphi$ гомеоморфизм, а, следовательно, множество $U_\lambda$ – топологическая окрестность точки $z_\lambda$. Для каждой точки $z\in U_\lambda$ верно $P_Mz=P_M\psi(z)$, поэтому метрическая проекция $P_M$ непрерывна на $U_\lambda$ и, следовательно, точка $z_\lambda^0:=x_0+\lambda(y_0-x_0)$ является регулярной. Теорема доказана. Для каждой регулярной точки $x\in X\setminus M$ для множества $M$ на луче где $P_Mx=\{y\}$, через $\varpi=\varpi_x\in\ell_x$ обозначим особую точку (возможно бесконечную) такую, что $x\in (y,\varpi)$ и на интервале $(y,\varpi)$ нет других особых точек.3. Множества с кусочно-непрерывной метрической проекциейОпределение 7. Всякое множество существования $M\subset X$, представленное в виде не более чем счетного объединения множеств семейства $\{M_j\}$, имеющих непрерывную метрическую проекцию $P_j=P_{M_j}$ в пространстве $X$, назовем множеством с кусочно-непрерывной метрической проекцией. Отметим, что Теорема 3. Пусть $X$ – равномерно выпуклое банахово пространство, $M\subset X$ – чебышевское множество с кусочно-непрерывной метрической проекцией. Тогда множество $M$ обладает непрерывной метрической проекцией. Доказательство. Через $E_j$ обозначим множества всех точек $x\in X$ таких, что $\varrho(x,M_j)=\varrho(x,M)$. Тогда $P_Mz=P_j(z)$ для всех точек множества $z\in E_j$ и $P_j(z)$ одноточечно, а само множество $E_j$ замкнуто в $X$. Покажем, что если некоторый шар $B(x_0,r)$, $r>0$, содержится в объединении $\bigcup_{j=1}^NE_j$, то все точки внутренности этого шара являются точками непрерывности метрической проекции $P_M$. Действительно, возьмем произвольные точку $x\in\mathring {B}(x_0,r)$ и последовательность $\{x_n\}\subset\mathring {B}(x_0,r)$, сходящуюся к точке $x$; тогда начиная с некоторого номера эта последовательность будет состоять из конечного числа последовательностей $\{y^j_{n_k}\}\subset E_j$ для некоторых индексов $j$ из диапазона $1,\dots,N$. Тогда Отсюда следует, что $P_Mx_n\to P_Mx$ при $n\to\infty$, что влечет непрерывность метрической проекции в любой точке $x\in\mathring {B}(x_0,r)$.
Пусть $\mathscr R$ – множество всех регулярных точек для $M$, тогда на этом открытом множестве метрическая проекция $P_M$ непрерывна по определению. Рассмотрим замкнутое множество $T:=X\setminus(\mathscr R\cup M)$ относительно множества $X\setminus M$. Покажем методом от противного, что множества $F_j:=E_j\cap T$ являются нигде не плотными подмножествами в $T$. Предположим, что существует точка $x_0\in T$ и шар $\mathring {B}(x_0,r)$, для которых $V:=T\cap \mathring {B}(x_0,r)\subset E_j$ для некоторого индекса $j$. Тогда метрическая проекция $P_M=P_j$, суженная на $V$, непрерывна в каждой точке $V$. На множестве $W:=\mathscr R\cap\mathring {B}(x_0,r)$ метрическая проекция непрерывна по определению, поэтому для доказательства непрерывности метрической проекции в шаре $\mathring {B}(x_0,r)$ достаточно показать, что для любых точки $x\in V$ и последовательности $\{x_n\}\subset W$, сходящейся к точке $x$, выполнено условие $P_Mx_n\to P_Mx=P_j(x)$. Докажем это методом от противного. Предположим, что есть последовательность $\{x_n\}\subset W$, сходящаяся к точке $x$, для которой $P_Mx_n\nrightarrow P_Mx=P_j(x)$, $n\to\infty$. Для каждой точки $x_n$, $n\in\mathbb N$, есть особая точка $\varpi_n:=\varpi_{x_n}$ (см. обозначение перед определением 7) на луче $\ell_{x_n}:=\{y_n+t(x_n-y_n)\mid t>0\}$, где $P_Mx_n=\{y_n\}$, такая, что $x_n\in (y_n,\varpi_n)$ и все точки интервала $(y_n,\varpi_n)$ являются регулярными. Возможны две ситуации: или расстояние от $x_n$ до $\varpi_n$ стремиться к нулю при $n\to\infty$, или найдется подпоследовательность (будем ее также обозначать через $\{x_n\}$), для которой это расстояние отделено снизу некоторым числом $\delta>0$. Рассмотрим первый случай. В этом случае $\varpi_n\in V$, начиная с некоторого номера $N$. Тогда $P_M\varpi_n=P_j(\varpi_n)$, $n\ge N$, а следовательно, и $P_Mx_n=P_j(x_n)$, $n\ge N$. Поэтому $P_Mx_n\to P_Mx=P_j(x)$, $n\to\infty$, противоречие. Рассмотрим второй случай. В этом случае из следствия 1 вытекает, что $y_n\to y$, $n\to\infty$, где $P_Mx_n=\{y_n\}$, $P_Mx=\{y\}$, противоречие. Таким образом, для любых точки $x\in V$ и последовательности $\{x_n\}\subset W$, сходящейся к точке $x$, выполнено условие $P_Mx_n\to P_Mx=P_j(x)$. Отсюда метрическая проекция $P_M$ непрерывна на шаре $\mathring {B}(x_0,r)$, что противоречит определению точки $x_0\in T$. Тем самым, мы доказали, что множества $F_j:=E_j\cap T$ являются нигде не плотными подмножествами в $T$. Но поскольку $T\subset\bigcup_jE_j$, то последнее утверждение противоречит теореме Бэра. Отсюда следует, что $T=\varnothing$, а следовательно, все точки из $X\setminus M$ регулярны. Учитывая, что все точки замкнутого множества $M$ являются точками непрерывности метрической проекции, мы получим, что отображение $P_M$ непрерывно на всем $X$. Теорема доказана. Из теорем 1 и 3, следствия 2 и замечаний 3 и 4 вытекает Следствие 3. Пусть $X$ – равномерно выпуклое банахово пространство, и пусть $M\subset X$ – чебышевское множество с кусочно-непрерывной метрической проекцией. Тогда множество $M$ является чебышевским солнцем. Если дополнительно $X$ – гладкое пространство, то $M$ – выпуклое множество. Отметим, что без дополнительных условий на метрическую проекцию чебышевских множеств в бесконечномерных равномерно выпуклых (и гладких) пространствах соответствующие утверждения из следствия 3 до сих пор не доказаны и не опровергнуты. Для произвольных непустых множеств $A,B\subset X$ через $\rho(A,B)$ обозначим величину Замечание 6. На самом деле, из доказательства теоремы 3 видно, что для случая, когда $M$ – чебышевское множество, условия на все $M_j$ можно ослабить. Достаточно предполагать, что метрическая проекция $\rho$-непрерывна, т.е. для всех $x_0\in X$ и $j$. Определение 8. Пусть $X=(X,\|\cdot\|)$ – линейное нормированное пространство, $M\subset X$, точка $x\in X$ называется точкой аппроксимативной компактности для множества $M$, если всякая минимизирующая последовательность $\{y_n\}\subset M$ (т.е. такая, что $\|x -y_n\|\to\varrho(x,M)$, $n\to\infty$) имеет подпоследовательность $\{y_{n_k}\}$, сходящуюся к некоторой точке $y\in M$ при $k\to\infty$. Если все точки $x\in X$ являются точками аппроксимативной компактности для множества $M$, то множество $M$ называется аппроксимативно компактным. Следствие 4. Пусть $X$ – равномерно выпуклое банахово пространство, и пусть $M\subset X$ – чебышевское множество, представляющее собой не более чем счетное объединение аппроксимативно компактных множеств. Тогда множество $M$ является чебышевским солнцем. Если дополнительно $X$ – гладкое пространство, то $M$ – выпуклое множество. Определение 9. Пусть $X=(X,\|\cdot\|)$ – линейное нормированное пространство, множество $M\subset X$ называется локально аппроксимативно компактным (соответственно локально слабо компактным), если для любой точки $x\in M$ существует ее замкнутая окрестность $U\subset X$, для которой множество $M\cap U$ является аппроксимативно компактным (соответственно слабо компактным). Отметим, что слабо компактное множество в равномерно выпуклом банаховом пространстве является аппроксимативно компактным. Поэтому локально слабо компактное множество является локальным аппроксимативно компактным в равномерно выпуклом банаховом пространстве (см. [15]). Следствие 5. Пусть $X$ – равномерно выпуклое банахово пространство, и пусть $M\subset X$ – сепарабельное локально аппроксимативно компактное чебышевское множество. Тогда множество $M$ является чебышевским солнцем. Если дополнительно $X$ – гладкое пространство, то $M$ – выпуклое множество. Доказательство. Множество $M$ покрывается набором замкнутых окрестностей, пересечение каждой из которых с $M$ является аппроксимативно компактным множеством. Из сепарабельности множества $M$ вытекает, что найдется счетное подпокрытие $\{U_{x_i}\}_{i\in\mathbb N}$. Положим $M_i:=U_{x_i}\cap M$, $i\in\mathbb N$. Тогда $M=\bigcup_{i\in \mathbb N}M_i$ – чебышевское множество, представляющее собой не более чем счетное объединение аппроксимативно компактных множеств. Из следствия 4 вытекает требуемое утверждение. Следствие доказано. Для произвольных непустых множеств $A,B\subset X$ через $d(A,B)$ обозначим одностороннее расстояние, т.е. Будем по определению полагать, что $d(A,B)=0$ в случае $B=\varnothing$.Определение 10. Пусть $(E,\tau)$ – произвольное топологическое пространство. Отображение $F\colon E\to 2^X\setminus\{\varnothing\}$ назовем устойчивым в точке $v\in E$, если для любых $\varepsilon,R>0$ и $y\in X$: $F(v)\cap B(y,R)\ne\varnothing$ найдется окрестность $O(v)$, для всех точек $w$ которой верно неравенство Лемма 1. Пусть $(E,\tau)$ – топологическое пространство, отображение $F\colon E\to 2^X\setminus\{\varnothing\}$ устойчиво в точке $t\in E$, точка $x\in X$ является точкой аппроксимативной компактности множества $F(t)$ и $\{t_n\}\subset E$ такая, что $t_n\to t$, $n\in\mathbb N$. Тогда для любой бесконечно малой последовательности неотрицательных чисел $\{\theta_n\}$ Доказательство. Пусть
$$
\begin{equation*}
N=P_{F(t)}x \qquad\text{и}\qquad N_n=F(t_n)\cap B(x,\varrho(x,F(t))+\theta_n), \quad n\in\mathbb N.
\end{equation*}
\notag
$$
Достаточно считать, что $N_n\ne \varnothing$. Предположим противное, что утверждение леммы не верно и, следовательно, найдется некоторое $\delta>0$, для которого существует последовательность $\{y_n\}$ такая, что $y_n\in N_n$, $n\in\mathbb N$, и такая, что $\varrho(y_n,N)\ge\delta$, начиная с некоторого номера $m$. По свойству аппроксимативной компактности (см. [3]) найдется столь малое $\theta>0$, что
$$
\begin{equation*}
B\bigl(x,\varrho(x,F(t))+\theta\bigr)\cap F(t)\subset O_{\delta/3}(N).
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая, что мы получим, что с некоторого номера что противоречит построению последовательности $\{y_n\}$. Лемма доказана. Теорема 4. Пусть $(E,\tau)$ – компактное топологическое пространство, отображение $F\colon E\to 2^X\setminus\{\varnothing\}$ устойчиво в каждой точке $t\in E$ и $F(t)$ – аппроксимативно компактное множество в $X$ для всех $ t\in E$. Тогда множество $M:=F(E)$ аппроксимативно компактно в $X$. Доказательство. Пусть $x\in X$ – произвольная точка, $r=\varrho(x,M)$. В силу устойчивости отображения $F$ в каждой точке множества $E$ множество
$$
\begin{equation*}
T:=\bigl\{t\in E\mid\varrho(x,F(t))=\varrho(x,M)\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
замкнуто в $E$, поскольку множество $\{t\in E\mid\varrho(x,F(t))>\varrho(x,M)\}$ открыто в $E$. Следовательно, $T$ компактно (как замкнутое подмножество компакта). Возьмем произвольную последовательность $\{y_n\}\subset M$ такую, что $\|y_n-x\|\to\varrho(x,M)$ при $n\to\infty$. Пусть $t_n\in E$ такова, что $y_n\in F(t_n)$, $n\in\mathbb N$. В силу компактности множества $E$ найдется частичный предел $t\in E$ последовательности $\{t_n\}$. Для произвольных $\varepsilon,\theta>0$ найдется окрестность $O(t)$ такая, что для всех точек $u\in O(t)$ верно неравенство
$$
\begin{equation*}
d\bigl(F(t)\cap B(x,\varrho(x,M)+\theta),F(u)\cap B(x,\varrho(x,M)+\theta)\bigr)<\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Существует сколь угодно большой номер $N$, для которого $t_N\in O(t)$ и выполнена оценка $\|y_N-x\|<\varrho(x,M)+\theta$; следовательно,
$$
\begin{equation*}
\varrho(x,F(t))\le\varrho(x,F(t_N))+\varepsilon\le\|y_N-x\|+\varepsilon <\varrho(x,M)+\theta+\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда $t\in T$. В силу леммы 1 где $\theta_n:=\|y_n-x\|-\varrho(x,M)\to 0$, $n\to\infty$. Поэтому, учитывая, что $y_n\in F(t_n)\cap B(x,\varrho(x,M)+\theta_n)$, $n\in\mathbb N$, мы получим $\varrho(y_n,P_{F(t)}x)\to 0$ при $n\to\infty$. Поэтому $P_{F(t)}x\subset P_Mx$, и в силу того, что $x$ – точка аппроксимативной компактности, мы получим, что $P_{F(t)}x$ компактно. Отсюда и из условия $\varrho(y_n,P_{F(t)}x)\to 0$ при $n\to\infty$ вытекает, что последовательность $\{y_{n}\}$ имеет сходящуюся подпоследовательность $\{y_{n_k}\}$ к некоторой точке $y_0\in P_{F(t)}x\subset P_Mx\subset M$. Из произвольности выбора последовательности $\{y_n\}$ следует, что $x$ – точка аппроксимативной компактности множества $M$. Из произвольности выбора точки $x$ следует аппроксимативная компактность $M$. Теорема доказана. Из следствия 4 и теоремы 4 вытекает следующее утверждение. Следствие 6. Пусть $X$ – равномерно выпуклое банахово пространство, $(E_j,\tau_j)$ – компактные топологические пространства, $j\in\mathbb N$, отображения $F_j$: $E_j\to 2^X\setminus\{\varnothing\}$ устойчивы в каждой точке $t\in E_j$ и $F_j(t)$ – аппроксимативно компактные множества в $X$ для всех $t\in E_j$, $j\in\mathbb N$. Пусть $M=\bigcup_jF_j(E_j)$ – чебышевское множество. Тогда множество $M$ является чебышевским солнцем. Если дополнительно $X$ – гладкое пространство, то $M$ – выпуклое множество. Далее мы рассмотрим множества обобщенных дробей и произведений и применим к этим множествам полученные выше результаты. При этом мы будем использовать известный факт, что всякое замкнутое выпуклое непустое множество является аппроксимативно компактным в равномерно выпуклом пространстве (см. [3]). Здесь также надо отметить, что большинство классических нелинейных объектов, использующихся для аппроксимации, являются невыпуклыми. Пример 1 (приближение произведениями). Пусть $G$ – непустое ограниченно компактное подмножество $L_\infty=L_\infty(\Omega,\mu)$, $V_j\subset L_p=L_p(\Omega,\mu)$ – выпуклое замкнутое множество, $1<p<\infty$, $j\in\mathbb N$. Рассмотрим множества Пример 2 (приближение обобщенными дробями). Пусть где – непустой компакт в $L_\infty$, $j\in \mathbb N$, $V_j\subset L_p$ – выпуклое замкнутое множество, $1<p< \infty$, $j\in\mathbb N$. Через $\mathscr R$ обозначим множество дробей Так же, как и в предыдущем примере, из следствия 6 можно доказать, что множество $\mathscr R$ является чебышевским множеством в $L_p$ тогда и только тогда, когда оно является замкнутым и выпуклым. Пример 3 (приближение ридж-функциями). Пусть $\mathscr A$ – подмножество в $\mathbb R^m$, допускающее исчерпание компактами (т.е. представляющее собой счетное объединение компактов). Рассмотрим множество функций из $L_p(\mathbb R^m)$, $1<p<\infty$, 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tsa23} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|