| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Сходимость ряда Фурье по полиномам Мейкснера–Соболева и аппроксимативные свойства его частичных сумм Р. М. Гаджимирзаев Дагестанский федеральный исследовательский центр Российской академии наук, г. Махачкала
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624030027 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеВ настоящее время теория полиномов, ортогональных по Соболеву, продолжает интенсивно развиваться. В частности, это связано с тем, что системы полиномов, ортогональные относительно соболевских скалярных произведений, и ряды Фурье по ним обладают важными для приложений свойствами, которые отсутствуют у классических ортогональных систем [1]–[4]. В литературе можно встретить различные подходы к построению систем полиномов, ортогональных по Соболеву, отличающихся выбором тех или иных скалярных произведений. Приведем некоторые виды скалярных произведений, связанные с полиномами Мейкснера. Например, в [5], [6] рассмотрено скалярное произведение Соболева следующего вида:
$$
\begin{equation*}
\langle f,g\rangle_S=\sum_{x=0}^{\infty}f(x)g(x)w(x)+\lambda\sum_{x=0}^{\infty}\Delta f(x)\Delta g(x)w(x),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\lambda\geqslant 0$, $\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)$, $w(x)$ – вес Мейкснера, а в [7], [8] были рассмотрены частные случаи этого скалярного произведения, а именно, в [7] вместо второй суммы было рассмотрено одно слагаемое $\lambda f(0)g(0)$, в [8] – два слагаемых $Mf(0)g(0)+N\Delta f(0)\Delta g(0)$, $M,N\geqslant 0$. При этом было показано, что полиномы $\{Q_n(x)\}$, ортогональные относительно этих скалярных произведений, можно определить посредством равенства $Q_n(x)=\sum_{k=0}^{n}c_{k,n}M_k^\alpha(x)$, где $M_k^\alpha(x)$ – полином Мейкснера степени $k$. Далее, в [4], [9] было рассмотрено скалярное произведение следующего вида:
$$
\begin{equation}
\langle f,g\rangle_S=\sum_{k=0}^{r-1}\Delta^kf(0)\Delta^kg(0) +\sum_{x=0}^\infty\Delta^rf(x)\Delta^rg(x)w(x)
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
и показано, что полиномы, ортонормированные относительно (1.1), можно определить посредством равенств
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, m_{r,n}^{\alpha}(x)=\frac{x^{[n]}}{n!}, \qquad n=0,\dots,r-1, \\ m_{r,n}^{\alpha}(x)= \frac{1}{\sqrt{h_{n-r}^\alpha}(r-1)!}\sum_{t=0}^{x-r}(x-1-t)^{[r-1]}M_{n-r}^\alpha(t), \qquad x\geqslant r, \quad n\geqslant r, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $x^{[n]}=x(x-1)\cdots(x-n+1)$. В дальнейшем нам понадобятся некоторые обозначения. Пусть $1\leqslant p<\infty$, $l_w^p(\Omega)$ – пространство дискретных функций $f$, заданных на сетке $\Omega=\{0, 1, \dots\}$ и для которых $\|f\|_{l_{w}^p(\Omega)}^p=\sum_{x\in\Omega}|f(x)|^pw(x)<\infty$, а $W^r_{l_{w}^p(\Omega)}$ – пространство дискретных функций $f$, заданных на сетке $\Omega$ и таких, что $\Delta^rf\in l_{w}^p(\Omega)$ и $\lim_{x\to+\infty}|f(x)|w(x)$=0. В [9] была доказана следующая В той же работе было показано, что ряд Фурье функции $f\in W^r_{l_w^2(\Omega)}$ сходится поточечно на $\Omega$. Аналогичные результаты были получены в [10] для полиномов Шарлье–Соболева и ряда Фурье по ним. Другие виды скалярных произведений Соболева, связанные с полиномами Мейкснера, можно найти в [11], [12]. Результаты, полученные в вышеприведенных работах [4]–[12], в основном связаны с исследованием распределения нулей полиномов Мейкснера–Соболева, изучением их алгебраических, асимптотических и дифференциальных свойств. В то же время остаются мало изученными вопросы сходимости ряда Фурье по полиномам Мейкснера–Соболева и аппроксимативные свойства его частичных сумм. В настоящей работе эти вопросы рассмотрены для системы полиномов $\{m_{n,N}^{\alpha,r}(x)\}$ (см. (3.1), (3.2)), ортонормированной относительно скалярного произведения Соболева
$$
\begin{equation*}
\langle f,g\rangle_S=\sum_{k=0}^{r-1}\Delta_\delta^kf(0)\Delta_\delta^kg(0) +\sum_{x\in\Omega_\delta}\Delta_\delta^rf(x)\Delta_\delta^rg(x)\rho_N(x),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Omega_\delta=\{0,\delta,2\delta,\dots \}, \qquad \delta=\frac 1N, \qquad N>0, \\ \rho_N(x)=e^{-x}\frac{\Gamma(Nx+\alpha+1)}{\Gamma(Nx+1)}(1-e^{-\delta})^{\alpha+1}, \qquad \alpha>-1, \qquad \Delta_\delta f(x)=f(x+\delta)-f(x) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и порожденной системой модифицированных полиномов Мейкснера $\{m_{n,N}^{\alpha}(x)\}$. Из теоремы A следует, что система полиномов $\{m_{n,N}^{\alpha,r}(x)\}$ полна в пространстве $W^r_{l^2_{\rho_N}(\Omega_\delta)}$. Нетрудно проверить, что ряд Фурье функции $f\in W^r_{l^2_{\rho_N}(\Omega_\delta)}$ по этой системе имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
f(x)\sim \sum_{k=0}^{r-1}\Delta_\delta^kf(0)\frac{(Nx)^{[k]}}{k!}+\sum_{k=r}^\infty c^\alpha_{r,k}(f)m^{\alpha,r}_{k,N}(x),
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где
$$
\begin{equation}
c^\alpha_{r,k}(f)=\sum_{t\in\Omega_\delta}\Delta_\delta^r f(t)m^\alpha_{k-r,N}(t)\rho_N(t), \qquad k\geqslant r.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Из неравенства Гёльдера следует, что коэффициенты $c^\alpha_{r,k}(f)$ существуют для любой функции $f\in W^r_{l^p_{\rho_N}(\Omega_\delta)}$, $p\geqslant 1$. В связи с этим возникает вопрос о сходимости ряда Фурье (1.2) к функции $f\in W^r_{l^p_{\rho_N}(\Omega_\delta)}$. Справедлива следующая Теорема 1. Пусть $\alpha>-1$, $1\leqslant p<\infty$. Тогда если $f\in W^r_{l^p_{\rho_N}(\Omega_\delta)}$, то при $p\geqslant2$ ряд (1.2) сходится поточечно к $f$ на $\Omega_\delta$. Если же $1\leqslant p<2$, то существуют сетка $\Omega_\delta$ и функция $f\in W^r_{l^p_{\rho_N}(\Omega_\delta)}$, ряд Фурье которой расходится в некоторой точке $x_0\in \Omega_\delta$. Доказательство теоремы 1 приведено в п. 3. Замечание 1. Отметим, что в работах [9], [10] был исследован вопрос о поточечной сходимости на $\Omega$ ряда Фурье по полиномам Мейкснера–Соболева и Шарлье–Соболева к функции $f\in W^r_{l_w^2(\Omega)}$. В теореме 1 этот вопрос исследован для $1\leqslant p<\infty$. Далее, через $S_{n+r,N}^{0,r}(f,x)$ обозначим частичную сумму ряда (1.2) при $\alpha=0$. Рассмотрим задачу об оценке величины $e^{-x/2}x^{-r/2+1/4}|f(x)-S_{n+r,N}^{0,r}(f,x)|$. С помощью неравенства Лебега
$$
\begin{equation*}
e^{-x/2}x^{-r/2+1/4}\bigl|f(x)-S_{n+r,N}^{0,r}(f,x)\bigr|\leqslant E_{n+r}^r(f,\delta)(1+\lambda_{n,N}^{r}(x)),
\end{equation*}
\notag
$$
эта задача сводится к оценке соответствующей функции Лебега $\lambda_{n,N}^{r}(x)$ (см. теорему 2). Здесь $E_{n+r}^r(f,\delta)$ величина наилучшего приближения, определенная равенством (3.13). Для сравнения с аппроксимативными свойствами сумм $S_{n+r,N}^{0,r}(f,x)$ приведем оценки для функции Лебега $\Lambda_{n,N}^{\alpha}(x)$ частичных сумм $S_{n,N}^{\alpha}(f,x)$ ряда Фурье по полиномам $\{m_{n,N}^{\alpha}(x)\}$, полученные в работах автора [13], [14] для $\alpha>-1$. Ограничимся случаем $\alpha=0$. Теорема B. Пусть $\theta=4n+2$, $n\leqslant \lambda N$. Справедливы следующие оценки: 1) если $x\in [0,3/\theta]$, то 2) если $x\in [3/\theta,\theta/2]$, то
$$
\begin{equation*}
\Lambda_{n,N}^{0}(x)\leqslant c(\lambda)\ln(n+1)+\biggl(\frac nx\biggr)^{1/4};
\end{equation*}
\notag
$$
3) если $x\in [\theta/2,3\theta/2]$, то
$$
\begin{equation*}
\Lambda_{n,N}^{0}(x)\leqslant c(\lambda)\biggl[\ln(n+1)+ \biggl(\frac{\theta}{\theta^{1/3}+|x-\theta|}\biggr)^{1/4}\biggr];
\end{equation*}
\notag
$$
4) если $x\in [3\theta/2, \infty)$, то Сравнивая теоремы B и 2, замечаем что аппроксимативные свойства частичных сумм $S_{n+r,N}^{0,r}(f,x)$ не хуже аппроксимативных свойств сумм $S_{n,N}^{0}(f,x)$. При этом суммы $S_{n+r,N}^{0,r}(f,x)$ в отличие от $S_{n,N}^{0}(f,x)$ обладают свойством (3.8). 2. Некоторые сведения о полиномах МейкснераЧерез $M_{n,N}^{\alpha}(x)$ обозначим модифицированные полиномы Мейкснера, ортогональные при $\alpha>-1$ на сетке $\Omega_\delta$ относительно веса $\rho_N(x)$. Соответствующие ортонормированные полиномы мы обозначим через
$$
\begin{equation*}
m_{n,N}^{\alpha}(x)=\frac{1}{\sqrt{h_n^\alpha}}M_{n,N}^{\alpha}(x),
\end{equation*}
\notag
$$
где $h_n^\alpha=\binom{n+\alpha}{n}e^{n\delta}\Gamma(\alpha+1)$. Приведем некоторые свойства полиномов $M_{n,N}^{\alpha}(x)$, которые можно найти в [15]: $\bullet$ формула Родрига
$$
\begin{equation}
M_{n,N}^{\alpha}(x)=\frac{\Gamma(Nx+1)e^{n\delta+x}}{n!\Gamma(Nx+\alpha+1)} \Delta^n_\delta\biggl\{\frac{\Gamma(Nx+\alpha+1)}{\Gamma(Nx-n+1)}e^{-x}\biggr\};
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
$\bullet$ явный вид
$$
\begin{equation}
M_{n,N}^\alpha(x)=\binom{n+\alpha}{n} \sum_{k=0}^n\frac{n^{[k]}(Nx)^{[k]}}{(\alpha+1)_kk!}(1-e^\delta)^k;
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
$\bullet$ равенства
$$
\begin{equation}
\Delta_\delta^r M_{n,N}^{\alpha}(x)=(1-e^{\delta})^rM_{n-r,N}^{\alpha+r}(x),
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
$$
\begin{equation}
M^{-l}_{n,N}(x)=\frac{(n-l)!}{n!}(e^\delta-1)^l(-Nx)_lM_{n-l,N}^l(x-l\delta), \qquad 1\leqslant l\leqslant n;
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
$\bullet$ формула Кристоффеля–Дарбу
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag K_{n,N}^{\alpha}(x,y) &=\sum_{k=0}^n m_{k,N}^{\alpha}(x)m_{k,N}^{\alpha}(y) \\ &=\frac{\delta}{(e^{\delta}-1)e^{n\delta}}\, \frac{(n+1)!}{\Gamma(n+\alpha+1)}\,\frac{M_{n,N}^\alpha(x)M_{n+1,N}^\alpha(y)- M_{n+1,N}^\alpha(x)M_{n,N}^\alpha(y)}{x-y}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
которую посредством элементарных преобразований можно записать в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &K_{n,N}^\alpha(x,y) =\frac{\alpha_n}{(\alpha_n+\alpha_{n-1})}m_{n,N}^{\alpha}(x)m_{n,N}^{\alpha}(y)+ \frac{\alpha_n\alpha_{n-1}}{\alpha_n+\alpha_{n-1}}\,\frac{\delta}{e^{\delta/2}-e^{-\delta/2}} \,\frac{1}{y-x} \\ &\qquad\quad \times\bigl[m_{n,N}^\alpha(y)(m_{n+1,N}^\alpha(x)- m_{n-1,N}^\alpha(x)) -m_{n,N}^\alpha(x)(m_{n+1,N}^\alpha(y)-m_{n-1,N}^\alpha(y))\bigr], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
где $\alpha_n=\sqrt{(n+1)(n+\alpha+1)}$. Далее, при $\alpha>-1$, $0\leqslant x<\infty$, $\theta_n=4n+2\alpha+2$, $\lambda>0$, $1\leqslant n\leqslant \lambda N$, $s\geqslant0$ справедливы следующие весовые оценки [15]:
$$
\begin{equation}
e^{-x/2}|m_{n,N}^\alpha(x\pm s\delta)|\leqslant c(\alpha,\lambda,s)\theta_n^{-\alpha/2}A_n^\alpha(x),
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
$$
\begin{equation}
A_n^\alpha(x) =\begin{cases} \theta_n^{\alpha}, &0\leqslant x\leqslant \dfrac{1}{\theta_n}, \\ \theta_n^{\alpha/2-1/4}x^{-\alpha/2-1/4}, &\dfrac{1}{\theta_n}<x\leqslant \dfrac{\theta_n}{2}, \\ [\theta_n(\theta_n^{1/3}+|x-\theta_n|)]^{-1/4}, &\dfrac{\theta_n}{2}<x\leqslant\dfrac{3\theta_n}{2}, \\ e^{-x/4}, &\dfrac{3\theta_n}{2}<x<\infty, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
$$
\begin{equation}
e^{-x/2}|m_{n+1,N}^{\alpha}(x)-m_{n-1,N}^{\alpha}(x)| \leqslant c(\alpha,\lambda) \begin{cases} \theta_n^{\alpha/2-1},& 0\leqslant x\leqslant \dfrac{1}{\theta_n}, \\ \theta_n^{-3/4}x^{-\alpha/2+1/4}, &\dfrac{1}{\theta_n}<x\leqslant \dfrac{\theta_n}{2}, \\ x^{-\alpha/2}\theta_n^{-3/4} \\ \ \times[\theta_n^{1/3}+|x-\theta_n|]^{1/4}, &\dfrac{\theta_n}{2}<x\leqslant\dfrac{3\theta_n}{2}, \\ e^{-x/4}, & \dfrac{3\theta_n}{2}<x<\infty, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
где здесь и далее $c(\alpha)$, $c(\alpha, \lambda)$, $c(\alpha, \lambda, s)$ – положительные числа, зависящие только от указанных параметров, причем различные в разных местах. В дальнейшем нам также понадобятся следующие утверждения. Лемма 1. Пусть $0\leqslant l$ – целое, $r\in\mathbb{N}$, $l\leqslant r$. Тогда имеет место равенство: Доказательство. Докажем по индукции. Пусть $l=1$. Тогда из (2.2) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\Delta_\delta((Nx)^{[r]}M^r_{n,N}(x-r\delta))= \binom{n+r}{n} \sum_{k=0}^n\frac{n^{[k]}}{(r+1)_kk!}(1-e^\delta)^k\Delta_\delta(Nx)^{[k+r]} \\ &\qquad =(Nx)^{[r-1]}(n+r)\binom{n+r-1}{n} \sum_{k=0}^n\frac{n^{[k]}}{(r)_kk!}(1-e^\delta)^k(Nx-r+1)^{[k]} \\ &\qquad =(n+r)(Nx)^{[r-1]}M^{r-1}_{n,N}(x-(r-1)\delta). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\Delta^l_\delta=\Delta_\delta\Delta_\delta^{l-1}$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\Delta^l_\delta((Nx)^{[r]}M^r_{n,N}(x-r\delta)) \\ &\qquad =(n-l+r+2)_{l-1}\Delta_\delta((Nx)^{[r-l+1]}M^{r-l+1}_{n,N}(x-(r-l+1)\delta)) \\ &\qquad =(n-l+r+2)_{l-1}(n-l+r+1)(Nx)^{[r-l]}M^{r-l}_{n,N}(x-(r-l)\delta) \\ &\qquad =(n-l+r+1)_l(Nx)^{[r-l]}M^{r-l}_{n,N}(x-(r-l)\delta). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 2.10 доказана. Лемма 2 [14]. Пусть $-1<\alpha\in\mathbb{R}$, $\theta_n=4n+2\alpha+2$, $\lambda>0$, $N=1/\delta$, $0<\delta\leqslant1$. Тогда для $1\leqslant n\leqslant \lambda N$ имеет место следующая оценка: 3. Ряд Фурье по полиномам Мейкснера–Соболева и аппроксимативные свойства его частичных суммПусть $\alpha>-1$. Рассмотрим систему полиномов $\{m_{n,N}^{\alpha,r}(x)\}$:
$$
\begin{equation}
m_{n,N}^{\alpha,r}(x)=\frac{(Nx)^{[n]}}{n!}, \qquad n=0,\dots,r-1,
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
$$
\begin{equation}
m_{n,N}^{\alpha,r}(x)= \frac{1}{(r-1)!}\sum_{t\in \Omega_\delta^x}(Nx-1-Nt)^{[r-1]}m_{n-r,N}^\alpha(t), \qquad x\geqslant r\delta, \quad n\geqslant r,
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где $x^{[n]}=x(x-1)\cdots(x-n+1)$, $\Omega_\delta^x=\{0, \delta, \dots, x-r\delta\}$. Заметим, что $m_{n,N}^{\alpha,r}(x)=0$ при $n\geqslant r$, $x\in\{0, \delta, \dots, (r-1)\delta\}$. Действительно, из (3.2) и (2.2) имеем
$$
\begin{equation*}
m_{n,N}^{\alpha,r}(x)=\frac{1}{\sqrt{h_{n-r}^\alpha}} \binom{n-r+\alpha}{n-r} \sum_{k=0}^{n-r}\frac{(n-r)^{[k]}(1-e^\delta)^k}{(\alpha+1)_kk!}P_{k+r}(x),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
P_{k+r}(x)=\frac{1}{(r-1)!}\sum_{t\in \Omega_\delta^x}(Nx-1-Nt)^{[r-1]}(Nx)^{[k]}.
\end{equation*}
\notag
$$
Запишем дискретный аналог формулы Тейлора для функции $d(x)=(Nx)^{[k+r]}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, d(x) &=\sum_{k=0}^{r-1}\Delta_\delta^kd(0) \frac{(Nx)^{[k]}}{k!}+\frac{1}{(r-1)!}\sum_{t\in \Omega_\delta^x}(Nx-1-Nt)^{[r-1]}\Delta^r_\delta d(x) \\ &=\sum_{k=0}^{r-1}\Delta_\delta^kd(0)\frac{(Nx)^{[k]}}{k!}+(k+r)^{[r]}P_{k+r}(x) =(k+r)^{[r]}P_{k+r}(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда
$$
\begin{equation*}
P_{k+r}(x)=\frac{d(x)}{(k+r)^{[r]}}=\frac{(Nx)^{[k+r]}}{(k+r)^{[r]}}.
\end{equation*}
\notag
$$
А поскольку $(Nx)^{[k+r]}=0$ для $k\geqslant0$, $x\in\{0, \delta, \dots, (r-1)\delta\}$, то $m_{n,N}^{\alpha,r}(x)=0$ при $n\geqslant r$, $x\in\{0, \delta, \dots, (r-1)\delta\}$. Записав теперь дискретный аналог формулы Тейлора для полинома $M_{n,N}^{\alpha-r}(x)$ и воспользовавшись равенством (2.3), получим
$$
\begin{equation*}
M_{n,N}^{\alpha-r}(x)=\sum_{k=0}^{r-1}\Delta_\delta^kM_{n,N}^{\alpha-r}(0)\frac{(Nx)^{[k]}}{k!}+ \frac{(1-e^\delta)^r}{(r-1)!}\sum_{t\in \Omega_\delta^x}(Nx-1-Nt)^{[r-1]}M_{n-r,N}^{\alpha}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда с учетом (3.2) имеем
$$
\begin{equation}
m_{n,N}^{\alpha,r}(x)= \frac{1}{(1-e^\delta)^r}\,\frac{1}{\sqrt{h_{n}^{\alpha}}} \biggl[M_{n,N}^{\alpha-r}(x)-\sum_{k=0}^{r-1}\Delta_\delta^kM_{n,N}^{\alpha-r}(0) \frac{(Nx)^{[k]}}{k!}\biggr],
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Delta^k_\delta M_{n,N}^{\alpha-r}(0)=(1-e^\delta)^k\frac{\Gamma(n+\alpha-r+1)}{(n-k)!\Gamma(\alpha-r+k+1)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\Delta^k_\delta M_{n,N}^{\alpha-r}(0)=0$ при $\alpha=0$. Из определения системы $\{m_{n,N}^{\alpha,r}(x)\}$ также вытекает следующее свойство:
$$
\begin{equation}
\Delta_\delta^\nu m_{n,N}^{\alpha,r}(x)= \begin{cases} m_{n-\nu,N}^{\alpha,r-\nu}(x),& 0\leqslant\nu\leqslant r-1,\ r\leqslant n, \\ m_{n-r,N}^{\alpha}(x),& \nu=r\leqslant n, \\ m_{n-\nu,N}^{\alpha,r-\nu}(x),& \nu\leqslant n<r, \\ 0,& n<\nu\leqslant r. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Из (3.4) следует, что система $\{m_{n,N}^{\alpha,r}(x)\}$ ортонормирована относительно скалярного произведения
$$
\begin{equation*}
\langle f,g\rangle_S=\sum_{k=0}^{r-1}\Delta_\delta^kf(0)\Delta_\delta^kg(0) +\sum_{x\in\Omega_\delta}\Delta_\delta^rf(x)\Delta_\delta^rg(x)\rho_N(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Как было отмечено во введении, система полиномов $\{m_{n,N}^{\alpha,r}(x)\}$ полна в пространстве $W^r_{l^2_{\rho_N}(\Omega_\delta)}$. Ряд Фурье функции $f\in W^r_{l^2_{\rho_N}(\Omega_\delta)}$ по этой системе имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
f(x)\sim \sum_{k=0}^{r-1}\Delta_\delta^kf(0)\frac{(Nx)^{[k]}}{k!}+\sum_{k=r}^\infty c^\alpha_{r,k}(f)m^{\alpha,r}_{k,N}(x),
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где коэффициенты $c^\alpha_{r,k}(f)$, определенные равенством (1.3), существуют для любой функции $f\in W^r_{l^p_{\rho_N}(\Omega_\delta)}$, $p\geqslant 1$. Перейдем теперь к доказательству теоремы 1. Прежде всего заметим, что если $1\leqslant p_1<p_2<\infty$, то $W^r_{l^{p_2}_{\rho_N}(\Omega_\delta)}\subset W^r_{l^{p_1}_{\rho_N}(\Omega_\delta)}$. Действительно, если положить $p={p_2}/{p_1}$, $p'={p_2}/(p_2-p_1)$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|f\|^{p_1}_{l^{p_1}_{\rho_N}(\Omega_\delta)} &=\sum_{x\in\Omega_\delta}|f(x)|^{p_1}\rho_N(x)= \sum_{x\in\Omega_\delta}|f(x)(\rho_N(x))^{1/p_2}|^{p_1} (\rho_N(x))^{1-p_1/p_2} \\ &\leqslant \biggl(\sum_{x\in\Omega_\delta}|f(x)(\rho_N(x))^{1/p_2}|^{p_1p} \biggr)^{1/p} \biggl(\sum_{x\in\Omega_\delta}(\rho_N(x))^{(1-p_1/p_2)p'}\biggr)^{1/p'} \\ &= \biggl(\sum_{x\in\Omega_\delta}|f(x)|^{p_2}\rho_N(x) \biggr)^{p_1/p_2} \biggl(\sum_{x\in\Omega_\delta}\rho_N(x)\biggr)^{(p_2-p_1)/p_2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{l^{p_1}_{\rho_N}(\Omega_\delta)}\leqslant c(\alpha,p)\|f\|_{l^{p_2}_{\rho_N}(\Omega_\delta)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда мы получаем
$$
\begin{equation}
W^r_{l^{p_2}_{\rho_N}(\Omega_\delta)}\subset W^r_{l^{p_1}_{\rho_N}(\Omega_\delta)}.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Теперь рассмотрим вопрос о сходимости ряда Фурье при $p=2$. Пусть $f\in W^r_{l^{2}_{\rho_N}(\Omega_\delta)}$. Для этой функции запишем дискретный аналог формулы Тейлора
$$
\begin{equation*}
f(x)=\sum_{k=0}^{r-1}\Delta_\delta^kf(0)\frac{(Nx)^{[k]}}{k!}+ \frac{1}{(r-1)!}\sum_{t\in \Omega_\delta^x}(Nx-1-Nt)^{[r-1]}\Delta^r_\delta f(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\Delta^r_\delta f(t)\in l^{2}_{\rho_N}(\Omega_\delta)$, то
$$
\begin{equation*}
\Delta^r_\delta f(t)=\sum_{k=0}^\infty f^\alpha_{r,k+r}m^\alpha_{k,N}(t), \qquad t\in\Omega_\delta.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f(x) &=\sum_{k=0}^{r-1}\Delta_\delta^kf(0)\frac{(Nx)^{[k]}}{k!} + \frac{1}{(r-1)!}\sum_{t\in \Omega_\delta^x}(Nx-1-Nt)^{[r-1]}\sum_{k=0}^\infty f^\alpha_{r,k+r}m^\alpha_{k,N}(t) \\ &= \sum_{k=0}^{r-1}\Delta_\delta^kf(0)\frac{(Nx)^{[k]}}{k!}+\sum_{k=0}^\infty f^\alpha_{r,k+r} \frac{1}{(r-1)!}\sum_{t\in \Omega_\delta^x}(Nx-1-Nt)^{[r-1]}m^\alpha_{k,N}(t) \\ &= \sum_{k=0}^{r-1}\Delta_\delta^kf(0)\frac{(Nx)^{[k]}}{k!}+\sum_{k=r}^\infty c^\alpha_{r,k}(f)m^{\alpha,r}_{k,N}(x), \qquad x\in \Omega_\delta. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть теперь $1\leqslant p<2$. Рассмотрим функцию $f(x)=e^{ax}$, $1/2<a<{1}/{p}$. Нетрудно проверить, что $f\in W^r_{l^p_{\rho_N}(\Omega_\delta)}$. Найдем теперь явный вид коэффициентов (1.3) для функции $f(x)=e^{ax}$:
$$
\begin{equation*}
c^\alpha_{r,k}(f)=\frac{(e^{a\delta}-1)^r}{\sqrt{h_{k-r}^\alpha}} \sum_{t\in\Omega_\delta}e^{at}M^\alpha_{k-r,N}(t)\rho_N(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Подставим вместо $M^\alpha_{k-r,N}(t)$ формулу (2.1) и получим
$$
\begin{equation*}
c^\alpha_{r,k}(f)=b_{k,r}^\alpha\sum_{t\in\Omega_\delta}e^{at}\Delta_\delta^{k-r}w(t).
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
b_{k,r}^\alpha=\frac{(e^{a\delta}-1)^r(1-e^{-\delta})^{\alpha+1} e^{(k-r)\delta}}{\sqrt{h_{k-r}^\alpha}(k-r)!}, \qquad w(t)=\frac{\Gamma(Nt+\alpha+1)}{\Gamma(Nt-k+r+1)}e^{-t}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что выражение
$$
\begin{equation*}
\Delta_\delta^{k-r-s}w(t+(s-1)\delta)= \sum_{i=0}^{k-r-s}(-1)^{k-r-s-i}C_{k-r-s}^{i} \frac{\Gamma(Nt+\alpha+s+i)}{\Gamma(Nt-k+r+s+i)}e^{-(t+(s+i-1)\delta)}
\end{equation*}
\notag
$$
при $1\leqslant s\leqslant k-r-1$ обращается в нуль в точках $t=0$ и $t=\infty$. Поэтому с помощью повторного применения преобразования Абеля выводим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, c^\alpha_{r,k}(f) &=b_{k,r}^\alpha \biggl(e^{at}\Delta_\delta^{k-r-1}w(t)|_{t=0}^\infty-\sum_{t\in\Omega_\delta}\Delta_\delta e^{at}\Delta_\delta^{k-r-1}w(t+\delta)\biggr)=\dotsb \\ &=(-1)^{k-r}b_{k,r}^\alpha\sum_{t\in\Omega_\delta}w(t+(k-r)\delta)\Delta_\delta^{k-r}e^{at} \\ &=(-1)^{k-r}b_{k,r}^\alpha(e^{a\delta}-1)^{k-r}e^{-(k-r)\delta}\sum_{t\in\Omega_\delta}e^{-(1-a)t} \frac{\Gamma(Nt+k-r+\alpha+1)}{\Gamma(Nt+1)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что $k-r+\alpha\geqslant0$. Поскольку $\Gamma(Nt+k-r+\alpha+1)\geqslant (Nt)^{k-r}\Gamma(Nt+\alpha+1)$ и ${\Gamma(Nt+\alpha+1)}/{\Gamma(Nt+1)}\geqslant c(\alpha)(Nt)^\alpha$, то
$$
\begin{equation*}
|c^\alpha_{r,k}(f)|\geqslant c(\alpha)b_{k,r}^\alpha(e^{a\delta}-1)^{k-r}e^{-(k-r)\delta} \biggl(\sum_{t\in\Omega_{l,\delta}}+ \sum_{t\in\Omega_{\delta}\backslash\Omega_{l,\delta}}\biggr)e^{-(1-a)t}(Nt)^{k-r+\alpha},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Omega_{l,\delta}=\{l\delta, (l+1)\delta, \dots\}$ и $l=[(k-r+\alpha)/(1-a)]+1$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |c^\alpha_{r,k}(f)| &\geqslant c(\alpha)b_{k,r}^\alpha(e^{a\delta}-1)^{k-r}\frac{e^{-(k-r)\delta}}{\delta} \biggl(\int_{l\delta}^{\infty}+\int_{0}^{(l-1)\delta}\biggr) e^{-(1-a)t}(Nt)^{k-r+\alpha}\,dt \\ &\geqslant c(\alpha)b_{k,r}^\alpha(e^{a\delta}-1)^{k-r} \frac{e^{-(k-r)\delta}}{\delta}e^{-(1-a)\delta} \int_{0}^{\infty}e^{-(1-a)t}(Nt)^{k-r+\alpha}\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |c^\alpha_{r,k}(f)| &\geqslant c(a,\alpha,r)\frac{\delta^r}{e^{(\alpha+1)\delta}}\, \frac{(e^{a\delta}-1)^{k}}{\delta^k}\, \frac{(e^{\delta}-1)^{\alpha+1}}{\delta^{\alpha+1}}\, \frac{e^{-k\delta/2}}{(1-a)^{k}} \sqrt{\frac{\Gamma({k-r+\alpha+1})}{\Gamma({k-r+1})}} \\ &\geqslant c(a,\alpha,r)\delta^r\frac{a^ke^{-k\delta/2}}{(1-a)^{k}} \sqrt{\frac{\Gamma({k-r+\alpha+1})}{\Gamma({k-r+1})}} \geqslant c(a,\alpha,r)\delta^r\biggl(\frac{a}{(1-a)e^{\delta/2}}\biggr)^k k^{\alpha/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда для общего члена ряда (3.5) можно записать неравенство
$$
\begin{equation*}
|c^\alpha_{r,k}(f)m^{\alpha,r}_{k,N}(x)|\geqslant c(a,\alpha,r)\delta^r\biggl(\frac{a}{(1-a)e^{\delta/2}}\biggr)^k |m^{\alpha,r}_{k,N}(x)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Если положить $x=r\delta$, то из (3.2) получим $m^{\alpha,r}_{k,N}(r\delta)=m^{\alpha}_{k-r,N}(0)$. А так как
$$
\begin{equation*}
m^{\alpha}_{k-r,N}(0)=\frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \sqrt{\frac{\Gamma(k-r+\alpha+1)}{e^{(k-r)\delta}\Gamma(k-r+1)}},
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation*}
|c^\alpha_{r,k}(f)m^{\alpha,r}_{k,N}(r\delta)|\geqslant c(a,\alpha,r)\delta^r\biggl(\frac{a}{(1-a)e^{\delta}}\biggr)^kk^\alpha.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, для $1/2<a<1/p$ мы можем подобрать число $\delta>0$ такое, что ${a}/{((1-a)e^{\delta})}>1$. При таких $a$ и $\delta$ общий член ряда $|c^\alpha_{r,k}(f)m^{\alpha,r}_{k,N}(r\delta)|\to\infty$ при $k\to\infty$. Тем самым теорема 1 доказана. Далее, через $S_{n+r,N}^{\alpha,r}(f,x)$ обозначим частичную сумму ряда (3.5):
$$
\begin{equation}
S_{n+r,N}^{\alpha,r}(f,x)=\sum_{k=0}^{r-1}\Delta_\delta^kf(0) \frac{(Nx)^{[k]}}{k!}+\sum_{k=r}^{n+r} c^\alpha_{r,k}(f)m^{\alpha,r}_{k,N}(x).
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Из (3.7) следует, что для $S_{n+r,N}^{\alpha,r}(x)$ имеют место равенства
$$
\begin{equation}
S_{n+r,N}^{\alpha,r}(f,x)=f(x), \qquad x\in\{0, \delta, \dots, (r-1)\delta\}.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Кроме того, если $f(x)=p_{n+r}(x)$ – алгебраический полином степени не выше $n+r$, то Рассмотрим теперь аппроксимативные свойства частичных сумм $S_{n+r,N}^{\alpha,r}(f,x)$ при $\alpha=0$. В этом случае из (3.3) и (2.4) следует, что для $m_{n+r,N}^{0,r}(x)$ имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
m_{n+r,N}^{0,r}(x)=\frac{(Nx)^{[r]}}{\sqrt{(n+r)^{[r]}}}m_{n,N}^r(x-r\delta).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда (3.7) можно записать в виде
$$
\begin{equation}
S_{n+r,N}^{0,r}(f,x)=\sum_{k=0}^{r-1}\Delta_\delta^kf(0)\frac{(Nx)^{[k]}}{k!} +(Nx)^{[r]}\sum_{k=r}^{n+r} c^0_{r,k}(f)\frac{m^{r}_{k-r,N}(x-r\delta)}{\sqrt{k^{[r]}}}.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Далее, через $q_{n+r}(x)$ алгебраический полином степени $n+r$, для которого $\Delta^i_\delta f(0)=\Delta^i_\delta q_{n+r}(0)$, $i=0,\dots, r-1$. Тогда
$$
\begin{equation*}
|f(x)-S_{n+r,N}^{0,r}(f,x)|\leqslant|f(x)-q_{n+r}(x)|+|S_{n+r,N}^{0,r}(q_{n+r}-f,x)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда для $x\in\Omega_{r,\delta}=\{r\delta, (r+1)\delta, \dots\}$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &e^{-x/2}x^{-r/2+1/4}|f(x)-S_{n+r,N}^{0,r}(f,x)| \leqslant e^{-x/2}x^{-r/2+1/4}|f(x)-q_{n+r}(x)| \\ &\qquad\qquad +e^{-x/2}x^{-r/2+1/4}|S_{n+r,N}^{0,r}(q_{n+r}-f,x)|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^{r-1}\Delta_\delta^k(q_{n+r}(0)-f(0))\frac{(Nx)^{[k]}}{k!}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &S_{n+r,N}^{0,r}(q_{n+r}-f,x) = (Nx)^{[r]}\sum_{k=r}^{n+r}c_{r,k}^0(q_{n+r}-f) \frac{m^{r}_{k-r,N}(x-r\delta)}{\sqrt{k^{[r]}}} \\ &\qquad=(Nx)^{[r]}\sum_{k=r}^{n+r}\frac{m^{r}_{k-r,N}(x-r\delta)}{\sqrt{k^{[r]}}} \sum_{t\in\Omega_{\delta}}\Delta_\delta^r(q_{n+r}(t)-f(t))e^{-t}(1-e^{-\delta})m_{k-r,N}^0(t). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
К внутренней сумме применим преобразование Абеля (попутно воспользуемся равенствами (2.1), (2.4)) и получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{t\in\Omega_{\delta}}\Delta_\delta^r(q_{n+r}(t)-f(t))e^{-t}(1-e^{-\delta})m_{k-r,N}^0(t) \\ &\qquad =(-1)^r(1-e^{-\delta})\sum_{t\in\Omega_{\delta}}(q_{n+r}(t+r\delta)-f(t+r\delta)) \frac{\sqrt{e^{(k-r)\delta}}}{(k-r)!} \Delta_\delta^k\biggl\{\frac{\Gamma(Nt+1)e^{-t}}{\Gamma(Nt-k+r+1)}\biggr\} \\ &\qquad =(-1)^r\frac{1-e^{-\delta}}{\sqrt{e^{(k-r)\delta}}} \sum_{t\in\Omega_{r,\delta}}(q_{n+r}(t)-f(t)) \frac{\Gamma(Nt-r+1)}{\Gamma(Nt+1)}e^{-t}M_{k,N}^{-r}(t) \\ &\qquad =\frac{(e^{\delta}-1)^{r+1}}{e^\delta} \sum_{t\in\Omega_{r,\delta}}(q_{n+r}(t)-f(t))e^{-t} \sqrt{k^{[r]}}m_{k-r,N}^{r}(t-r\delta). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
S_{n+r,N}^{0,r}(q_{n+r}-f,x)=\frac{(e^{\delta}-1)^{r+1}}{e^\delta}(Nx)^{[r]} \sum_{t\in\Omega_{r,\delta}}(q_{n+r}(t)-f(t))e^{-t}K_{n,N}^r(t-r\delta,x-r\delta).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (3.11) выводим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &e^{-x/2}x^{-r/2+1/4}|f(x)-S_{n+r,N}^{0,r}(f,x)| \leqslant e^{-x/2}x^{-r/2+1/4}|f(x)-q_{n+r}(x)| \\ &\qquad +\frac{(e^{\delta}-1)^{r+1}}{e^\delta}e^{-x/2}x^{-r/2+1/4}(Nx)^{[r]} \sum_{t\in\Omega_{r,\delta}}(q_{n+r}(t)-f(t))e^{-t}K_{n,N}^r(t-r\delta,x-r\delta). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Положим
$$
\begin{equation}
E_{k}^r(f,\delta)=\inf_{q_{k}}\sup_{x\in\Omega_{r,\delta}} e^{-x/2}x^{-r/2+1/4}|f(x)-q_{k}(x)|,
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
где нижняя грань берется по всем алгебраическим полиномам $q_{k}(x)$ степени не выше $k$, для которых $\Delta_\delta^i f(0)=\Delta_\delta^i q_{k}(0)$, $i=0,\dots, r-1$. Тогда из (3.12) и (3.13) получаем
$$
\begin{equation}
e^{-x/2}x^{-r/2+1/4}|f(x)-S_{n+r,N}^{0,r}(f,x)|\leqslant E_{n+r}^r(f,\delta)(1+\lambda_{n,N}^{r}(x)),
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\lambda_{n,N}^{r}(x)=\frac{(e^{\delta}-1)^{r+1}}{e^\delta}e^{-x/2}x^{-r/2+1/4}(Nx)^{[r]} \sum_{t\in\Omega_{r,\delta}}e^{-t/2}t^{r/2-1/4} |K_{n,N}^r(t-r\delta,x-r\delta)|.
\end{equation*}
\notag
$$
В связи с неравенством (3.14) возникает задача об оценке величины $\lambda_{n,N}^{r}(x)$ на $[r\delta,\infty)$. Пусть $\nu=4n+2r+2$. Введем обозначения:
$$
\begin{equation*}
X_1=\biggl[r\delta, \frac{3}{\nu}\biggr], \qquad X_2=\biggl(\frac{3}{\nu}, \frac{\nu}{2}\biggr], \qquad X_3=\biggl(\frac{\nu}{2}, \frac{3\nu}{2}\biggr], \qquad X_4=\biggl(\frac{3\nu}{2}, \infty\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Справедлива следующая Теорема 2. Пусть $r\in\mathbb{N}$, $\lambda> 0$, $n\leqslant\lambda N$. Тогда имеют место следующие оценки: Доказательство. В дальнейшем запись $a\leqslant t\leqslant b$ под символом суммирования будет означать $t\in \Omega_{r,\delta}\cap[a,b]$. Пусть $x\in X_1$. Тогда где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, I_1\leqslant c(r)e^{-x/2}x^{r/2+1/4}\delta\sum_{r\delta\leqslant t\leqslant 4/\nu} e^{-t/2}t^{r/2-1/4}|K_{n,N}^r(t-r\delta,x-r\delta)|, \\ I_2\leqslant c(r) e^{-x/2}x^{r/2+1/4}N^r \sum_{4/\nu<t<\infty}e^{-t/2}t^{r/2-1/4} (1-e^{-\delta})^{r+1}|K_{n,N}^r(t-r\delta,x-r\delta)|. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из (2.5), (2.7) и (2.8) получаем
Из (2.6) следует, что $I_2\leqslant c(r)(I_{21}+I_{22}+I_{23})$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_{21} &=e^{-x/2}x^{r/2+1/4}N^r\sum_{4/\nu<t<\infty}e^{-t/2}t^{r/2-1/4} (1-e^{-\delta})^{r+1}|m_{n,N}^r(x-r\delta)m_{n,N}^r(t-r\delta)|, \\ I_{22} &=\frac{\alpha_n\alpha_{n-1}}{\alpha_n+\alpha_{n-1}}\, \frac{\delta}{e^{\delta/2}-e^{-\delta/2}}e^{-x/2}x^{r/2+1/4}N^r| m_{n+1,N}^r(x-r\delta)-m_{n-1,N}^r(x-r\delta)| \\ &\qquad \times\sum_{4/\nu<t<\infty}\frac{e^{-t/2}t^{r/2-1/4}}{t-x} (1-e^{-\delta})^{r+1}|m_{n,N}^\alpha(t-r\delta)|, \\ I_{23} &=\frac{\alpha_n\alpha_{n-1}}{\alpha_n+\alpha_{n-1}}\, \frac{\delta}{e^{\delta/2}-e^{-\delta/2}}e^{-x/2}x^{r/2+1/4}N^r|m_{n,N}^r(x-r\delta)| \\ &\qquad \times\sum_{4/\nu<t<\infty}\frac{e^{-t/2}t^{r/2-1/4}}{t-x}(1-e^{-\delta})^{r+1} |m_{n+1,N}^r(t-r\delta)-m_{n-1,N}^r(t-r\delta)|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим величину $I_{21}$. Из (2.7) имеем
$$
\begin{equation*}
I_{21}\leqslant c(\lambda, r)x^{r/2+1/4}\nu^{r/2} \sum_{4/\nu<t<\infty}t^{-r/2-1/4} \frac{e^{-t/2}\Gamma(Nt+1)}{\Gamma(Nt-r+1)}(1-e^{-\delta})^{r+1}|m_{n,N}^r(t-r\delta)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть
$$
\begin{equation*}
B=\sum_{4/\nu<t<\infty}\frac{e^{-t/2}t^{-r/2-1/4}\Gamma(Nt+1)}{\Gamma(Nt-r+1)} (1-e^{-\delta})^{r+1}|m_{n,N}^r(t-r\delta)|=B_1+B_2,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, B_1 &=\sum_{4/\nu<t\leqslant{3\nu/2}} \frac{e^{-t/2}t^{-r/2-1/4}\Gamma(Nt+1)}{\Gamma(Nt-r+1)}(1-e^{-\delta})^{r+1} |m_{n,N}^r(t-r\delta)| \\ &\leqslant \biggl(\sum_{4/\nu<t\leqslant 3\nu/2}(1-e^{-\delta})^{r+1} t^{-r-1/2}\frac{\Gamma(Nt+1)}{\Gamma(Nt-r+1)}\biggr)^{1/2} \\ &\qquad \times\biggl(\sum_{4/\nu<t\leqslant 3\nu/2} (1-e^{-\delta})^{r+1}\frac{e^{-t}\Gamma(Nt+1)}{\Gamma(Nt-r+1)} (m_{n,N}^r(t-r\delta))^2\biggr)^{1/2} \\ &\leqslant c(r)\biggl(\int_{0}^{3\nu/2}t^{-1/2}\,dt\biggr)^{1/2} \leqslant c(r)\nu^{1/4}, \\ B_2 &=\sum_{3\nu/2<t<\infty}\frac{e^{-t/2}t^{-r/2-1/4}\Gamma(Nt+1)}{\Gamma(Nt-r+1)} (1-e^{-\delta})^{r+1}|m_{n,N}^r(t-r\delta)| \\ &\leqslant c(\lambda,r)\nu^{-r/2}\delta\sum_{3\nu/2<t<\infty}e^{-t/4}t^{r/2-1/4}\leqslant c(\lambda,r)\nu^{-r/2}e^{-n}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из оценок для $B_1$ и $B_2$ выводим А поскольку $x\in[r\delta/\nu, 3/\nu]$, то Перейдем к оценке величины $I_{22}$. В силу (2.9) и (2.7) имеем
$$
\begin{equation*}
I_{22}\leqslant c(\lambda, r)n x^{r/2+1/4}\nu^{r/2-1}\nu^{-r/2}\delta\sum_{4/\nu<t<\infty} \frac{t^{r/2-1/4}A_n^{r}(t)}{t-x}=I_{22}^1+I_{22}^2+I_{22}^3,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, I_{22}^i=c(\lambda, r)n x^{r/2+1/4}\nu^{-1}\delta\sum_{t\in B_i} \frac{t^{r/2-1/4}A_n^{r}(t)}{t-x}, \qquad i=1,2,3, \\ B_1=\biggl(\frac 4\nu,\frac\nu2\biggr]\cap\Omega_{r,\delta}, \qquad B_2=\biggl(\frac \nu2,\frac{3\nu}2\biggr]\cap\Omega_{r,\delta}, \qquad B_3=\biggl(\frac{3\nu}2,\infty\biggr)\cap\Omega_{r,\delta}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из (2.8) получаем
$$
\begin{equation}
\nonumber I_{22}^1 \leqslant c(\lambda, r) x^{r/2+1/4}\nu^{r/2-1/4}\delta\sum_{t\in B_1} \frac{t^{r/2-1/4}t^{-r/2-1/4}}{t-x}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\leqslant c(\lambda, r)\nu^{-1/2}\delta\sum_{t\in B_1}t^{-3/2}\leqslant c(\lambda, r),
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber I_{22}^2 \leqslant c(\lambda, r) x^{r/2+1/4}\nu^{-1/4}\delta \sum_{t\in B_2} \frac{t^{r/2-1/4}[\nu^{1/3}+|t-\nu|]^{-1/4}}{t-x}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \leqslant c(\lambda, r)\nu^{-7/4}\delta\sum_{t\in B_2}[\nu^{1/3}+|t-\nu|]^{-1/4}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\leqslant c(\lambda, r)\nu^{-7/4}\int_{\nu/2}^{3\nu/2}[\nu^{1/3}+|t-\nu|]^{-1/4}\,dt \leqslant \frac{c(\lambda, r)}{\nu},
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber I_{22}^3 \leqslant c(\lambda, r) x^{r/2+1/4}\delta\sum_{t\in B_3} \frac{t^{r/2-1/4}e^{-t/4}}{t-x}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\leqslant c(\lambda, r) \nu^{-r/2-1/4}\sum_{t\in B_3}t^{r/2-5/4}e^{-t/4} \leqslant c(\lambda, r)\nu^{-r/2-1/4}e^{-n}.
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
Собирая оценки (3.18)–(3.20), находим Величина $I_{23}$ оценивается по той же схеме, что $I_{22}$ и для нее имеет место оценка Следовательно, из оценок (3.17), (3.21) и (3.22) находим В свою очередь из (3.15), (3.16) и (3.23) имеем
$$
\begin{equation*}
\lambda_{n,N}^{r}(x)\leqslant c(\lambda, r)\ln (n+1).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $x\in X_2$. Введем обозначения:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, D_1=\biggl[r\delta, x-\sqrt{\frac x\nu}\biggr]\cap\Omega_{r,\delta}, \qquad D_2=\biggl(x-\sqrt{\frac x\nu}, x+\sqrt{\frac x\nu}\biggr]\cap\Omega_{r,\delta}, \\ D_3=\biggl(x+\sqrt{\frac x\nu},\infty\biggr)\cap\Omega_{r,\delta}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда где
$$
\begin{equation*}
J_i\leqslant c(r)e^{-x/2}x^{r/2+1/4}\delta\sum_{t\in D_i}e^{-t/2}t^{r/2-1/4}| K_{n,N}^r(t-r\delta,x-r\delta)|, \qquad i=1,2,3.
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим сначала величину $J_2$. В силу неравенства Коши-Буняковского и леммы 2 имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag J_2 &\leqslant c(r)x^{r/2+1/4}|e^{-x}K_{n,N}^r(x-r\delta,x-r\delta)|^{1/2}\delta\sum_{t\in D_2}t^{r/2-1/4}|e^{-t} K_{n,N}^r(t-r\delta,t-r\delta)|^{1/2} \\ \notag &\leqslant c(\lambda, r)x^{r/2+1/4}x^{-r/2-1/4}n^{1/4}\delta \sum_{t\in D_2}t^{r/2-1/4}t^{-r/2-1/4}n^{1/4} \\ &\leqslant c(\lambda, r)n^{1/2}\delta\sum_{t\in D_2}t^{-1/2} \leqslant c(\lambda, r)x^{-1/2}n^{1/2}\sum_{x\in D_2}\delta\leqslant c(\lambda, r). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
Повторяя рассуждения, которые были использованы при оценке величины $I_2$ нетрудно показать, что для $J_1$ и $J_3$ справедливы следующие оценки:
$$
\begin{equation}
J_1\leqslant c(\lambda, r)\ln(n+1), \qquad J_3\leqslant c(\lambda,r)\ln(n+1).
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
Тогда из (3.24) и (3.25) вытекает следующее неравенство:
Пусть теперь $x\in X_3$. Пользуясь введенными выше обозначениями, функцию $\lambda_{n,N}^{r}(x)$ можно представить в виде в котором
$$
\begin{equation}
H_i\leqslant c(r)e^{-x/2}x^{r/2+1/4}\delta\sum_{t\in D_i}e^{-t/2}t^{r/2-1/4} |K_{n,N}^r(t-r\delta,x-r\delta)|, \qquad i=1, 2, 3.
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
Величина $H_2$ оценивается так же, как $I_2$ и для нее имеет место оценка Перейдем к оценке величины $H_3$. Для этого воспользуемся равенством (2.6) и запишем в котором
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_{31} &=e^{-x/2}x^{r/2+1/4}|m_{n,N}^r(x-r\delta)| \delta\sum_{t\in D_3}e^{-t/2}t^{r/2-1/4} |m_{n,N}^r(t-r\delta)|, \\ H_{32} &=ne^{-x/2}x^{r/2+1/4}|m_{n+1,N}^r(x-r\delta)-m_{n-1,N}^r(x-r\delta)|\delta \\ &\qquad \times \sum_{t\in D_3}\frac{e^{-t/2}t^{r/2-1/4}}{|t-x|}|m_{n,N}^r(t-r\delta)|, \\ H_{33} &=ne^{-x/2}x^{r/2+1/4}|m_{n,N}^r(x-r\delta)|\delta \\ &\qquad \times \sum_{t\in D_3}\frac{e^{-t/2}t^{r/2-1/4}}{|t-x|} |m_{n+1,N}^r(t-r\delta)-m_{n-1,N}^r(t-r\delta)|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы оценить величину $H_{31}$, представим ее в следующем виде: где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, H_{31}^i=e^{-x/2}x^{r/2+1/4}|m_{n,N}^r(x-r\delta)| \delta\sum_{t\in D_3^i}e^{-t/2}t^{r/2-1/4}|m_{n,N}^r(t-r\delta)|, \qquad i=1,2, \\ D_3^1=\biggl[x+\sqrt{\frac x\nu}, \frac{3\nu}2+\sqrt{\frac x\nu}\biggr]\cap\Omega_{r,\delta}, \qquad D_3^2=\biggl[\frac{3\nu}2+\sqrt{\frac x\nu},\infty\biggr)\cap\Omega_{r,\delta}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя (2.7), нетрудно получить следующие оценки для величин $H_{31}^1$ и $H_{31}^2$:
$$
\begin{equation*}
H_{31}^1\leqslant c(\lambda,r)\biggl(\frac{\nu}{\nu^{1/3}+|x-\nu|}\biggr)^{1/4}, \qquad H_{31}^2\leqslant c(\lambda,r)n e^{-n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
H_{31}\leqslant c(\lambda,r)\biggl(\frac{\nu}{\nu^{1/3}+|x-\nu|}\biggr)^{1/4}.
\end{equation*}
\notag
$$
Величины $H_{32}$ и $H_{33}$ оцениваются по той же схеме, что и $H_{31}$, повторяя при этом рассуждения, которые были использованы при оценке величин $I_{22}$ и $I_{23}$. Таким образом, для $H_{32}$ и $H_{33}$ справедливы следующие оценки:
$$
\begin{equation*}
H_{32}\leqslant c(\lambda,r)\ln(n+1), \qquad H_{33}\leqslant c(\lambda,r)\biggl[\ln(n+1)+\biggl(\frac{\nu}{\nu^{1/3}+|x-\nu|}\biggr)^{1/4}\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
H_3\leqslant c(\lambda,r)\biggl[\ln(n+1)+\biggl(\frac{\nu}{\nu^{1/3}+|x-\nu|}\biggr)^{1/4}\biggr].
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
Для величины $H_1$ справедлива аналогичная оценка
$$
\begin{equation}
H_1\leqslant c(\lambda,r)\biggl[\ln(n+1)+\biggl(\frac{\nu}{\nu^{1/3}+|x-\nu|}\biggr)^{1/4}\biggr].
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
Из оценок (3.27) – (3.29) выводим
$$
\begin{equation*}
\lambda_{n,N}^{r}(x)\leqslant c(\lambda,r) \biggl[\ln(n+1)+\biggl(\frac{\nu}{\nu^{1/3}+|x-\nu|}\biggr)^{1/4}\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим случай, когда $x\in X_4$. В силу неравенства Коши – Буняковского и леммы 2 получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \lambda_{n,N}^{r}(x) &\leqslant c(r)x^{r/2+1/4}(e^{-x}K_{n,N}^r(x-r\delta,x-r\delta))^{1/2} \\ \notag &\qquad \times\delta\sum_{t\in \Omega_{r,\delta}}t^{r/2-1/4}(e^{-t}K_{n,N}^r(t-r\delta,t-r\delta))^{1/2} \\ &=c(r)x^{r/2+1/4}(n^{1-r}e^{-x/2})^{1/2}(S_1+S_2+S_3+S_4), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.30}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, S_k=\delta\sum_{t\in E_k}t^{r/2-1/4}(e^{-t}K_{n,N}^r(t-r\delta,t-r\delta))^{1/2}, \qquad k=1,2,3, \\ E_1=\biggl[r\delta,\frac{1}{\nu}\biggr]\cap\Omega_{r,\delta}, \qquad E_2=\biggl[\frac{1}{\nu},\frac{\nu}{2}\biggr]\cap\Omega_{r,\delta}, \\ E_3=\biggl[\frac{\nu}{2},\frac{3\nu}{2}\biggr]\cap\Omega_{r,\delta}, \qquad E_4=\biggl[\frac{3\nu}{2}, \infty\biggr)\cap\Omega_{r,\delta}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы оценить $S_i$, снова обратимся к лемме 2:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, S_1\leqslant c(\lambda,r)n^{(r+1)/2}\delta \sum_{t\in E_1}t^{r/2-1/4}\leqslant c(\lambda,r)n^{(r+1)/2}\biggl(\frac{1}{\nu}\biggr)^{r/2+3/4}\leqslant c(\lambda,r)n^{-1/4}, \\ S_2\leqslant c(\lambda,r)\delta \sum_{t\in E_2}t^{r/2-1/4}t^{-r/2-1/4}n^{3/4}\leqslant c(\lambda,r)n^{5/4}, \\ S_3\leqslant c(\lambda,r)\delta \sum_{t\in E_3}t^{r/2-1/4}n^{-r/2}\leqslant c(\lambda,r)n^{3/4}, \\ S_4\leqslant c(\lambda,r)n^{(1-r)/2}\delta\sum_{t\in E_4}t^{r/2-1/4}e^{-t/4}\leqslant c(\lambda,r). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, из (3.30) и оценок для $S_i$ выводим следующую оценку
$$
\begin{equation*}
\lambda_{n,N}^{r}(x)\leqslant c(\lambda,r)n^{-r/2+7/4}x^{r/2+1/4}e^{-x/4}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым теорема 2 полностью доказана. Рассмотрим теперь вопрос об аппроксимативных свойствах конечных разностей $\Delta_\delta^lS_{n+r,N}^{0,r}(f,x)$, $0\leqslant l\leqslant r-1$. С этой целью найдем $l$–ю конечную разность от (3.10) и воспользуемся свойством (2.10):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\Delta_\delta^l S_{n+r,N}^{0,r}(f,x) =\sum_{k=0}^{r-l-1}\Delta_\delta^{k+l}f(0)\frac{(Nx)^{[k]}}{k!} +(Nx)^{[r-l]}\sum_{k=r}^{n+r} c^0_{r,k}(f) \frac{m^{r-l}_{k-r,N}(x-(r-l)\delta)}{\sqrt{(k-l)^{[r-l]}}} \\ &\qquad= \sum_{k=0}^{r-l-1}\Delta_\delta^{k+l}f(0)\frac{(Nx)^{[k]}}{k!} +(Nx)^{[r-l]}\sum_{k=r}^{n+r} c^0_{r-l,k-l}(\Delta_\delta^lf) \frac{m^{r-l}_{k-r,N}(x-(r-l)\delta)}{\sqrt{(k-l)^{[r-l]}}} \\ &\qquad=S_{n+r-l,N}^{0,r-l}(\Delta_\delta^lf,x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
e^{-x/2}x^{-(r-l)/2+1/4}|\Delta_\delta^lf(x)-\Delta_\delta^lS_{n+r,N}^{0,r}(f,x)|\leqslant E_{n+r-l}^{r-l}(\Delta_\delta^l f,\delta)(1+\lambda_{n,N}^{r-l}(x)),
\end{equation*}
\notag
$$
а для функции $\lambda_{n,N}^{r-l}(x)$ справедливы оценки, приведенные в теореме 2.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Gad24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|