| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Краткие сообщения Неравенство Ляпунова для уравнения второго порядка с оператором распределенного дифференцирования Б. И. Эфендиев Институт прикладной математики и автоматизации – филиал Федерального государственного бюджетного научного учреждения "Федеральный научный центр "Кабардино-Балкарский научный центр Российской академии наук", г. Нальчик
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623050310 
Реферативные базы данных:
 В данной работе исследуется обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с оператором непрерывно распределенного дифференцирования в младших членах с переменным коэффициентом. Доказано неравенство Ляпунова задачи Дирихле для рассматриваемого уравнения. В интервале $0<x<l$ рассмотрим уравнение
$$
\begin{equation}
u''(x)+q(x)\int_{0}^{\beta}\mu(\alpha)D_{0x}^{\alpha}\bigl[p(x)u(x)\bigr]\,d\alpha=0, \qquad 0<\beta<1,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, D_{0x}^{\alpha}u(x)= \frac{1}{\Gamma (-\alpha)}\int_{0}^{x}\frac{u(t)\,dt}{(x-t)^{\alpha+1}}, \qquad \alpha < 0, \\ D_{0x}^{0} u(x) =u(x), \\ D_{0x}^{\alpha}u(x) =\frac{d^n}{dx^n} D_{0x}^{\alpha-n}u(x), \qquad n - 1 < \alpha \le n, \quad n \in \mathbb{N}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
– оператор дробного интегро-дифференцирования (в смысле Римана–Лиувилля) порядка $\alpha$ [1], [2], $\Gamma (z)$ – гамма-функция Эйлера, $p(x)$, $q(x)$, $\mu(\alpha)$ – заданные функции, $u(x)$ – искомая функция.
Оператор
$$
\begin{equation}
M_{ax}^{\alpha, \beta}u(x)=\int_{\alpha}^{\beta}\mu(t)D_{ax}^{t}u(x)\,dt
\end{equation}
\tag{2}
$$
был введен в работе [1], а в [2] изучены его свойства. В настоящее время оператор (2) называют оператором непрерывно распределенного дифференцирования.
Неравенство Ляпунова играет важную роль при изучении спектральных свойств обыкновенных дифференциальных уравнений. Более подробную информацию можно найти в работах [3]–[5]. Здесь приведем классическое неравенство Ляпунова. Если $u(x)$ есть нетривиальное решение задачи где $q(x)$ – вещественная, непрерывная функция, то имеет место неравенствоИмеется множество работ, где делаются различные обобщения неравенства Ляпунова. Укажем некоторые из них. Например, в работе [6] для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка, содержащего композицию дробных производных с различными началами, найдено необходимое интегральное условие существования нетривиального решения однородной задачи Дирихле, а именно: если $u(x)$ есть нетривиальное решение задачи
$$
\begin{equation*}
D_{0x}^{\alpha}\partial_{1x}^{\alpha}u(x)-q(x)u(x)=0, \qquad u(0)=u(1)=0, \quad \frac{1}{2}<\alpha<1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $q(x)$ – вещественная, непрерывная функция, то имеет место неравенство
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{1}|q(x)|\,dx > (2\alpha-1)\frac{\Gamma^2(\alpha)}{h}, \qquad h=\sup_{0<x<1}\bigl[(1-x)^{2\alpha-1}-(1-x^{2\alpha-1})^2\bigr].
\end{equation*}
\notag
$$
В статье [7] исследовано обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с оператором дробного дифференцирования в смысле Римана–Лиувилля
$$
\begin{equation*}
u''(x)+q(x)D_{0x}^{\alpha}u(x) = f(x), \qquad 0<\alpha<1.
\end{equation*}
\notag
$$
Методом функции Грина найдено представление решения задачи Дирихле $u(0)=u_0$, $u(l)=u_l$. Построена соответствующая функция Грина в терминах фундаментального решения исследуемого уравнения. Найдено необходимое интегральное условие (неравенство Ляпунова)
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{l}|q(x)|\,dx>\frac{\Gamma(2-\alpha)}{l^{1-\alpha}}
\end{equation*}
\notag
$$
существования нетривиального решения однородной задачи Дирихле.
В работе [8] показано, что для существования нетривиального решения однородной задачи Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с оператором распределенного интегрирования
$$
\begin{equation*}
u''(x)+q(x)\int_{0}^{\beta}\mu(\alpha)D_{0x}^{-\alpha}u(x)\,d\alpha = 0, \qquad u(0)=u(l)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
необходимо выполнение условия
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{l}|q(x)|\,dx \geq \frac{4}{lh}, \qquad h=\int_{0}^{\beta}|\mu(\alpha)|\frac{l^\alpha \,d\alpha}{\Gamma(\alpha+1)}.
\end{equation*}
\notag
$$
В статье [9] решена задача Дирихле $u(0) = u_0$, $u(l) = u_l$ для неоднородного уравнения (1) методом функции Грина. Построена соответствующая функция Грина и в терминах этой функции выписано в явном виде решение задачи Дирихле. В данной работе с использованием результатов работы [9] доказано неравенство Ляпунова задачи Дирихле для уравнения (1) в случае $p(x)=1$. Сначала однородную задачу
$$
\begin{equation}
u''(x) + q(x)\int_{0}^{\beta}\mu(\alpha)D_{0x}^{\alpha}u(x)\,d\alpha = 0, \qquad u(0)=0, \quad u(l)=0
\end{equation}
\tag{3}
$$
сведем к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, с помощью которого получим неравенство Ляпунова. Здесь предполагается, что функция $u(x)\in C[0,l]\cap C^2]0,l[$.
Так как по условию $u(0)=0$, то в силу свойства оператора дробного дифференцирования Римана–Лиувилля имеем равенство Учитывая последнюю формулу, подействуем на обе части первого равенства (3) оператором $D_{0x}^{-1}$. Тогда относительно функции $u'(x)$ получим нагруженное интегральное уравнение
$$
\begin{equation*}
u'(x)+ \int_{0}^{x}q(t)\int_{0}^{\beta}\mu(\alpha)D_{0t}^{\alpha-1}u'(t)\,d\alpha\, dt = u'(0)
\end{equation*}
\notag
$$
или же с учетом определения оператора дробного интегрирования имеем
$$
\begin{equation}
u'(x)+ \int_{0}^{x}u'(t)\int_{t}^{x}q(s)\int_{0}^{\beta}\mu(\alpha) \frac{(s-t)^{-\alpha}}{\Gamma(1-\alpha)}\,d\alpha\, ds\, dt = u'(0).
\end{equation}
\tag{4}
$$
Чтобы определить неизвестную константу $u'(0)$ в формуле (4), подействуем на обе части равенства (4) оператором $D_{lx}^{-1}$. Тогда будем иметь
$$
\begin{equation}
u(l)-u(x)+\int_{x}^{l}\int_{0}^{\xi}u'(t)K(\xi,t)\,dt \,d\xi= u'(0)(l-x),
\end{equation}
\tag{5}
$$
где
$$
\begin{equation}
K(\xi,t)=\int_{t}^{\xi}q(s)\int_{0}^{\beta}\mu(\alpha) \frac{(s-t)^{-\alpha}}{\Gamma(1-\alpha)}\,d\alpha \,ds.
\end{equation}
\tag{6}
$$
В уравнении (5) устремив $x$ к нулю, с учетом равенств $u(0)=0$, $u(l)=0$ получим, что
$$
\begin{equation}
u'(0) = \frac{1}{l}\int_{0}^{l}\int_{0}^{\xi}u'(t)K(\xi,t)\,dt\, d\xi= \frac{1}{l}\int_{0}^{l}u'(t)\int_{t}^{l}K(\xi,t)\,d\xi\, dt.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Подставляя теперь формулу (7) в равенство (4), после несложных преобразований получим однородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода относительно функции $u'(x)$
$$
\begin{equation}
u'(x)=\int_{0}^{l}u'(t)\biggl[\frac{1}{l}\int_{t}^{l}K(\xi,t)\,d\xi-H(x-t)K(x,t)\biggr]\,dt,
\end{equation}
\tag{8}
$$
где $H(x)$ – функция Хевисайда.
Теорема 1. Пусть $q(x)$ непрерывна на отрезке $[0, l]$, $\mu(\alpha)$ интегрируема на отрезке $[0, \beta]$ и однородная задача (3) имеет нетривиальное решение $u(x)$. Тогда имеет место неравенство Сначала отметим, что если $u(x)$ есть нетривиальное решение уравнения (3), удовлетворяющее условиям $u(0)=0$, $u(l)=0$, то и функция $u'(x)\not\equiv 0$. Действительно, если $u'(x)\equiv 0$, то $u(x)\equiv\mathrm{const}$, а по условию $u(0)=0$, поэтому в этом случае имеем $u(x)\equiv 0$, что противоречит условию теоремы 1. Положим, что Величина $\overline{u}\not=0$, так как $u'(x)\not\equiv 0$. Тогда из уравнения (8) имеем неравенство
$$
\begin{equation}
\overline{u} \leq \overline{u}\cdot \max_{x\in[0,l]}\int_{0}^{l} \biggl|\frac{1}{l}\int_{t}^{l}K(\xi,t)\,d\xi-H(x-t)K(x,t)\biggr|\,dt.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Из оценки (10) с учетом обозначения (6) получим
$$
\begin{equation}
\max_{x\in[0,l]}\int_{0}^{l}|q(t)|\biggl|\frac{l-t}{l}-H(x-t) \biggr|\int_{0}^{\beta}|\mu(\alpha)|\frac{t^{1-\alpha}}{\Gamma(2-\alpha)}\,d\alpha\, dt\geq 1.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Функция
$$
\begin{equation*}
F(x,t)=\biggl|\frac{l-t}{l}-H(x-t)\biggr| \int_{0}^{\beta}|\mu(\alpha)| \frac{t^{1-\alpha}}{\Gamma(2-\alpha)}\,d\alpha
\end{equation*}
\notag
$$
принимает наибольшее значение при $x\to l$, $t\to l$, причем переменная $x$ должна все время оставаться больше переменной $t$, поэтому, учитывая равенство
$$
\begin{equation*}
F_{\max}=F(l,l)=\int_{0}^{\beta}|\mu(\alpha)|\frac{l^{1-\alpha}}{\Gamma(2-\alpha)}\,d\alpha
\end{equation*}
\notag
$$
из соотношения (10), имеем неравенство
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{l}|q(t)|\int_{0}^{\beta}|\mu(\alpha)| \frac{l^{1-\alpha}}{\Gamma(2-\alpha)}\,d\alpha \,dt\geq 1,
\end{equation*}
\notag
$$
которое эквивалентно (8) и является неравенством Ляпунова.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Efe23} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|