| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 9 научных статьях (всего в 9 статьях) Определение и свойства мер устойчивости и неустойчивости нулевого решения дифференциальной системы И. Н. Сергеев Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623050243 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеВ настоящей работе вводится новое понятие, которое содержательно развивает и уточняет понятие устойчивости нулевого решения дифференциальной системы. По своей сути новая характеристика допускает естественную вероятностную интерпретацию, хотя формально никак не использует стохастическую терминологию и вообще не связана со случайностью. Исследование вероятностных свойств дифференциальных уравнений, как правило, опирается на различные элементы стохастики, содержащиеся непосредственно в записи самого уравнения: случайные величины или случайные процессы – в коэффициентах или в запаздываниях (см., например, монографии [1]–[3]). В нашем же случае все уравнения являются полностью детерминированными. Основное изучаемое понятие, именуемое ниже мерой устойчивости, позволяет оценить снизу возможность выбора сколь угодно близкого к нулю начального значения возмущенного решения данной системы так, чтобы его график оказывался в заданной трубке нулевого решения в каком-либо из следующих смыслов:
Аналогичную роль, но прямо противоположного назначения, играет мера неустойчивости, также вводимая в работе и оценивающая возможность возмущенных решений, наоборот, удаляться от нулевого решения с ростом времени. Кстати, предвестниками изучаемых в работе мер служат недавние понятия почти устойчивости и почти полной неустойчивости [11], обеспечивающие соответствующим свойствам решений полную меру (и типичность по Бэру, которая здесь требоваться не будет). 2. Основные определенияДля фиксированного $n\in\mathbb{N}$ и фазовой области $G\subset\mathbb{R}^n$ (содержащей точку $x=0$) рассмотрим дифференциальную систему на положительной временно́й полуоси
$$
\begin{equation}
\dot x=f(t,x),\quad (t,0)\equiv0,\qquad t\in\mathbb{R}_+\equiv[0,+\infty),\quad x\in G,\quad f,f'_x\in C(\mathbb{R}_+,G).
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Нас будут интересовать различные свойства решений этой системы, тесно связанные как с устойчивостью, так и с неустойчивостью ее нулевого решения. Для каждого $x_0\in G$ обозначим через $x(\,\cdot\,,x_0)$ непродолжаемое решение системы (2.1), удовлетворяющее начальному условию $x(0,x_0)=x_0$ (его существование и единственность гарантируется последним требованием (2.1)). Кроме того, обозначим через $B_\rho$ множество (шар c выколотым центром в нуле) всех начальных значений $x_0\in\mathbb{R}^n$, удовлетворяющих условию $0<|x_0|<\rho$, а также введем следующую характеристику области (открытой) $G$
$$
\begin{equation*}
\rho_0\equiv\sup\{\rho\mid B_\rho\subset G\},\qquad 0<\rho_0\leqslant+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 1. Скажем, что система (2.1) (точнее, ее нулевое решение, о чем мы далее не будем упоминать) обладает следующим свойством ляпуновского, перроновского или верхнепредельного типа – при $\varkappa=\lambda,\pi,\sigma$ соответственно: Определение 2. Для системы (2.1) при $\varkappa=\lambda,\pi,\sigma$ назовем соответственно ляпуновской, перроновской или верхнепредельной: 3. Формулировки утверждений3.1. Первичные наблюдения и свойстваПрежде всего, корректность определений 1 и 2 обосновывают следующие теоремы 1 и 2 соответственно. Теорема 1. Для любой системы (2.1), любого $\varepsilon>0$ и каждого из требований (2.2) множества всех точек $x_0\in G$ – как удовлетворяющих этому требованию, так и не удовлетворяющих ему – измеримы. Теорема 2. Для любой системы (2.1) множество всех значений $\mu\in[0,1]$ (равно как и всех значений $\nu\in[0,1]$), для которых она обладает ляпуновской, перроновской или верхнепредельной $\mu$-устойчивостью (соответственно $\nu$-неустойчивостью), заведомо содержит точку нуль и представляет собой на числовой оси промежуток, возможно, вырожденный в точку. Конкретные формулы для мер устойчивости и неустойчивости предлагает Теорема 3. Для каждой системы (2.1) однозначно определена шестерка ее ляпуновских, перроновских и верхнепредельных мер устойчивости или неустойчивости, которые соответственно задаются формулами Набор основных соотношений, связывающих различные меры устойчивости и неустойчивости, задает Теорема 4. Для любой системы (2.1) выполнены неравенства Естественную связь почти устойчивости и почти полной неустойчивости с единичными значениями соответствующих мер раскрывает Теорема 5. Система (2.1) обладает почти устойчивостью или почти полной неустойчивостью какого-либо типа тогда и только тогда, когда она обладает 1-устойчивостью или соответственно 1-неустойчивостью этого типа, а тогда ее мера устойчивости того же типа равна 1, а неустойчивости – 0 или соответственно наоборот. 3.2. Ограничения в некоторых частных случаяхНиже нас будут особенно интересовать стандартные подклассы систем (2.1), обладающих определенными дополнительными свойствами, а именно:
В линейном случае ляпуновские и верхнепредельные меры могут принимать лишь свои крайние значения, заведомо реализуемые также и на перроновских мерах. Это и устанавливают следующие две теоремы. Теорема 6. Для любой линейной системы (2.1) возможны только следующие две ситуации, причем в формулах (3.1) для всех упоминаемых в них мер устойчивости и неустойчивости нижние пределы при $\rho\to+0$ являются точными: Теорема 7. При любом $n\in\mathbb{N}$ каждая из перечисленных в теореме 6 ситуаций реализуется на некоторой ограниченной скалярной линейной системе вида (2.1), причем вторая ситуация реализуется по меньшей мере на двух системах: одна из них обладает перроновской устойчивостью, а другая – перроновской полной неустойчивостью. Множество всевозможных наборов различных мер устойчивости и неустойчивости одномерных систем конечно, как показывают следующие две теоремы. Теорема 8. При $n=1$ меры устойчивости и неустойчивости любой системы (2.1) удовлетворяют соотношениям Теорема 9. При $n=1$ оба неравенства в цепочках (3.4) для некоторой ограниченной линейной системы (2.1) являются строгими, а случаи всех равенств в этих цепочках для каждой пары мер устойчивости и неустойчивости, задаваемой условиями (3.5), реализуются на некоторых автономных системах (2.1). 3.3. Двумерные динамические системыУказанная в заключительной части теоремы 5 логическая связь между конкретными свойствами и мерами оказывается лишь односторонней, что и подтверждает Теорема 10. При $n=2$ существуют две автономные системы вида (2.1), не обладающие ни почти устойчивостью, ни почти полной неустойчивостью ни одного из трех типов: у одной из них меры устойчивости и неустойчивости всех трех типов равны 1 и 0 соответственно, а у другой – наоборот. В теореме 10 попутно подтверждена реализуемость как нулевых, так и единичных значений сразу всеми мерами устойчивости или неустойчивости для двумерных автономных систем. Более того, для таких систем множество реализуемых наборов всех мер оказывается уже довольно богатым, о чем и говорят следующие две теоремы. Теорема 11. При $n=2$ для каждого отдельного нестрогого неравенства в цепочках (3.2) существуют две автономные системы вида (2.1): для одной из них оно обращается в равенство, а для другой – в строгое неравенство. Теорема 12. При $n=2$ для любого $r>0$ существует автономная система (2.1), у которой меры устойчивости всех трех типов принимают одно и то же положительное значение, равно как и все меры неустойчивости, причем отношение этих двух значений равно $r$, а правое неравенство в цепочке (3.3) обращается в равенство. 4. Доказательства теорем4.1. Утверждения общего характераСюда подпадают теоремы 1–6 и 8. Доказательство теоремы 1. Для заданной системы (2.1) обозначим через
$$
\begin{equation}
X_\vee(t,\varepsilon)\subset G_*\equiv G\setminus\{0\},\qquad t,\varepsilon\geqslant0,\quad \vee\in\{>,<,\leqslant\},
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
множество точек $x_0\ne0$, для которых значение $x(t,x_0)$ определено (каковые, кстати, в этих обозначениях образуют множество $X_>(t,0)$) и удовлетворяет соотношению $|x(t,x_0)|\,\vee\,\varepsilon$. Множества вида $X_>(t,\varepsilon)$ и $X_<(t,\varepsilon)$ измеримы, так как открыты: каждое из них вследствие непрерывной зависимости решений от начальных значений с любой точкой содержит и целую ее окрестность. Измеримость же множеств (4.1) оставшегося вида подтверждается равенством
$$
\begin{equation*}
X_\leqslant(t,\varepsilon)=X_>(t,0)\setminus X_>(t,\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть задано число $\varepsilon>0$. Тогда первое требование (2.2) задает измеримое множество точек $x_0\in G$, поскольку оно получается счетными пересечениями и объединениями измеримых множеств
$$
\begin{equation*}
\bigcup_{0<\alpha<\varepsilon}\, \bigcap_{t\geqslant0}X_\leqslant(t,\alpha)= \bigcup_{\alpha\in\mathbb{Q}\cap(0,\varepsilon)}\, \bigcap_{t\in\mathbb{Q}\cap_+}X_\leqslant(t,\alpha).
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичные представления получаем для второго и третьего требований (2.2)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bigcup_{0<\alpha<\varepsilon}\, \bigcap_{t_0\geqslant0}\, \bigcup_{t\geqslant t_0} X_\leqslant(t,\alpha)&= \bigcup_{\alpha\in\mathbb{Q}\cap(0,\varepsilon)}\, \bigcap_{t_0\in\mathbb{N}}\, \bigcup_{t\in\mathbb{Q}\cap[t_0,+\infty)}X_\leqslant(t,\alpha), \\ \bigcup_{0<\alpha<\varepsilon}\, \bigcup_{t_0\geqslant0}\, \bigcap_{t\geqslant t_0} X_\leqslant(t,\alpha)&= \bigcup_{\alpha\in\mathbb{Q}\cap(0,\varepsilon)}\, \bigcup_{t_0\in\mathbb{N}}\, \bigcap_{t\in\mathbb{Q}\cap[t_0,+\infty)}X_\leqslant(t,\alpha). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отрицания требований (2.2) также задают измеримые множества, которые представляют собой дополнения (в $G$) к приведенным выше. Замечание 1. Аналогичными рассуждениями доказывается измеримость множеств начальных значений, для которых в требованиях (2.2) имеют место равенства или обратные неравенства (строгие, причем в любом из двух смыслов, а именно: в случае $D(x)\ne\mathbb{R}_+$ их можно считать как выполненными, так и невыполненными). Доказательство теоремы 2. Неравенства для относительных мер
$$
\begin{equation}
\mathrm{M}_\varkappa(f,\varepsilon,\rho)\geqslant\mu,\qquad \mathrm{N}_\varkappa(f,\varepsilon,\rho)\geqslant\nu,
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
заложенные в пп. 5) и 6) определения 1, позволяют утверждать, что множества всех значений $\mu\in[0,1]$ или $\nu\in[0,1]$, для которых они выполнены: Замечание 2. При произвольном $\alpha\in[0,1]$ каждый из упомянутых в теореме 2 промежутков может представлять собой как полуинтервал $[0,\alpha)$ (при $\alpha>0$), так и отрезок $[0,\alpha]$ (вырожденный при $\alpha=0$ в нулевую точку). Все эти ситуации реализуемы уже на двумерных автономных системах. Доказательство теоремы 3. Выражения в формулах (3.1) под знаками пределов при $\varepsilon\to+0$ непосредственно связаны с мерами множеств, для которых выполнены требования (2.2). Поэтому левое из них при убывании $\varepsilon$ к нулю нестрого убывает, а правое – возрастает. Следовательно, сами эти пределы существуют и могут быть заменены точными гранями по $\varepsilon>0$: нижней и верхней соответственно. При каждом фиксированном $\varepsilon$ эти выражения совпадают с точными верхними гранями по таким $\mu$ и $\nu$, которые удовлетворяют соответствующему неравенству (4.2) при всех достаточно малых $\rho>0$. Именно это, последнее, свойство и заложено в основу пп. 5) и 6) определения 1. Доказательство теоремы 4. Неравенства (3.2) выводятся из формул (3.1) и цепочек
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, 0\leqslant\mathrm{M}_\lambda(f,\varepsilon,\rho)\leqslant \mathrm{M}_\sigma(f,\varepsilon,\rho)\leqslant \mathrm{M}_\pi(f,\varepsilon,\rho)\leqslant1, \\ 0\leqslant\mathrm{N}_\pi(f,\varepsilon,\rho)\leqslant \mathrm{N}_\sigma(f,\varepsilon,\rho)\leqslant \mathrm{N}_\lambda(f,\varepsilon,\rho)\leqslant1, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
которые вытекают из пп. 5) и 6) определения 1 с учетом оценок
$$
\begin{equation*}
\sup_{t\in\mathbb{R}_+}|x(t,x_0)|\geqslant \varlimsup_{t\to+\infty}|x(t,x_0)|\geqslant \varliminf_{t\to+\infty}|x(t,x_0)|,
\end{equation*}
\notag
$$
позволяющих логически сравнивать друг с другом различные требования (2.2). Из тех же формул (3.1) вытекают и неравенства (3.3), в силу соотношений
$$
\begin{equation*}
0\leqslant\varliminf_{\rho\to+0} \mathrm{M}_\varkappa(f,\varepsilon,\rho)+ \varliminf_{\rho\to+0}\mathrm{N}_\varkappa(f,\varepsilon,\rho) \leqslant\varliminf_{\rho\to+0} (\mathrm{M}_\varkappa(f,\varepsilon,\rho)+ \mathrm{N}_\varkappa(f,\varepsilon,\rho))=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 3. Если в первом из равенств (3.1) нижний предел при $\rho\to+0$ заменить верхним, то полученная величина в сумме с мерой неустойчивости будет давать уже в точности 1 и, более того, она будет оценивать возможность выбора начального значения возмущенного решения с требованием (2.2) не снизу, а сверху. Доказательство теоремы 5. Система (2.1) обладает почти устойчивостью какого-либо типа тогда и только тогда, когда для соответствующего значения $\varkappa$ и любого $\varepsilon>0$ при некотором $\delta>0$ выполнены соотношения
$$
\begin{equation*}
\mathrm{M}_\varkappa(f,\varepsilon,\rho)=1> 0=\mathrm{N}_\varkappa(f,\varepsilon,\rho), \qquad \rho\in(0,\delta),
\end{equation*}
\notag
$$
причем тогда, в силу формул (3.1), мера устойчивости этого типа равна 1, а неустойчивости – 0. Аналогично, с точностью до наоборот, обстоит дело и с почти полной неустойчивостью. Доказательство теоремы 6. Множество всех ограниченных решений линейной системы (2.1) замкнуто относительно линейных операций. Поэтому оно образует в пространстве всех решений линейное подпространство, а все начальные значения ограниченных решений:
Доказательство теоремы 8. Если $G\subset\mathbb{R}$, то для системы (2.1) отдельно при $x>0$ (и аналогично при $x<0$) возможны следующие две ситуации.
Ситуация 1: для каждого $\varepsilon>0$ хотя бы одно решение $x>0$ удовлетворяет последнему требованию (2.2) и потому ограничено сверху числом $\varepsilon$ на некотором луче $[t_0,+\infty)$. Тогда в силу непрерывной зависимости решений от начальных значений некоторое решение $y>0$ (а с ним и любое другое, начинающееся на интервале $(0,y(0))$) ограничено сверху не только решением $x$, но еще и тем же числом $\varepsilon$ на отрезке $[0,t_0]$, а значит, удовлетворяет всем требованиям (2.2). Ситуация 2: для некоторого $\varepsilon=\varepsilon_1>0$ ни одно решение $x>0$ не удовлетворяет последнему (а тем более первому) требованию (2.2). Тогда есть ровно две возможности:
Теперь меры устойчивости и неустойчивости находятся по следующим правилам:
4.2. Утверждения о существовании конкретных примеровТаковыми являются теоремы 7 и 9–12, т.е. все остальные, не вошедшие в предыдущий список. Доказательство теоремы 7. Две из трех описанных ситуаций реализуются на следующих скалярных линейных системах которые имеют множества решений вида $x(t)=x(0)e^{-t}$ или $x(t)=x(0)e^{t}$ соответственно, обладая устойчивостью или полной неустойчивостью всех типов сразу. Третья же ситуация реализуется на скалярной системе для которой $\|a\|<2$ и имеет место полная ляпуновская и верхнепредельная неустойчивость в сочетании с перроновской устойчивостью, поскольку любое ее ненулевое решение $x(t)=x(0)e^{t\sin\ln(t+1)}$ удовлетворяет условиям Замечание 4. Полного описания всех возможных значений мер перроновской устойчивости и неустойчивости для линейных систем пока не получено. Доказательство теоремы 9. Случай строгих неравенств в цепочках (3.4) реализуется на одномерной линейной системе (4.4), удовлетворяющей соотношениям
$$
\begin{equation*}
\mu_\lambda(f)=\mu_\sigma(f)=0<1=\mu_\pi(f),\qquad \nu_\pi(f)=0<1=\nu_\sigma(f)=\nu_\lambda(f).
\end{equation*}
\notag
$$
Случаи же, когда меры устойчивости сразу всех типов равны 1, 0 или 1/2, реализуются соответственно на одномерных автономных системах (4.3) или $\dot x=x^2$ (при этом их меры неустойчивости всех типов сразу равны 0, 1 или 1/2 соответственно). Замечание 5. При $n=1$ насчитывается всего шесть различных наборов мер устойчивости и неустойчивости трех разных типов, удовлетворяющих всем соотношениям (3.4) и (3.5). Четыре из этих шести наборов уже реализованы в теореме 10. Доказательство теоремы 10. Рассмотрим двумерную автономную систему Все ее фазовые кривые лежат на оси $x_1=0$ и на параболах вида $x_2=Cx_1^2$. Две из этих парабол, соответствующие значениям $C=\pm1$, состоят из неподвижных точек (так как на них $a(x)=0$) и разделяют плоскость $G$ на области, в которых с ростом времени движение происходит: либо в направлении нулевой точки – при $|x_2|>x_1^2$ (где $a(x)<0$), либо от нее – при $|x_2|<x_1^2$ (где $a(x)>0$). Доля, которую области первого типа занимают в любом круге $B_\rho$, не равна ни 0, ни 1, однако стремится к 1 при $\rho\to+0$. Значит, система хотя и не обладает ни почти устойчивостью, ни почти полной неустойчивостью ни одного типа, но ее меры устойчивости всех типов равны 1, а неустойчивости – 0. Аналогично, с точностью до наоборот, обстоит дело с системой $\dot x=-f(x)$. Доказательство теоремы 11. Случаи, когда в цепочках (3.2) первые или последние неравенства оказываются строгими, а остальные обращаются в равенства, реализуются на системах (4.3). Далее, при $n=2$ существует [15; § 18] автономная система (2.1) (см. также более содержательный пример из монографии [5; п. 6.3]), у которой все вообще решения сходятся на плюс бесконечности к нулю, однако все решения, начинающиеся в точках с отрицательными ординатами, со временем хотя бы однажды покидают фиксированную окрестность нуля. На этой системе реализуются строгие неравенства между верхнепредельными и ляпуновскими мерами
$$
\begin{equation*}
\mu_\lambda(f)\leqslant\frac{1}{2}<1=\mu_\sigma(f)=\mu_\pi(f),\qquad \nu_\pi(f)=\nu_\sigma(f)=0<\frac{1}{2}\leqslant\nu_\lambda(f).
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, рассмотрим автономную систему (2.1) на плоскости получаемую из стандартного устойчивого предельного цикла (единичной окружности с неподвижным центром в начале координат) сдвигом на $+1$ по оси абсцисс и умножением полученной правой части на скалярную функцию (восстанавливающую нулевую неподвижную точку). В итоге она имеет две неподвижные точки и фазовую кривую, представляющую собой сдвинутую окружность с выколотой точкой, на которую и наматываются все остальные фазовые кривые, – на этой системе реализуются строгие неравенства между перроновскими и верхнепредельными мерами Доказательство теоремы 12. При $G\equiv\mathbb{R}^2$ рассмотрим автономную систему вида (2.1), задаваемую при $x\in G_*$ в полярных координатах $(\rho,\varphi)$ равенством
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}\dot\rho\\\dot\varphi\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\rho^2(\cos\varphi-a)\\0\end{pmatrix}, \qquad \rho>0,\quad -\pi\leqslant\varphi\leqslant\pi,\quad x\equiv\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\rho\cos\varphi\\\rho\sin\varphi\end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где $a\in(-1,1)$ – параметр. Все ее фазовые кривые – это либо неподвижные точки, сплошь заполняющие два луча $\varphi=\pm\arccos a$ с началом в нуле, либо остальные лучи вида $\varphi={\rm const}$, по которым при $\varphi\in(-\arccos a,\arccos a)$ движение идет от нуля, а при $\varphi\notin[-\arccos a,\arccos a]$ – к нулю. Поэтому для ее мер устойчивости и неустойчивости всех типов сразу имеем соотношения в которых последняя величина при увеличении параметра $a$ от $-1$ до 1 (невключительно) пробегает все значения $r$ от 0 до $+\infty$. Замечание 6. По всей видимости, утверждение теоремы 12 о реализуемости на двумерных автономных системах заданных мер устойчивости и неустойчивости распространяется также и на ситуацию, когда их сумма принимает произвольное неотрицательное значение при выполнении строгого неравенства справа в цепочке (3.3). 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ser23} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|