| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) О локально чебышевских множествах К. С. Шкляевab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624030362 
Реферативные базы данных:
  Пусть $(X,\|\cdot\|)$ – нормированное пространство, $M$ – непустое подмножество $X$. Через $d(x, M)=\inf\{ \| x - y \| \colon y \in M\}$ обозначим расстояние от элемента $x \in X$ до множества $M$. Метрическую проекцию точки $x$ на множество $M$ обозначим $P_M(x) = \{y \in M\colon \| x - y \| = d(x, M) \}$. Открытый и замкнутый шары пространства $X$ радиуса $r$ с центром в точке $x$ обозначим через $B(x,r)$ и $\overline{B}(x,r)$ соответственно. Напомним, что множество $M$ называется ограниченно компактным, если пересечение $M$ со всяким замкнутым шаром компактно. Множество $M$ называется чебышевским, если для каждого $x \in X$ проекция $P_M(x)$ состоит ровно из одного элемента. Локальные аппроксимативные свойства множеств исследовались в работах Кощеева [1], Алимова [2], [3], Алимова и Царькова [4], Флерова [5] и др. В 2012 году М. В. Балашов предложил понятие локально чебышевского множества: множество $M$ в нормированном пространстве $X$ называется локально чебышевским, если для всякого $x \in M$ существует такое $r(x) > 0$, что множество $M \cap \overline{B}(x, r(x))$ является чебышевским. Он также поставил вопрос, верно ли, что всякое связное локально чебышевское множество является чебышевским. Частичные ответы на этот вопрос были получены Флеровым и автором. В работе [5] Флеров показал, что всякое связное локально чебышевское множество на нормированной плоскости является чебышевским. Также он указал пример замкнутого связного локально чебышевского, но не чебышевского множества (данный пример идейно восходит к известному примеру Ч. Данхэма несвязного чебышевского множества в $C[0, 1]$). Автор в работе [6] ввел более общее определение локально чебышевского множества. Определение 1. Множество $M$ называется локально чебышевским, если для каждой точки $x \in M$ существуют такие чебышевское множество $M(x) \subset X$ и соответствующее ему число $r(x) > 0$, что $M \cap B(x,r(x)) \subset M(x) \subset M$. В [6] было доказано, что в конечномерном нормированном пространстве всякое связное компактное локально чебышевское (в смысле определения 1) множество является чебышевским. Данная работа посвящена доказательству следующей теоремы, обобщающей это утверждение. Теорема 1. Любое ограниченно компактное связное локально чебышевское множество $M$ в нормированном пространстве $X$ является чебышевским. В этом утверждении связность $M$ существенна: двухточечное множество является локально чебышевским, но не чебышевским в любом пространстве $X$. Требование ограниченной компактности по-видимому можно ослабить, но отказаться от него нельзя, как показывает вышеупомянутый пример. Отметим также, что рассуждения, используемые при доказательстве теоремы 1, идейно близки к теореме о монодромии из курса комплексного анализа. Перейдем к доказательству теоремы 1. Далее $M \subset X$ – связное ограниченно компактное локально чебышевское множество. Замечание 1. Ниже будем считать, что для всякой точки $x$ локально чебышевского множества $M$ чебышевское множество $M(x)$ и соответствующее ему число $r(x)$ из определения 1 фиксированы. Для доказательства теоремы 1 нам понадобится несколько лемм. Лемма 1. Пусть $M_1, M_2 \subset X$ – ограниченно компактные чебышевские множества, $x_0 \in X$, $P_{M_1}(x_0) = \{y_0\}$ и $M_1 \cap B(y_0,r) = M_2 \cap B(y_0,r)$ для некоторого $r > 0$. Тогда существует такое $\varepsilon > 0$, что Доказательство. Для всех $z \in B(y_0,r/2)$ выполнено $P_{M_i}(z) \subset B(y_0,r)$, $i = 1,2$, поскольку $d(z, M_i \setminus B(y_0,r)) \geqslant r/2$ и $d(z, M_i) \leqslant \| z - y_0 \| < r/2$. Отсюда
$$
\begin{equation}
P_{M_1}(z) = P_{M_2}(z) \quad \forall\, z \in B\biggl(y_0,\frac{r}{2}\biggr).
\end{equation}
\tag{1}
$$
Метрическая проекция на ограниченно компактное чебышевское множество непрерывна [8; следствие 2.2]. Поэтому найдется такое $\varepsilon > 0$, что $P_{M_1}(x) \in B(y_0,r/2)$ для всякого $x \in B(x_0,\varepsilon)$. Ясно, что $P_{M_1}(z) = P_{M_1}(x)$ при всех $z \in [x,P_{M_1}(x)]$. Поэтому из (1) вытекает
$$
\begin{equation*}
P_{M_2}(z) = P_{M_1}(z) = P_{M_1}(x) \quad \forall\, z \in [x,P_{M_1}(x)] \cap B\biggl(y_0,\frac{r}{2}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что множество $N \subset X$ называется солнцем, если для любой точки $u \in X \setminus N$ существует такая точка $v \in P_{N}(u)$, что $v \in P_{N}[(1 - \lambda)v + \lambda u]$ для всех $\lambda \geqslant 0$. Поскольку $M_2$ – ограниченно компактное чебышевское множество, оно является солнцем [8; теорема 4.4], следовательно,
Лемма доказана. Определение 2. Пусть $M \subset X$ – локально чебышевское множество. Локальной метрической проекцией на $M$ назовем многозначное отображение Замечание 2. Отметим, что локальная метрическая проекция зависит не только от множества $M$, но и от набора чебышевских множеств $\{ M(x)\colon x \in M\}$ из определения 1. Лемма 2. Пусть $x_0 \in X$, $y_0 \in \widetilde{P}_M(x_0)$. Тогда если $y := P_{M(y_0)}(x) \in B(y_0,r(y_0))$, то Доказательство. Для любого $r < \min\{r(y), r(y_0) - \| y - y_0 \|\}$ выполнены включения
$$
\begin{equation*}
B(y,r) \subset B(y,r(y)), \qquad B(y,r) \subset B(y_0,r(y_0)).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
M(y) \cap B(y,r) = M \cap B(y,r) = M(y_0) \cap B(y,r).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда $P_{M(y)}(z) = P_{M(y_0)}(z)$ в некоторой окрестности $x$ по лемме 1. Поскольку $y = P_{M(y_0)}(x)$, имеем $P_{M(y)}(x) = y$, т.е. $y \in \widetilde{P}_M(x)$.
Лемма доказана. Лемма 3. Пусть $R > 0$, $x \in M$. Тогда существуют такие $r > 0$ и $y_1,\dots,y_n \in M \cap \overline{B}(x,R)$, что для всякой точки $y \in M \cap \overline{B}(x,R)$ найдется $k \in \{1, \dots, n\}$, для которого Доказательство. Из открытого покрытия компакта $M \cap \overline{B}(x,R)$ множествами
$$
\begin{equation*}
\biggl\{B\biggl(y,\frac{r(y)}{2}\biggr)\colon y \in M \cap \overline{B}(x,R)\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
выберем конечное подпокрытие Положим $r:=\min\{r(y_1),\dots,r(y_n)\}/2$. Тогда для всякой точки $y \in M \cap \overline{B}(x,R)$ существует такое $k \in 1,\dots,n$, что $y \in B(y_k,r(y_k)/2)$. Тогда выполнены включения а следовательно, $B(y,r) \subset M(y_k)$, что и требовалось.
Лемма доказана. Определение 3. Пусть $\gamma\colon [0,1] \to X$ – непрерывный путь, $\gamma(0) = x_0$, $y_0 \in \widetilde{P}_M(x_0)$. Назовем непрерывное отображение $f\colon [0,1] \to M$ непрерывной выборкой из $\widetilde{P}_M$ вдоль пути $\gamma$ с начальным значением $y_0$, если Лемма 4. Пусть $\alpha,\beta\colon [0,1] \to X$ – спрямляемые пути, $\alpha(0) = \beta(0) = x_0$, $\alpha(1) = \beta(1) = x_1$ и $y_0 \in \widetilde{P}_M(x_0)$. Тогда Доказательство. 1) Проверим единственность данной выборки. Предположим противное. Пусть $f_1$, $f_2$ – различные непрерывные выборки из $\widetilde{P}_M$ вдоль пути $\alpha$ с начальным значением $y_0$. Положим Тогда $f_1(t) = f_2(t)$ при всех $t \in [0,s)$, а значит, $f_1(s) = f_2(s)$ в силу непрерывности выборок $f_1$ и $f_2$. Ясно, что в силу определения $\widetilde{P}_M$. Найдем такую окрестность $U$ точки $s$, что
$$
\begin{equation*}
P_{M(f_i(s))}(\alpha(t)) \in B(f_i(s),r(f_i(s))), \qquad i = 1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $t \in U$. Тогда по лемме 2 для всех $t \in U$ выполнено Однако равенство $f_1(t) = f_2(t)$ в окрестности $U$ противоречит выбору $s$. Тем самым единственность непрерывной выборки доказана.
Докажем существование выборки. Обозначим через $T$ множество таких точек $t \in [0,1]$, что существует непрерывная выборка $f_t$ из $\widetilde{P}_M$ вдоль пути $\alpha|_{[0,t]}$ с начальным значением $y_0$. Ясно, что $0 \in T$. Непосредственно из определения множества $T$ следует, что если $t \in T$, то $[0,t] \subset T$, а значит, $T$ связно. Покажем, что множество $T$ открыто. Пусть $s \in T$. Продолжим $f_s$ на некоторую правую окрестность точки $s$. Положим Тогда $M \cap B(y_s, r(y_s)) \subset M(y_s)$, поэтому существует такое $\varepsilon > 0$, что
$$
\begin{equation*}
P_{M(y_s)}(x) \in B(y_s,r(y_s)) \quad \forall\, x \in B(x_s,\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем $\delta > 0$ так, чтобы $\alpha([s, s+\delta]) \subset B(x_s,\varepsilon)$ и при $t \in (s, s+\delta]$ доопределим Ясно, что полученное продолжение $f_s$ непрерывно на $[0,s+\delta]$ в силу непрерывности метрической проекции $P_{M(y_s)}$. Кроме того, по лемме 2 для всех $t \in (s,s + \delta]$ выполнено $f(t) \in \widetilde{P}_M(\alpha(t))$. Поэтому $f$ является непрерывной выборкой из $\widetilde{P}_M$ вдоль пути $\alpha|_{[0,s + \delta]}$ c начальным значением $y_0$. Тем самым, множество $T$ открыто.
Докажем, что $T$ замкнуто. Поскольку $T$ – связное множество, содержащее $0$, достаточно для всякого $s \in (0,1]$ показать, что если $[0,s) \subset T$, то и $s \in T$. Пусть $[0,s) \subset T$. Тогда по определению множества $T$ для всякого $t \in (0, s)$ существует непрерывная выборка $f_t$ из $\widetilde{P}_M$ вдоль $\alpha|_{[0,t]}$ с начальным значением $y_0$. Докажем, что $s \in T$. В силу единственности выборки имеем $f_u(t) = f_v(t)$ при $t \in [0, \min\{u,v\}]$ для всех $u, v \in (0,s)$. Поэтому существует непрерывная функция
$$
\begin{equation*}
f\colon [0,s) \to X, \qquad f|_{[0,t]} = f_t \quad \forall\, t \in [0, s).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\tau \in [0,s)$. Определим $\delta=\delta(\tau) > 0$ так, чтобы для всех $t \in (\tau-\delta,\tau+\delta) \cap [0,1]$. Тогда
$$
\begin{equation}
\|\alpha(t)-f(t)\| \leqslant \|\alpha(t)-f(\tau)\| \leqslant \|\alpha(t) - \alpha(\tau) \| + \| \alpha(\tau) - f(\tau)\|.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Возьмем отрезок $[0,\tau]$, $\tau < s$, и выберем из его покрытия интервалами
$$
\begin{equation*}
\biggl\{ \biggl(t - \frac{\delta(t)}{2},\, t + \frac{\delta(t)}{2}\biggr)\colon t \in [0,\tau] \biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
конечное подпокрытие
$$
\begin{equation*}
\{ (t_1 - \delta_1, t_1 + \delta_1),\dots,(t_n - \delta_n, t_n + \delta_n)\}, \qquad 0 = t_1 < \cdots < t_n = \tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда в силу (2) для всякого $j \in 2,\dots,n$ имеет место неравенство
$$
\begin{equation*}
\| \alpha(t_j) - f(t_j)\| - \| \alpha(t_{j-1}) - f(t_{j-1}) \| \leqslant \| \alpha(t_j) - \alpha(t_{j-1})\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Суммируя эти неравенства по всем $j$, получаем
$$
\begin{equation*}
\| \alpha(\tau) - f(\tau) \| - \| \alpha(0) - f(0)\| \leqslant \sum_{j=2}^n \| \alpha(t_j) - \alpha(t_{j-1}) \| \leqslant |\alpha([0,\tau])|,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому для любого $\tau \in [0,s)$ имеем
$$
\begin{equation}
\|f(\tau)\| < \|\alpha(0)-f(0)\|+\max_{t \in [0,1]}\|\alpha(t)\|+ |\alpha([0,1])| + 1 =: R
\end{equation}
\tag{3}
$$
и, стало быть, По лемме 3 найдутся такие $r > 0$ и чебышевские множества $M_1,\dots,M_N \subset M$, что для всякого $y \in M \cap \overline{B}(0,R)$ существует $k \in 1,\dots,N$, для которого выполнено $M \cap B(y,r) \subset M_k$. В частности, для всякого $t \in [0,s)$ множество $M \cap B(f(t),r)$ содержится в одном из множеств $M_1,\dots,M_N$. Тогда найдутся такое $k \in 1,\dots,N$ и такая последовательность $\{ t_n\}_{n=1}^\infty \subset [0,s)$, что а значит, $M(f(t_n)) \cap B(f(t_n),r')=M_k \cap B(f(t_n),r')$ для $r' = \min\{r,r(f(t_n)) \}$, поэтому по лемме 1
$$
\begin{equation}
f(t_n) = P_{M(f(t_n))}(\alpha(t_n)) = P_{M_k}(\alpha(t_n)).
\end{equation}
\tag{5}
$$
Возьмем такое натуральное $m$, что
$$
\begin{equation}
\|P_{M_k}(\alpha(t)) - P_{M_k}(\alpha(t_m))\| < r \quad \forall\, t \in (t_m,s]
\end{equation}
\tag{6}
$$
и переопределим функцию
$$
\begin{equation*}
f(t) := \begin{cases} f(t), & t \in [0,t_m], \\ P_{M_k}(\alpha(t)), & t \in (t_m,s]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $t \in (t_m,s]$. В силу (5), (6) выполнено
$$
\begin{equation*}
\| f(t) - f(t_m)\| = \| P_{M_k}(\alpha(t)) - P_{M_k}(\alpha(t_m))\| < r,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому в силу (4) при $r' = \min\{ r(f(t)), r - \| f(t) - f(t_m)\| \}$ выполнено Отсюда по лемме 1 имеем
$$
\begin{equation*}
f(t) = P_{M_k}(\alpha(t)) = P_{M(f(t))}(\alpha(t)) \in \widetilde{P}_M(\alpha(t)).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому отображение $f$ является непрерывной выборкой из $\widetilde{P}_M$ вдоль пути $\alpha|_{[0,s]}$ с начальным значением $y_0$, т.е. $s \in T$. Поэтому множество $T$ замкнуто. Ранее было доказано, что $T$ открыто и непусто, следовательно, $T = [0,1]$.
2) Определим семейство путей
$$
\begin{equation*}
\gamma_s := (1-s) \alpha + s \beta, \qquad s \in [0,1].
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $\gamma_s$ – гомотопия между путями $\gamma_0 = \alpha$, $\gamma_1 = \beta$ и длины путей $\gamma_s$ равномерно ограничены. Обозначим через $f_s$ непрерывную выборку из $\widetilde{P}_M$ вдоль пути $\gamma_s$ с начальным значением $y_0$. Тогда в силу (3) найдется такое $R > 0$, для которого
$$
\begin{equation*}
f_s([0,1]) \subset B(0,R) \quad \forall\, s \in [0,1].
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда по лемме 3 можно считать, что при некотором $r > 0$ выполнено
$$
\begin{equation*}
M \cap B(f_s(\tau),r) \subset M(f_s(\tau)) \qquad \forall\, \tau \in [0,1], \quad \forall\, s \in [0,1].
\end{equation*}
\notag
$$
В силу компактности $\gamma_s([0,1])$ можно так выбрать $\varepsilon > 0$, чтобы
$$
\begin{equation}
x \in B(\gamma_s(\tau),\varepsilon) \ \Longrightarrow \ P_{M(f_s(\tau))}(x) \in B(f_s(\tau),r) \quad \forall\, \tau \in [0,1].
\end{equation}
\tag{7}
$$
Найдем окрестность $U(s)$ точки $s$, для которой
$$
\begin{equation*}
\sup\bigl\{\| \gamma_t(\tau)-\gamma_s(\tau) \|\colon t \in U(s) \cap [0,1], \ \tau \in [0,1]\bigr\} < \varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда в силу (7) по лемме 2 для всяких $t \in U(s) \cap [0,1]$ и $\tau \in [0,1]$ имеем
$$
\begin{equation*}
f_t(\tau) = P_{M(f_t(\tau))}(\gamma_t(\tau)) = P_{M(f_s(\tau))}(\gamma_t(\tau)).
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя в последнее равенство $\tau = 1$, получим
$$
\begin{equation*}
f_t(1) = P_{M(f_s(1))}(\gamma_t(1)) = P_{M(f_s(1))}(\gamma_s(1)) = f_s(1).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому функция $f_t(1)$ локально постоянна на отрезке $[0,1]$, а следовательно, и постоянна на нем, отсюда $f(1) = f_0(1) = f_1(1) = g(1)$.
Лемма доказана. Доказательство теоремы 1. Предположим, что множество $M$ не является чебышевским. Поскольку $M$ ограниченно компактно, $P_M(x) \ne \varnothing$ для всех $x \in X$. Поэтому найдется такое $x_0 \in X$, что $|P_M(x_0)| \geqslant 2$. Пусть $y_0, y_1 \in P_M(x_0)$, $y_0 \ne y_1$. При $y \in M$ для всякого $x \in B(y,r(y)/2)$ имеем
$$
\begin{equation*}
d(x, M \setminus B(y,r(y))) \geqslant \frac{r(y)}{2} > \| x - y\| \geqslant d(x,M(y)),
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $|P_M(x)|=1$, поскольку множество $M(y)$ чебышевское. Отсюда
$$
\begin{equation*}
|P_M(x)| = 1 \quad \forall\, x \in U(M) := \bigcup_{y \in M} B\biggl(y,\frac{r(y)}{2} \biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Множество $M$ связно, поэтому его окрестность $U(M)$ – это открытое линейно связное множество, следовательно, существует спрямляемый путь (конечнозвенная ломаная)
$$
\begin{equation*}
\gamma_1\colon [0,1] \to U(M), \qquad \gamma_1(0) = y_0, \quad \gamma_1(1) = y_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что произведение двух путей $\alpha_1, \alpha_2\colon[0,1] \to X$, $\alpha_1(1)=\alpha_2(0)$ определяется как путь
$$
\begin{equation}
\alpha_2 \alpha_1(t)= \begin{cases} \alpha_1(2t), & t \in \biggl[0,\dfrac{1}{2}\biggr], \\ \alpha_2(2t-1), & t \in \biggl(\dfrac{1}{2},1\biggr]. \end{cases}
\end{equation}
\tag{8}
$$
Рассмотрим пути
$$
\begin{equation*}
\gamma_0, \gamma_2\colon [0,1] \to X, \qquad \gamma_0(t) := (1-t) x_0 + t y_0, \quad \gamma_2(t) := t x_0 + (1-t) y_1
\end{equation*}
\notag
$$
и определим путь $\gamma := \gamma_2(\gamma_1 \gamma_0)$. Ясно, что функции
$$
\begin{equation*}
f_0, f_1, f_2\colon [0,1] \to M, \qquad f_0 \equiv y_0, \quad f_1(t) := P_M(\gamma_1(t)), \quad f_2 \equiv y_1,
\end{equation*}
\notag
$$
являются непрерывными выборками из $\widetilde{P}_M$ вдоль путей $\gamma_0$, $\gamma_1$, $\gamma_2$ с начальными значениями $y_0$, $y_0$ и $y_1$ соответственно. Поэтому отображение $f_\gamma := f_2(f_1 f_0)$, где произведение понимается в смысле определения (8), является непрерывной выборкой из $\widetilde{P}_M$ вдоль $\gamma$ с начальным значением $y_0$ и $f_\gamma(1)=y_1$. С другой стороны, путь $\gamma$ имеет те же концы, что и тождественный путь $\beta \equiv x_0$. Непрерывной выборкой из $\widetilde{P}_M$ вдоль $\beta$ с начальным значением $y_0$ является очевидно тождественное отображение $f_\beta \equiv y_0$. Но тогда $f_\beta(1) = f_\gamma(1)$ по лемме 4, т.е. $y_0 = y_1$. Противоречие.
Теорема доказана. Автор выражает благодарность П. А. Бородину за внимание к работе. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Shk24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|