| Математические заметки |
|
|
|
|
|
О промежуточных значениях нижней размерности квантования А. В. Иванов Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра Российской академии наук, г. Петрозаводск
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624030039 
Реферативные базы данных:
  В теории приближения борелевских вероятностных мер мерами с конечными носителями (известной под названием теории квантования – см. [1]) важную роль играет понятие размерности квантования $D(\mu)$ данной меры $\mu$. Значение $D(\mu)$ характеризует скорость возрастания числа точек в носителе оптимального $\varepsilon$-приближения меры $\mu$ при $\varepsilon\to 0$. Эта скорость бывает неустойчивой, поэтому рассматривают верхнюю $\overline{D}(\mu)$ и нижнюю $\underline{D}(\mu)$ размерности квантования (в случае равенства $\overline{D}(\mu)=\underline{D}(\mu)$ используют обозначение $D(\mu)$). Известно, что для любой вероятностной меры $\mu$, заданной на метрическом компакте $(X,\rho)$, имеют место неравенства
$$
\begin{equation}
\overline{D}(\mu)\leqslant\overline{\dim}_B(\operatorname{supp}(\mu)), \qquad \underline{D}(\mu)\leqslant\underline{\dim}_B(\operatorname{supp}(\mu)),
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $\overline{\dim}_B$ и $\underline{\dim}_B$ – верхняя и нижняя емкостные размерности носителя меры $\operatorname{supp}(\mu)$. В связи с неравенствами (1) естественно возникает вопрос “о промежуточных значениях” (классический вопрос теории размерности – см. [2]):
Верно ли, что для любого неотрицательного числа $a$, не превосходящего соответствующей емкостной размерности (верхней или нижней) компакта $X$, на $X$ существует вероятностная мера $\mu_a$ с носителем $\operatorname{supp}(\mu_a)=X$, соответствующая размерность квантования которой (верхняя или нижняя) равна $a$? Для верхней размерности квантования этот вопрос решен положительно в [3], где было отмечено, что техника, использованная в этой работе, не позволяет получить аналогичный результат для $\underline{D}(\mu)$, поскольку свойства нижней емкостной размерности и нижней размерности квантования существенно хуже свойств верхних размерностей. В настоящей статье дано положительное решение вопроса о промежуточных значениях нижней размерности квантования в диапазоне значений $a\in[0,z\underline{\dim}_BX)$, где $z\underline{\dim}_BX$ – величина, характеризующая асимптотическое поведение нижней емкостной размерности замкнутых $\varepsilon$-окрестностей нульмерных в смысле $\dim_B$ замкнутых подмножеств компакта $X$ при $\varepsilon\to 0$. Для широкого класса метрических компактов имеет место равенство $z\underline{\dim}_BX=\underline{\dim}_BX$. В дальнейшем $X$ – метрический компакт с метрикой $\rho$. Для подмножества $A\subset X$ через $B(A,\varepsilon)$ мы обозначаем его замкнутую $\varepsilon$-окрестность:
$$
\begin{equation*}
B(A,\varepsilon)=\{x\colon \rho(x,A)\leqslant\varepsilon\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Подмножество $A$ называется $\varepsilon$-сетью для $F\subset X$, если $F\subset B(A,\varepsilon)$.
Пусть $F$ – непустое замкнутое подмножество $X$ и $\varepsilon>0$. Обозначим через $N(F,\varepsilon)$ наименьшее число точек в $\varepsilon$-сети для $F$. Верхняя и нижняя емкостные размерности множества $F$ определяются (соответственно) по формулам
$$
\begin{equation*}
\overline{\dim}_BF=\varlimsup_{\varepsilon\to 0}\frac{\log N(F,\varepsilon)}{-\log\varepsilon}, \qquad \underline{\dim}_BF=\varliminf_{\varepsilon\to 0}\frac{\log N(F,\varepsilon)}{-\log\varepsilon}.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что $\overline{\dim}_BF\geqslant \underline{\dim}_BF$. В случае равенства $\overline{\dim}_BF=\underline{\dim}_BF$ используют обозначение $\dim_BF$. Теория емкостных размерностей подробно изложена в монографии [4; гл. 2].
Подмножество $A\subset X$ называется $\varepsilon$-разделенным, если $\rho(x,y)>\varepsilon$ для любых двух различных точек $x,y\in A$. В силу монотонности нижней емкостной размерности для любого $X$ имеет место неравенство: Если в формуле (2) в качестве $A$ рассматривать только одноточечные подмножества, то мы получим определение локальной нижней емкостной размерности $l\underline{\dim}_BX$, введенное в [5]. Очевидно, что всегда $l\underline{\dim}_BX \leqslant z\underline{\dim}_BX$, и если $l\underline{\dim}_BX$ совпадает с $\underline{\dim}_BX$, то $z\underline{\dim}_BX=\underline{\dim}_BX$. Предложение 1. Если множество предельных точек $X'$ компакта $X$ имеет размерность $\dim_BX'=0$, то $z\underline{\dim}_BX=\underline{\dim}_BX$. Доказательство. Фиксируем $\delta>0$. Множество $X\setminus B(X',\delta)$ конечно. Обозначим его мощность через $n$. Для любого $\varepsilon$ имеет место неравенство из которого следует, что $\underline{\dim}_BB(X',\delta)= \underline{\dim}_BX$.
Пример метрического компакта $X$, для которого локальная размерность $l\underline{\dim}_BX$ строго меньше $\underline{\dim}_BX$, содержится в [4; гл. 2, пример 6.2] (см. [5]). Этот компакт $X$ имеет ровно две предельные точки, поэтому в силу предложения 1 для данного $X$ выполнено равенство $z\underline{\dim}_BX=\underline{\dim}_BX$. Автору неизвестен пример метрического компакта с несовпадающими размерностями $ z\underline{\dim}_BX$ и $\underline{\dim}_BX$. Далее через $P(X)$ обозначается пространство борелевских вероятностных мер на $X$ с метрикой $\rho_P$ Канторовича – Рубинштейна, которая определяется по формуле
$$
\begin{equation*}
\rho_P(\mu,\nu)=\sup\{|\mu(f)-\nu(f)|\colon f\in\mathrm{Lip}_1(X)\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathrm{Lip}_1(X)$ – множество вещественных функций на $X$, удовлетворяющих условию Липшица с константой $1$, и $\mu(f)=\int f\, d\mu$. Для каждой меры $\mu\in P(X)$ определен ее носитель $\operatorname{supp}(\mu)$ как наименьшее замкнутое подмножество $X$ полной меры. Известно (см. [6; гл. 7]), что для любого $n\in \mathbb{N}$ множество
$$
\begin{equation*}
P_n(X)=\{\mu\in P(X)\colon |\operatorname{supp}(\mu)|\leqslant n\}
\end{equation*}
\notag
$$
замкнуто в $P(X)$ и $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}P_n(X)$ всюду плотно в $P(X)$. Таким образом, для любой меры $\mu\in P(X)$ и любого $\varepsilon>0$ корректно определено число
$$
\begin{equation*}
N(\mu,\varepsilon)=\min\{n\colon \rho_P(\mu,P_n(X))\leqslant\varepsilon\}.
\end{equation*}
\notag
$$
($N(\mu,\varepsilon)$ есть наименьшее число точек в носителе $\varepsilon$-приближения меры $\mu$.) Если $\mu\not\in \bigcup_{n\in\mathbb{N}}P_n(X)$, то $N(\mu,\varepsilon)$ неограниченно возрастает при $\varepsilon\to 0$. “Скорость” этого возрастания характеризуют верхняя $\overline{D}(\mu)$ и нижняя $\underline{D}(\mu)$ размерности квантования меры $\mu$:
$$
\begin{equation*}
\overline{D}(\mu)=\varlimsup_{\varepsilon\to 0}\frac{\log N(\mu,\varepsilon)}{-\log\varepsilon}, \qquad \underline{D}(\mu)=\varliminf_{\varepsilon\to 0}\frac{\log N(\mu,\varepsilon)}{-\log\varepsilon}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следующие неравенства ограничивают сверху значения размерностей квантования (см. [7; предложение 6]; для мер в $\mathbb{R}^n$ – [1]):
$$
\begin{equation*}
\overline{D}(\mu)\leqslant\overline{\dim}_B(\operatorname{supp}(\mu)), \qquad \underline{D}(\mu)\leqslant\underline{\dim}_B(\operatorname{supp}(\mu)).
\end{equation*}
\notag
$$
Известно, что если $A$ – конечное подмножество $X$, то для любой меры $\mu\in P(X)$, где $\mu(\rho(x,A))=\int \rho(x,A)\, d\mu$ (см. [7]).
Предложение 2 [7]. Пусть последовательность $\varepsilon_n$ монотонно стремится к нулю, и существует число $c>0$ такое, что для любого $n$ выполняется неравенство $\varepsilon_{n+1}\geqslant c\varepsilon_n$. Тогда Предложение 3. Пусть $\mu,\nu\in P(X)$, $p,q\in\mathbb{R}$, $p,q>0$ и $p+q=1$. Тогда $\underline{D}(p\mu+q\nu)\geqslant \max\{\underline{D}(\mu)+\underline{D}(\nu)\}$. Если при этом $\underline{D}(\mu)>\overline{D}(\nu)$, то $\underline{D}(p\mu+q\nu)=\underline{D}(\mu)$. Доказательство. Пусть $\xi\in P(X)$ – $\varepsilon$-аппроксимация меры $p\mu+q\nu$ и $F=\operatorname{supp}(\xi)$. Тогда $\varepsilon\geqslant (p\mu+q\nu)(\rho(x,F))\geqslant p\mu(\rho(x,F))$ и, значит, $\mu(\rho(x,F))\leqslant (\varepsilon/p)$. Откуда следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, N\biggl(\mu,\frac{\varepsilon}{p}\biggr)\leqslant N(p\mu+q\nu,\varepsilon), \\ \underline{D}(\mu)=\varliminf_{\varepsilon\to 0}\frac{\log N(\mu,{\varepsilon}/{p})}{-\log ({\varepsilon}/{p})}\leqslant \varliminf_{\varepsilon\to 0}\frac{\log N(p\mu+q\nu,\varepsilon)}{-\log \varepsilon}=\underline{D}(p\mu+q\nu). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Неравенство $\underline{D}(\nu)\leqslant\underline{D}(p\mu+q\nu)$ доказывается аналогично. Итак, $\underline{D}(p\mu+q\nu)\geqslant \max\{\underline{D}(\mu)+\underline{D}(\nu)\}$.
Пусть теперь $\xi$ и $\eta$ – $\varepsilon$-аппроксимации $\mu$ и $\nu$ соответственно,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{supp}(\xi)=F, \qquad \operatorname{supp}(\eta)=G, \qquad |F|=N(\mu,\varepsilon), \qquad |G|=N(\nu,\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
(p\mu+q\nu)(\rho(x,F\cup G))\leqslant p\mu(\rho(x,F))+q\nu(\rho(x,G))\leqslant\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, Если $\underline{D}(\mu)>\overline{D}(\nu)$, то при малых $\varepsilon$ имеет место неравенство $N(\mu,\varepsilon)>N(\nu,\varepsilon)$, и тогда при малых $\varepsilon$ откуда следует, что $\underline{D}(p\mu+q\nu)\leqslant\underline{D}(\mu)$. Теорема. Пусть $(X,\rho)$ – метрический компакт. Для любого неотрицательного числа $a<z\underline{\dim}_BX$ существует вероятностная мера $\mu_a\in P(X)$, для которой $\underline{D}(\mu_a)=a$ и $\operatorname{supp}(\mu_a)=X$. Доказательство. Для $a=0$ искомой вероятностной мерой является мера
$$
\begin{equation*}
\mu_0=\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{1}{2^n}\delta_{x_n},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\{x_n\colon n\in\mathbb{N}\}$ – произвольное счетное всюду плотное подмножество $X$, и $\delta_x$ – мера Дирака. Известно (см. [7]), что $D(\mu_0)=0$ и $\operatorname{supp}(\mu_0)=X$.
Далее будем считать, что $a>0$. Выберем число $p\in\mathbb{N}$ так, чтобы выполнялось неравенство Фиксируем замкнутое подмножество $A\subset X$ размерности $\dim_BA=0$, для которого $\underline{\dim}_B(A,X)=c>b$. Из нульмерности $A$ следует, что при достаточно малых $\varepsilon$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation}
N(A,\varepsilon)<\biggl(\frac{1}{\varepsilon}\biggr)^b.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Поскольку $\underline{\dim}_BX>b$, для малых $\varepsilon$
$$
\begin{equation}
N(X,2\varepsilon)>\biggl(\frac{1}{\varepsilon}\biggr)^b.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Выберем положительное число $\varepsilon_0$ так, что для любого $\varepsilon\leqslant\varepsilon_0$ выполнялись неравенства (3) и (4). Для $n\in N$ положим $\varepsilon_n=\varepsilon_0/2^{pn}$. Пусть $\delta_0=\operatorname{diam} X$. Для $n\in\mathbb{N}$ положим
$$
\begin{equation*}
\delta_n=\sup\biggl\{\delta\colon N(B(A,\delta),2\varepsilon_n)\leqslant\biggl(\frac{1}{\varepsilon_n}\biggr)^b\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу неравенства (4) $\delta_n\leqslant\delta_0$ для любого $n$. Легко проверить, что для любого $\varepsilon$ имеет место неравенство $N(B(A,\varepsilon),2\varepsilon)\leqslant N(A,\varepsilon)$, из которого следует (в силу (3)), что $\delta_n\geqslant\varepsilon_n$.
Покажем, что $\lim_{n\to\infty}\delta_n=0$. Предположим противное. Тогда для некоторого числа $r>0$ множество $D=\{n\colon \delta_n>r\}$ бесконечно. В силу выбора множества $A$ $\underline{\dim}_BB(A,r)\geqslant c>b$. Следовательно, при малых $\varepsilon$
$$
\begin{equation*}
N(B(A,r),2\varepsilon)>\biggl(\frac{1}{\varepsilon}\biggr)^b.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, существует $n\in D$, для которого
$$
\begin{equation*}
N(B(A,r),2\varepsilon_n)>\biggl(\frac{1}{\varepsilon_n}\biggr)^b,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда из определения $\delta_n$ следует, что $\delta_n\leqslant r$ – получено противоречие.
Определим числа $\delta'_n$ следующим образом. Если $\delta_n=\delta_0$, то $\delta'_n=\delta_n$. При $\delta_n<\delta_0$ положим
$$
\begin{equation*}
\delta'_n=\frac{1}{2}(\delta_n+\min\{\delta_i\colon i<n,\,\delta_i>\delta_n\}).
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что для $\delta'_n$ выполняются неравенства
$$
\begin{equation}
N(B(A,\delta'_n),2\varepsilon_n)>\biggl(\frac{1}{\varepsilon_n}\biggr)^b.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Кроме того, $\delta'_n\geqslant\delta_n$ и $\lim_{n\to\infty}\delta'_n=0$.
Максимальное (по включению) $\varepsilon$-разделенное подмножество компакта является его $\varepsilon$-сетью. Поэтому в силу неравенства (5) для каждого $n\in \mathbb{N}$ в множестве $B(A,\delta'_n)$ можно выделить $2\varepsilon_n$-разделенное подмножество $E_n$ мощности $q_n=[(1/\varepsilon_n)^b]$ (квадратные скобки обозначают здесь целую часть числа). Определим теперь вероятностную меру $\mu$ по формуле
$$
\begin{equation*}
\mu=\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{1}{2^n}\sum_{x\in E_n}\frac{1}{q_n}\delta_x.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что $\underline{D}(\mu)=a$. Для каждого $n\in\mathbb{N}$ докажем следующее неравенство:
$$
\begin{equation}
N\biggl( \mu,\frac{\varepsilon_n}{2^{n+1}}\biggr) \geqslant\frac{q_n}{2}.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Пусть $F$ – подмножество $X$ мощности $<q_n/2$. Поскольку $E_n$ является $2\varepsilon_n$-разделенным, множество $G_n=E_n\setminus B(F,\varepsilon_n)$ имеет мощность не менее $q_n/2$. Пусть $\nu$ – произвольная вероятностная мера, носитель которой лежит в $F$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\rho_P(\mu,\nu)\geqslant\rho_P(\mu,P(F))=\mu(\rho(x,F)).
\end{equation*}
\notag
$$
При $x\in G_n$ имеет место неравенство $\rho(x,F)>\varepsilon_n$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\sum_{x\in E_n}\frac{1}{q_n}\delta_x(\rho(x,F))>\frac{\varepsilon_n}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, т.е. мера $\nu$ не является $(\varepsilon_n/2^{n+1})$-приближением $\mu$. Неравенство (6) тем самым доказано.
Последовательность $(\varepsilon_n/2^{n+1}\colon n\in\mathbb{N})$ удовлетворяет условиям предложения 2. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\underline{D}(\mu)=\varliminf_{n\to\infty}\frac{\log N( \mu,{\varepsilon_n}/{2^{n+1}})}{\log({2^{n+1}}/{\varepsilon_n})}\geqslant \varliminf_{n\to\infty} \frac{\log({q_n}/{2})}{\log({2^{n+1}}/{\varepsilon_n})}=\frac{p}{p+1}b=a.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, $\underline{D}(\mu)\geqslant a$.
Для доказательства обратного неравенства проведем дополнительные построения. Рассмотрим множество
$$
\begin{equation*}
M=\{n\colon\delta_i<\delta_n \text{ для любого }i>n\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\lim_{n\to \infty}\delta_n=0$, множество $M$ бесконечно. Занумеруем точки $M$ в порядке возрастания: Для каждого $k\in \mathbb{N}$ положим Поскольку $r_k<\delta_{n_k}$, имеет место неравенство
$$
\begin{equation*}
N(B(A,r_k),2\varepsilon_{n_k})\leqslant\biggl(\frac{1}{\varepsilon_{n_k}}\biggr)^b.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, в множестве $B(A,r_k)$ можно выбрать $2\varepsilon_{n_k}$-сеть $F_k$ мощности $|F_k|\leqslant (1/\varepsilon_{n_k})^b$. Положим По построению
$$
\begin{equation}
|Q_k|\leqslant \biggl(\frac{1}{\varepsilon_{n_k}}\biggr)^b+\sum_{i\leqslant n_k}\biggl[\biggl(\frac{1}{\varepsilon_i}\biggr)^b\biggr]\leqslant 2\frac{2^{bp}}{\varepsilon_0^b}\,\frac{(2^{bpn_k}-1)}{(2^{bp}-1)}.
\end{equation}
\tag{7}
$$
При $i>n_k$ имеет место включение $E_i\subset B(A,r_k)$. Таким образом, в силу выбора множеств $F_k$ для точек $x\in\bigcup_{i>n_k}E_i$ выполнено неравенство $ \rho(x,Q_k)\leqslant 2\varepsilon_{n_k}. $ Если же $x\in\bigcup_{i\leqslant n_k}E_i$, то $x\in Q_k$ и $\rho(x,Q_k)=0$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\rho_P(\mu,P(Q_k))=\mu(\rho(x,Q_k))\leqslant \sum_{i>n_k}\frac{1}{2^i}2\varepsilon_{n_k}=\frac{2\varepsilon_{n_k}}{2^{n_k}}.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Из неравенств (7) и (8) следует, что
$$
\begin{equation*}
N\biggl( \mu,\frac{2\varepsilon_{n_k}}{2^{n_k}}\biggr) \leqslant 2\frac{2^{bp}}{\varepsilon_0^b}\,\frac{(2^{bpn_k}-1)}{(2^{bp}-1)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\underline{D}(\mu)\leqslant\varliminf_{k\to\infty}\frac{\log N( \mu,{2\varepsilon_{n_k}}/{2^{n_k}})}{\log({2^{n_k}}/({2\varepsilon_{n_k}}))} \leqslant\varliminf_{k\to\infty}\frac{\log (2{2^{bp}}/{\varepsilon_0^b}\cdot (2^{bpn_k}-1)/(2^{bp}-1))}{\log(2^{n_k(p+1)}/(2\varepsilon_0))}=a.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, $\underline{D}(\mu)=a$. Положим $\mu_a=(\mu+\mu_0)/2$. Очевидно, что $\operatorname{supp}(\mu_a)=X$, и в силу предложения 3 $\underline{D}(\mu_a)=a$. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Iva24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|