| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О последовательных факторах нижнего центрального ряда прямоугольных групп Кокстера Я. А. Верёвкинabc, Т. А. Рахматуллаевdc a Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва b Международная лаборатория алгебраической топологии и ее приложений, Национальный исследовательский университет ``Высшая школа экономики'', г. Москва c Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова d Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624070022 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеПрямоугольная группа Кокстера $RC_{\mathcal K}$ представляет собой группу с $m$ образующими $g_1,\dots,g_m$, которые удовлетворяют соотношениям $g_i^2=1$ для всех $i \in \{1,\dots,m\}$ и коммутатоционным соотношениям $g_ig_j=g_jg_i$ для некоторых пар $\{i,j\}$. Каждая такая группа может быть задана графом ${\mathcal K}^1$ с $m$ вершинами, где пары вершин соединяются ребром, если соответствующие образующие коммутируют. Прямоугольные группы Кокстера являются классическими объектами в геометрической теории групп. В данной работе исследован нижний центральный ряд прямоугольной группы Кокстера $RC_{\mathcal K}$ и соответствующая присоединенная градуированная алгебра Ли $L(RC_{\mathcal K})$. Для прямоугольных групп Артина $RA_{\mathcal K}$ (которые отличаются от прямоугольных групп Кокстера $RC_{\mathcal K}$ отсутствием соотношений $g_i^2=1$) присоединенная алгебра Ли $L(RA_{\mathcal K})$ была полностью вычислена в [1], см. также [2], [3]. Конкретно, был доказан изоморфизм алгебры Ли $L(RA_{\mathcal K})$ и граф-алгебры Ли (над $\mathbb Z$), соответствующей графу ${\mathcal K}^1$. Для прямоугольных групп Кокстера в некоторых частных случаях были изучены фактор-группы $\gamma_1(RC_{\mathcal K})/\gamma_n(RC_{\mathcal K})$ для некоторых $n$ [4], [5]. Для $n \geqslant 4$ возникли трудности, похожие на возникшие у нас при вычислении последовательных факторов $\gamma_{n-1}(RC_{\mathcal K})/\gamma_n(RC_{\mathcal K})$. Для прямоугольных групп Кокстера, в отличие от прямоугольных групп Артина, задача описания присоединенной алгебры Ли $L(RC_{\mathcal K})$ намного сложнее в связи с отсутствием изоморфизма алгебры $L(RC_{\mathcal K})$ и граф-алгебры Ли $L_{\mathcal K}$ над $\mathbb Z_2$ (см. [6; пример 4.3]). В работе [6] построен эпиморфизм алгебр Ли $L_{\mathcal K} \to L(RC_{\mathcal K})$ и в ряде случаев описано его ядро, а также для произвольной группы $RC_{\mathcal K}$ дано комбинаторное описание базисов первых трех градуированных компонент алгебры Ли. В работе [7] был построен минимальный набор образующих для $L^4(RC_{\mathcal K})$, где ${\mathcal K}$ – дискретный набор из четырех точек, а также для любого ${\mathcal K}$ на трех точках. В работе [8] вычислены размерности последовательных факторов членов нижнего центрального ряда и построен их базис для свободного произведения прямых сумм циклических групп порядка $2$, что является подмножеством прямоугольных групп Кокстера. Мы строим базис $4$-й градуированной компоненты присоединенной алгебры Ли для групп Кокстера для $4$ точек (для $2$ точек присоединенная алгебра Ли полностью описана, см. [6; предложение 4.4]) и приводим алгоримт для построения базиса $4$-й градуированной компоненты присоединенной алгебры Ли для групп Кокстера в общем случае. В отличие от базисов, построенных в [8], базисы, построенные в данной работе, состоят полностью из простых вложенных коммутаторов. 2. Предварительные сведенияПусть ${\mathcal K}$ – (абстрактный) симплициальный комплекс на множестве $[m]=\{1,2,\dots,m \}$. Подмножество $I=\{i_1,\dots,i_k\}\in\mathcal K $ называется симплексом (или гранью) комплекса ${\mathcal K}$. Мы всегда предполагаем, что ${\mathcal K}$ содержит $\varnothing$ и все одноэлементные подмножества $\{i\}$, $i=1,\dots,m$. Будем обозначать через $F_m$ или $F(g_1,\dots,g_m)$ свободную группу ранга $m$ с образующими $g_1,\dots,g_m$. Прямоугольной группой Кокстера (Артина), соответствующей симплициальному комплексу ${\mathcal K}$, называется группа $RC_{\mathcal K}$ ($RA_{\mathcal K}$), задаваемая образующими и соотношениями следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, RC_{\mathcal K}=F(g_1,\dots,g_m)\big/ \bigl(g_i^2=1 \text{ для } i \in \{1,\dots,m\}, \ g_ig_j=g_jg_i\text{ при } \{i,j\}\in{\mathcal K}\bigr), \\ RA_{\mathcal K}=F(g_1,\dots,g_m)\big/ \bigl(g_ig_j=g_jg_i\text{ при } \{i,j\}\in{\mathcal K}\bigr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Как видно из определения, группа $RC_{\mathcal K}$ ($RA_{\mathcal K}$) зависит только от графа ${\mathcal K}^1$ – одномерного остова комплекса ${\mathcal K}$. Рассмотрим конструкцию полиэдрального произведения. Пусть ${\mathcal K}$ – симплициальный комплекс на множестве $[m]$ и
$$
\begin{equation*}
(\boldsymbol X,\boldsymbol A)=\bigl\{(X_1,A_1),\dots,(X_m,A_m)\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
– набор из $m$ пар топологических пространств с отмеченными точками, где $pt\in A_i\subset X_i$. Для каждого подмножества $I\subset[m]$ положим
$$
\begin{equation}
(\boldsymbol X,\boldsymbol A)^I=\biggl\{(x_1,\dots,x_m)\in \prod_{k=1}^m X_k\colon x_k\in A_k\text{ при }k\notin I\biggr\}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
и определим полиэдральное произведение набора $(\boldsymbol X,\boldsymbol A)$, соответствующее комплексу ${\mathcal K}$, как
$$
\begin{equation*}
(\boldsymbol X,\boldsymbol A)^{{\mathcal K}}= \bigcup_{I\in\mathcal K}(\boldsymbol X,\boldsymbol A)^I= \bigcup_{I\in\mathcal K}\biggl(\,\prod_{i\in I}X_i\times \prod_{i\notin I}A_i\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где объединение берется внутри произведения $\prod_{k=1}^m X_k$. В случае, когда все пары $(X_i,A_i)$ одинаковы, т.е. $X_i=X$ и $A_i=A$ для всех $i=1,\dots,m$, мы используем обозначение $(X,A)^{\mathcal K}$ вместо $(\boldsymbol X,\boldsymbol A)^{\mathcal K}$. Также, если все $A_i$ являются $pt$, мы используем сокращенное обозначение $\boldsymbol X^{\mathcal K}$ вместо $(\boldsymbol X,pt)^{\mathcal K}$ и, соответственно, $X^{\mathcal K}$ вместо $(X,pt)^{\mathcal K}$. Подробнее об этой конструкции и примерах см. в [9; § 3.5], [10], [11; § 4.3]. Пусть все $(X_i,A_i)=(D^1,S^0)$, где $D^1$ – отрезок, а $S^0$ – его граница, состоящая из двух точек. Соответствующее полиэдральное произведение известно как вещественный момент-угол-комплекс [9; § 3.5], [11] и обозначается через $\mathcal R_{\mathcal K}$:
$$
\begin{equation}
\mathcal R_{\mathcal K}=(D^1,S^0)^{\mathcal K}= \bigcup_{I\in{\mathcal K}}(D^1,S^0)^I.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Также нам понадобится полиэдральное произведение $({\mathbb R}P^\infty)^{\mathcal K}$, где ${\mathbb R}P^\infty$ – бесконечномерное вещественное проективное пространство. Симплициальный комплекс ${\mathcal K}$ называется флаговым, если любой набор его вершин, попарно соединенных ребрами, является набором вершин некоторого симплекса. Любой флаговый комплекс ${\mathcal K}$ задается своим $1$-мерным остовом ${\mathcal K}^1$. Связь полиэдральных произведений и прямоугольных групп Кокстера описывается следующим результатом. Теорема 2.1 [12; следствие 3.4]. Пусть ${\mathcal K}$ – симплициальный комплекс на $m$ вершинах. Для каждого подмножества $J\subset[m]$ рассмотрим ограничение ${\mathcal K}$ на $J$:
$$
\begin{equation*}
{\mathcal K}_J=\{I\in{\mathcal K}\colon I\subset J\},
\end{equation*}
\notag
$$
которое также называется полным подкомплексом в комплексе ${\mathcal K}$. Следующая теорема дает комбинаторное описание гомологий вещественного момент-угол комплекса $\mathcal R_{\mathcal K}$. Теорема 2.2 [9], [11; § 4.5]. Для любого $k\geqslant 0$ имеем изоморфизм где $\widetilde H_{k-1}({\mathcal K}_J)$ – группа приведенных симплициальных гомологий симплициального комплекса ${\mathcal K}_J$. Если ${\mathcal K}$ – флаговый комплекс, то теорема 2.2 также дает описание целочисленных гомологий коммутанта $RC_{\mathcal K}'$. Пусть $G$ – группа. Коммутатор двух элементов $a,b \in G$ задается формулой $(a,b)=a^{-1}b^{-1}ab$. Простым вложенным коммутатором длины $k$ от элементов $q_i$ назовем вложенный коммутатор следующего вида:
$$
\begin{equation*}
(q_{i_1},q_{i_2},\dots,q_{i_k}):= \bigl(\dots((q_{i_1},q_{i_2}),q_{i_3}),\dots,q_{i_k}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Соответственно, в алгебрах Ли будем рассматривать вложенные коммутаторы
$$
\begin{equation*}
[\mu_{i_1},\mu_{i_2},\dots,\mu_{i_k}]:= \bigl[\dots[[\mu_{i_1},\mu_{i_2}],\mu_{i_3}],\dots,\mu_{i_k}\bigr].
\end{equation*}
\notag
$$
Для любой группы $G$ для любых трех элементов $a,b,c \in G$ имеют место тождества Витта–Холла:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (a,bc)&=(a, c) (a, b) (a, b, c), \\ (ab,c)&=(a, c) (a, c, b) (b, c), \\ (a,b,c)(b,c,a)(c,a,b)&= (b,a)(c,a)(c,b)^a(a,b)(a,c)^b(b,c)^a(a,c)(c,a)^b, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где $a^b=b^{-1}ab$. Пусть $H,W \subset G$ – подгруппы. Тогда определим подгруппу $(H,W) \subset G$ как подгруппу, порожденную коммутаторами $(h,w)$, где $h \in H$, $w \in W$. В частности, коммутант $G'$ группы $G$ есть $(G,G)$. Для любой группы $G$ положим $\gamma_1(G)=G$, а далее индуктивно Полученная последовательность групп $\gamma_1(G),\gamma_2(G),\dots,\gamma_k(G),\dots$ называют нижним центральным рядом группы $G$.Если $H \subset G$ – нормальная подгруппа, т.е. $H=g^{-1}Hg$ для любого $g \in G$, то будем использовать обозначение $H \lhd G$. В частности, $\gamma_{k+1}(G) \lhd \gamma_k(G)$, при этом фактор-группы $\gamma_{k}(G)/\gamma_{k+1}(G)$ являются абелевыми. Обозначим $L^k (G):=\gamma_{k}(G)/\gamma_{k+1}(G)$ и рассмотрим прямую сумму Будем обозначать через $\overline{a}_k$ класс элемента $a_k \in \gamma_k(G) \subset G$ в фактор-группе $L^k (G)$. Если $a_k \in \gamma_k(G)$, $a_l \in \gamma_l(G)$, то $(a_k,a_l) \in \gamma_{k+l}(G)$. Тогда из тождеств Витта–Холла вытекает, что $L(G)$ является градуированной алгеброй Ли над $\mathbb Z$ (кольцом Ли) со скобкой Ли, заданной формулой $[\overline{a}_k,\overline{a}_l]:=\overline{(a_k,a_l)}$. Алгебра Ли $L(G)$ называется присоединенной алгеброй Ли группы $G$.Теорема 2.3 [12; теорема 4.5]. Пусть $RC_{\mathcal K}$ – прямоугольная группа Кокстера, соответствующая симплициальному комплексу ${\mathcal K}$ на $m$ вершинах. Тогда коммутант $RC'_{\mathcal K}$ имеет конечный минимальный набор образующих, состоящий из $\sum_{J\subset[m]}\operatorname{rank} \widetilde H_0({\mathcal K}_J)$ вложенных коммутаторов вида где $i < j > k_1 > k_2 > \dots > k_{\ell-2}$, $k_s\ne i$ для всех $s$ и $i$ – наименьшая вершина в некоторой связной компоненте подкомплекса ${\mathcal K}_{\{i,j,k_1,\dots,k_{\ell-2}\}}$, не содержащей $j$. Замечание. В работе [12] вложенные коммутаторы сгнездованы вправо. Теперь, согласно нашему соглашению, они сгнездованы влево. Следствие 2.4. Группа $H_1(\mathcal R_{\mathcal K})\,{=}\, RC_{\mathcal K}'/RC_{\mathcal K}''$ является свободной абелевой группой ранга $\sum_{J\subset[m]}\operatorname{rank} \widetilde H_0({\mathcal K}_J)$ с базисом, состоящим из образов итерированных коммутаторов, описанных в теореме 2.3. Имеет место следующий стандартный результат (см. [13; § 5.3]). Предложение 2.5. Пусть $G$ – группа с образующими $g_i$, $i \in I$. Члены нижнего центрального ряда $\gamma_k(G)$ порождены простыми вложенными коммутаторами длины больше или равной $k$ от образующих и обратных к ним. Предложение 2.6 [6; предложение 3.3]. Квадрат любого элемента из $\gamma_k(RC_{\mathcal K})$ содержится в $\gamma_{k+1}(RC_{\mathcal K})$. Также имеются следующие результаты: Предложение 2.7 [8; утверждение после (4.22)]. Пусть ${\mathcal K}$ – дискретный набор из $3$ точек, т.е. $RC_{\mathcal K}=\mathbb Z_2\langle g_1 \rangle \ast \mathbb Z_2\langle g_2\rangle \ast \mathbb Z_2\langle g_3\rangle$. Тогда $L^4(RC_{\mathcal K})$ имеет минимальный набор из $8$ образующих. Предложение 2.8 [8; утверждение после (4.22)]. Пусть ${\mathcal K}$ – симплициальный комплекс на $3$ точках с единственным ребром, т.е. $RC_{\mathcal K}= (\mathbb Z_2\langle g_1 \rangle \oplus \mathbb Z_2\langle g_2\rangle)\ast \mathbb Z_2\langle g_3\rangle$. Тогда $L^4(RC_{\mathcal K})$ имеет минимальный набор из $4$ образующих. Предложение 2.9 [8; утверждение после (4.22)]. Пусть ${\mathcal K}$ – симплициальный комплекс на $4$ точках, являющийся несвязным объединением точки и границы треугольника, т.е. $RC_{\mathcal K}=(\mathbb Z_2\langle g_1 \rangle \oplus \mathbb Z_2\langle g_2 \rangle \oplus \mathbb Z_2 \langle g_3 \rangle) \ast \mathbb Z_2\langle g_4 \rangle$. Тогда $L^4(RC_{\mathcal K})$ имеет минимальный набор из $10$ образующих. Предложение 2.10 [8; утверждение после (4.22)]. Пусть ${\mathcal K}$ – симплициальный комплекс на $4$ точках, являющийся несвязным объединением двух отрезков, т.е. $RC_{\mathcal K}=(\mathbb Z_2\langle g_1 \rangle \oplus \mathbb Z_2\langle g_2\rangle) \ast (\mathbb Z_2\langle g_3\rangle \oplus\mathbb Z_2\langle g_4\rangle)$. Тогда $L^4(RC_{\mathcal K})$ имеет минимальный набор из $15$ образующих. Предложение 2.11 [8; утверждение после (4.22)]. Пусть ${\mathcal K}$ – симплициальный комплекс на $4$ точках, являющийся несвязным объединением двух точек и отрезка, т.е. $RC_{\mathcal K}=(\mathbb Z_2\langle g_1 \rangle \oplus \mathbb Z_2\langle g_2 \rangle)\ast\mathbb Z_2 \langle g_3 \rangle \ast \mathbb Z_2\langle g_4 \rangle$. Тогда $L^4(RC_{\mathcal K})$ имеет минимальный набор из $23$ образующих. Предложение 2.12 [8; утверждение после (4.22)]. Пусть ${\mathcal K}$ – дискретный набор из $4$ точек, т.е. $RC_{\mathcal K}=\mathbb Z_2\langle g_1 \rangle \ast \mathbb Z_2\langle g_2 \rangle \ast \mathbb Z_2\langle g_3 \rangle \ast \mathbb Z_2\langle g_4 \rangle$. Тогда $L^4(RC_{\mathcal K})$ имеет минимальный набор из $32$ образующих. Теорема 2.13 [6; теорема 4.5]. Пусть ${\mathcal K}$ – симплициальный комплекс на $[m]$, $RC_{\mathcal K}$ – прямоугольная группа Кокстера, соответствующая ${\mathcal K}$, и $L(RC_{\mathcal K})$ – присоединенная алгебра Ли. Тогда Также имеем соотношения Лемма 2.14 [7; лемма 3.3]. Для любой группы $G$ и для любых $a,b,c \in G$ верно, что Следствие 2.15 [7; следствие 3.8]. Пусть ${\mathcal K}$ – дискретный набор из $3$-х точек, т.е. $RC_{\mathcal K}=\mathbb Z_2\langle g_1 \rangle \ast \mathbb Z_2\langle g_2 \rangle\ast\mathbb Z_2\langle g_3 \rangle$. Тогда $L^4(RC_{\mathcal K})\cong \mathbb Z_2^8$ и имеет следующий минимальный набор образующих: Теорема 2.16 [7; теорема 3.9]. Пусть ${\mathcal K}$ – симплициальный комплекс на множестве [11]. Тогда Теорема 2.17 [7; теорема 3.11]. Пусть ${\mathcal K}$ – дискретный набор из $4$-х точек, т.е. $RC_{\mathcal K}=\mathbb Z_2\langle g_1 \rangle \ast \mathbb Z_2\langle g_2 \rangle \ast \mathbb Z_2\langle g_3 \rangle \ast \mathbb Z_2\langle g_4 \rangle$. Тогда $L^4(RC_{\mathcal K})\cong \mathbb Z_2^{32}$ имеет минимальный набор образующих $\overline{A_i}\cup \overline{A_j} \cup \overline{A_k}\cup \overline{A_l}\cup \overline{B}$, где 3. Об отображении МагнусаПусть ${\mathcal K}$ – симплициальный комплекс на $[m]$. Пусть $V$ – $m$-мерное векторное пространство над ${\mathbb Z}_2$. Будем обозначать через
$$
\begin{equation*}
T_{{\mathbb Z}_2}({\mathcal K}^0)=\bigoplus_{k=0}^\infty T^k V
\end{equation*}
\notag
$$
тензорную алгебру с $m$ образующими над ${\mathbb Z}_2$. Пусть $\widehat{T}_{{\mathbb Z}_2}({\mathcal K}^0)= \prod_{k=0}^\infty T^k V$ – пополненная тензорная алгебра. Определение 3.1. Рассмотрим Введем скобку Ли по правилу $[a, b]=ab-ba$. Алгебра Ли $U^{\infty}_{RC_{\mathcal K}}$ называется алгеброй Магнуса. Пусть $U^{\infty, i}_{RC_{\mathcal K}}$ состоит из всех мономов длины $i$, т.е. $U^{\infty}_{RC_{\mathcal K}}= \prod_{i=0}^{\infty} U^{\infty, i}_{RC_{\mathcal K}}$. Введем ассоциативную алгебру, состоящую из элементов алгебры Магнуса конечной длины:
$$
\begin{equation*}
U_{RC_{\mathcal K}}=\bigoplus_{i=0}^{\infty} U^{\infty, i}_{RC_{\mathcal K}}=T_{{\mathbb Z}_2}(\mathcal{K}^0) \big/ \bigl\langle v_i^2=0\ \forall\, i \in \mathcal{K}^0; \ v_i v_j+v_j v_i=0,\ \{i,j\} \in \mathcal{K}^1 \bigr\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $U^{}_{RC_{\mathcal K}, k}= \bigoplus_{i \geqslant k}U^{\infty, i}_{RC_{\mathcal K}}$ и $U^{\infty}_{RC_{\mathcal K}, k}= \prod_{i \geqslant k}U^{\infty, i}_{RC_{\mathcal K}}$ идеалы, которые состоят из мономов длины не меньше $k$. Пусть $a \in U_{RC_{\mathcal{K}}}^{\infty}$, обозначим через $a^i \in U_{RC_{\mathcal{K}}}^{\infty, i}$ слагаемые $a$ градуировки $i$. Имеем утверждение, аналогичное [13; теорема 5.6, лемма 5.3] для случая свободных групп. Доказательство. Заметим, что алгебра $U^{\infty}_{RC_{\mathcal K}}$ замкнута относительно умножения, содержит единицу, а также обратным для элемента $g=1+h$, $h \in U^{\infty}_{RC_{\mathcal K},1}$ является элемент $g^{-1}=1+\sum_{q=1}^{\infty}h^q$.
Докажем второй пункт. Проверим, что в $M$ выполняются необходимые соотношения из $RC_{\mathcal K}$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (1+v_i)^{-1}&=(1+v_i), \\ (1+ v_i)^{-1}(1+v_j)^{-1}(1+v_i)(1+v_j)&= 1+( v_i v_j+v_j v_i)(1+ v_i+v_j+v_i v_j). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, определен сюръективный гомоморфизм групп
$$
\begin{equation*}
\mu\colon RC_{\mathcal K} \to M \subset U_{RC_{\mathcal K}},
\end{equation*}
\notag
$$
заданный на образующих $\mu(g_i)=v_i+1$.
Пусть $z \in RC_{\mathcal K}=F_{|{\mathcal K}^0|} / \langle g_i^2=0, g_ig_j=g_jg_i \text{ для } \{i, j\} \in {\mathcal K} \rangle$. Существует конечное количество кратчайших записей $z$ – представителей в $F_{|{\mathcal K}^0|}$ минимальной длины. Рассмотрим одну из кратчайших записей $w=g_{i_1}\dots g_{i_k}$. Получим, что Таким образом, для $z$ имеющего кратчайшую запись длины $k$ имеем $\mu(z)^i=0$ при $i > k$, причем запись $\mu(z)^k$ совпадает с одной из кратчайших записей для $z$. Следовательно для двух слов $z_1,z_2 \in RC_{\mathcal K}$ получаем, что из $\mu(z_1)=\mu(z_2)$ следует существование одинаковых кратчайших записей $z_1$ и $z_2$, т.е. равенство $z_1=z_2$. Отсюда гомоморфизм $\mu$ – инъекция, что доказывает теорему.Построенный в теореме 3.2 гомоморфизм
$$
\begin{equation*}
\mu\colon RC_{\mathcal K} \to M \subset U_{RC_{\mathcal K}}
\end{equation*}
\notag
$$
будем называть отображением Магнуса. Положим $D_i=\{a \in RC_{\mathcal K}\colon \mu(a)-1 \in U_{RC_{\mathcal K},i}\}$. Доказательство. Рассмотрим мультипликативные группы $(U^{\infty}_{RC_{\mathcal K}})^*$ и $\Gamma$ – элементы со свободным членом равным 1. Тогда согласно [14; гл. 2, § 4, п. 5] фильтрация $1+U^{\infty}_{RC_{\mathcal K},i}$ является центральным рядом для $\Gamma$, а также $\Gamma \subset (U^{\infty}_{RC_{\mathcal K}})^*$. Вообще говоря, $\Gamma=(U^{\infty}_{RC_{\mathcal K}})^*$, что следует из того факта, что произведение двух элементов имеет нулевой свободный член как только хотя бы один из сомножителей имеет нулевой свободный член.
Далее, $M \cong RC_{\mathcal K}$ – подгруппа $\Gamma$, с индуцированной из $\{ D_i\}_{i=1}^\infty$ фильтрацией $M_i=\mu(D_i) \subset 1+U^{\infty}_{RC_{\mathcal K},i}$. Таким образом с одной стороны с другой стороны $(M_k, M_l) \subset M$, откуда $(M_k, M_l) \subset M_{k+l}$. Таким образом, $\{M_k\}_{i=1}^\infty$ – центральный ряд на $M$, а значит $\{ D_i\}_{i=1}^\infty$ – центральный ряд на $RC_{\mathcal K}$.Следствие 3.4. Пусть $x \in RC_{\mathcal K}$. Если $\mu(x)^k \ne 0$, то $x \notin \gamma_{k+1}(RC_{\mathcal K})$. Доказательство. Имеем $\gamma_k(RC_{\mathcal K}) \subset D_k$, т.к. $\gamma_k(RC_{\mathcal K})$ – нижний центральный ряд. Откуда для $x \in \gamma_k(RC_{\mathcal K})$ – коммутатора длины $k$ верно, что $\mu(x)^i=0$, при $0 < i < k$, из чего следует требуемое. Предложение 3.5. Пусть дан симплициальный комплекс $\mathcal{K}$ на четырех вершинах $[4]=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ с ребрами $\{\{v_4 v_1\},\{v_4 v_3\}\}$. Тогда Доказательство. Рассмотрим коммутатор $((v_2,v_4),(v_1,v_3))$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mu(((v_2, v_4),(v_1,v_3)))=1 &+v_{2} v_{4} v_{1} v_{3}+ v_{2}v_{4}v_{3}v_{1}+v_{4}v_{2}v_{1}v_{3}+v_{4}v_{2}v_{3}v_{1} \\ &+v_{1}v_{3}v_{2}v_{4}+v_{1}v_{3}v_{4}v_{2}+ v_{3}v_{1}v_{2}v_{4}+v_{3}v_{1}v_{4}v_{2}+U_{RC_{\mathcal K},5}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что отсюда, согласно следствию 3.4, получим, что Произведение четырех различных образующих не может быть равно нулю, следовательно каждое из слагаемых в $\mu(((v_2,v_4),(v_1,v_3)))^4$ не равно нулю само по себе. Далее рассмотрим конкретное слагаемое $v_{4} v_{2} v_{1} v_{3} $. Так как соседние образующие в записи не коммутируют, получаем, что этот моном $v_{4} v_{2} v_{1} v_{3}$ имеет единственную запись. Однако соответствии с соотношениями в алгебре, данное слагаемое может сократиться только с равным ему слагаемым.
Далее, так как коммутаторы $(v_2v_4v_1v_3)$ и $(v_2v_4v_3v_1)$ отличаются заменой $v_1 \leftrightarrow v_3$, не изменяющей соотношений в алгебре, то достаточно доказать утверждение для одного из данных коммутаторов. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mu(( v_2, v_4, v_3, v_1 ))=1 &+v_{1} v_{3} v_{2} v_{4}+ v_{1}v_{3}v_{4}v_{2}+ v_{1} v_{2} v_{4} v_{3}+v_{1} v_{4} v_{2} v_{3} \\ &+ v_{3} v_{2} v_{4} v_{1}+v_{3} v_{4} v_{2} v_{1}+ v_{2} v_{4} v_{3} v_{1}+v_{4} v_{2} v_{3} v_{1}+ U_{RC_{\mathcal K}, 5}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично предыдущим рассуждениям получаем, что $v_{1} v_{3} v_{2} v_{4} \ne 0$ имеет единственную запись, откуда $\mu(( v_2, v_4, v_3, v_1 ))^4 \ne 0$, а следовательно $((v_2, v_4, v_3, v_1)) \notin \gamma_5$. Предложение 3.6. Пусть дан симплициальный комплекс $\mathcal{K}$ на четырех вершинах $[4]=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ с ребрами $\{\{v_{3},v_{1}\},\{v_{1},v_{4}\},\{v_{4},v_{2}\}\}$. Тогда Доказательство. Имеем $(v_{3},v_{4},v_{2},v_{1})=((v_{3},v_{4}),(v_{1},v_{2})) \mod\gamma_5$. Следовательно достаточно провести вычисление для коммутатора $((v_{1},v_{2}),(v_{3},v_{4}))$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mu(((v_{1},v_{2}),(v_{3},v_{4})))=1 &+v_{1} v_{2} v_{3} v_{4}+ v_{1}v_{2}v_{4}v_{3}+v_{2}v_{1}v_{3}v_{4}+v_{2}v_{1}v_{4}v_{3} \\ &+v_{3}v_{4}v_{1}v_{2}+v_{3}v_{4}v_{2} v_{1}+ v_{4} v_{3} v_{1} v_{2}+v_{4} v_{3} v_{2} v_{1}+ U_{RC_{\mathcal K},5}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Повторяя рассуждения из предыдущего предложения, достаточно заметить, что моном $v_{1}v_{2}v_{3}v_{4}$ имеет единственную запись, а следовательно, не может сократиться. 4. Основные результаты Предложение 4.1. Пусть ${\mathcal K}$ – симплициальный комплекс на множестве $[4]$. Тогда Доказательство. Из теоремы 2.17 для всех пунктов имеем, что набор
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \overline{A_1}&=\bigl\{ [\mu_3, \mu_2, \mu_2, \mu_1], [\mu_3, \mu_1, \mu_2, \mu_1], [\mu_3, \mu_1, \mu_1, \mu_2], \\ &\qquad[\mu_3, \mu_2, \mu_1, \mu_2],[\mu_3, \mu_1, \mu_2, \mu_3]\bigr\}, \\ \overline{A_2}&=\bigl\{ [\mu_2, \mu_1, \mu_1, \mu_1], [\mu_4, \mu_2, \mu_2, \mu_1], [\mu_4, \mu_1, \mu_2, \mu_1], \\ &\qquad[\mu_4, \mu_1, \mu_1, \mu_2], [\mu_4, \mu_2, \mu_1, \mu_2], [\mu_4, \mu_1, \mu_2, \mu_4] \bigr\}, \\ \overline{A_3}&=\bigl\{ [\mu_3, \mu_1, \mu_1, \mu_1], [\mu_4, \mu_1, \mu_1, \mu_1], [\mu_4, \mu_3, \mu_3, \mu_1], [\mu_4, \mu_1, \mu_3, \mu_1], \\ &\qquad[\mu_4, \mu_1, \mu_1, \mu_3], [\mu_4, \mu_3, \mu_1, \mu_3], [\mu_4, \mu_1, \mu_3, \mu_4] \bigr\}, \\ \overline{A_4}&=\bigl\{ [\mu_3, \mu_2, \mu_2, \mu_2], [\mu_4, \mu_2, \mu_2, \mu_2], [\mu_4, \mu_3, \mu_3, \mu_2], [\mu_4, \mu_2, \mu_3, \mu_2], \\ &\qquad[\mu_4, \mu_2, \mu_2, \mu_3], [\mu_4, \mu_3, \mu_3, \mu_3], [\mu_4, \mu_3, \mu_2, \mu_3], [\mu_4, \mu_2, \mu_3, \mu_4] \bigr\}, \\ \overline{B}&=\bigl\{ [\mu_2, \mu_4, \mu_3, \mu_1], [\mu_1, \mu_4, \mu_3, \mu_2], [\mu_1, \mu_4, \mu_2, \mu_3], [\mu_2, \mu_4, \mu_1, \mu_3], \\ &\qquad[\mu_3, \mu_4, \mu_1, \mu_2],[\mu_3, \mu_4, \mu_2, \mu_1]\bigr\}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
порождает $L^4(RC_{\mathcal K})$ (необязательно минимально, более того, никогда минимально не порождает).
Для пункта (a) при наличии всех ребер все элементы набора обращаются в $0$, откуда следует требуемое. Для пункта (b) рассмотрим случай, когда нет ребра $\{1, 2\}$ (т.е. $i=1, j=2$). В этом случае в $0$ обращаются все коммутаторы, кроме $[\mu_2, \mu_1, \mu_1, \mu_1]$, откуда следует, что пункт верен для данного случая. Так как всегда можно поменять нумерацию вершин любым образом, то для любого отсутствующего ребра $L^4(RC_{\mathcal K}) \cong \mathbb Z_2$, и можно оставить любой ненулевой коммутатор из данного набора, откуда следует требуемое. В пункте (c) возможны два варианта симплициального комплекса (графа) с точностью до изоморфизма:  В первом случае симплициальный комплекс ${\mathcal K}$ является джойном двух дискретных наборов из двух точек ($\{i,k\}$ и $\{j,l\}$), поэтому по 2.1 и [11; предложения 4.1.3 и 4.2.5] имеем, что $RC_{\mathcal K} \cong (\mathbb Z_2 \ast \mathbb Z_2) \oplus (\mathbb Z_2 \ast \mathbb Z_2)$. Нижний центральный ряд группы $\mathbb{Z}_2 \ast \mathbb{Z}_2$ устроен следующим образом: $\gamma_1 (\mathbb{Z}_2 \ast \mathbb{Z}_2)= \mathbb{Z}_2 \ast \mathbb{Z}_2$, а при $k \geqslant 2$ имеем $\gamma_k (\mathbb{Z}_2 \ast \mathbb{Z}_2) \cong \mathbb{Z}$ – бесконечная циклическая группа, порожденная коммутатором $(g_1, g_2, g_1,\dots,g_1)$ длины $k$. Из предложения 2.6 получаем, что
$$
\begin{equation*}
\gamma_k(\mathbb{Z}_2 \ast \mathbb{Z}_2) / \gamma_{k+1}(\mathbb{Z}_2 \ast \mathbb{Z}_2)=\mathbb{Z}_2
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $k > 1$, а также что $\gamma_1(\mathbb{Z}_2 \ast \mathbb{Z}_2) / \gamma_2(\mathbb{Z}_2 \ast \mathbb{Z}_2)=\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$. Отсюда
$$
\begin{equation*}
\gamma_4(RC_{\mathcal K}) / \gamma_5(RC_{\mathcal K})=L^4(RC_{\mathcal K}) \cong \mathbb Z_2 \oplus \mathbb Z_2,
\end{equation*}
\notag
$$
и минимально порождается двумя коммутаторами $[\mu_i, \mu_k, \mu_k, \mu_k], [\mu_j, \mu_l, \mu_l, \mu_l]$. Во втором случае в симплициальный комплекс ${\mathcal K}$ добавим клетку $\{i, j, l\}$, что не поменяет граф ${\mathcal K}^1$ (заметим, что группа $RC_{\mathcal K}$ зависит только от ${\mathcal K}^1$), тогда полученный симплициальный комплекс ${\mathcal K}' \cong \{j\} \ast {\mathcal K}_{\{i, l, k\}}$, отсюда по 2.1 и [11; предложения 4.1.3 и 4.2.5] имеем, что $RC_{\mathcal K} \cong \mathbb Z_2 \oplus RC_{{\mathcal K}_{\{i, l, k\}}}$. Так как $\gamma_4(\mathbb Z_2) \cong \{e\}$, то $L^4(RC_{\mathcal K})\cong L^4(RC_{{\mathcal K}_{\{i, l, k\}}}) \cong \mathbb Z_2^4$ и минимально порождается четырьмя коммутаторами $[\mu_i, \mu_k, \mu_i, \mu_i]$, $[\mu_k, \mu_l, \mu_k, \mu_k]$, $[\mu_k, \mu_l, \mu_k, \mu_i]$, $[\mu_k, \mu_l, \mu_i, \mu_k]$ по теореме 2.16. В пункте (d) возможны три варианта симплициального комплекса (графа) с точностью до изоморфизма:  В первом случае симплициальный комплекс ${\mathcal K}$ является джойном точки $\{l\}$ и дискретного набора из трех точек $\{i, j, k\}$, аналогично рассуждениям выше отсюда $L^4(RC_{\mathcal K})\cong L^4(RC_{{\mathcal K}_{\{i, j, k\}}}) \cong \mathbb Z_2^8$ по следствию 2.15 и минимально порождается набором коммутаторов
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, [\mu_j, \mu_i, \mu_i, \mu_i], [\mu_k, \mu_i, \mu_i, \mu_i], [\mu_k, \mu_j, \mu_j, \mu_i], [\mu_k, \mu_i, \mu_j, \mu_i], [\mu_k, \mu_i, \mu_i, \mu_j], \\ [\mu_k, \mu_j, \mu_j, \mu_j], [\mu_k, \mu_j, \mu_i, \mu_j], [\mu_k, \mu_i, \mu_j, \mu_k], \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует требуемое. Во втором случае сначала возьмем $i=2$, $j=4$, $k=3$, $l=1$; тогда в множестве коммутаторов (4.1) в подмножестве $\overline{B}$ первые $4$ коммутатора обнуляются, остаются $[\mu_3, \mu_4, \mu_1, \mu_2]$ и $[\mu_3, \mu_4, \mu_2, \mu_1]$. При этом верно, что $(g_3,g_4,g_1,g_2)\equiv((g_2,g_1),(g_3,g_4))(g_3,g_4,g_2,g_1) \mod\gamma_5(RC_{\mathcal K})=(g_3,g_4,g_2,g_1)$ (так как $(g_1,g_2)=e$), поэтому из этих двух коммутаторов можно оставить любой. Оставим $[\mu_3, \mu_4, \mu_2, \mu_1]$. Ввиду симметрии индексов получаем, что в любом случае остается единственный явно ненулевой коммутатор с $4$-мя различными индексами. Его неравенство нулю докажем ниже. Теперь возьмем $i=2$, $j=3$, $k=1$, $l=4$  тогда в множестве коммутаторов (4.1) подмножество $\overline{A_4}$ становится пустым множеством (все коммутаторы в нем обнуляются). В множестве $\overline{B}$ оставим единственный коммутатор $[\mu_1, \mu_4, \mu_2, \mu_3]$. Также уберем все явно равные нулю коммутаторы, перенеся в отдельное множество $A_1'$ все коммутаторы только с индексами $\{1,2,3\}$. Останется следующий набор коммутаторов:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_1'&=\bigl\{[\mu_3, \mu_1, \mu_2, \mu_1], [\mu_3, \mu_1, \mu_1, \mu_2], [\mu_3, \mu_1, \mu_2, \mu_3], [\mu_2, \mu_1, \mu_1, \mu_1], [\mu_3, \mu_1, \mu_1, \mu_1]\bigr\}, \\ \overline{A_2}&=\bigl\{[\mu_4, \mu_1, \mu_2, \mu_1], [\mu_4, \mu_1, \mu_1, \mu_2], [\mu_4, \mu_1, \mu_2, \mu_4]\bigr\}, \\ \overline{A_3}&=\bigl\{[\mu_4, \mu_1, \mu_1, \mu_1], [\mu_4, \mu_1, \mu_3, \mu_1], [\mu_4, \mu_1, \mu_1, \mu_3], [\mu_4, \mu_1, \mu_3, \mu_4]\bigr\}, \\ \overline{B}&=\bigl\{[\mu_1, \mu_4, \mu_2, \mu_3]\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По теореме 2.16 все коммутаторы в множестве $A_1'$ можно заменить на $4$ коммутатора $[\mu_2, \mu_1, \mu_2, \mu_2]$, $[\mu_1, \mu_3, \mu_1, \mu_1]$, $[\mu_1, \mu_3, \mu_1, \mu_2]$, $[\mu_1,\mu_3,\mu_2,\mu_1]$. После чего перенесем все коммутаторы с индексами $\{1,2,4\}$ в множество $A_2'$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_1'&=\bigl\{[\mu_1, \mu_3, \mu_1, \mu_1], [\mu_1, \mu_3, \mu_1, \mu_2], [\mu_1, \mu_3, \mu_2, \mu_1] \bigr\}, \\ A_2'&=\bigl\{[\mu_4, \mu_1, \mu_2, \mu_1], [\mu_2, \mu_1, \mu_2, \mu_2], [\mu_4, \mu_1, \mu_1, \mu_2], [\mu_4, \mu_1, \mu_2, \mu_4], [\mu_4, \mu_1, \mu_1, \mu_1] \bigr\}, \\ \overline{A_3}&=\bigl\{[\mu_4, \mu_1, \mu_3, \mu_1], [\mu_4, \mu_1, \mu_1, \mu_3], [\mu_4, \mu_1, \mu_3, \mu_4]\bigr\}, \\ \overline{B}&=\bigl\{[\mu_1, \mu_4, \mu_2, \mu_3]\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, все коммутаторы в множестве $A_2'$ можно заменить на $4$ коммутатора $[\mu_2, \mu_1, \mu_2, \mu_2]$, $[\mu_1, \mu_4, \mu_1, \mu_1]$, $[\mu_1, \mu_4, \mu_1, \mu_2]$, $[\mu_1, \mu_4, \mu_2, \mu_1]$. После чего перенесем все коммутаторы с индексами $\{1,3,4\}$ в множество $A_3'$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_1'&=\bigl\{[\mu_1, \mu_3, \mu_1, \mu_2],[\mu_1, \mu_3, \mu_2, \mu_1]\bigr\}, \\ A_2'&=\bigl\{[\mu_2, \mu_1, \mu_2, \mu_2], [\mu_1, \mu_4, \mu_1, \mu_2], [\mu_1, \mu_4, \mu_2, \mu_1]\bigr\}, \\ A_3'&=\bigl\{[\mu_1, \mu_3, \mu_1, \mu_1], [\mu_4, \mu_1, \mu_3, \mu_1], [\mu_4, \mu_1, \mu_1, \mu_3], [\mu_4, \mu_1, \mu_3, \mu_4], [\mu_1, \mu_4, \mu_1, \mu_1] \bigr\}, \\ \overline{B}&=\bigl\{ [\mu_1, \mu_4, \mu_2, \mu_3] \bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, все коммутаторы в множестве $A_3'$ можно заменить на $4$ коммутатора $[\mu_3, \mu_1, \mu_3, \mu_3]$, $[\mu_1, \mu_4, \mu_1, \mu_1]$, $[\mu_1, \mu_4, \mu_1, \mu_3]$, $[\mu_1, \mu_4, \mu_3, \mu_1]$. Получим множество коммутаторов:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_1'&=\bigl\{[\mu_1, \mu_3, \mu_1, \mu_2],[\mu_1, \mu_3, \mu_2, \mu_1]\bigr\}, \\ A_2'&=\bigl\{[\mu_2, \mu_1, \mu_2, \mu_2], [\mu_1, \mu_4, \mu_1, \mu_2], [\mu_1, \mu_4, \mu_2, \mu_1] \bigr\}, \\ A_3'&=\bigl\{[\mu_3, \mu_1, \mu_3, \mu_3], [\mu_1, \mu_4, \mu_1, \mu_1], [\mu_1, \mu_4, \mu_1, \mu_3], [\mu_1, \mu_4, \mu_3, \mu_1] \bigr\}, \\ \overline{B}&=\bigl\{ [\mu_1, \mu_4, \mu_2, \mu_3] \bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Этот набор коммутаторов является минимальным согласно предложению 2.9. Из симметрии индексов получаем, что при отсутствии ребер $\{i, j\}$, $\{i, k\}$, $\{i, l\}$ множество коммутаторов
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_i'&=\bigl\{ [\mu_i, \mu_k, \mu_i, \mu_j], [\mu_i, \mu_k, \mu_j, \mu_i] \bigr\}, \\ A_j'&=\bigl\{[\mu_i, \mu_j, \mu_j, \mu_j], [\mu_i, \mu_l, \mu_i, \mu_j], [\mu_i, \mu_l, \mu_j, \mu_i] \bigr\}, \\ A_k'&=\bigl\{[\mu_i, \mu_k, \mu_k, \mu_k], [\mu_l, \mu_i, \mu_i, \mu_i], [\mu_i, \mu_l, \mu_i, \mu_k], [\mu_i, \mu_l, \mu_k, \mu_i] \bigr\}, \\ \overline{B}&=\bigl\{ [\mu_i, \mu_l, \mu_j, \mu_k] \bigr\} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
минимально порождает $L^4(RC_{\mathcal K})\cong \mathbb Z_2^{10}$. В третьем случае возьмем $i=2$, $j=4$, $k=1$, $l=3$  тогда в множестве коммутаторов (4.1) в подмножестве $\overline{B}$ первые $4$ коммутатора обнуляются, остаются $[\mu_3, \mu_4, \mu_1, \mu_2]$ и $[\mu_3, \mu_4, \mu_2, \mu_1]$. По тождеству Якоби
$$
\begin{equation*}
[\mu_3, \mu_4, \mu_1, \mu_2]=[\mu_4, \mu_1, \mu_3, \mu_2]+ [\mu_1, \mu_3, \mu_4, \mu_2]=0+0=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому остается единственный явно ненулевой коммутатор $[\mu_3, \mu_4, \mu_2, \mu_1]$. Ввиду симметрии индексов получаем, что в любом случае остается единственный явно ненулевой коммутатор с $4$-мя различными индексами, а именно $[\mu_l, \mu_j, \mu_i, \mu_k]$. Его неравенство нулю докажем ниже. Далее, из полученного множества коммутаторов уберем явно равные нулю коммутаторы, перенеся в отдельное множество $A_1'$ все коммутаторы только с индексами $\{1, 2, 3\}$. Останется следующий набор коммутаторов:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_1'&=\bigl\{[\mu_3, \mu_2, \mu_2, \mu_1], [\mu_2, \mu_1, \mu_1, \mu_1], [\mu_3, \mu_2, \mu_1, \mu_2], [\mu_3, \mu_2, \mu_2, \mu_2] \bigr\}, \\ \overline{A_3}&=\bigl\{ [\mu_4, \mu_3, \mu_3, \mu_1], [\mu_4, \mu_3, \mu_1, \mu_3] \bigr\}, \\ \overline{A_4}&=\bigl\{ [\mu_4, \mu_3, \mu_3, \mu_2], [\mu_4, \mu_3, \mu_3, \mu_3], [\mu_4, \mu_3, \mu_2, \mu_3] \bigr\}, \\ \overline{B}&=\bigl\{ [\mu_3, \mu_4, \mu_2, \mu_1] \bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По теореме 2.16 все коммутаторы в множестве $A_1'$ можно заменить на $4$ коммутатора $[\mu_1, \mu_2, \mu_1, \mu_1]$, $[\mu_2, \mu_3, \mu_2, \mu_2]$, $[\mu_2, \mu_3, \mu_1, \mu_2]$, $[\mu_2, \mu_3, \mu_1, \mu_2]$. Заметим, что коммутатор индексами $\{1, 2, 4\}$ ровно один, что соответствует теореме 2.16. Перенесем все коммутаторы с индексами $\{1,3,4\}$ в множество $A_3'$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_1'&=\bigl\{[\mu_1, \mu_2, \mu_1, \mu_1],[\mu_2, \mu_3, \mu_2, \mu_2], [\mu_2, \mu_3, \mu_2, \mu_1], [\mu_2, \mu_3, \mu_1, \mu_2] \bigr\}, \\ A_3'&=\bigl\{[\mu_4, \mu_3, \mu_3, \mu_1], [\mu_4, \mu_3, \mu_1, \mu_3], [\mu_4, \mu_3, \mu_3, \mu_3] \bigr\}, \\ \overline{A_4}&=\bigl\{ [\mu_4, \mu_3, \mu_3, \mu_2], [\mu_4, \mu_3, \mu_2, \mu_3] \bigr\}, \\ \overline{B}&=\bigl\{ [\mu_3, \mu_4, \mu_2, \mu_1] \bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, все коммутаторы в множестве $A_3'$ заменим на один коммутатор $[\mu_4, \mu_3, \mu_3, \mu_3]$, после чего перенесем в множество $A_4'$ все коммутаторы с индексами $\{2, 3, 4\}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_1'&=\bigl\{[\mu_1, \mu_2, \mu_1, \mu_1],[\mu_2, \mu_3, \mu_2, \mu_1], [\mu_2, \mu_3, \mu_1, \mu_2] \bigr\}, \\ A_4'&=\bigl\{[\mu_4, \mu_3, \mu_3, \mu_2],[\mu_4, \mu_3, \mu_2, \mu_3], [\mu_4, \mu_3, \mu_3, \mu_3], [\mu_2, \mu_3, \mu_2, \mu_2] \bigr\}, \\ \overline{B}&=\bigl\{ [\mu_3, \mu_4, \mu_2, \mu_1] \bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, все коммутаторы в множестве $A_4'$ заменим на четыре коммутатора $[\mu_2, \mu_3, \mu_2, \mu_2]$, $[\mu_3, \mu_4, \mu_3, \mu_3]$, $[\mu_3, \mu_4, \mu_3, \mu_2]$, $[\mu_3, \mu_4, \mu_2, \mu_3]$. Получим множество коммутаторов:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_1'&=\bigl\{[\mu_1, \mu_2, \mu_1, \mu_1],[\mu_2, \mu_3, \mu_2, \mu_1], [\mu_2, \mu_3, \mu_1, \mu_2] \bigr\}, \\ A_4'&=\bigl\{[\mu_2, \mu_3, \mu_2, \mu_2],[\mu_3, \mu_4, \mu_3, \mu_3], [\mu_3, \mu_4, \mu_3, \mu_2], [\mu_3, \mu_4, \mu_2, \mu_3] \bigr\}, \\ \overline{B}&=\bigl\{ [\mu_3, \mu_4, \mu_2, \mu_1] \bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Этот набор коммутаторов является минимальным, так как если предположить, что мы сможем убрать какой-то коммутатор из $A_i'$, то мы получим противоречие с теоремой 2.16 (так как будут существовать $3$ точки, для которых система порождающих будет меньше минимальной из данной теоремы). Также при раскрытии коммутаторов из $A_i'$ получаем, что они содержат мономы только с двумя или тремя индексами, тогда как при раскрытии коммутатора из $\overline{B}$ получаем, что мономы будут содержать все $4$ индекса. Отсюда, в $L^4(RC_{\mathcal K})$ нельзя выразить коммутатор из $\overline{B}$ через коммутаторы из $A_1'$ и $A_4'$, так как алгебра над $\mathbb Z_2$, и если бы выражение этого коммутатора существовало, то это была бы сумма коммутаторов, что невозможно ввиду того, что сумма мономов в которых содержится менее 4-х разных индексов не может быть равна сумме мономов, в которых содержатся $4$ разных индекса. Осталось доказать, что $[\mu_3, \mu_4, \mu_2, \mu_1] \ne 0$. Ввиду того, что $RC_{\mathcal K}'$ – свободная группа (см. [12; теорема 4.3]), а значит и все члены нижнего центрального ряда – свободные группы, для доказательства неравенства коммутатора нулю достаточно показать, что соответствующий ему коммутатор ненулевой в $\gamma_2(RC_{\mathcal K})$ и не лежит в $\gamma_5(RC_{\mathcal K})$. Раскрытием скобок легко проверить, что
$$
\begin{equation*}
(g_3, g_4, g_2, g_1)=(g_3, g_4, g_2)^{-1} (g_3, g_4)^{-1} (g_1, g_2) (g_3, g_4) (g_3, g_4, g_2) (g_1, g_2)^{-1} \ne e
\end{equation*}
\notag
$$
в $\gamma_2$, так как это выражение через базис $\gamma_2(RC_{\mathcal K})$ (см. [12; теорема 4.5]). Также он не лежит в $\gamma_5$ (см. предложение 3.6). Отсюда следует, что коммутатор в алгебре ненулевой. Из симметрии индексов получаем, что при наличии ребер $\{i, j\}$, $\{j, k\}$, $\{k, l\}$ множество коммутаторов
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_k'&=\bigl\{[\mu_k, \mu_i, \mu_k, \mu_k],[\mu_i, \mu_l, \mu_i, \mu_k], [\mu_i, \mu_l, \mu_k, \mu_i] \bigr\}, \\ A_j'&=\bigl\{[\mu_i, \mu_l, \mu_i, \mu_i],[\mu_l, \mu_j, \mu_l, \mu_l], [\mu_l, \mu_j, \mu_l, \mu_i], [\mu_l, \mu_j, \mu_i, \mu_l] \bigr\}, \\ \overline{B}&=\bigl\{ [\mu_l, \mu_j, \mu_i, \mu_k] \bigr\} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
минимально порождает $L^4(RC_{\mathcal K})\cong \mathbb Z_2^8$. В пункте (e) возможны два варианта симплициального комплекса (графа) с точностью до изоморфизма:  В первом случае возьмем $i=4$, $j=1$, $k=2$, $l=3$  уберем из множества коммутаторов (4.1) все явно равные нулю коммутаторы, перенеся в отдельное множество $A_1'$ все коммутаторы только с индексами $\{1, 2, 3\}$. Останется следующий набор коммутаторов:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_1'&=\bigl\{[\mu_3, \mu_2, \mu_2, \mu_1],[\mu_3, \mu_1, \mu_2, \mu_1], [\mu_3, \mu_1, \mu_1, \mu_2], [\mu_3, \mu_2, \mu_2, \mu_2], \\ &\qquad[\mu_3, \mu_2, \mu_1, \mu_2], [\mu_3, \mu_1, \mu_2, \mu_3], [\mu_2, \mu_1, \mu_1, \mu_1], [\mu_3, \mu_1, \mu_1, \mu_1] \bigr\}, \\ \overline{A_2}&=\bigl\{ [\mu_4, \mu_2, \mu_2, \mu_1], [\mu_4, \mu_2, \mu_1, \mu_2] \bigr\}, \\ \overline{A_4}&=\bigl\{ [\mu_4, \mu_2, \mu_2, \mu_2], [\mu_4, \mu_2, \mu_3, \mu_2], [\mu_4, \mu_2, \mu_2, \mu_3], [\mu_4, \mu_2, \mu_3, \mu_4] \bigr\}, \\ \overline{B}&=\bigl\{ [\mu_2, \mu_4, \mu_3, \mu_1], [\mu_2, \mu_4, \mu_1, \mu_3] \bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В множестве $A_1'$ всего $8$ коммутаторов, по теореме 2.16 это множество минимально. Перенесем все коммутаторы с индексами $\{1, 2, 4\}$ в множество $A_2'$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_1'&=\bigl\{[\mu_3, \mu_2, \mu_2, \mu_1],[\mu_3, \mu_1, \mu_2, \mu_1], [\mu_3, \mu_1, \mu_1, \mu_2], [\mu_3, \mu_2, \mu_2, \mu_2], \\ &\qquad[\mu_3, \mu_2, \mu_1, \mu_2], [\mu_3, \mu_1, \mu_2, \mu_3], [\mu_3, \mu_1, \mu_1, \mu_1] \bigr\}, \\ A_2'&=\bigl\{[\mu_4, \mu_2, \mu_2, \mu_1],[\mu_4, \mu_2, \mu_1, \mu_2], [\mu_2, \mu_1, \mu_1, \mu_1], [\mu_4, \mu_2, \mu_2, \mu_2] \bigr\}, \\ \overline{A_4}&=\bigl\{ [\mu_4, \mu_2, \mu_3, \mu_2], [\mu_4, \mu_2, \mu_2, \mu_3], [\mu_4, \mu_2, \mu_3, \mu_4] \bigr\}, \\ \overline{B}&=\bigl\{ [\mu_2, \mu_4, \mu_3, \mu_1], [\mu_2, \mu_4, \mu_1, \mu_3] \bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В множестве $A_2'$ всего $4$ коммутатора, по теореме 2.16 это множество минимально. Перенесем все коммутаторы с индексами $\{1, 3, 4\}$ в множество $A_3'$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_1'&=\bigl\{[\mu_3, \mu_2, \mu_2, \mu_1],[\mu_3, \mu_1, \mu_2, \mu_1], [\mu_3, \mu_1, \mu_1, \mu_2], [\mu_3, \mu_2, \mu_2, \mu_2], \\ &\qquad[\mu_3, \mu_2, \mu_1, \mu_2],[\mu_3, \mu_1, \mu_2, \mu_3]\bigr\}, \\ A_2'&=\bigl\{[\mu_4, \mu_2, \mu_2, \mu_1],[\mu_4, \mu_2, \mu_1, \mu_2], [\mu_2, \mu_1, \mu_1, \mu_1], [\mu_4, \mu_2, \mu_2, \mu_2] \bigr\}, \\ A_3'&=\bigl\{ [\mu_3, \mu_1, \mu_1, \mu_1] \bigr\}, \\ \overline{A_4}&=\bigl\{ [\mu_4, \mu_2, \mu_3, \mu_2], [\mu_4, \mu_2, \mu_2, \mu_3], [\mu_4, \mu_2, \mu_3, \mu_4]\bigr\}, \\ \overline{B}&=\bigl\{ [\mu_2, \mu_4, \mu_3, \mu_1], [\mu_2, \mu_4, \mu_1, \mu_3] \bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В множестве $A_3'$ всего $1$ коммутатор, по теореме 2.16 это множество минимально. Перенесем все коммутаторы с индексами $\{2, 3, 4\}$ в множество $A_3'$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_1'&=\bigl\{[\mu_3, \mu_2, \mu_2, \mu_1],[\mu_3, \mu_1, \mu_2, \mu_1], [\mu_3, \mu_1, \mu_1, \mu_2], \\ &\qquad[\mu_3, \mu_2, \mu_1, \mu_2],[\mu_3, \mu_1, \mu_2, \mu_3]\bigr\}, \\ A_2'&=\bigl\{[\mu_4, \mu_2, \mu_2, \mu_1],[\mu_4, \mu_2, \mu_1, \mu_2], [\mu_2, \mu_1, \mu_1, \mu_1] \bigr\}, \\ A_3'&=\bigl\{ [\mu_3, \mu_1, \mu_1, \mu_1] \bigr\}, \\ A_4'&=\bigl\{[\mu_4, \mu_2, \mu_3, \mu_2],[\mu_4, \mu_2, \mu_2, \mu_3], [\mu_4, \mu_2, \mu_3, \mu_4], [\mu_4, \mu_2, \mu_2, \mu_2], [\mu_3, \mu_2, \mu_2, \mu_2] \bigr\}, \\ \overline{B}&=\bigl\{ [\mu_2, \mu_4, \mu_3, \mu_1], [\mu_2, \mu_4, \mu_1, \mu_3] \bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По теореме 2.16 все коммутаторы в множестве $A_4'$ можно заменить на $4$ коммутатора $[\mu_3, \mu_2, \mu_3, \mu_3]$, $[\mu_2, \mu_4, \mu_2, \mu_2]$, $[\mu_2, \mu_4, \mu_2, \mu_3]$, $[\mu_2, \mu_4, \mu_3, \mu_2]$. Получим множество коммутаторов:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_1'&=\bigl\{[\mu_3, \mu_2, \mu_2, \mu_1],[\mu_3, \mu_1, \mu_2, \mu_1], [\mu_3, \mu_1, \mu_1, \mu_2], \\ &\qquad[\mu_3, \mu_2, \mu_1, \mu_2], [\mu_3, \mu_1, \mu_2, \mu_3] \bigr\}, \\ A_2'&=\bigl\{[\mu_4, \mu_2, \mu_2, \mu_1],[\mu_4, \mu_2, \mu_1, \mu_2], [\mu_2, \mu_1, \mu_1, \mu_1] \bigr\}, \\ A_3'&=\bigl\{ [\mu_3, \mu_1, \mu_1, \mu_1] \bigr\}, \\ A_4'&=\bigl\{[\mu_3, \mu_2, \mu_3, \mu_3],[\mu_2, \mu_4, \mu_2, \mu_2], [\mu_2, \mu_4, \mu_2, \mu_3], [\mu_2, \mu_4, \mu_3, \mu_2] \bigr\}, \\ \overline{B}&=\bigl\{ [\mu_2, \mu_4, \mu_3, \mu_1], [\mu_2, \mu_4, \mu_1, \mu_3] \bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Этот набор коммутаторов является минимальным, так как если предположить, что мы сможем убрать какой-то коммутатор из $A_i'$, то мы получим противоречие с теоремой 2.16. Также при раскрытии коммутаторов из $A_i'$ получаем, что они содержат мономы только с двумя или тремя индексами, тогда как при раскрытии коммутатора из $\overline{B}$ получаем, что мономы будут содержать все $4$ индекса. Отсюда, в $L^4(RC_{\mathcal K})$ нельзя выразить коммутатор из $\overline{B}$ через другие, так как алгебра над $\mathbb Z_2$, и если бы выражение этого коммутатора существовало, то это была бы сумма других коммутаторов, что невозможно ввиду индексов. Осталось доказать, что
$$
\begin{equation*}
[\mu_2, \mu_4, \mu_3, \mu_1] \ne 0, \qquad [\mu_2, \mu_4, \mu_1, \mu_3] \ne 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что граф ${\mathcal K}^1$ – хордовый; отсюда все $\gamma_s(RC_{\mathcal K})$ – свободные группы (см. [12; теорема 4.3]). По [12; теорема 4.5] следующий набор является базисом $\gamma_2(RC_{\mathcal K})$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (g_1, g_3), \ (g_1, g_2), \ (g_2, g_3), \ (g_2, g_4), \ (g_2, g_4, g_1), \ (g_2, g_4, g_3), \ (g_1, g_3, g_2), \ (g_2, g_3, g_1), \\ (g_2, g_4, g_3, g_1); \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
отсюда $[\mu_2, \mu_4, \mu_3, \mu_1] \ne 0$, так как соответствующий элемент в группе не равен нулю и не лежит в $\gamma_5(RC_{\mathcal K})$ (см. предложение 3.5). Заметим также, что замена $1 \leftrightarrow 3$ не меняет структуру графа, а значит $[\mu_2, \mu_4, \mu_1, \mu_3]$ также представляет собой ненулевой элемент $L^4(RC_{\mathcal K})$. Осталось доказать, что коммутаторы в $\overline{B}$ не выражаются друг через друга. Выразим явно $(g_2, g_4, g_1, g_3)$ через $(g_2, g_4, g_3, g_1)$ в $\gamma_2(RC_{\mathcal K})$, используя второе соотношение 2.14:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(g_2, g_4, g_1, g_3) \,{=}\,(g_2, g_4, g_1)^{-1} (g_2, g_4, g_3)^{-1} (g_2, g_4)^{-1} (g_1, g_3)^{-1} (g_2, g_4) (g_2, g_4, g_1) (g_2, g_4, g_3) \\ &\qquad\qquad(g_2, g_4, g_3, g_1) (g_1, g_3) \equiv ((g_2, g_4), (g_1, g_3)) (g_2, g_4, g_3, g_1) \mod \gamma_5(RC_{\mathcal K}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем, что эти два коммутатора отличаются на $((g_2, g_4), (g_1, g_3))$, который является коммутатором двух базисных элементов $\gamma_2(RC_{\mathcal K})$, отсюда, в следствие того, что $\gamma_2(RC_{\mathcal K})$ – свободная группа, он не равен нулю, а также не лежит в $\gamma_5(RC_{\mathcal K})$ (см. предложение 3.5). Значит,
$$
\begin{equation*}
[\mu_2,\mu_4,\mu_3,\mu_1] \ne [\mu_2,\mu_4,\mu_1,\mu_3].
\end{equation*}
\notag
$$
Если бы коммутаторы выражались друг через друга, было бы верно равенство $[\mu_2,\mu_4,\mu_3,\mu_1]=[\mu_2,\mu_4,\mu_1,\mu_3]^s$ для какого-то $s \in \mathbb N$, но ввиду того, что $L(RC_{\mathcal K})$ – алгебра над $\mathbb Z_2$, при четном $s$ получаем $0$, а при нечетном сам же коммутатор, а они не равны между собой, как мы показали выше. Из симметрии индексов получаем, что при наличии ребер $\{i, j\}$, $\{i, l\}$ множество коммутаторов
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_1'&=\bigl\{[\mu_l, \mu_k, \mu_k, \mu_j],[\mu_l, \mu_j, \mu_k, \mu_j], [\mu_l, \mu_j, \mu_j, \mu_k], \\ &\qquad[\mu_l, \mu_k, \mu_j, \mu_k],[\mu_l, \mu_j, \mu_k, \mu_l]\bigr\}, \\ A_2'&=\bigl\{[\mu_i, \mu_k, \mu_k, \mu_j],[\mu_i, \mu_k, \mu_j, \mu_k], [\mu_k, \mu_j, \mu_j, \mu_j] \bigr\}, \\ A_3'&=\bigl\{ [\mu_l, \mu_j, \mu_j, \mu_j] \bigr\}, \\ A_4'&=\bigl\{[\mu_l, \mu_k, \mu_l, \mu_l],[\mu_k, \mu_i, \mu_k, \mu_k], [\mu_k, \mu_i, \mu_k, \mu_l], [\mu_k, \mu_i, \mu_l, \mu_k] \bigr\}, \\ \overline{B}&=\bigl\{ [\mu_k, \mu_i, \mu_l, \mu_j], [\mu_k, \mu_i, \mu_j, \mu_l] \bigr\} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
минимально порождает $L^4(RC_{\mathcal K})\cong \mathbb Z_2^{15}$. Во втором случае возьмем $i=1$, $j=3$, $k=2$, $l=4$ из (4.1) уберем явно равные нулю коммутаторы, перенеся в отдельное множество $A_1'$ все коммутаторы только с индексами $\{1, 2, 3\}$. Останется следующий набор коммутаторов:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_1'&=\bigl\{[\mu_3, \mu_2, \mu_2, \mu_2],[\mu_2, \mu_1, \mu_1, \mu_1], [\mu_3, \mu_2, \mu_2, \mu_1], [\mu_3, \mu_2, \mu_1, \mu_2] \bigr\}, \\ \overline{A_2}&=\bigl\{ [\mu_4, \mu_1, \mu_2, \mu_1] [\mu_4, \mu_1, \mu_1, \mu_2], [\mu_4, \mu_1, \mu_2, \mu_4] \bigr\}, \\ \overline{A_3}&=\bigl\{ [\mu_4, \mu_1, \mu_1, \mu_1], [\mu_4, \mu_3, \mu_3, \mu_1], [\mu_4, \mu_1, \mu_3, \mu_1], [\mu_4, \mu_1, \mu_1, \mu_3], \\ &\qquad[\mu_4, \mu_3, \mu_1, \mu_3],[\mu_4, \mu_1, \mu_3, \mu_4]\bigr\}, \\ \overline{A_4}&=\bigl\{ [\mu_4, \mu_3, \mu_3, \mu_2], [\mu_4, \mu_3, \mu_3, \mu_3], [\mu_4, \mu_3, \mu_2, \mu_3] \bigr\}, \\ \overline{B}&=\bigl\{ [\mu_1, \mu_4, \mu_3, \mu_2], [\mu_1, \mu_4, \mu_2, \mu_3], [\mu_3, \mu_4, \mu_1, \mu_2], [\mu_3, \mu_4, \mu_2, \mu_1] \bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По теореме 2.16 все коммутаторы в множестве $A_1'$ можно заменить на $4$ коммутатора $[\mu_1, \mu_2, \mu_1, \mu_1]$, $[\mu_2, \mu_3, \mu_2, \mu_2]$, $[\mu_2, \mu_3, \mu_2, \mu_1]$, $[\mu_2, \mu_3, \mu_1, \mu_2]$. После чего перенесем все коммутаторы с индексами $\{1,2,4\}$ в множество $A_2'$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_1'&=\bigl\{[\mu_2, \mu_3, \mu_2, \mu_2],[\mu_2, \mu_3, \mu_2, \mu_1], [\mu_2, \mu_3, \mu_1, \mu_2] \bigr\}, \\ A_2'&=\bigl\{[\mu_4, \mu_1, \mu_1, \mu_1],[\mu_1, \mu_2, \mu_1, \mu_1], [\mu_4, \mu_1, \mu_2, \mu_1] [\mu_4, \mu_1, \mu_1, \mu_2], [\mu_4, \mu_1, \mu_2, \mu_4] \bigr\}, \\ \overline{A_3}&=\bigl\{ [\mu_4, \mu_3, \mu_3, \mu_1], [\mu_4, \mu_1, \mu_3, \mu_1], [\mu_4, \mu_1, \mu_1, \mu_3], \\ &\qquad[\mu_4, \mu_3, \mu_1, \mu_3],[\mu_4, \mu_1, \mu_3, \mu_4]\bigr\}, \\ \overline{A_4}&=\bigl\{ [\mu_4, \mu_3, \mu_3, \mu_2], [\mu_4, \mu_3, \mu_3, \mu_3], [\mu_4, \mu_3, \mu_2, \mu_3] \bigr\}, \\ \overline{B}&=\bigl\{ [\mu_1, \mu_4, \mu_3, \mu_2], [\mu_1, \mu_4, \mu_2, \mu_3], [\mu_3, \mu_4, \mu_1, \mu_2], [\mu_3, \mu_4, \mu_2, \mu_1] \bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, все коммутаторы в множестве $A_2'$ можно заменить на $4$ коммутатора $[\mu_2, \mu_1, \mu_2, \mu_2]$, $[\mu_1, \mu_4, \mu_1, \mu_1]$, $[\mu_1, \mu_4, \mu_1, \mu_2]$, $[\mu_1, \mu_4, \mu_2, \mu_1]$. После чего перенесем все коммутаторы с индексами $\{1, 3, 4\}$ в множество $A_3'$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_1'&=\bigl\{[\mu_2, \mu_3, \mu_2, \mu_2],[\mu_2, \mu_3, \mu_2, \mu_1], [\mu_2, \mu_3, \mu_1, \mu_2] \bigr\}, \\ A_2'&=\bigl\{[\mu_2, \mu_1, \mu_2, \mu_2],[\mu_1, \mu_4, \mu_1, \mu_2], [\mu_1, \mu_4, \mu_2, \mu_1] \bigr\}, \\ A_3'&=\bigl\{[\mu_4, \mu_3, \mu_3, \mu_3],[\mu_1, \mu_4, \mu_1, \mu_1], [\mu_4, \mu_3, \mu_3, \mu_1], [\mu_4, \mu_1, \mu_3, \mu_1], \\ &\qquad[\mu_4, \mu_1, \mu_1, \mu_3], [\mu_4, \mu_3, \mu_1, \mu_3], [\mu_4, \mu_1, \mu_3, \mu_4] \bigr\}, \\ \overline{A_4}&=\bigl\{ [\mu_4, \mu_3, \mu_3, \mu_2], [\mu_4, \mu_3, \mu_2, \mu_3] \bigr\}, \\ \overline{B}&=\bigl\{ [\mu_1, \mu_4, \mu_3, \mu_2], [\mu_1, \mu_4, \mu_2, \mu_3], [\mu_3, \mu_4, \mu_1, \mu_2], [\mu_3, \mu_4, \mu_2, \mu_1] \bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, все коммутаторы в множестве $A_3'$ можно заменить на $4$ коммутатора $[\mu_1, \mu_4, \mu_1, \mu_1]$, $[\mu_4, \mu_3, \mu_4, \mu_4]$, $[\mu_4, \mu_3, \mu_4, \mu_1]$, $[\mu_4, \mu_3, \mu_1, \mu_4]$, после чего перенесем в множество $A_4'$ все коммутаторы с индексами $\{2, 3, 4\}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_1'&=\bigl\{ [\mu_2, \mu_3, \mu_2, \mu_1], [\mu_2, \mu_3, \mu_1, \mu_2] \bigr\}, \\ A_2'&=\bigl\{[\mu_2, \mu_1, \mu_2, \mu_2],[\mu_1, \mu_4, \mu_1, \mu_2], [\mu_1, \mu_4, \mu_2, \mu_1] \bigr\}, \\ A_3'&=\bigl\{[\mu_1, \mu_4, \mu_1, \mu_1],[\mu_4, \mu_3, \mu_4, \mu_1], [\mu_4, \mu_3, \mu_1, \mu_4] \bigr\}, \\ A_4'&=\bigl\{[\mu_4, \mu_3, \mu_4, \mu_4],[\mu_2, \mu_3, \mu_2, \mu_2], [\mu_4, \mu_3, \mu_3, \mu_2], [\mu_4, \mu_3, \mu_2, \mu_3] \bigr\}, \\ \overline{B}&=\bigl\{ [\mu_1, \mu_4, \mu_3, \mu_2], [\mu_1, \mu_4, \mu_2, \mu_3], [\mu_3, \mu_4, \mu_1, \mu_2], [\mu_3, \mu_4, \mu_2, \mu_1] \bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, все коммутаторы в множестве $A_4'$ можно заменить на $4$ коммутатора $[\mu_2, \mu_3, \mu_2, \mu_2]$, $[\mu_3, \mu_4, \mu_3, \mu_3]$, $[\mu_3, \mu_4, \mu_3, \mu_2]$, $[\mu_3, \mu_4, \mu_2, \mu_3]$. Получим множество коммутаторов:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_1'&=\bigl\{ [\mu_2, \mu_3, \mu_2, \mu_1], [\mu_2, \mu_3, \mu_1, \mu_2] \bigr\}, \\ A_2'&=\bigl\{ [\mu_2, \mu_1, \mu_2, \mu_2], [\mu_1, \mu_4, \mu_1, \mu_2], [\mu_1, \mu_4, \mu_2, \mu_1] \bigr\}, \\ A_3'&=\bigl\{ [\mu_1, \mu_4, \mu_1, \mu_1], [\mu_4, \mu_3, \mu_4, \mu_1], [\mu_4, \mu_3, \mu_1, \mu_4] \bigr\}, \\ A_4'&=\bigl\{[\mu_2, \mu_3, \mu_2, \mu_2],[\mu_3, \mu_4, \mu_3, \mu_3], [\mu_3, \mu_4, \mu_3, \mu_2], [\mu_3, \mu_4, \mu_2, \mu_3] \bigr\}, \\ \overline{B}&=\bigl\{ [\mu_1, \mu_4, \mu_3, \mu_2], [\mu_1, \mu_4, \mu_2, \mu_3], [\mu_3, \mu_4, \mu_1, \mu_2], [\mu_3, \mu_4, \mu_2, \mu_1] \bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что $[\mu_3,\mu_4,\mu_1,\mu_2]=[\mu_1,\mu_4,\mu_3,\mu_2]$. Выпишем тождество Якоби относительно “внешних” коммутаторов элемента $[\mu_3,\mu_4,\mu_2,\mu_1]=[[[\mu_3,\mu_4],\mu_2],\mu_1]$:
$$
\begin{equation*}
\bigl[[[\mu_3, \mu_4], \mu_2], \mu_1\bigr]+ \bigl[[\mu_2, \mu_1], [\mu_3, \mu_4]\bigr]+ \bigl[[\mu_1, [\mu_3, \mu_4]], \mu_2\bigr]=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Это эквивалентно
$$
\begin{equation}
\bigl[[\mu_4, \mu_3], [\mu_2, \mu_1]\bigr]=\bigl[[[\mu_3, \mu_4], \mu_2], \mu_1\bigr]+ \bigl[[[\mu_3, \mu_4], \mu_1], \mu_2\bigr].
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Аналогично из коммутатора $[[[\mu_1,\mu_4],\mu_2],\mu_3]$ получаем:
$$
\begin{equation}
\bigl[[\mu_2, \mu_3], [\mu_1, \mu_4]\bigr]=\bigl[[[\mu_1, \mu_4], \mu_2], \mu_3\bigr]+ \bigl[[[\mu_1, \mu_4], \mu_3], \mu_2\bigr].
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Выпишем также тождество Якоби для внутренних коммутаторов $[[[\mu_3, \mu_4], \mu_2], \mu_1]$:
$$
\begin{equation*}
\bigl[[[\mu_3, \mu_4], \mu_2], \mu_1\bigr]+\bigl[[[\mu_4, \mu_2], \mu_3], \mu_1\bigr]+ \bigl[[[\mu_2, \mu_3], \mu_4], \mu_1\bigr]=0.
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом того, что $[\mu_4, \mu_2]=0$, имеем
$$
\begin{equation*}
[\mu_3, \mu_4, \mu_2, \mu_1]=[\mu_2, \mu_3, \mu_4, \mu_1].
\end{equation*}
\notag
$$
Выпишем теперь тождество Якоби для “внутренних” коммутаторов элемента $[\mu_2, \mu_3, \mu_4, \mu_1]$:
$$
\begin{equation*}
\bigl[[[\mu_2, \mu_3], \mu_4], \mu_1\bigr]+ \bigl[[\mu_4, \mu_1], [\mu_2, \mu_3]\bigr]+ \bigl[[\mu_1, [\mu_2, \mu_3]], \mu_4\bigr]=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Из последних двух тождеств, подставляя (4.3) имеем
$$
\begin{equation}
[\mu_2, \mu_3, \mu_1, \mu_4]=[\mu_3, \mu_4, \mu_2, \mu_1]+ [\mu_1, \mu_4, \mu_2, \mu_3]+[\mu_1, \mu_4, \mu_3, \mu_2].
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Повторим аналогичные рассуждения для “внутренних” коммутаторов $[\mu_1, \mu_4, \mu_2, \mu_3]$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl[[[\mu_1, \mu_4], \mu_2], \mu_3\bigr]+ \bigl[[[\mu_4, \mu_2], \mu_1], \mu_3\bigr]+\bigl[[[\mu_2, \mu_1], \mu_4], \mu_3\bigr]=0 \\ &\qquad\Longrightarrow\quad [\mu_1, \mu_4, \mu_2, \mu_3]= [\mu_2, \mu_1, \mu_4, \mu_3]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим тождество Якоби
$$
\begin{equation*}
\bigl[[[\mu_2, \mu_1], \mu_4], \mu_3\bigr]+\bigl[[\mu_4, \mu_3], [\mu_2, \mu_1]\bigr]+ \bigl[[[\mu_2, \mu_1], \mu_3], \mu_4\bigr]=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Из последних двух тождеств, подставляя (4.2), имеем
$$
\begin{equation}
[\mu_2, \mu_1, \mu_3, \mu_4]= [\mu_1, \mu_4, \mu_2, \mu_3]+ [\mu_3, \mu_4, \mu_2, \mu_1]+[\mu_3, \mu_4, \mu_1, \mu_2].
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Заметим теперь, что несложно связать коммутаторы $[\mu_2, \mu_1, \mu_3, \mu_4]$ и $[\mu_2, \mu_3, \mu_1, \mu_4]$. Действительно, выпишем тождество Якоби для “внутренних” коммутаторов $[\mu_2, \mu_1, \mu_3, \mu_4]$:
$$
\begin{equation*}
[\mu_2, \mu_1, \mu_3, \mu_4]+[\mu_1, \mu_3, \mu_2, \mu_4]+ [\mu_3, \mu_2, \mu_1, \mu_4]=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, с учетом $[\mu_1,\mu_3]=0$
$$
\begin{equation*}
[\mu_2, \mu_1, \mu_3, \mu_4]=[\mu_2, \mu_3, \mu_1, \mu_4].
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя (4.4) и (4.5) в предыдущее равенство, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &[\mu_1, \mu_4, \mu_2, \mu_3]+[\mu_3, \mu_4, \mu_2, \mu_1]+ [\mu_3, \mu_4, \mu_1, \mu_2] \\ &\qquad=[\mu_3, \mu_4, \mu_2, \mu_1]+ [\mu_1, \mu_4, \mu_2, \mu_3]+[\mu_1, \mu_4, \mu_3, \mu_2], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
[\mu_3, \mu_4, \mu_1, \mu_2]=[\mu_1, \mu_4, \mu_3, \mu_2].
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем новый набор коммутаторов:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_1'&=\bigl\{ [\mu_2, \mu_3, \mu_2, \mu_1], [\mu_2, \mu_3, \mu_1, \mu_2] \bigr\}, \\ A_2'&=\bigl\{ [\mu_2, \mu_1, \mu_2, \mu_2], [\mu_1, \mu_4, \mu_1, \mu_2], [\mu_1, \mu_4, \mu_2, \mu_1] \bigr\}, \\ A_3'&=\bigl\{[\mu_1, \mu_4, \mu_1, \mu_1],[\mu_4, \mu_3, \mu_4, \mu_1], [\mu_4, \mu_3, \mu_1, \mu_4] \bigr\}, \\ A_4'&=\bigl\{[\mu_2, \mu_3, \mu_2, \mu_2],[\mu_3, \mu_4, \mu_3, \mu_3], [\mu_3, \mu_4, \mu_3, \mu_2], [\mu_3, \mu_4, \mu_2, \mu_3] \bigr\}, \\ \overline{B}&=\bigl\{ [\mu_1, \mu_4, \mu_2, \mu_3], [\mu_3, \mu_4, \mu_1, \mu_2], [\mu_3, \mu_4, \mu_2, \mu_1] \bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Этот набор коммутаторов является минимальным согласно предложению 2.10. Из симметрии индексов получаем, что при наличии ребер $\{i, j\}$, $\{k, l\}$ множество коммутаторов
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_i'&=\bigl\{ [\mu_k, \mu_j, \mu_k, \mu_i], [\mu_k, \mu_j, \mu_i, \mu_k] \bigr\}, \\ A_k'&=\bigl\{ [\mu_k, \mu_i, \mu_k, \mu_k], [\mu_i, \mu_l, \mu_i, \mu_k], [\mu_i, \mu_l, \mu_k, \mu_i] \bigr\}, \\ A_j'&=\bigl\{ [\mu_i, \mu_l, \mu_i, \mu_i], [\mu_l, \mu_j, \mu_l, \mu_i], [\mu_l, \mu_j, \mu_i, \mu_l] \bigr\}, \\ A_l'&=\bigl\{[\mu_k, \mu_j, \mu_k, \mu_k],[\mu_j, \mu_l, \mu_j, \mu_j], [\mu_j, \mu_l, \mu_j, \mu_k], [\mu_j, \mu_l, \mu_k, \mu_j] \bigr\}, \\ \overline{B}&=\bigl\{ [\mu_i, \mu_l, \mu_k, \mu_j], [\mu_j, \mu_l, \mu_i, \mu_k], [\mu_j, \mu_l, \mu_k, \mu_i] \bigr\} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
минимально порождает $L^4(RC_{\mathcal K})\cong \mathbb Z_2^{15}$. В пункте (e) пусть есть единственное ребро $\{i,j\}$. Возьмем $i=3$, $j=4$ из (4.1) уберем явно равные нулю коммутаторы, перенеся в отдельное множество $A_1'$ все коммутаторы только с индексами $\{1, 2, 3\}$. Останется следующий набор коммутаторов:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_1'&=\bigl\{[\mu_3, \mu_2, \mu_2, \mu_1],[\mu_3, \mu_1, \mu_2, \mu_1], [\mu_3, \mu_1, \mu_1, \mu_2], [\mu_3, \mu_2, \mu_1, \mu_2], \\ &\qquad[\mu_2, \mu_1, \mu_1, \mu_1], [\mu_3, \mu_1, \mu_2, \mu_3], [\mu_3, \mu_2, \mu_2, \mu_2], [\mu_3, \mu_1, \mu_1, \mu_1] \bigr\}, \\ \overline{A_2}&=\bigl\{ [\mu_4, \mu_2, \mu_2, \mu_1], [\mu_4, \mu_1, \mu_2, \mu_1], [\mu_4, \mu_1, \mu_1, \mu_2], \\ &\qquad[\mu_4, \mu_2, \mu_1, \mu_2],[\mu_4, \mu_1, \mu_2, \mu_4]\bigr\}, \\ \overline{A_3}&=\bigl\{ [\mu_4, \mu_1, \mu_1, \mu_1], [\mu_4, \mu_1, \mu_3, \mu_1], [\mu_4, \mu_1, \mu_1, \mu_3], [\mu_4, \mu_1, \mu_3, \mu_4] \bigr\}, \\ \overline{A_4}&=\bigl\{ [\mu_4, \mu_2, \mu_2, \mu_2], [\mu_4, \mu_2, \mu_3, \mu_2], [\mu_4, \mu_2, \mu_2, \mu_3], [\mu_4, \mu_2, \mu_3, \mu_4] \bigr\}, \\ \overline{B}&=\bigl\{ [\mu_2, \mu_4, \mu_3, \mu_1], [\mu_1, \mu_4, \mu_3, \mu_2], [\mu_1, \mu_4, \mu_2, \mu_3], [\mu_2, \mu_4, \mu_1, \mu_3] \bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По следствию 2.15 все коммутаторы в множестве $A_1'$ можно заменить на $8$ коммутаторов
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, [\mu_2, \mu_1, \mu_1, \mu_1], \ [\mu_3, \mu_1, \mu_1, \mu_1], \ [\mu_3, \mu_2, \mu_2, \mu_1], \ [\mu_3, \mu_1, \mu_2, \mu_1], \ [\mu_3, \mu_1, \mu_1, \mu_2], \\ [\mu_3, \mu_2, \mu_2, \mu_2], \ [\mu_3, \mu_2, \mu_1, \mu_2], \ [\mu_3, \mu_1, \mu_2, \mu_3]. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
После чего перенесем все коммутаторы с индексами $\{1,2,4\}$ в множество $A_2'$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_1'&=\bigl\{[\mu_3, \mu_1, \mu_1, \mu_1],[\mu_3, \mu_2, \mu_2, \mu_1], [\mu_3, \mu_1, \mu_2, \mu_1], [\mu_3, \mu_1, \mu_1, \mu_2], \\ &\qquad[\mu_3, \mu_2, \mu_2, \mu_2], [\mu_3, \mu_2, \mu_1, \mu_2], [\mu_3, \mu_1, \mu_2, \mu_3] \bigr\}, \\ A_2'&=\bigl\{[\mu_4, \mu_1, \mu_1, \mu_1],[\mu_4, \mu_2, \mu_2, \mu_2], [\mu_2, \mu_1, \mu_1, \mu_1], [\mu_4, \mu_2, \mu_2, \mu_1], \\ &\qquad[\mu_4, \mu_1, \mu_2, \mu_1], [\mu_4, \mu_1, \mu_1, \mu_2], [\mu_4, \mu_2, \mu_1, \mu_2], [\mu_4, \mu_1, \mu_2, \mu_4] \bigr\}, \\ \overline{A_3}&=\bigl\{ [\mu_4, \mu_1, \mu_3, \mu_1], [\mu_4, \mu_1, \mu_1, \mu_3], [\mu_4, \mu_1, \mu_3, \mu_4] \bigr\}, \\ \overline{A_4}&=\bigl\{ [\mu_4, \mu_2, \mu_3, \mu_2], [\mu_4, \mu_2, \mu_2, \mu_3], [\mu_4, \mu_2, \mu_3, \mu_4] \bigr\}, \\ \overline{B}&=\bigl\{ [\mu_2, \mu_4, \mu_3, \mu_1], [\mu_1, \mu_4, \mu_3, \mu_2], [\mu_1, \mu_4, \mu_2, \mu_3], [\mu_2, \mu_4, \mu_1, \mu_3] \bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, все коммутаторы в множестве $A_2'$ можно заменить на $8$ коммутаторов
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, [\mu_2, \mu_1, \mu_1, \mu_1], \ [\mu_4, \mu_1, \mu_1, \mu_1], \ [\mu_4, \mu_2, \mu_2, \mu_1], \ [\mu_4, \mu_1, \mu_2, \mu_1], \ [\mu_4, \mu_1, \mu_1, \mu_2], \\ [\mu_4, \mu_2, \mu_2, \mu_2], \ [\mu_4, \mu_2, \mu_1, \mu_2], \ [\mu_4, \mu_1, \mu_2, \mu_4]. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
После чего перенесем все коммутаторы с индексами $\{1,3,4\}$ в множество $A_3'$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_1'&=\bigl\{[\mu_3, \mu_2, \mu_2, \mu_1],[\mu_3, \mu_1, \mu_2, \mu_1], [\mu_3, \mu_1, \mu_1, \mu_2], \\ &\qquad[\mu_3, \mu_2, \mu_2, \mu_2], [\mu_3, \mu_2, \mu_1, \mu_2], [\mu_3, \mu_1, \mu_2, \mu_3] \bigr\}, \\ A_2'&=\bigl\{[\mu_2, \mu_1, \mu_1, \mu_1],[\mu_4, \mu_2, \mu_2, \mu_1], [\mu_4, \mu_1, \mu_2, \mu_1], [\mu_4, \mu_1, \mu_1, \mu_2], \\ &\qquad[\mu_4, \mu_2, \mu_2, \mu_2], [\mu_4, \mu_2, \mu_1, \mu_2], [\mu_4, \mu_1, \mu_2, \mu_4] \bigr\}, \\ A_3'&=\bigl\{[\mu_3, \mu_1, \mu_1, \mu_1],[\mu_4, \mu_1, \mu_1, \mu_1], [\mu_4, \mu_1, \mu_3, \mu_1], [\mu_4, \mu_1, \mu_1, \mu_3], [\mu_4, \mu_1, \mu_3, \mu_4] \bigr\}, \\ \overline{A_4}&=\bigl\{ [\mu_4, \mu_2, \mu_3, \mu_2], [\mu_4, \mu_2, \mu_2, \mu_3], [\mu_4, \mu_2, \mu_3, \mu_4] \bigr\}, \\ \overline{B}&=\bigl\{ [\mu_2, \mu_4, \mu_3, \mu_1], [\mu_1, \mu_4, \mu_3, \mu_2], [\mu_1, \mu_4, \mu_2, \mu_3], [\mu_2, \mu_4, \mu_1, \mu_3] \bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По теореме 2.16 все коммутаторы в множестве $A_3'$ можно заменить на $4$ коммутатора $[\mu_3, \mu_1, \mu_3, \mu_3]$, $[\mu_1, \mu_4, \mu_1, \mu_1]$, $[\mu_1, \mu_4, \mu_1, \mu_3]$, $[\mu_1, \mu_4, \mu_3, \mu_1]$, после чего перенесем в множество $A_4'$ все коммутаторы с индексами $\{2,3,4\}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_1'&=\bigl\{[\mu_3, \mu_2, \mu_2, \mu_1],[\mu_3, \mu_1, \mu_2, \mu_1], [\mu_3, \mu_1, \mu_1, \mu_2], [\mu_3, \mu_2, \mu_1, \mu_2], [\mu_3, \mu_1, \mu_2, \mu_3] \bigr\}, \\ A_2'&=\bigl\{[\mu_2, \mu_1, \mu_1, \mu_1],[\mu_4, \mu_2, \mu_2, \mu_1], [\mu_4, \mu_1, \mu_2, \mu_1], [\mu_4, \mu_1, \mu_1, \mu_2], \\ &\qquad[\mu_4, \mu_2, \mu_1, \mu_2],[\mu_4, \mu_1, \mu_2, \mu_4]\bigr\}, \\ A_3'&=\bigl\{[\mu_3, \mu_1, \mu_3, \mu_3],[\mu_1, \mu_4, \mu_1, \mu_1], [\mu_1, \mu_4, \mu_1, \mu_3], [\mu_1, \mu_4, \mu_3, \mu_1] \bigr\}, \\ A_4'&=\bigl\{[\mu_3, \mu_2, \mu_2, \mu_2],[\mu_4, \mu_2, \mu_2, \mu_2], [\mu_4, \mu_2, \mu_3, \mu_2], [\mu_4, \mu_2, \mu_2, \mu_3], [\mu_4, \mu_2, \mu_3, \mu_4] \bigr\}, \\ \overline{B}&=\bigl\{ [\mu_2, \mu_4, \mu_3, \mu_1], [\mu_1, \mu_4, \mu_3, \mu_2], [\mu_1, \mu_4, \mu_2, \mu_3], [\mu_2, \mu_4, \mu_1, \mu_3] \bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, все коммутаторы в множестве $A_4'$ можно заменить на $4$ коммутатора $[\mu_3, \mu_2, \mu_3, \mu_3]$, $[\mu_2, \mu_4, \mu_2, \mu_2]$, $[\mu_2, \mu_4, \mu_2, \mu_3]$, $[\mu_2, \mu_4, \mu_3, \mu_2]$. Получим множество коммутаторов:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_1'&=\bigl\{[\mu_3, \mu_2, \mu_2, \mu_1],[\mu_3, \mu_1, \mu_2, \mu_1], [\mu_3, \mu_1, \mu_1, \mu_2], [\mu_3, \mu_2, \mu_1, \mu_2], [\mu_3, \mu_1, \mu_2, \mu_3] \bigr\}, \\ A_2'&=\bigl\{[\mu_2, \mu_1, \mu_1, \mu_1],[\mu_4, \mu_2, \mu_2, \mu_1], [\mu_4, \mu_1, \mu_2, \mu_1], [\mu_4, \mu_1, \mu_1, \mu_2], [\mu_4, \mu_2, \mu_1, \mu_2], \\ &\qquad[\mu_4, \mu_1, \mu_2, \mu_4] \bigr\}, \\ A_3'&=\bigl\{[\mu_3, \mu_1, \mu_3, \mu_3],[\mu_1, \mu_4, \mu_1, \mu_1], [\mu_1, \mu_4, \mu_1, \mu_3], [\mu_1, \mu_4, \mu_3, \mu_1] \bigr\}, \\ A_4'&=\bigl\{[\mu_3, \mu_2, \mu_3, \mu_3],[\mu_2, \mu_4, \mu_2, \mu_2], [\mu_2, \mu_4, \mu_2, \mu_3], [\mu_2, \mu_4, \mu_3, \mu_2] \bigr\}, \\ \overline{B}&=\bigl\{ [\mu_2, \mu_4, \mu_3, \mu_1], [\mu_1, \mu_4, \mu_3, \mu_2], [\mu_1, \mu_4, \mu_2, \mu_3], [\mu_2, \mu_4, \mu_1, \mu_3] \bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Этот набор коммутаторов является минимальным согласно предложению 2.11. Из симметрии индексов получаем, что при наличии ребра $\{i,j\}$ множество коммутаторов
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_k'&=\bigl\{[\mu_i, \mu_l, \mu_l, \mu_k],[\mu_i, \mu_k, \mu_l, \mu_k], [\mu_i, \mu_k, \mu_k, \mu_l], [\mu_i, \mu_l, \mu_k, \mu_l], [\mu_i, \mu_k, \mu_l, \mu_i] \bigr\}, \\ A_l'&=\bigl\{[\mu_l, \mu_k, \mu_k, \mu_k],[\mu_j, \mu_l, \mu_l, \mu_k], [\mu_j, \mu_k, \mu_l, \mu_k], [\mu_j, \mu_k, \mu_k, \mu_l], [\mu_j, \mu_l, \mu_k, \mu_l], \\ &\qquad[\mu_j, \mu_k, \mu_l, \mu_j] \bigr\}, \\ A_i'&=\bigl\{[\mu_i, \mu_k, \mu_i, \mu_i],[\mu_k, \mu_j, \mu_k, \mu_k], [\mu_k, \mu_j, \mu_k, \mu_i], [\mu_k, \mu_j, \mu_i, \mu_k] \bigr\}, \\ A_j'&=\bigl\{[\mu_i, \mu_l, \mu_i, \mu_i],[\mu_l, \mu_j, \mu_l, \mu_l], [\mu_l, \mu_j, \mu_l, \mu_i], [\mu_l, \mu_j, \mu_i, \mu_l] \bigr\}, \\ \overline{B}&=\bigl\{ [\mu_l, \mu_j, \mu_i, \mu_k], [\mu_k, \mu_j, \mu_i, \mu_l], [\mu_k, \mu_j, \mu_l, \mu_i], [\mu_l, \mu_j, \mu_k, \mu_i] \bigr\} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
минимально порождает $L^4(RC_{\mathcal K})\cong \mathbb Z_2^{23}$.
5. Образующие $L^4(RC_{\mathcal K})$Используя предложение 4.1, можно выписать образующие $L(RC_{\mathcal K})$ для любого симплициального комплекса ${\mathcal K}$ на $[m]$. Алгоритм аналогичен доказательству некоторых пунктов предложения 4.1:
Доказательство. На шаге 3 согласно предложению 4.1 подмножество $A'$, объединенное с дополнением к $A$, порождает $L^4(RC_{\mathcal K})$, откуда полученное итоговое множество порождает $L^4(RC_{\mathcal K})$. Осталось доказать минимальность. Предположим, что полученное множество коммутаторов не является минимальной системой образующих, т.е. существует коммутатор $\alpha=[\mu_i, \mu_j, \mu_k, \mu_l]$, который можно убрать, при этом оставшееся множество будет порождать $L^4(RC_{\mathcal K})$. Рассмотрим итерацию алгоритма, когда $\alpha$ в последний раз рассматривался на шаге $4$ и возьмем те $4$ точки, которые использовались для данной итерации. Согласно предложению 4.1, коммутатор $\alpha$ убрать нельзя, противоречие. Отсюда следует, что алгоритм дает требуемый результат. Авторы выражают глубокую благодарность своему научному руководителю Тарасу Евгеньевичу Панову за постановку задачи, постоянное внимание и помощь в работе. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{VerRah24} |
|
||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|