| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Полугруппы относительно непрерывных бинарных отношений и их изоморфизмы В. И. Варанкина, Е. М. Вечтомов Вятский государственный университет, г. Киров
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623050176 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеОдним из главных направлений развития математики, как в историко-фактологическом, так и в методологическом плане, является изучение взаимосвязей между математическими объектами различной природы, в основном между структурами, имеющими тополого-геометрической характер и арифметико-алгебраической характер. Например, топологические пространства $X$ выступают в роли исходных математических объектов, а кольца $C(X)$ непрерывных действительнозначных функций на них – в роли производных объектов [1]. При этом исследуются следующие проблемы: определяемость исходных объектов и их свойств через производные объекты; описание изоморфизмов производных объектов; установление двойственности между категориями исходных и производных объектов. Так, в пионерской работе по теории колец непрерывных функций [2] Гельфанд и Колмогоров доказали определяемость любого компакта (компактного хаусдорфова пространства) $X$ – в классе всех компактов – кольцом $C(X)$. Эта статья предвосхитила установление двойственности Хьюитта между категорией хьюиттовских (вещественно полных, $\mathbb R$-полных, $\mathbb R$-компактных) пространств $X$ и их непрерывных отображений и категорией колец $C(X)$ и их гомоморфизмов, сохраняющих функцию-константу 1 (см. [1; гл. 10]). Теме определяемости топологических пространств различными алгебраическими системами непрерывных функций на них посвящена обзорная статья [3]. В нашей работе решена задача определяемости произвольного топологического пространства $X$ полугруппой $CR^*(X)$ всех относительно непрерывных бинарных отношений на $X$, рассматриваемой с операцией композиции бинарных отношений. Говорят, что топологическое пространство $X$ абсолютно определяется полугруппой $CR^*(X)$, если для любого топологического пространства $Y$ изоморфность полугрупп $CR^*(X)$ и $CR^*(Y)$ влечет гомеоморфность пространств $X$ и $Y$. Изоморфизм полугрупп $CR^*(X)$ и $CR^*(Y)$, канонически порожденный гомеоморфизмом пространств $X$ и $Y$, называется индуцированным. Целью работы является описание изоморфизмов между полугруппами $CR^*(X)$ и $CR^*(Y)$ для произвольных топологических пространств $X$ и $Y$ (теорема 1). Следствием данной теоремы служит абсолютная определяемость всякого топологического пространства $X$, не являющегося дискретным или антидискретным, полугруппой $CR^*(X)$ (теорема 2). Эти результаты анонсированы в [4]. Скажем, что некоторое предложение о бинарных отношениях на топологическом пространстве $X$ имеет полугрупповую характеризацию, если оно выражается на языке (в терминах) полугруппы $CR^*(X)$. Доказательство теоремы 1 базируется на нахождении полугрупповых характеризаций целого ряда утверждений об относительно непрерывных бинарных отношениях на топологических пространствах (леммы 3–8). Информацию о бинарных отношениях и операциях над ними можно найти в работах [5; § 1] и [6]. Основы общей топологии обстоятельно изложены в [7]. 2. О бинарных отношенияхБинарным отношением между непустыми множествами $X$ и $Y$ называется произвольное подмножество $\rho$ прямого произведения множеств $X$ и $Y$, т.е. $\rho\subseteq X\times Y$. Запись $a\rho b$ означает, что элементы $a\in X$ и $b\in Y$ находятся в отношении $\rho$, т.е. $(a, b)\in\rho$. Далее бинарные отношения будем называть просто отношениями. Пусть даны произвольные отношения $\rho$, $\sigma$, $\theta$ между множествами $X$ и $Y$, отношения $\tau$, $\nu$ между множествами $Y$ и $Z$, отношение $\omega$ между множествами $Z$ и $U$. Отношение $\rho^{-1}$ между множествами $Y$ и $X$ такое, что $b\rho^{-1}a$ равносильно $a\rho b$ для любых элементов $a\in X$ и $b\in Y$, называется обратным к отношению $\rho$. Отношение $\rho\tau=\rho\cdot\tau=\tau\circ\rho$ между множествами $X$ и $Z$, где $a(\rho\tau)c$ при $a\in X$ и $c\in Z$ означает, что $a\rho b$ и $b\tau c$ для некоторого элемента $b\in Y$, называется композицией или произведением отношений $\rho$ и $\tau$. Если $X=Y$, то отношение $\rho$ называется отношением на множестве $X$. Отношение $\rho$ на множестве $X$ является подмножеством прямой степени $X^2=X\times X$ и элементом булеана $B(X\times X)$. Отношение равенства на множестве $X$ обозначается $1_X$. Пустое отношение будем обозначать, как и пустое множество, через $\varnothing$. Образом подмножества $A$ множества $X$ при отношении $\rho$ называется множество
$$
\begin{equation*}
A\rho=\rho(A)=\{b\in Y\colon \exists\,a\in A\, a\rho b\}\subseteq Y.
\end{equation*}
\notag
$$
Областью определения отношения $\rho$ называется множество $D(\rho)=Y\rho^{-1}=\rho^{-1}(Y)$. Множеством значений (образом) отношения $\rho$ будет множество $R(\rho)=X\rho=D(\rho^{-1})$. Отметим, что для любого отношения $\rho$ между множествами $X$ и $Y$
$$
\begin{equation}
\rho=\bigcup_{a\in X} (\{a\}\times\rho(\{a\})= \bigcup_{b\in Y} (\rho^{-1}(\{b\})\times \{b\}).
\end{equation}
\tag{1}
$$
Включение $\rho\subseteq \sigma$, объединение $\rho\cup\sigma$ и пересечение $\rho\cap\sigma$ отношений суть теоретико-множественные включение, объединение и пересечение $\rho$ и $\sigma$ на булеане $B(X\times Y)$ множества $X\times Y$. Легко видеть, что для указанных выше отношений и множеств $A, B \subseteq X$ верна Лемма 1. Имеют место следующие свойства бинарных отношений: Отношение $\rho$ между множествами $X$ и $Y$ называется
Всюду определенное однозначное отношение между множествами $X$ и $Y$ называется функциональным, функцией или отображением ($X\to Y$). Всюду определенное отношение называют также многозначной функцией, а однозначное отношение – частичной функцией. Отношение $\rho$ на множестве $X$ назовем полным, если $\rho=D(\rho)\times R(\rho)$. Полными отношениями на множестве $X$ служат константные отображения $\pi_x\colon X\to\{x\}$, $x\in X$. Константные отображения $\pi_x=X\times \{x\}$ являются минимальными элементами упорядоченного множества всех полных всюду определенных отношений, рассматриваемого с отношением включения $\subseteq$. Положим $\pi^x=(\pi_x)^{-1}=\{x\}\times X$. Если $a, b\in X$, то, как легко видеть, $\pi_a\pi^b=\varnothing$ при $a\ne b$ и $\pi_a\pi^b=X\times X\ne\varnothing$ при $a=b$. 3. Бинарные отношения на топологическом пространствеПусть $X$, $Y$ – произвольные топологические пространства и $\rho$ – отношение между $X$ и $Y$. Отношение $\rho$ назовем
Очевидно, что
Простые примеры показывают, что в отличие от функциональных отношений для многозначных функций понятия непрерывности и конепрерывности, вообще говоря, не эквивалентны. Пример 1. Пусть $X$, $Y$ – любые топологические пространства с незамкнутыми открытыми множествами $A$ и $B$ соответственно. Положим Легко видеть, что соответствие $\rho$ между пространствами $X$ и $Y$ всюду определено и сюръективно, непрерывно и открыто, но не конепрерывно и не замкнуто. Обратное соответствие $\rho^{-1}$ между пространствами $Y$ и $X$ обладает этими же свойствами. Пример 2. Для топологических пространств $X$ и $Y$ из примера 1 определим Соответствия $\sigma$ и $\sigma^{-1}$ всюду определены и сюръективны, конепрерывны и замкнуты, но не непрерывны и не открыты. Лемма 2. Для произвольных относительно непрерывных (непрерывных) отношений $\rho$ между топологическими пространствами $X$ и $Y$ и $\tau$ между топологическими пространствами $Y$ и $Z$ соответствие $\rho\tau$ также относительно непрерывно (непрерывно). Доказательство. Пусть $U$ – открытое множество в $Z$. Тогда в силу свойств 2) и 15) множество $U(\rho\tau)^{-1}=U(\tau^{-1}\rho^{-1})= (U\tau^{-1})\rho^{-1}$ открыто в $D(\rho\tau)$. Пример 3. Относительно непрерывными отношениями на произвольном топологическом пространстве $X$ являются: полные всюду определенные отношения на $X$, полные сюръективные отношения на $X$, полные отношения $A\times A$ для любого подмножества $A$ в $X$. Относительно непрерывными будут также любые отношения с одноэлементной областью определения или с одноэлементным множеством значений. В частности, таковы отношения $\pi_x$ и $\pi^x$, $x\in X$. Равенства (1) показывают, что всевозможные отношения на топологических пространствах являются объединениями относительно непрерывных полных отношений. 4. Полугруппа относительно непрерывных бинарных отношенийОбозначим $CR^*(X)$ – множество всех относительно непрерывных бинарных отношений на произвольном топологическом пространстве $X$. В силу леммы 2 с операцией композиции отношений $CR^*(X)$ становится полугруппой с единицей $1_X$ и нулем $\varnothing$. Рассмотрим некоторые свойства полугруппы $CR^*(X)$. Обозначим через $\operatorname{Ann}_l \rho= \{\chi\in CR^*(X)\colon \chi\rho=\varnothing\}$ левый аннулятор отношения $\rho\in CR^*(X)$; двойственным образом определяется правый аннулятор $\operatorname{Ann}_r \rho$. Получаем левый идеал $\operatorname{Ann}_l \rho$ и правый идеал $\operatorname{Ann}_r \rho$ в полугруппе $CR^*(X)$. Лемма 3. Для любых отношений $\rho, \sigma\in CR^*(X)$ верны следующие утверждения: Любое подмножество $A$ топологического пространства $X$ служит областью определения и множеством значений отношения $A\times A\in CR^*(X)$. Рассмотрим на множестве $CR^*(X)$ два отношения эквивалентности $D$ и $R$:
$$
\begin{equation*}
\rho D\sigma \Leftrightarrow D(\rho)=D(\sigma)\quad\text{и}\quad \rho R\sigma \Leftrightarrow R(\rho)=R(\sigma) \qquad\text{при всех}\quad \rho,\sigma\in CR^*(X).
\end{equation*}
\notag
$$
Зададим на фактор-множестве $CR^*(X)/D$ отношение порядка $\leqslant$, полагая
$$
\begin{equation*}
[\rho]_D\leqslant[\sigma]_D\Leftrightarrow D(\rho)\subseteq D(\sigma)\qquad\text{для любых}\quad \rho,\sigma\in CR^*(X).
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичным образом определим порядок $\leqslant$ на фактор-множестве $CR^*(X)/R$. По лемме 3 порядки $\leqslant$ на $CR^*(X)/D$ и на $CR^*(X)/R$ заданы корректно и упорядоченные множества $\langle CR^*(X)/D,\leqslant\rangle$, и $\langle CR^*(X)/R, \leqslant\rangle$ имеют полугрупповую характеризацию. В силу сказанного упорядоченные множества
$$
\begin{equation*}
\langle CR^*(X)/D, \leqslant\rangle \qquad\text{и}\qquad \langle CR^*(X)/R, \leqslant\rangle
\end{equation*}
\notag
$$
изоморфны булеану $\langle B(X), \subseteq\rangle$. Поэтому имеет место Лемма 4. Отношения вида $\pi_a$ и $\pi^a$, $a\in X$, суть в точности всюду определенные отношения с минимальным (непустым) множеством значений и сюръективные отношения с минимальной областью определения соответственно, т.е. они характеризуются полугруппой $CR^*(X)$. Замечание 1. В силу леммы 4 можно отождествить точки $a$ произвольного топологического пространства $X$ с константными отображениями $\pi_a\in CR^*(X)$: $a\equiv \pi_a$ для всех $a\in X$; также возможно отождествление $a\equiv\pi^a$. Так, вместо выражения “элементы $\pi_a$ и $\pi_b$ полугруппы $CR^*(X)$” допустимо писать “точки $a$ и $b$ пространства $X$”, что нагляднее и проще. Следующие леммы очевидны. Замечание 2. Лемма 5 показывает, что принадлежность упорядоченной пары точек $(a,b)$ топологического пространства $X$ отношению $\rho\in CR^*(X)$ имеет полугрупповую характеризацию. Это позволяет выяснить, принадлежит ли произвольное отношение $\sigma$ на пространстве $X$ полугруппе $CR^*(X)$: Замечание 3. Лемма 6 дает полугрупповую характеризацию отношению включения $\subseteq$ на множестве $CR^*(X)$. Рассмотрим теперь некоторые общетопологические понятия. Будем называть точку $x$ топологического пространства $X$ открытой (замкнутой), если одноточечное множество $\{x\}$ открыто (замкнуто). Связным двоеточием называется двухэлементное топологическое пространство, в котором открыта ровно одна точка. Топологическое пространство называется
Легко видеть, что для произвольного топологического пространства $X$ имеют место следующие эквивалентности:
Отметим также, что классы $D_1$-пространств и $T_1$-пространств не пересекаются и каждое $T_0$-пространство, не являющееся $T_1$-пространством, будет $D_1$-пространством. Легко видеть, что верны следующие две леммы. Лемма 7. Подпространство $\{a,b\}$ топологического пространства $X$ является связным двоеточием с открытой точкой a тогда и только тогда, когда Лемма 8. В топологическом пространстве $X$ подпространство $\{a,b\}$ дискретно и подпространство $\{c,d\}$ антидискретно тогда и только тогда, когда Доказательство. Ясно, что $CR^*(X)=B(X\times X)$ для любого тривиального пространства $X$. Обратно, пусть $X$ – нетривиальное пространство. Тогда существует точка $c\in X$, не являющаяся открытой. Докажем неравенство $CR^*(X)\ne B(X\times X)$. В силу лемм 7 и 8 можно считать дискретными все двухэлементные подпространства в $X$. Поэтому для любой точки $a\in X$, отличной от $c$, имеем $\{(c,c)\}\cup\pi_a\notin CR^*(X)$.
5. Изоморфизмы полугрупп относительно непрерывных бинарных отношенийПусть даны топологические пространства $X$, $Y$ и относительно непрерывное отношение $\varphi$ между ними, для которого обратное отношение $\varphi^{-1}$ также относительно непрерывно. Отображение $\alpha_\varphi\colon CR^*(X)\to CR^*(X)$, определенное формулой
$$
\begin{equation}
\alpha_\varphi(\rho)=\varphi^{-1}\rho\varphi \qquad\text{для всех}\quad \rho\in CR^*(X),
\end{equation}
\tag{2}
$$
назовем индуцированным посредством отношения $\varphi$. Если топологические пространства $X$ и $Y$ тривиальны, то в силу леммы 9 любая биекция $\varphi$ между $X$ и $Y$ индуцирует полугрупповой изоморфизм $\alpha_\varphi$ по формуле (2). Пусть $\rho,\sigma\in CR^*(X)$. Имеем $\alpha_\varphi(\varnothing)=\varnothing$ и $\rho\subseteq\sigma$ влечет $\alpha_\varphi(r)\subseteq\alpha_\varphi(\sigma)$. Если $\varphi\varphi^{-1}=1_X$, то
$$
\begin{equation*}
\alpha_\varphi(\rho\sigma)=\varphi^{-1}\rho\sigma\varphi= \varphi^{-1}\rho\varphi\varphi^{-1}\sigma\varphi= \alpha_\varphi(\rho)\alpha_\varphi(\sigma)\varphi
\end{equation*}
\notag
$$
и $\alpha_\varphi\colon CR^*(X)\to CR^*(Y)$ – полугрупповой гомоморфизм. Если $\alpha_\varphi$ сохраняет единичный элемент, т.е. $\alpha_\varphi(1_X)=1_Y$, то $\varphi^{-1}\varphi=1_Y$. Выполнение равенств $\varphi\varphi^{-1}=1_X$ и $\varphi^{-1}\varphi=1_Y$ означает, что $\varphi\colon X\to Y$ – гомеоморфизм топологических пространств $X$ и $Y$, а $\alpha_\varphi$ – изоморфизм полугрупп $CR^*(X)$ и $CR^*(Y)$. Итак, любой гомеоморфизм топологического пространства $X$ на топологическое пространство $Y$ индуцирует изоморфизм полугруппы $CR^*(X)$ на полугруппу $CR^*(Y)$. Оказывается, имеет место и обратное утверждение, за исключением ситуации, когда одно из топологических пространств $X$, $Y$ дискретно, другое антидискретно и некоторое (равносильно: оба) из данных пространств не одноэлементно. Теорема 1. Каждый изоморфизм $\alpha$ полугруппы $CR^*(X)$ на полугруппу $CR^*(Y)$ над произвольными топологическими пространствами $X$ и $Y$ индуцирован посредством однозначно определенной биекции $\varphi$ пространства $X$ на пространство $Y$, т.е. $\alpha=\alpha_\varphi$. При этом если хотя бы одно из пространств $X$ и $Y$ нетривиально, то $\varphi$ является гомеоморфизмом. Доказательство. Пусть – полугрупповой изоморфизм для произвольных топологических пространств $X$ и $Y$. Определим биекцию $\varphi\colon X\to Y$, для которой $\alpha=\alpha_\varphi$. В силу замечания 1 изоморфизм $\alpha$ устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством $\{\pi_x\colon x\in X\}$ константных отображений полукольца $CR^*(X)$ и множеством $\{\pi_y\colon y\in Y\}$ константных отображений полукольца $CR^*(Y)$, а также между множествами $\{\pi^x\colon x\in X\}$ и $\{\pi^y\colon y\in Y\}$.
Определим биекцию $\varphi\colon X\to Y$ формулой
$$
\begin{equation}
\varphi(x)=y\quad\Leftrightarrow\quad \alpha(\pi_x)=\pi_y \qquad\text{для любых}\quad x\in X \quad\text{и}\quad y\in Y.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Для любой точки $a\in X$ имеем $\alpha(\pi_a)=\pi_{\varphi(a)}$. Заметим также, что $\alpha(\pi^a)=\pi^{\varphi(a)}$. Действительно, если $a\in X$ и $\alpha(\pi^a)=\pi^d$ для соответствующей точки $d\in Y$, то
$$
\begin{equation*}
\pi_a\pi^d\ne\varnothing \qquad\Rightarrow\qquad \pi_{\varphi(a)}\pi^d=\alpha(\pi_a)\alpha(\pi^a)\ne\varnothing \qquad\Leftrightarrow\qquad \varphi(a)=d.
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем равенство $\alpha=\alpha_\varphi$, т.е. $\alpha(\rho)=\alpha_\varphi(\rho)$ для каждого $\rho\in CR^*(X)$. Пусть $c,d\in Y$ и $\varphi(a)=c$, $\varphi(b)=d$ для подходящих $a,b\in X$. Тогда $\alpha(\pi_a)=\pi_c$ и $\alpha(\pi_b)=\pi_d$. На основании леммы 5 имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, c\alpha(\rho)d &\qquad\Leftrightarrow\qquad \pi_c\alpha(\rho)\pi^d\ne\varnothing \qquad\Leftrightarrow\qquad \alpha(\pi_a)\alpha(\rho)\alpha(\pi^b)= \alpha(\pi_a\rho\pi^b)\ne\varnothing \\ &\qquad\Leftrightarrow\qquad \pi_a\rho\pi^b\ne\varnothing \qquad\Leftrightarrow\qquad a\rho b \\ &\qquad\Leftrightarrow\qquad c(\varphi^{-1}\rho\varphi)d \qquad\Leftrightarrow\qquad c\alpha_\varphi(\rho)d. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Установим единственность биекции $\varphi$, индуцирующей изоморфизм $\alpha$. Предположим, что $\alpha(\rho)=\psi^{-1}\rho\psi$ для некоторой биекции $\psi$ пространства $X$ на пространство $Y$ и всех $\rho\in CR^*(X)$. Тогда для любой точки $a\in X$ получаем $\pi_{\varphi(a)}=\alpha(\pi_a)=\psi^{-1}\pi_a\psi$, откуда $\psi(a)=\varphi(a)$, т.е. $\psi=\varphi$. Проверим гомеоморфность биекции $\varphi$. Для топологического пространства $X$ возможны три случая. Случай 1. Пространство $X$ тривиально. По лемме 9 топологическое пространство $Y$ также тривиально. Если пространства $X$ и $Y$ одновременно дискретны, либо антидискретны, то $\varphi$ – гомеоморфизм. В противном случае $\varphi$ – биекция дискретного (антидискретного) пространства $X$ на антидискретное (соответственно дискретное) пространство $Y$. Случай 2. Пространство $X$ является $D_1$-пространством, т.е. в $X$ существует двухэлементное подпространство $\{a,b\}$, имеющее – в самом себе – единственную открытую точку $a$. По лемме 7 такое подпространство характеризуется полугруппой $CR^*(X)$. Мы имеем изоморфизм $\alpha=\alpha_\varphi$ полугруппы $CR^*(X)$ на полугруппу $CR^*(Y)$. Поэтому подпространство $\{\varphi(a), \varphi(b)\}$ в $Y$ будет связным двоеточием с открытой точкой $\varphi(a)$. Рассмотрим произвольное непустое собственное подмножество $U$ в $X$. Очевидно, что $U$ открыто в $X$ тогда и только тогда, когда $(U\times \{a\})\cup\pi_b\in CR^*(X)$, т.е. открытость множества $U$ определяется полугруппой $CR^*(X)$. Поэтому $U$ открыто в $X$ тогда и только тогда, когда $\varphi(U)$ открыто в $Y$. Это означает, что $\varphi$ – гомеоморфизм. Случай 3. Пространство $X$ нетривиально и не является $D_1$-пространством. В силу лемм 7 и 9 таковым будет и пространство $Y$. Любое двухэлементное подпространство в $X$ дискретно или антидискретно. Если в пространстве $X$ существуют дискретное двухэлементное подпространство $\{a,b\}$ и антидискретное двухэлементное подпространство $\{c,d\}$, наличие которых выражается в терминах полугруппы $CR^*(X)$ по лемме 8, то фиксируем дискретное подпространство $\{a,b\}$. Если же все двухэлементные подпространства в $X$ дискретны, то обозначим некоторое из них через $\{a,b\}$. Тогда, как и в случае 2, свойство “быть открытым” для любого непустого собственного подмножества $U$ в $X$ равносильно относительной непрерывности отношения $(U\times \{a\})\cup\pi_b$. Теорема доказана. В качестве следствия теоремы 1 получается Теорема 2. Каждое нетривиальное топологическое пространство $X$ абсолютно определяется полугруппой $CR^*(X)$ всех относительно непрерывных бинарных отношений на нем. Замечание 4. Если в теоремах 1 и 2 вместо полугрупп $CR^*(X)$ рассматривать полугруппы относительно конепрерывных отношений, относительно открытых отношений или относительно замкнутых отношений, то получим новые теоремы. Замечание 5. Замкнутые бинарные отношения на топологическом пространстве $X$, понимаемые как замкнутые подмножества тихоновского произведения $X\times X$, изучал Маггил [8]. Он назвал $T_1$-пространство $X$ $\sigma$-пространством в случае, когда композиция любых двух замкнутых отношений на $X$ также будет замкнутым отношением, и обозначил через $\sigma[X]$ полугруппу всех замкнутых отношений на $\sigma$-пространстве $X$ с операцией композиции отношений. Он доказал индуцированность всех изоморфизмов полугрупп $\sigma[X]$ и $\sigma[Y]$ [8; теорема (3.3)]. О’Рейлли [9] показал, что любое хаусдорфово пространство определяется полугруппой всех замкнутых (в смысле Маггила) отношений на нем, имеющих компактный образ. См. также [3; п. 4.11]. 6. О полугруппе непрерывных преобразованийПусть $S(X)$ – полугруппа всех непрерывных преобразований (отображений в себя) топологического пространства $X$ с операцией композиции преобразований. Обзорная статья [10] посвящена теме определяемости топологических пространств $X$ из различных классов пространств полугруппами $S(X)$. В этом пункте мы представим решение задачи определяемости любого $D_1$-пространства $X$ полугруппой $S(X)$. Биекция $\varphi$ между топологическими пространствами $X$ и $Y$ называется антигомеоморфизмом, если $\varphi$ и $\varphi^{-1}$ отображают открытые множества на замкнутые множества. Ясно, что для топологического пространства существует антигомеоморфное ему пространство тогда и только тогда, когда пересечение любого семейства его открытых множеств также открыто. Таковы, например, конечные пространства и пространства, в которых все открытые множества замкнуты. Теорема 3. Для $D_1$-пространства $X$ и произвольного топологического пространства $Y$ изоморфизмы полугруппы $S(X)$ на полугруппу $S(Y)$ суть в точности отображения $\alpha_\varphi$ по всем гомеоморфизмам или антигомеоморфизмам $\varphi$ пространства $X$ на пространство $Y$. Доказательство. Сначала приведем два утверждения о полугруппе $S(X)$ над произвольным топологическим пространством $X$.
Положим $F_X=\{\pi_x\colon x\in X\}$ – множество всех константных отображений $X\to X$. Хорошо известно Утверждение 1. Множество $F_X$ есть множество всех правых нулей $\theta$ полугруппы $S(X)$, т.е. $f\theta=\theta$ для всех $f\in S(X)$. Действительно, отображения $\pi_x$, $x\in X$, являются правыми нулями и, если отображение $g\in S(X)$ принимает более одного значения, то $\pi_xg\ne g$ для любой точки $x\in X$. Легко видеть, что выполнено Утверждение 2. Топологическое пространство $X$ будет $D_1$-пространством тогда и только тогда, когда полугруппа $S(X)$ обладает следующим свойством: в $S(X)$ существуют отображения $\pi_a\ne\pi_b$, $a,b\in X$, и $f$, для которых $F_X\cdot f=\{\pi_a,\pi_b\}$ и не существует такого $g\in S(X)$, что $F_X\cdot g=\{\pi_a,\pi_b\}$ и $\pi_xf=\pi_a$ равносильно $\pi_xg\ne\pi_b$ для всех $x\in X$. Достаточно заметить, что для любого отображения $h\in S(X)$ равенство $\pi_xh=\pi_a$ означает, что $h(x)=a$. Пусть даны $D_1$-пространство $X$, топологическое пространство $Y$ и полугрупповой изоморфизм $\alpha\colon S(X)\to S(Y)$. В силу утверждения 1 соответствие $\varphi$ между $X$ и $Y$, заданное формулой (3), является биекцией. Рассмотрим точки $a$, $b$ пространства $X$, указанные в утверждении 2. Подпространство $\{a,b\}$ в $X$ будет связным двоеточием. Если точка $a$ открыта (замкнута) в подпространстве $\{a,b\}$ пространства $X$, то множества $\{x\in X\colon \pi_xf=\pi_a\}$ по всем $f\in S(X)$ с условием $F_X\cdot f=\{\pi_a,\pi_b\}$ суть в точности открытые (замкнутые) множества пространства $X$. В силу утверждения 2 подпространство $\{\varphi(a),\varphi(b)\}$ в $Y$ является связным двоеточием и, как и выше, определяет топологию пространства $Y$ или множество всех его замкнутых множеств. Следовательно, если сужение $\varphi$ на подпространство $\{a,b\}$ есть гомеоморфизм (антигомеоморфизм), то и сама биекция $\varphi$ является гомеоморфизмом (антигомеоморфизмом) пространства $X$ на пространство $Y$. Проверим равенство $\alpha=\alpha_\varphi$, где $\alpha_\varphi(f)=\varphi^{-1}f\varphi$ для всех $f\in S(X)$. Действительно, для любых отображения $f\in S(X)$ и точек $c, d\in X$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \alpha(f)(\varphi(c))=\varphi(d) &\qquad\Leftrightarrow\qquad \pi_{\varphi(c)}\alpha(f)=\pi_{\varphi(d)} \qquad\Leftrightarrow\qquad \alpha(\pi_c)\alpha(f)=\alpha(\pi_d) \\ &\qquad\Leftrightarrow\qquad \pi_cf=\pi_d \qquad\Leftrightarrow\qquad f(c)=d \\ &\qquad\Leftrightarrow\qquad \alpha_\varphi(f)(\varphi(c))=\varphi(d). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обратно, пусть $\varphi$ – гомеоморфизм или антигомеоморфизм топологического пространства $X$ на топологическое пространство $Y$. Легко видеть, что $\alpha_\varphi$ является биекцией $S(X)$ на $S(Y)$. Биекция $\alpha_\varphi$ есть полугрупповой изоморфизм, поскольку
$$
\begin{equation*}
\alpha_\varphi(fg)=\varphi^{-1}(fg)\varphi= (\varphi^{-1}f\varphi)(\varphi^{-1}g\varphi)= \alpha_\varphi(f)\alpha_\varphi(g)
\end{equation*}
\notag
$$
для любых $f,g\in S(X)$. Отметим также, что $\alpha_\varphi\ne\alpha_\psi$ при $\psi\ne\varphi$. Теорема доказана. Следствие 1. Каждое $D_1$-пространство $X$ однозначно – с точностью до гомеоморфизма или антигомеоморфизма – определяется полугруппой $S(X)$. Положим $S'(X)$ – подполугруппа полугруппы $CR^*(X)$, состоящая из всевозможных (относительно непрерывных) однозначных отношений на топологическом пространстве $X$. Теорема 4 [3; теорема 4.13]. Для любых топологических пространств $X$ и $Y$ изоморфизмы полугруппы $S'(X)$ на полугруппу $S'(Y)$ – это в точности отображения $\alpha_\varphi$, где $\varphi$ – гомеоморфизм или антигомеоморфизм пространства $X$ на пространство $Y$, или произвольная биекция $X$ на $Y$ в случае дискретного (антидискретного) пространства $X$ и антидискретного (дискретного) пространства $Y$. Следствие 2. Каждое нетривиальное топологическое пространство $X$ однозначно – с точностью до гомеоморфизма или антигомеоморфизма – определяется полугруппой $S'(X)$. 7. О полукольце непрерывных бинарных отношенийНазовем полукольцом алгебраическую структуру $\langle S,+,\,\cdot\,\rangle$, если $\langle S,+\rangle$ – аддитивно записанная коммутативная полугруппа, $\langle S,\,\cdot\,\rangle$ – мультипликативно записанная полугруппа, операция умножения $\cdot$ дистрибутивна относительно операции сложения $+$ с обеих сторон: $a(b+c)=ab+ac$, $(a+b)c=ac+bc$ для всех $a,b,c \in S$. Элемент $0$ полукольца $S$ называется нулем, если $s+0=s$ и $s\cdot 0=0\cdot s=0$ для любого $s\in S$ (нуль единственен при условии его существования). Элемент $1$ полукольца $S$ называется единицей, если $s\cdot 1=1\cdot s=s$ для всех $s\in S$ (единица единственна при условии ее существования). Полукольцо, имеющее нуль (единицу), называется полукольцом с нулем (полукольцом с единицей). Полукольцо с тождеством $x+x=x$ называется аддитивно идемпотентным. Теории полуколец посвящена монография [11]. Рассмотрим далее множество $R(X)=B(X\times X)$ всевозможных (бинарных) отношений на непустом множестве $X$. Относительно операций объединения $\cup$ (сложение) и композиции $\cdot$ (умножение) множество $R(X)$ оказывается полукольцом в силу свойств 7), 3) и 9) из леммы 1. На основании свойств 4) и 8) $\langle R(X),\cup,\,\cdot\,\rangle$ – аддитивно идемпотентное полукольцо с нулем $\varnothing$ и единицей $1_X$. Поскольку на полукольце $R(X)$ имеется естественный порядок $\subseteq$ со свойствами 11) и 6), то $\langle R(X),\cup,\,\cdot\,, \subseteq \rangle$ является решеточно упорядоченным полукольцом с наименьшим элементом $\varnothing$ и наибольшим элементом $X\times X$. Так как в свойстве 12) из леммы 1 включение $\subseteq$ строгое, когда $X$ содержит не менее двух элементов, то алгебраическая структура $\langle R(X),\cap,\,\cdot\,\rangle$ не обязана быть полукольцом. Обозначим через $CR(X)$ множество всех непрерывных бинарных отношений на топологическом пространстве $X$. Относительно операций объединения $\cup$ и композиции $\cdot$ двух непрерывных отношений множество $CR(X)$ становится аддитивно идемпотентным полукольцом с единицей $1_X$ и нулем $\varnothing$ – подполукольцом полукольца $R(X)$. Мультипликативная полугруппа полукольца $CR(X)$ является подполугруппой полугруппы $CR^*(X)$ для любого топологического пространства $X$. Замечание 6. Алгебраическая структура $\langle CR^*(X),\cup,\,\cdot\,\rangle$, вообще говоря, не является полукольцом, поскольку объединение относительно непрерывных отношений на топологическом пространстве $X$ не обязано быть относительно непрерывным отношением. В самом деле, в произвольном нетривиальном топологическом пространстве $X$ существуют неоткрытая точка $a$ и непустое собственное открытое множество $U$. Отношения $\{a\}\times U$ и $\pi_b$ при $b\in X\setminus U$ принадлежат $CR^*(X)$, но $(\{a\}\times U)\cup\pi_b\notin CR^*(X)$. Имеет место следующее утверждение. Теорема 5 [12; теорема 1]. Для любых топологических пространств $X$ и $Y$ всякий изоморфизм $\alpha$ полукольца $CR(X)$ на полукольцо $CR(Y)$ является индуцированным посредством однозначно определенного гомеоморфизма $\varphi$ пространства $X$ на пространство $Y$, т.е. $\alpha=\alpha_\varphi$. Следствие 3 [12; следствие 1]. Каждое топологическое пространство $X$ абсолютно определяется полукольцом $CR(X)$. Отметим, что в [12] поставлен вопрос об абсолютной определяемости произвольного топологического пространства $X$ мультипликативной полугруппой $CR(X)$, который пока остается открытым. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{VarVec23} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|