| Математические заметки |
|
|
|
|
|
О корректности постановки начально-граничной задачи для вырождающегося уравнения теплопроводности А. Р. Зайнулловa, К. Б. Сабитовba a Стерлитамакский филиал Уфимского университета науки и технологии b Институт механики им. Р. Р. Мавлютова — обособленное структурное подразделение УФИЦ РАН, г. Уфа
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624010188 
Реферативные базы данных:
  1. Постановка задачиВ связи с изучением краевых задач для уравнений смешанного типа, в частности, задачи Трикоми для уравнения возник интерес к изучению эллиптических, параболических и гиперболических уравнений, вырождающихся на части границы области задания этих уравнений. Такой интерес возник из-за важных приложений в газовой динамике, теории малых изгибаний поверхностей, безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака, теории плазмы и других областях.Статья Келдыша [1], опубликованная в 1951 г., положила начало к целому направлению изучения краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка и выше. В монографиях Смирнова [2], [3], Олейник, Радкевич [4] приведен достаточно полный обзор работ, посвященных изучению граничных задач (Дирихле, Неймана и других) для дифференциальных уравнений с частными производными с неотрицательной характеристической формой, задачи Коши для вырождающихся гиперболических и параболических уравнений. В работах [4; c. 16], [5] отмечены и нерешенные проблемы. Одной из них является изучение начально-граничных задач для вырождающихся параболических уравнений, в частности, для уравнения теплопроводности. Интерес изучения краевых задач для таких уравнений не угасает. Примером является новая работа [6], где показано, что в теории набега длинных волн на воде на пологий берег возникает волновое уравнение, вырождающееся на всей границе области задания. Рассмотрим уравнение теплопроводности с переменными коэффициентами где $n$ и $m$ – вещественные постоянные и одновременно в нуль не обращаются. Добавим к этому уравнению возмущающее слагаемое $bx^{m}t^{n}u$, где $b$ – произвольная постоянная, и приравняем к функции $x^{m}F(x,t)$, т.е. будем изучать следующее параболическое уравнение: в области $D=\{(x,t)\mid 0<x<l,\ 0<t<T\}$, где $l>0$, $T>0$ – заданные вещественные постоянные, и поставим следующие начально-граничные задачи в зависимости от значений параметров $n$ и $m$.Задача 1. Пусть $n>-1$, $m>-2$. Найти в области $D$ функцию $u(x,t)$, удовлетворяющую следующим условиям: где $F(x,t)$ и $\varphi(x)$ – заданные достаточно гладкие функции, $\varphi(0)=\varphi(l)=0$. Запись $u_{xx}$, $u_{t}\in L[0, l]$ означает, что производные $u_{xx}$ и $u_{t}$ интегрируемы по $x$ на $[0, l]$ при любом $t\in(0, T)$. Задача 2. Пусть $n>-1$, $m\leqslant-2$. Найти в области $D$ функцию $u(x,t)$, удовлетворяющую (1.2), (1.3), (1.5) и Отметим, что в постановке задачи 2 граница $x=0$ области $D$ освобождается от граничного условия $u(0,t)=0$, $0\leqslant t\leqslant T$, как в работе Келдыша [1]. Ранее уравнения типа (1.1) при $n>0$ и $m=0$ изучались в работах Нахушева [7; c. 52–57], Пагани [8], Зайнуллова [9] в связи с обоснованием корректности постановки начально-граничных задач. В данной работе, следуя работе [1], мы исследуем на корректность постановки задач 1 и 2 в зависимости от значений показателей степени вырождения $n$ и $m$ уравнения (1.1) на прямых $t=0$ и $x=0$. В п. 2 построено в явном виде решение задачи 1 при всех $n>-1$, $n\not=0$, и $m>-2$, $m\not=0$, как сумма ряда по ортогональной системе функций Бесселя в пространстве $L_2[0,l]$ с весом $x^m$. Единственность решения задачи 1 доказана на основании свойства полноты построенной системы собственных функций. Приведено обоснование сходимости ряда в классе функций (1.2). Отметим, что в работе [9] приведено решение задачи 1 для уравнения (1.1) при $n>0$ и $m=0$. В п. 3 при $n\leqslant-1$, $m>-2$ показана некорректность задачи 1. В этом случае построенные частные решения $u_k(x,t)$ при $t\to 0$ или $k\to\infty$ стремятся к бесконечности. В п. 4 при $n>-1$ и $m=-2$ исследована задача 2. Для решения этой задачи получено интегральное представление и методом интегральных тождеств доказана теорема единственности. В п. 5 при $n>-1$ и $m<-2$ решение задачи 2 построено в виде суммы ряда. Единственность установлена методом интегральных тождеств. Отметим, что постоянная $b$ не влияет на постановку задач 1 и 2, т.е. возмущение вырождающегося уравнения теплопроводности этим слагаемым не влияет на корректность постановки этих задач. 2. Построение решения задачи 1 при $n>-1$ и $m>-2$Разделяя переменные $u(x,t)=X(x)T(t)$ в уравнении (1.1) при $F(x,t)\equiv0$, относительно $X(x)$ получим спектральную задачу [10]: В уравнении (2.1) произведем замену где $z=px^q$, $2q=m+2$, $p=\mu/q$. В результате относительно функции $Z(z)$ (см. также [11], [12]) получим уравнение Бесселя
$$
\begin{equation*}
Z''(z)+\frac{1}{z}Z'(z)+\biggl(1-\frac{\nu^2}{z^2}\biggr)Z(z)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\nu=1/(2q)=1/(m+2)\in(0,+\infty)$ при $m>-2$. Общее решение данного уравнения определяется по формуле здесь $J_{1/(2q)}(z)$ и $Y_{1/(2q)}(z)$ – цилиндрические функции первого и второго порядков соответственно, $a_1$ и $a_2$ – произвольные постоянные.Возвращаясь по формуле (2.3) к переменной $x$, получим общее решение дифференциального уравнения (2.1)
$$
\begin{equation}
X(x)=a_1\sqrt{x}J_{1/(2q)}(px^q) +a_2\sqrt{x}Y_{1/(2q)}(px^q).
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Функция (2.4) удовлетворяет первому условию из (2.2) только при $a_2=0$. Из второго условия $X(l)=0$ находим
$$
\begin{equation}
J_{1/(2q)}(pl^q)=J_{1/(2q)}\biggl(\mu \frac{l^q}{q}\biggr)=0.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Как известно [13; с. 310], функция Бесселя первого рода $J_\nu(x)$ при $\nu>-1$ имеет счетное множество нулей. Тогда, обозначив $k$-й корень уравнения (2.5) через $\alpha_k$, найдем собственные значения $\mu_k=\alpha_k/l_q$, $l_q=l^q/q$ задачи (2.1) и (2.2). Согласно [14; с. 317] для нулей уравнения (2.5) при больших $k$ справедлива асимптотическая формула
$$
\begin{equation}
\alpha_k=\mu_kl_q=\pi k+\frac{\pi}{4}\cdot\frac{q-1}{q}+O\biggl(\frac{1}{k}\biggr).
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Собственные функции задачи (2.1) и (2.2) с точностью до постоянного множителя определяются по формуле
$$
\begin{equation*}
\widetilde{X}_k(x)=\sqrt{x}J_{1/(2q)}(p_kx^q), \qquad p_k=\frac{\mu_k}q.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что система $\{\widetilde{X}_k(x)\}_{k\geqslant1}$ ортогональна в $L_2[0,l]$ с весом $x^m$, а также полна в этом пространстве [13; с. 313]. Для дальнейших вычислений будем использовать ортонормированную систему
$$
\begin{equation}
X_k(x)=\frac{1}{\|\widetilde{X}_k(x)\|}\widetilde{X}_k(x), \qquad k\in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\|\widetilde{X}_k(x)\|^2=\int _{0}^{l}\rho(x)\widetilde{X}_k^2(x)\,dx, \qquad \rho(x)=x^m.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $u(x,t)$ – решение задачи (1.2)–(1.5) и $F(x,t)\in C(0,l)\cap L[0,l]$. Введем, следуя [10], функции Продифференцируем равенство (2.8) по переменной $t$ при $0< t<T$ и с учетом исходного дифференциального уравнения (1.1) получим
$$
\begin{equation*}
u_k'(t)=\int_0^lu_tx^mX_k(x)\,dx=t^n\int_0^lu_{xx}X_k(x)\,dx -bt^nu_k(t)-\int_0^lF(x,t)x^mX_k(x)\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Интегрируем по частям дважды:
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{l}u_{xx}X_k(x)\,dx =u_xX_k(x)\big|_0^l-uX'_k(x)\big|_0^l+\int_{0}^{l}u(x,t)X''_k(x)\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда с учетом граничных условий (1.4) и (2.2) имеем
$$
\begin{equation*}
\int_0^lu_{xx}X_k(x)\,dx=\int_0^lu(x,t)X''_k(x)\,dx =-\mu_k^2\int_0^lu(x,t)x^mX_k(x)\,dx=-\mu_k^2u_k(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда относительно $u_k(t)$ получим дифференциальное уравнение первого порядка
$$
\begin{equation}
u'_k(t)+\lambda_k^2t^{n}u_k(t)=-F_k(t), \qquad\lambda^2_k=\mu_k^2+b,
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
где Не теряя общности, будем считать, что $b\geqslant0$, так как в противном случае существует номер $k_0$ такой, что при всех $k\geqslant k_0$ выполнено $\mu_k^2+b>0$. Общее решение дифференциального уравнения (2.9) определяется по формуле
$$
\begin{equation}
u_k(t)=a_k\exp\biggl(-\lambda_k^2\frac{t^{n+1}}{n+1}\biggr) -\int_0^tF_k(s)\exp\biggl(-\frac{\lambda^2_k}{n+1}(t^{n+1}-s^{n+1})\biggr)\,ds.
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Удовлетворив общее решение (2.11) на основании (2.8) граничному условию (1.5)
$$
\begin{equation}
u_k(0)=\int_0^lu(x,0)x^mX_k(x)\,dx =\int_0^l\varphi(x)x^mX_k(x)\,dx=\varphi_k,
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
найдем $a_k=\varphi_k$. Тогда единственное решение задачи (2.9), (2.12) определяется по формуле
$$
\begin{equation}
u_k(t)=\varphi_k\exp\biggl(-\lambda_k^2\frac{t^{n+1}}{n+1}\biggr) -\int_0^tF_k(s)\exp\biggl(-\frac{\lambda^2_k}{n+1}(t^{n+1}-s^{n+1})\biggr)\,ds.
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Пусть теперь $\varphi(x)\equiv0$ и $F(x,t)\equiv0$. Поэтому все $\varphi_k\equiv0$ и $F_k(t)\equiv0$. Отсюда в силу формул (2.13) следует, что все $u_k(t)\equiv0$. Тогда на основании (2.8) при всех $t\in[0,T]$ и $k\in\mathbb{N}$ получим Из этих равенств в силу полноты системы (2.7) в пространстве $L_2[0,l]$ с весом $x^m$ следует, что $u(x,t)=0$ почти всюду на $[0,l]$ при любом $t\in[0,T]$. Поскольку в силу (1.2) функция $u(x,t)$ непрерывна на $\overline{D}$, то $u(x,t)\equiv0$ в $\overline{D}$. Решение задачи (1.2)–(1.5) будем искать в виде суммы ряда где $u_k(t)$ и $X_k(x)$ находятся соответственно по формулам (2.13) и (2.7).Лемма 1. Для достаточно больших $k$ и при всех $x\in[0,l]$ справедливы следующие оценки: где $C_i$ здесь и далее – положительные постоянные. Доказательство. Рассмотрим систему собственных функций (2.7). Как известно, при больших $z$ для функции $J_\nu(z)$ справедлива оценка
Предварительно вычислим
$$
\begin{equation*}
\|\widetilde{X}_k(x)\|^2 =\int_{0}^{l}x^m\widetilde{X}^2_k(x)\,dx=\int_0^lx^{m+1}J_\nu(p_kx^q)\,dx= q\int_{0}^{l_q}tJ_\nu^2(\mu_kt)\,dt=\frac{l^{2q}}{2q}J^2_{\nu+1}(\alpha_k),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\nu=1/(2q)$, $l_{q}=l^{q}/q$.
Отсюда получаем, что
$$
\begin{equation}
\|\widetilde{X}_k(x)\|=\frac{l^q}{\sqrt{2q}}|J_{\nu+1}(\alpha_k)|.
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Тогда из (2.18), (2.6), (2.19) и (2.7) следует оценка (2.15).
Производная функции $\widetilde{X}_k(x)$ равна
$$
\begin{equation*}
\widetilde{X}'_k(x)=\bigl(\sqrt{x}J_\nu(p_kx^q)\bigr)'=p_kqx^{q-1/2}J_{\nu-1}(p_kx^q).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда с учетом оценки при малых $x$, $0\leqslant x< \varepsilon$,
$$
\begin{equation*}
|x^{q-1/2}J_{\nu-1}(p_kx^q)|\leqslant \widetilde{C}_1k^{1/(2q)-1}
\end{equation*}
\notag
$$
и при $\varepsilon\leqslant x\leqslant l$ и больших $k$
$$
\begin{equation*}
|x^{q-1/2}J_{\nu-1}(p_kx^q)|\leqslant \widetilde{C}_2k^{-1/2},
\end{equation*}
\notag
$$
получим оценку (2.16), где $\widetilde{C}_i$ здесь и далее – промежуточные положительные постоянные.
Из равенства в силу (2.15) вытекает оценка (2.17).Предварительно при больших $k$ оценим интеграл
$$
\begin{equation}
I_k(t)=\int_0^t \exp\biggl(\lambda_k^2\frac{s^{n+1}}{n+1}\biggr)\,ds.
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
В интеграле (2.20) произведя замену $s^{n+1}/(n+1)=x$, получим
$$
\begin{equation*}
I_k(t)=(n+1)^{-n/(n+1)}\int_0^{t_n}x^{-n/(n+1)}e^{\lambda^2_kx}\,dx =(n+1)^{-n/(n+1)}\int_0^{t_n}x^{1/(n+1)-1}e^{\lambda^2_kx}\,dx,
\end{equation*}
\notag
$$
где $t_n=t^{n+1}/(n+1)$. На основании формулы $(2.3.6.1)$ [15; с. 324] вычислим интеграл
$$
\begin{equation*}
\int_0^{t_n}x^{1/(n+1)-1}e^{\lambda^2_kx}\,dx =B\biggl(\frac{1}{n+1},1\biggr)t_n^{1/(n+1)} \,_1F_1\biggl(\frac{1}{n+1};\frac{1}{n+1}+1;t_n\lambda_k^2\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
здесь $B(\cdot)$ – бета-функция, $_1F_1(\cdot)$ – вырожденная гипергеометрическая функция. Тогда интеграл $I_k(t)$ принимает вид
$$
\begin{equation}
I_k(t)=t\,_1F_1\biggl(\frac{1}{n+1};\frac{1}{n+1}+1;t_n\lambda_k^2\biggr).
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
В силу асимптотической формулы для функции $_1F_1(a;c;x)$ при $x\to\infty$ [16; с. 266]:
$$
\begin{equation*}
_1F_1(a;c;x)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)}e^xx^{a-c}\bigl[1+O(x^{-1})\bigr]
\end{equation*}
\notag
$$
из равенства (2.21) при $\lambda_k\to\infty$ найдем оценку
$$
\begin{equation}
I_k(t)=O\biggl(\exp\biggl(\lambda_k^2\frac{t^{n+1}}{n+1}\biggr)\lambda_k^{-2}\biggr).
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
Лемма 2. При больших $k$ имеют место следующие оценки: где $\|F_k\|=\max_{0\leqslant t\leqslant T}|F_k(t)|$, $t_0>0$ – достаточно малое число, $t_{0n}={t_0^{n+1}}/(n+1)$. Доказательство следует непосредственно из формулы (2.13) и оценки (2.22). Ряд (2.14) и ряды, полученные из него почленным дифференцированием,
$$
\begin{equation*}
u_t=\sum_{k=1}^\infty u'_k(t)X_k(x), \qquad u_{xx}=\sum_{k=1}^\infty u_k(t)X''_k(x)
\end{equation*}
\notag
$$
мажорируются в силу лемм 1 и 2 соответственно рядами
$$
\begin{equation}
C_6\sum_{k=k_0}^\infty\biggl(|\varphi_k|+\frac{1}{k^2}\|F_k\|\biggr), \qquad (x,t)\in\overline{D},
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
$$
\begin{equation}
C_7\sum_{k=k_0}^\infty\bigl(|\varphi_k|k^2e^{-\lambda_k^2t_{0n}}+\|F_k\|\bigr), \qquad t\geqslant t_0, \quad k_{0}\gg1.
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
Лемма 3. Если $\varphi(x)\in C^2[0,l]$, $\varphi(0)=\varphi(l)=0$, $F(x,t)\in C(\overline{D})\cap C^2_x(\overline{D})$, $F(0,t)=F(l,t)=0$ при $0\leqslant t\leqslant T$, то справедливы оценки Доказательство. Рассмотрим интеграл (2.12), отсюда с учетом уравнения (2.1) и условий леммы имеем
$$
\begin{equation*}
\varphi_k=\int_0^l\varphi(x)x^mX_k(x)\,dx =-\frac{1}{\mu^2_k}\int_0^l\varphi(x)X''_k(x)\,dx =-\frac{1}{\mu^2_k}\int_0^l\varphi''(x)X_k(x)\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Из полученного представления с учетом оценки (2.15) следует оценка (2.27).
Аналогично из интеграла (2.10) получим
$$
\begin{equation*}
F_k(t)=\int_0^lF(x,t)x^mX_k(x)\,dx =-\frac{1}{\mu^2_k}\int_0^lF(x,t)X''_k(x)\,dx =-\frac{1}{\mu^2_k}\int_0^lF_{xx}(x,t)X_k(x)\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда уже вытекает оценка (2.28). В силу леммы 3 ряды (2.25) и (2.26) оцениваются сходящимся рядом Тогда сумма ряда (2.14) удовлетворяет условиям задачи (1.2)–(1.5).Таким образом, нами доказана теорема существования и единственности решения задачи 1. Теорема 1. Если функции $\varphi(x)$ и $F(x,t)$ удовлетворяют условиям леммы 3 и $n>-1$, $m>-2$, то существует единственное решение задачи (1.2)–(1.5) и оно определяется рядом (2.14). Теорема 2. Для решения (2.14) задачи 1 справедливы следующие оценки: Доказательство. Поскольку система (2.7) ортонормирована в $L_2[0,l]$ с весом $x^m$, то из формулы (2.14) имеем
$$
\begin{equation*}
\|u(x,t)\|^2_{L_2[0,l]}=\int_0^lu^2(x,t)x^m\,dx=\sum_{k=1}^\infty u^2_k(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда на основании оценки (2.23) получим
$$
\begin{equation*}
\|u(x,t)\|^2_{L_2[0,l]}\leqslant 2 C^{2}_{4}\biggl(\sum_{k=1}^\infty\varphi_k^2+\frac{1}{k^4}\|F(x,t)\|^2_{C(\overline{D})}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда уже следует оценка (2.29).
Пусть $(x,t)$ – любая точка из $\overline{D}$. Тогда из формулы (2.14) в силу оценки (2.23) будем иметь
$$
\begin{equation}
|u(x,t)|\leqslant C_4\biggl(\sum_{k=1}^\infty|\varphi_k|+\frac{1}{k^2}|F_k(t)|\biggr).
\end{equation}
\tag{2.31}
$$
Из оценки (2.27) следует, что
$$
\begin{equation*}
|\varphi_k|\leqslant\frac{\widetilde{C}_3}{k^2}\max_{0\leqslant x\leqslant l}|\varphi''(x)|,
\end{equation*}
\notag
$$
а из интеграла (2.10) имеем
$$
\begin{equation*}
\|F_k(t)\|=\max_{0\leqslant t\leqslant T}|F_k(t)|\leqslant\max_{\overline{D}}|F(x,t)|\int_0^lx^m|X_k(x)|\,dx\leqslant \widetilde{C}_4\max_{\overline{D}}|F(x,t)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из неравенства (2.31) получим оценку (2.30): 3. Исследование решения задачи 1 при $n<-1$, $m>-2$В этом случае формула (2.11) имеет вид
$$
\begin{equation}
u_k(t)=a_k \exp\biggl(-\lambda_k^2\frac{t^{1-|n|}}{1-|n|}\biggr) -\int_0^tF_k(s)\exp\biggl(-\frac{\lambda^2_k}{1-|n|}(t^{1-|n|}-s^{1-|n|})\biggr)\,ds.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Отсюда видно, что при $n<-1$, т.е. $|n|>1$, экспонента $\exp\bigl[{\lambda^2_k}/(|n|-1)t^{1-|n|}\bigr]$ стремится к бесконечности при $k\to +\infty$ или при $t\to 0$, поэтому задача (1.2)–(1.5) в этом случае некорректно поставлена, так как функцию (3.1) невозможно удовлетворить граничному условию (2.12). Если $n=-1$, то из дифференциального уравнения (2.9) имеем
$$
\begin{equation}
u_k(t)=a_kt^{-\lambda_k^2} -\int_0^tF_k(s)\biggl(\frac{s}{t}\biggr)^{\lambda^2_k}\,ds.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Из формулы (3.2) также следует, что решение задачи (1.2)–(1.5) не существует.
4. Построение решения задачи 2 при $n>-1$ и $m=-2$При $m=-2$ дифференциальное уравнение (2.1) на промежутке $(0,l)$ имеет общее решение
$$
\begin{equation}
X_p(x)=\sqrt{x}\biggl[C_1\cos\biggl(p\ln\biggl(\frac{x}{l}\biggr)\biggr) +C_2\sin\biggl(p\ln\biggl(\frac{x}{l}\biggr)\biggr)\biggr],
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где $p=\sqrt{\mu^2-1/4}$, $\mu^2>1/4$. Функция (4.1) удовлетворяет первому условию из (2.2) при любых $C_1$ и $C_2$, а второму только при $C_1=0$. Тогда функция
$$
\begin{equation*}
X_p(x)=\sqrt{x}\sin\biggl(p\ln\biggl(\frac{x}{l}\biggr)\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяет условиям (2.2) при любых $p>0$, т.е. при $\mu^2>1/4$. В этом случае спектральная задача (2.1) и (2.2) имеет непрерывный спектр $p\in(0,+\infty)$. Функция $T(t)$ из п. 2 находится как решение дифференциального уравнения
$$
\begin{equation*}
T'(t)+(\mu^2+b)t^nT(t)=T'(t)+\biggl(p^2+\frac{1}{4}+b\biggr)t^nT(t)=T'(t)+\lambda_p^2T(t)=0
\end{equation*}
\notag
$$
по формуле
$$
\begin{equation*}
T_p(t)=A(p)\exp\biggl(-\lambda_p^2\frac{t^{n+1}}{n+1}\biggr) =A(p)e^{-\lambda_p^2t_n}, \qquad t_{n}=\frac{t^{n+1}}{n+1},
\end{equation*}
\notag
$$
где $A(p)$ – произвольная постоянная, зависящая от $p$. Тогда решение задачи 2 будем искать в виде интеграла
$$
\begin{equation}
u(x,t) =\sqrt{x}\int_{0}^{+\infty}A(p) e^{-\lambda_p^2t_n}\sin\biggl(p\ln\biggl(\frac{x}{l}\biggr)\biggr)\,dp.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Удовлетворяя интеграл (4.2) граничному условию (1.5), получим интегральное уравнение относительно неизвестной $A(p)$
$$
\begin{equation}
\varphi(x)=\sqrt{x}\int_{0}^{+\infty}A(p) \sin\biggl(p\ln\biggl(\frac{x}{l}\biggr)\biggr)\,dp.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Здесь произведем замену $-\ln(x/l)=y$. При $0\leqslant x\leqslant l$ переменная $y\in[0,+\infty)$. Тогда равенство (4.3) примет вид
$$
\begin{equation}
\widetilde{\varphi}(y)=\sqrt{x}\int_0^{+\infty}A(p)\sin py\,dp,
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
где $\widetilde{\varphi}(y)=-\varphi(x)x^{-1/2}$, $x=le^{-y}$, что представляет собой синус-преобразование Фурье. Из уравнения (4.4) находим
$$
\begin{equation*}
A(p)=\frac{2}{\pi}\int_0^{+\infty}\widetilde{\varphi}(y)\sin py\,dy.
\end{equation*}
\notag
$$
Найденную функцию $A(p)$ подставим в (4.2). Тогда имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \widetilde{u}(y,t) &=-\frac{2\sqrt{x}}{\pi} \int_0^{+\infty}\int_0^{+\infty}\widetilde{\varphi}(s)\sin ps\,ds\,e^{-\lambda^{2}_{p}t_{n}}\sin py\,dp \\ \notag &= -\frac{2\sqrt{x}}{\pi}\int_0^{+\infty}\widetilde{\varphi}(s)\,ds \int_0^{+\infty}e^{-\lambda^{2}_{p}t_{n}}\sin ps\sin py\,dp \\ &= -\frac{\sqrt{x}}{\pi}\int_0^{+\infty}\!\!\widetilde{\varphi}(s)\,ds \biggl[\int_0^{+\infty}\!\!e^{-\lambda^{2}_{p}t_n}\cos[p(s-y)]\,dp- \int_0^{+\infty}\!\!e^{-\lambda^{2}_pt_{n}}\cos[p(s+y)]\,dp\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
На основании известного интеграла [15; с. 451]
$$
\begin{equation*}
\int_0^{+\infty}e^{-tp^2}\cos pa\,dp=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{t}} \exp\biggl(-\frac{a^2}{4t}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
вычислим внутренние интегралы в правой части равенства (4.5). Тогда получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \widetilde{u}(y,t) &=-\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{\pi t_n}} \exp\biggl(-\biggl(\frac{1}{4}+b\biggr)t_n\biggr) \\ &\qquad\times \int_0^{+\infty}\widetilde{\varphi}(s) \biggl[ \exp\biggl(-\frac{(s-y)^2}{4t_n}\biggr)- \exp\biggl(-\frac{(s+y)^2}{4t_n}\biggr)\biggr]\,ds. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Теперь покажем, что
$$
\begin{equation}
\lim_{t\to 0+0}\widetilde{u}(y,t)=\sqrt{x}\widetilde{\varphi}(y)=\varphi(x).
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Функцию (4.6) представим в виде разности двух интегралов
$$
\begin{equation}
\widetilde{u}(y,t)=-\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{\pi t_n}} \exp\biggl(-\biggl(\frac{1}{4}+b\biggr)t_n\biggr)(J_1-J_2).
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
В интегралах $J_1$ и $J_2$ произведем соответствующую замену
$$
\begin{equation*}
\tau_1=\frac{s-y}{2\sqrt{t_n}}, \qquad \tau_2=\frac{s+y}{2\sqrt{t_n}}.
\end{equation*}
\notag
$$
В результате получим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, J_1=2\sqrt{t}\int_{-y/(2\sqrt{t_n})}^{+\infty} \widetilde{\varphi}(y+2\tau_1\sqrt{t_n})e^{-\tau_1^2}\,d\tau_1, \\ J_2=2\sqrt{t}\int_{y/(2\sqrt{t_n})}^{+\infty} \widetilde{\varphi}(-y+2\tau_2\sqrt{t_n})e^{-\tau_2^2}\,d\tau_2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя эти интегралы в равенство (4.8) при условии, что функция $\varphi(x)\in C[0,l]$ аналогично [13; с. 270–271] доказываем справедливость предела (4.7). В формуле (4.6), возвращаясь к переменной $x$ и функции $\varphi(x)$, получим формулу решения задачи 2:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag u(x,t) &=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x}{\pi t_n}} \exp\biggl(-\biggl(\frac{1}{4}+b\biggr)t_n\biggr) \int_0^{+\infty}{\varphi}(\xi) \xi^{-3/2} \\ &\qquad\times\biggl[\exp\biggl(-\frac{(\ln({\xi}/{l})-\ln({x}/{l}))^2}{4t_n}\biggr) -\exp\biggl(-\frac{(\ln({\xi}/{l})+\ln({x}{l}))^2}{4t_n}\biggr)\biggr]\,d\xi. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Теперь докажем единственность решения задачи 2, когда боковая сторона $x=0$ прямоугольника $D$ освобождается от граничного условия $u(0,t)=0$, $0\leqslant t\leqslant T$. В этом случае уравнение (1.1) перепишем в виде Пусть $u(x,t)$ – решение однородной задачи 2, т.е. $\varphi(x)\equiv0$ и $F(x,t)\equiv0$. В уравнении (4.10) при $F(x, t)\equiv 0$ произведем замену функции $u=e^{A(t)}v$, где $A(t)=(\alpha-b)t^{n+1}/(n+1)$, $\alpha=\mathrm{const}>1$. Тогда оно примет вид и в области $D$ имеет место тождество
$$
\begin{equation*}
(t^nx^2vv_x-t^nxv^2)'_x-\biggl(\frac{v^2}{2}\biggr)'_t-t^nx^2v_x^2-(\alpha-1)t^{n}v^{2}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Интегрируя данное тождество по области $D$ и применяя формулу Грина, получим
$$
\begin{equation*}
\int_{\partial D}\frac{1}{2}v^2\,dx+(t^nx^2vv_x-t^nxv^2)\,dt -\iint_Dt^nx^2v_x^2\,dx\,dt-(\alpha-1)\iint_Dt^nv^2\,dx\,dt=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда с учетом нулевых граничных условий $v(l,t)=0$ и $v(x,0)=0$ имеем равенство
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{2}\int_0^lv^2(x,T)\,dx+\iint_Dt^n(x^2v_x^2+(\alpha-1))\,dx\,dt=0,
\end{equation*}
\notag
$$
из которого при $\alpha>1$ следует, что функция $v(x,t)\equiv0$ в $\overline{D}$, следовательно, и $u(x,t)\equiv0$ в $\overline{D}$ при любом $b\in\mathbb{R}$. Таким образом, нами установлено следующее утверждение. Теорема 3. Если $\varphi(x)\in C[0,l]$, $\varphi(0)=\varphi(l)=0$, то при любом $b\in\mathbb{R}$ и всех $n>-1$ и $m=-2$ существует решение задачи 2 и оно определяется формулой (4.9). 5. Построение решения задачи 2 при $n>-1$ и $m<-2$Вначале докажем единственность решения задачи 2. Пусть $\varphi(x)\equiv0$ и $F(x,t)\equiv0$. Дифференциальное уравнение (1.1) при $F(x, t)\equiv 0$ перепишем в виде В уравнении (5.1) совершим замену где
$$
\begin{equation*}
B(t)=(\beta l^{(\alpha-2)}-b)\frac{t^{n+1}}{n+1}, \qquad \beta>\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда дифференциальное уравнение (5.1) примет вид В области $D$ имеет место тождество
$$
\begin{equation*}
\biggl(t^nx^\alpha v v_x-t^n\alpha x^{\alpha-1}\frac{v^2}{2}\biggr)'_x-\biggl(\frac{1}{2}v^2\biggr)'_t-t^nx^\alpha v_x^2+t^n\alpha(\alpha-1)x^{\alpha-2}\frac{v^2}{2}-\beta e^{\alpha-2}t^nv^2\equiv0.
\end{equation*}
\notag
$$
Интегрируя данное тождество по области $D$ и применяя формулу Грина, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\partial D}\frac{1}{2}v^2\,dx+\biggl(t^nx^\alpha v v_x-t^n\alpha x^{\alpha-1}\frac{v^2}{2}\biggr)\,dt-\iint_{D}t^nx^\alpha v_x^2\,dx\,dt \\ &\qquad\qquad -\biggl[\beta-\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}\biggr] \iint_{D}t^n(l^{\alpha-2}-x^{\alpha-2})v^2\,dx\,dt=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда с учетом нулевых граничных условий имеем равенство
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{2}\int_{0}^{l}v^2(x,T)\,dx+\iint_{D}t^nx^\alpha v_x^2\,dx\,dt +\biggl[\beta-\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}\biggr] \iint_{D}t^n(l^{\alpha-2}-x^{\alpha-2})v^2\,dx\,dt=0,
\end{equation*}
\notag
$$
из которого при $\beta>\alpha(\alpha-1)/{2}$ следует, что функция $v(x,t)\equiv0$ в $\overline{D}$, следовательно, и $u(x,t)\equiv0$ в $\overline{D}$ при любом $b\in\mathbb{R}$ и $m<-2$. Таким образом, нами доказана теорема единственности решения задачи 2. Далее установим теорему существования. Для этого построим общее решение дифференциального уравнения (2.1), когда $m<-2$. Здесь произведем замену функции
$$
\begin{equation*}
X(x)=x\,\eta\biggl(\frac{1}{x}\biggr)=x\,\eta(\xi), \qquad \xi=\frac{1}{x}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда получим где $-m-4>-2$. Из п. 2 следует, что дифференциальное уравнение (5.2) имеет решение
$$
\begin{equation*}
\eta(\xi)=\sqrt{\xi}\bigl(C_1J_{1/(2q)}(p\xi^q) +C_2Y_{1/(2q)}(p\xi^q)\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
здесь $2q=-m-2=|m|-2>0$. Тогда общее решение уравнения (2.1) при $m<-2$ находится по формуле
$$
\begin{equation}
X(x)=\sqrt{x}\bigl(C_1J_{1/(2q)}(px^{-q})+C_2Y_{1/(2q)}(px^{-q})\bigr).
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Функция (5.3) удовлетворяет условию $X(0)=0$ в силу того, что функции Бесселя $J_{1/(2q)}(px^{-q})$ и $Y_{1/(2q)}(px^{-q})$ при $x\to 0$ стремятся к нулю по закону $x^{q/2}$, т.е. ведут себя одинаково при $x\to 0$. Поэтому в дальнейшем положим, что $C_2=0$. Из уравнения
$$
\begin{equation}
J_{1/(2q)}(pl^{-q})=J_{1/(2q)}\biggl(\mu \frac{l^{-q}}{q}\biggr)=J_{1/(2q)}(\alpha_{\nu k})=0
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
найдем собственные значения спектральной задачи (2.1) и (2.2): $\displaystyle \mu_k=\alpha_{1/(2q)k}ql^q=\alpha_{\nu k}ql^q$, где $\nu=1/(2q)$, $\alpha_{\nu k}$ – нули уравнения (5.4). Тогда по аналогии с п. 2 получим систему собственных функций
$$
\begin{equation}
\widetilde{X}_k(x)=\sqrt{x}J_{\nu}(p_kx^{-q}), \qquad \nu=\frac{1}{2q}, \quad p_k=\alpha_{\nu k}l^q.
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Система собственных функций (5.5) задачи (2.1) и (2.2) при $m<-2$ ортогональна с весом $x^m$ на промежутке $[l,+\infty)$. Действительно, рассмотрим интеграл
$$
\begin{equation*}
M_{ks}=\int_{l}^{\infty} x^{m+1}J_\nu(\alpha_{\nu k}l^qx^{-q})J_\nu(\alpha_{\nu s}l^qx^{-q})\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
После замены переменных $t=(l/x)^q$ этот интеграл примет вид
$$
\begin{equation*}
M_{ks}=\frac{l^{2+m}}{q}\int_{0}^{1} tJ_\nu(\alpha_{\nu k}t)J_\nu(\alpha_{\nu s}t)\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, как известно [13; с. 308], следует, что $M_{ks}=0$ при $k\not=s$, а при $s=k$
$$
\begin{equation*}
M_{kk}=\frac{l^{2+m}}{q}\int_{0}^{1} tJ^2_\nu(\alpha_{\nu k}t)\,dt=\frac{l^{2+m}}{2q}J_{\nu+1}^2(\alpha_{\nu k}).
\end{equation*}
\notag
$$
Нормируя систему (5.5), получим ортонормированную систему собственных функций
$$
\begin{equation}
X_k(x)=\frac{\widetilde{X}_k(x)}{\|\widetilde{X}_k\|_{L_2}} =\frac{\sqrt{2qx}J_{\nu}(p_kx^{-q})}{l^{1+m/2}|J_{\nu+1}(\alpha_{\nu k})|},
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
которая полна в пространстве $L_2[l,+\infty)$. Из п. 2 следует, что функция $T(t)$ определяется из уравнения
$$
\begin{equation*}
T'(t)+(\mu_k^2+b)t^nT(t)=T'(t)+\lambda^{2}_kt^nT(t)=0
\end{equation*}
\notag
$$
по формуле
$$
\begin{equation*}
T_k(t)=a_k\exp\biggl(-\lambda_k^2\frac{t^{n+1}}{n+1}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $a_k$ – произвольные постоянные. Тогда решение задачи 2 при $m<-2$ и $n>-1$, $F(x,t)\equiv0$ будем искать в виде суммы ряда
$$
\begin{equation}
u(x,t)=\sum_{k=1}^\infty a_k\exp\biggl(-\lambda_k \frac{t^{n+1}}{n+1}\biggr)X_k(x).
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Удовлетворяя ряд (5.7) граничному условию (1.5), получим
$$
\begin{equation}
\varphi(x)=\sum_{k=1}^\infty a_k X_k(x), \qquad 0\leqslant x\leqslant l.
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Предварительно функцию $\varphi(x)$ продолжим на $[l,+\infty)$ с сохранением гладкости следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\varphi(x)=\varphi\biggl(\frac{l^2}{x}\biggr), \qquad x\geqslant l.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь из ряда (5.8), используя свойство ортогональности системы (5.6) в $L_2[l,+\infty)$, найдем
$$
\begin{equation}
a_k=\int_{l}^{\infty} x^m\varphi(x)X_k(x)\,dx=\varphi_k.
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
Тогда решение задачи 2 определяется формулой
$$
\begin{equation}
u(x,t)=\sum_{k=1}^\infty \varphi_k \exp\biggl(-\lambda^{2}_{k} \frac{t^{n+1}}{n+1}\biggr)X_k(x).
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
Аналогично п. 2 обосновывается сходимость ряда (5.10) в классе функций (1.2). Таким образом, приходим к следующему результату. Теорема 4. Если функция $\varphi(x)$ удовлетворяет условиям леммы 3, то при любом $b\in \mathbb{R}$, $n>-1$ и $m<-2$ существует единственное решение задачи 2 и оно определяется рядом (5.10). В заключение отметим, что представляет интерес, следуя [1], [4], изучить задачи 1 и 2 для более общего уравнения параболического типа в области $D$ в зависимости от влияния $n$, $m$ и коэффициентов $a(x,t)$, $c(x,t)$.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ZaySab24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|