| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Краткие сообщения Уточнение оценки Бахвалова для погрешности квадратурных формул Коробова А. А. Илларионов Хабаровское отделение Института прикладной математики Дальневосточного отделения Российской академии наук
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623050280 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеПусть $N\in \mathbb N$, $a=(a_1,\dots,a_s)\in \mathbb Z^s$, $\text{НОД}(N,a_1,\dots,a_s)=1$. Коробов [1] и независимо от него Главка [2] предложили использовать квадратурные формулы
$$
\begin{equation}
\int_{[0,1]^s} f(x)\, dx=\frac{1}{N} \sum_{k=1}^N f \biggl(\frac{a_1k}{N},\dots,\frac{a_s k}{N}\biggr) - R_N(a,f)
\end{equation}
\tag{1}
$$
для функций $f$ из класса $E_s^\alpha$, $1<\alpha <\infty$, состоящего из функций $f\colon \mathbb R^s \to \mathbb C$ вида
$$
\begin{equation*}
f(x)=\sum_{m\in \mathbb Z^s} C(m) \exp\bigl(2\pi i (m_1x_1+\dots +m_s x_s)\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
с коэффициентами Фурье, удовлетворяющими условию $|C(m)|\le H(m)^{-\alpha}$, где Пусть $R_N^\alpha(a)=\sup\{|R_N(a,f)|\colon f\in E_s^\alpha\}$ – точная верхняя грань погрешности квадратурной формулы (1) на классе $E_s^\alpha$. Определим также $q_N(a)=\min H(u)$, где минимум берется по всем нетривиальным решениям $u\in \mathbb Z^s\setminus\{0\}$ сравнения
$$
\begin{equation}
a_1 u_1 +\dots + a_s u_s \equiv 0 \quad(\operatorname{mod} N).
\end{equation}
\tag{2}
$$
Параметр $q_N(a)$ был введен в рассмотрение Бахваловым [3], который доказал, что
$$
\begin{equation}
R_N^\alpha (a) \underset{s,\alpha}\ll \frac{\ln^{s-1} N}{q_N(a)^\alpha}.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Таким образом, интересны точки $a$ с большим значением величины $q_N(a)$. Известно, что
$$
\begin{equation}
\frac{N}{\ln^{s-1} N}\underset{s}\ll \max_{a\in \mathbb Z^s} q_N(a) \le \frac{N}{2}.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Верхняя оценка для $q_N(a)$ тривиальна (см. [4; лемма 5.8] или лемму 1 ниже), нижняя доказана в [3] для простого $N$ и в [5] для составного. Вопрос об усилении неравенств (4) при $s\ge 3$ является открытым. Если $s=2$, то верхняя оценка неулучшаема (с точностью до абсолютной константы), уточнение нижней приводит к задачам из теории непрерывных дробей (см. [6], [4]). Быковский (устное сообщение) предполагает, что
$$
\begin{equation}
\max_{a\in \mathbb Z^s} q_N(a) \underset{s}\asymp \frac{N}{\ln^{s-2} N}.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Однако, пока не доказано даже, что $N^{-1} \max_{a\in \mathbb Z^s} q_N(a) \to 0$ при $N\to \infty$, $s\ge 3$. Пусть $\mathbb Z_N^*$ – приведенная система вычетов по модулю $N$. Согласно [5] для любого $\lambda>1$
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\varphi^s(N)} \#\biggl\{a\in (\mathbb Z_N^*)^s\colon \frac{1}{\lambda}\,\frac{N}{\ln^{s-1} N} \le q_N(a) \le \lambda\frac{N}{\ln^{s-1} N}\biggr\} =1 + O_s\biggl(\frac{1}{\lambda}\biggr),
\end{equation}
\tag{6}
$$
т.е. $q_N(a)\approx N (\ln N)^{-(s-1)}$ для “почти всех” $a\in (\mathbb Z_N^*)^s$, и улучшить первое неравенство из (4) методом “усреднения” невозможно. В настоящей заметке мы уточняем неравенство Бахвалова (3) в следующем виде. Теорема 1. Пусть $s\ge 3$, $N\in \mathbb Z$, $N>2$, $a\in \mathbb Z^s$, $\text{НОД}(N,a_1,\dots,a_s)=1$, $\alpha\in (1,+\infty)$ и $T_N(a)=N/q_N(a)$. Тогда Согласно (6)
$$
\begin{equation*}
\# \{a\in (\mathbb Z_N^*)^s\colon T_N(a)<\ln N\}=O_s(\varphi^s(N) \ln^{-(s-2)} N).
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, $T_N(a)\ge \ln N$ для “почти всех” $a\in (\mathbb Z_N^*)^s$. Для таких $a$ неравенство (7) на множитель $\ln\ln N$ лучше, чем (3). Если гипотеза (5) верна, то $T_N(a)\gg \ln^{s-2} N$ для всех $a$. Отметим, что во втором неравенстве из (4) постоянную $1/2$ несложно уменьшить. Лемма 1. Если $a\in \mathbb Z^s$ и $\text{НОД}(a_j,N)=1$ для некоторого $j$, то $q_N(a)\le N 2^{-s+1}$. Доказательство. Пусть $\mathbb Z_2=\{0,1\}$. Не умаляя общности, считаем, что $(a_s,N)=1$. Тогда существуют решения $u^{(k)}$, $k\in \mathbb Z_2^{s-1}\setminus\{0\}$, сравнения (2) следующего вида: Очевидно, что $u^{(k)}\neq 0$ и $H(u^{(k)})=|u^{(k)}_s|$. Разобьем отрезок $[-N/2,N/2]$ на следующие части Если $I_0$ содержит последнюю координату некоторого $u^{(k)}$, то $H(u^{(k)})\le N/2^{s-1}$. Иначе, согласно принципу Дирихле один из промежутков $I_l$ или $I_{-l}$ содержит последние координаты двух точек из $u^{(k)}$. Пусть $v$ – разность этих точек. Тогда $H(v)=|v_s| \le N/2^{s-1}$.
2. Доказательство теоремы 1Пусть $\mathcal L_s$ – множество решеток из $\mathbb R^s$ ранга $s$. Через $\det \Lambda$ обозначаем определитель решетки $\Lambda$. Ненулевой узел $u\in \Lambda\setminus\{0\}$ будем называть относительным минимумом решетки $\Lambda\in \mathcal L_s$, если не существует другого узла $v\in \Lambda\setminus\{0\}$ такого, что $|v_j|\le |u_j|$, $j=1,\dots,s$, причем хотя бы одно из неравенств строгое. Пусть $\mathfrak M(\Lambda)$ – множество относительных минимумов решетки $\Lambda$. Если $\Lambda \subset \mathbb Z^s$, то [7]
$$
\begin{equation}
\# \mathfrak M(\Gamma) \underset{s}\ll \ln^{s-1}\det\Lambda +1.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Наша цель – получить нетривиальную верхнюю оценку (неравенство (15) ниже) для количества $u\in \mathfrak M(\Lambda)$, у которых величина $H(u)$ не очень большая. После этого доказательство теоремы 1 становится тривиальным в силу оценки Быковского (17). Для любого $t\in \mathbb R$ полагаем $\lceil t\rceil=\min\{n\in \mathbb Z\colon n \ge t\}$. Лемма 2. Пусть $\Lambda\in \mathcal L_s$, $I\subset \{1,\dots,s\}$, $\overline I=\{1,\dots,s\}\setminus I \neq \varnothing$, $\chi \in \overline I$; $P_i,Q_i\in (0,+\infty)$, $P_i< Q_i$, $i\in\{1,\dots,s\}\setminus\{\chi\}$. Количество минимумов $u\in \mathfrak M(\Lambda)$ таких, что не больше, чем Доказательство. Для любого $u$, удовлетворяющего (9), найдутся целые $t_i$ такие, что $1\le t_i \le \lceil \log_2(Q_i/P_i) \rceil$,
$$
\begin{equation}
P_i 2^{t_i-1} \le |u_i| \le P_i 2^{t_i}, \quad i\in I, \qquad P_j |u_\chi| 2^{t_j-1} \le |u_j| \le P_j |u_\chi| 2^{t_j}, \quad j\in \overline I\setminus\{\chi\}.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Осталось доказать, что существует не более $2^s$ минимумов $u\in \mathfrak M(\Lambda)$, для которых верно (10) (при фиксированном наборе $t_i$). Предположим противное. Тогда найдутся $u,v\in \mathfrak M(\Lambda)$, удовлетворяющие (10), координаты которых имеют одинаковые знаки. Пусть, например, $|u_\chi|\le|v_\chi|$. Так как то $|u_i| \le 2 |v_i|$ для любого $i\neq \chi$. Положим $w=u-v$. Тогда Узел $w$ противоречит условию $v\in \mathfrak M(\Lambda)$. Лемма 3. Пусть $\Lambda\in \mathcal L_s$; $n,k\in \{1,\dots,s\}$, $n\neq k$; $\lambda, C\in (1,+\infty)$, $P_0,P_1,\dots, P_{s-1}\in (0,+\infty)$. Количество минимумов $u\in \mathfrak M(\Lambda)$, удовлетворяющих условиям не больше, чем $2^s \lceil \log_2\lambda\rceil^{s-2} \lceil \log_2(2 C)\rceil $. Доказательство. Если $k=s$ или $n=s$, то требуемая оценка следует из леммы 2, в которой $I=\{1,\dots,s\}\setminus \{k,n\}$.
Пусть $k\neq s$ и $n\neq s$. Для любого $u$, удовлетворяющего (11), найдется $t\in \mathbb N$ такое, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, P_i \le |u_i| \le \lambda P_i, \qquad i\in\{1,\dots,s-1\}\setminus\{k,n\}, \\ P_k 2^{t-1} \le |u_k| \le P_k 2^t, \qquad P_0P_k2^{t-1} \le |u_n|\le C P_0 P_k 2^t, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{12}
$$
причем $t \le \lceil \log_2\lambda\rceil$. Применяя лемму 2, в которой $I=\{1,\dots,s-1\}$, приходим к выводу, что количество минимумов $u\in \mathfrak M(\Lambda)$, удовлетворяющих (12) при фиксированном $t$, не больше, чем $2^s \lceil \log_2\lambda\rceil^{s-3} \lceil \log_2 (2C) \rceil $. Осталось учесть, что $1\le t \le \lceil \log_2\lambda\rceil$. Лемма 4. Пусть $\Lambda\in \mathcal L_s$, $\pi$ – $(s-1)$-мерное линейное подпространство пространства $\mathbb R^s$; $\lambda\in (1,+\infty)$, $P_1,\dots, P_{s-1}\in (0,+\infty)$. Количество минимумов $u\in \mathfrak M(\Lambda) \cap \pi$, удовлетворяющих неравенствам не больше, чем Доказательство. Пусть $\Omega$ состоит из $u\in \mathfrak M(\Lambda) \cap \pi$, удовлетворяющих (13), а $\pi$ имеет вид
Пусть $\alpha_k\neq 0$ и $\alpha_i =0$ при $i\neq k$. Тогда $\Lambda \cap \pi=\{u\in \Lambda\colon u_k =0\}$. Если $k\neq s$, то $\Omega =\varnothing$ и доказывать нечего. Пусть $k=s$. Вычеркнем у всех минимумов $u\in \Omega$ последнюю координату. Полученные точки будут относительными минимумами решетки $\Lambda' \subset \mathbb R^{s-1}$, состоящей из точек множества $\Lambda\cap \pi$, у которых вычеркнули последнюю координату. Требуемая оценка вытекает из леммы 2, в которой $I=\{1,\dots,s-2\}$, $Q_i=\lambda P_i$. Пусть среди $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ есть хотя бы два ненулевых числа. Тогда $\Omega$ можно представить как объединение множеств $\Omega_{k,n}$, где $ k,n \in\{1,\dots,s\}$, $k\neq n$,
$$
\begin{equation*}
\Omega_{k,n} =\bigl\{u\in \Omega\colon |\alpha_i u_i| \le |\alpha_k u_k| \le |\alpha_n u_n|,\, i=1,\dots, s\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось доказать, что
$$
\begin{equation*}
\# \Omega_{k,n} \le 2^s \lceil \log_2\lambda\rceil^{s-2} \lceil \log_2 (2(s-1)) \rceil.
\end{equation*}
\notag
$$
Для любого $u\in \Omega_{k,n}$
$$
\begin{equation*}
|\alpha_k u_k| \le |\alpha_n u_n|=\biggl|\sum_{i\neq n} \alpha_i u_i \biggr| \le (s-1) |\alpha_k u_k|.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{\alpha_k}{\alpha_n}\biggr|\cdot |u_k| \le |u_n| \le (s-1) \biggl|\frac{\alpha_k}{\alpha_n}\biggr|\cdot |u_k|, \qquad P_i \le |u_i| \le \lambda P_i, \quad 1\le i \le s-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя лемму 3, получаем требуемую оценку для $\# \Omega_{k,n}$. Лемма 5. Пусть $\Lambda\in \mathcal L_s$, $\det \Lambda=D$; $P_1,\dots,P_{s-1}\in (0,+\infty)$; $c_s= (s!)^{1/(s-1)}$, $\nu\in (c_s,+\infty)$. Количество минимумов $u\in \mathfrak M(\Lambda)$, удовлетворяющих неравенствам не больше, чем Доказательство. Если существует менее чем $s$ точек $u\in \mathfrak M(\Lambda)$, удовлетворяющих (14), то требуемая оценка очевидна. Пусть таких точек не меньше, чем $s$.
Пусть минимумы $u^{(1)},\dots, u^{(s)}\in \mathfrak M(\Lambda)$ удовлетворяют (14). Не умаляя общности, считаем, что $|u_s^{(j)}| \le |u_s^{(s)}|$, $j=1,\dots,s-1$. Согласно (14) для всех $i,j\in\{1,\dots,s-1\}$
$$
\begin{equation*}
|u_i^{(j)}| \le \frac{\nu}{c_s} P_i \le \frac{\nu}{c_s} |u_i^{(s)}|.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\Delta$ – определитель матрицы, столбцами которой являются $u^{(1)},\dots, u^{(s)}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
|\Delta| \le s! \prod_{i=1}^s \max_{1\le j\le s} |u_i^{(j)}| \le s! \biggl(\frac{\nu}{c_s}\biggr)^{s-1} |u^{(s)}_1\dotsb u^{(s)}_s| =\nu^{s-1}|u^{(s)}_1\dotsb u^{(s)}_s| < D.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\det \Lambda=D$, это возможно только при $\Delta=0$, т.е. только в случае линейно зависимых векторов $u^{(1)},\dots, u^{(s)}$.
Из доказанного выше вытекает, что множество, состоящее из минимумов, удовлетворяющих (14), имеет ранг $\le s-1$. Значит, оно лежит в некотором $(s-1)$-мерном линейном подпространстве пространства $\mathbb R^s$. Осталось применить лемму 4, в которой $\lambda=\nu/c_s$. Теорема 2. Пусть $\Lambda\in \mathcal L_s$, $\Lambda\subset \mathbb Z^s$, $\det \Lambda=N$, $t\in \mathbb R$, причем $1 \le t \le N/2$. Тогда Доказательство. Если $t< 2(s!)$, то (15) вытекает из (8). Пусть $t\ge 2(s!)$.
Из (8) вытекает, что количество минимумов $u\in \mathfrak M(\Lambda)$, у которых хотя бы одна координата равна нулю, не больше, чем $O_s(\ln^{s-2} N)$ (см., например, [7]). Поэтому достаточно оценить количество $u\in \mathfrak M(\Lambda)$, у которых $1\le |u_i|$, $i=1,\dots, s$, $|u_1\dotsb u_s| < Nt^{-1}$. Для любого такого $u$ найдется набор $k_1,\dots,k_{s-1}\in \mathbb N$, удовлетворяющий неравенствам
$$
\begin{equation}
1\le |u_1\dotsb u_s| < \frac{N}{t}, \qquad \mu^{k_i-1} \le |u_i| \le \mu^{k_i}, \quad i=1,\dots,s-1,
\end{equation}
\tag{16}
$$
где $\mu=(t/s!)^{1/(s-1)}$ и $1\le k_i \le \lceil \log_\mu (N/t)\rceil$. Используя лемму 5, получаем, что количество $u\in \mathfrak M(\Lambda)$, удовлетворяющих (16) (при фиксированном наборе $k_1,\dots,k_{s-1}$) не больше, чем $O_s(\log_2^{s-2} (t/s!))=O_s(\ln^{s-2} t)$. Осталось учесть, что количество возможных наборов $k_1,\dots,k_{s-1}$ не превосходит $ \lceil \log_\mu (N/t)\rceil^{s-1}=O_s((\ln N)^{s-1} (\ln t)^{-(s-1)})$. Доказательство теоремы 1. Быковский [7] доказал, что
$$
\begin{equation}
R_N^\alpha (a) \underset{\alpha,s}\ll \sum_{u\in \mathfrak M(\Gamma_N(a))} \frac{1}{H(u)^\alpha}.
\end{equation}
\tag{17}
$$
Здесь $\Gamma_N(a)$ – решетка, состоящая из решений $u\in \mathbb Z^s$ сравнения (2). Отметим, что $\det \Gamma_N(a)=N$. Сумму в правой части (17) представим в виде $S_1 + S_2$, где в $S_1$ входят все слагаемые с $H(u) \le N/\sqrt{T_N(a)}$, а в $S_2$ – все оставшиеся. Применяя (8) для оценки $S_2$ и теорему 2 для оценки $S_1$, нетрудно заметить, что 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ill23} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|