| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Квази-энергетическая функция для 3-диффеоморфизмов Морса–Смейла c неподвижными точками попарно различных индексов О. В. Починка, Е. А. Таланова Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики в Нижнем Новгороде
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624030301 
Реферативные базы данных:
  1. Введение и формулировка результатовПусть $M^n$ – гладкое замкнутое $n$-многообразие с метрикой $d$ и $f\colon M^n\to M^n$ – диффеоморфизм. Для характеристики блуждаемости траекторий диффеоморфизма традиционно используется понятие цепно рекуррентности. $\varepsilon$-Цепью длины $m\in\mathbb N$, соединяющей точку $x$ с точкой $y$, диффеоморфизма $f$ называется последовательность точек $x=x_0$, $\dots$, $x_m=y$ такая, что $d(f(x_{i-1}),x_{i})<\varepsilon$ для $1\leqslant i\leqslant m$. Точка $x\in M^n$ называется цепно рекуррентной точкой диффеоморфизма $f$, если для любого $\varepsilon>0$ существует $m$, зависящее от $\varepsilon>0$, и $\varepsilon$-цепь длины $m$, соединяющая точку $x$ c ней самой. Множество всех цепно рекуррентных точек $f$ называется цепно рекуррентным множеством $f$ и обозначается $\mathcal R_{f}$. На цепно рекуррентном множестве можно ввести отношение эквивалентности следующим правилом: $x\sim y$, если для любого $\varepsilon>0$ существуют $\varepsilon$-цепи, соединяющие $x$ с $y$ и $y$ с $x$. Тогда цепно-рекуррентное множество разбивается на классы эквивалентности, называемые цепными компонентами. Если цепно рекуррентное множество диффеоморфизма $f$ конечно, то оно состоит из периодических точек. Периодическая точка $p\in\mathcal R_f$ периода $m_p$ называется гиперболической, если все собственные значения матрицы Якоби $({\partial f^{m_p}}/{\partial x})|_{p}$ по модулю не равны единице. Если все собственные значения по модулю меньше (больше) единицы, то $p$ называют стоковой (источниковой) точкой. Стоковые и источниковые точки называются узловыми. Если гиперболическая периодическая точка не является узловой, то она называется седловой точкой. Из гиперболической структуры периодической точки $p$ и конечности цепно рекуррентного множества следует, что ее устойчивое
$$
\begin{equation*}
W^s_p=\Bigl\{x\in M^n\colon \lim_{k\to+\infty}d(f^{km_p}(x),p)=0\Bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и неустойчивое
$$
\begin{equation*}
W^u_p=\Bigl\{x\in M^n\colon \lim_{k\to+\infty}d(f^{-km_p}(x),p)=0\Bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
многообразия являются гладкими подмногообразиями, диффеоморфными $\mathbb R^{n-\lambda_p}$ и $\mathbb R^{\lambda_p}$ соответственно, где $\lambda_p$ – число собственных значений матрицы Якоби, по модулю больших единицы (индекс Морса точки $p$). Устойчивые и неустойчивые многообразия называются инвариантными многообразиями. Компонента связности множества $W^u_p\setminus p$ (соответственно $W^s_p\setminus p$) называется неустойчивой (соответственно устойчивой) сепаратрисой точки $p$. Диффеоморфизм $f\colon M^n\to M^n$ называется диффеоморфизмом Морса–Смейла, если
Согласно определению Конли [1] функция Ляпунова для диффеоморфизма Морса–Смейла $f\colon M^n\to M^n$ – это непрерывная функция $\varphi\colon M^n\to\mathbb{R}$, обладающая следующими свойствами:
Заметим, что для любого диффеоморфизма Морса–Смейла $f$ существует функция Морса–Ляпунова1 – функция Ляпунова $\varphi\colon M^n\to\mathbb R$, являющаяся функцией Морса, имеющей в любой периодической точке $p\in\mathcal R_f$ невырожденную критическую точку индекса $\lambda_p$ с координатами Морса
$$
\begin{equation*}
(V_p,\phi_p\colon y\in V_p\mapsto (x_1(y),\dots,x_n(y))\in\mathbb R^n
\end{equation*}
\notag
$$
такими, что
$$
\begin{equation}
\phi_p^{-1}(Ox_1\dots x_{\lambda_p})\subset W^u_p, \qquad \phi_p^{-1}(Ox_{\lambda_p+1}\dots x_n)\subset W^s_p.
\end{equation}
\tag{*}
$$
Если при этом функция $\varphi$ не имеет критических точек вне $\mathcal R_f$, то, следуя [3], мы называем ее энергетической функцией для диффеоморфизма Морса–Смейла $f$. Доказательство существования энергетической функции Морса для диффеоморфизма Морса–Смейла на окружности является несложным упражнением. Пикстон [3] в 1977 г. доказал существование энергетической функции у любого диффеоморфизма Морса–Смейла на поверхности. Там же он построил пример диффеоморфизма Морса–Смейла на 3-сфере, не обладающего энергетической функцией. Препятствием к существованию энергетической функции у такого диффеоморфизма является дикое вложение седловых сепаратрис в несущее многообразие (т.е. замыкание сепаратрисы не является подмногообразием объемлющего пространства). Из результатов работы [4] следует, что на многообразиях любой размерности $n>2$ существуют диффеоморфизмы Морса–Смейла, не обладающие энергетической функцией. В связи с чем в работе [5] для диффеоморфизмов Морса–Смейла $f$ введено следующее понятие. Определение 1. Квази-энергетической функцией для $f$ называется функция Морса–Ляпунова для диффеоморфизма Морса–Смейла $f$, имеющая минимально возможное число критических точек среди всех функций Морса–Ляпунова для $f$. Обозначим через $\rho_f$ число критических точек квази-энергетической функции диффеоморфизма Морса–Смейла $f$. Заметим, что введенное число является топологическим инвариантом системы, т.е. если диффеоморфизмы $f,f'\colon M^n\to M^n$ топологически сопряжены (существует гомеоморфизм $h\colon M^n\to M^n$ такой, что $hf=f'h$), то $\rho_f=\rho_{f'}$. Настоящая работа посвящена оценке снизу числа $\rho_f$ для диффеоморфизмов класса $G$, сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса–Смейла $f\colon M^3\to M^3$ со следующими свойствами (см. рис. 1 и детальное описание диффеоморфизмов класса $G$ в п. 2):
Пусть $f\in G$. Обозначим через $\ell_f^1$, $\ell_f^2$ неустойчивые сепаратрисы седловой точки $\sigma_f^{1}$. Тогда (см., например, [6]) замыкание сепаратрисы $\operatorname{cl}(\ell_f^i)$, $i=1,2$, гомеоморфно простой замкнутой кривой, которая состоит из этой сепаратрисы и двух точек: седла $\sigma_f^{1}$ и стока $\omega_f$ (см. рис. 1). Пусть $\mathbf x=(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb R^3$, $\| \mathbf x \|=\sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}$ и $\nu\colon\mathbb R^3\to\mathbb R^3$ – диффеоморфизм, заданный формулой $\nu(\mathbf x)={\mathbf x}/{2}$. Определим отображение $p\colon\mathbb R^3\setminus O\to\mathbb S^{2}\times\mathbb S^1$ формулой
$$
\begin{equation*}
p(\mathbf x)=\biggl(\frac{x_1}{\|\mathbf x\|},\frac{x_2}{\|\mathbf x\|},\frac{x_3}{\|\mathbf x\|},\log_2(\|\mathbf x\|)\pmod 1\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $V_{\omega_f}=W^s_{\omega_f}\setminus\omega_f$. В силу гиперболичности стока $\omega_f$ существует диффеоморфизм $\psi_f\colon V_{\omega_f}\to\mathbb R^3\setminus O$, который сопрягает диффеоморфизмы $f$ и $h$. Положим
$$
\begin{equation*}
p_{\omega_f}=p\psi_f\colon V_{\omega_f}\to\mathbb S^{2}\times\mathbb S^1, \qquad L_f^{i}=p_{\omega_f}(\ell_f^i), \quad i=1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно [7] множества $L_f^1$, $L_f^2$ являются эквивалентными узлами Хопфа – узлами в образующем классе фундаментальной группы многообразия $\mathbb S^2\times\mathbb S^1$. Обозначим через $[L_f]$ класс эквивалентности этих узлов. Согласно [7] класс топологической сопряженности диффеоморфизма $f\in G$ полностью определяется классом эквивалентности узла $L_{f}$. Более того, любой хопфовский узел реализуется некоторым диффеоморфизмом класса $G$ (см. предложение 1 ниже). Напомним, что узлом на многообразии $\mathbb S^2\times\mathbb S^1$ называется гладкое вложение $\gamma\colon \mathbb S^1\to \mathbb S^2\times\mathbb S^1$ или образ этого вложения $L=\gamma(\mathbb S^1)$. Узлы $L,L'$ называются эквивалентными, если существует гомеоморфизм
$$
\begin{equation*}
h\colon \mathbb S^2\times\mathbb S^1\to \mathbb S^2\times\mathbb S^1
\end{equation*}
\notag
$$
такой, что $h(L)=L'$. Любой хопфовский узел $L \subset \mathbb S^2 \times\mathbb S^1$ гладко гомотопен стандартному хопфовскому узлу $L_0=\{s\}\times \mathbb S^1$ (см., например, [8]), но не является изотопным или эквивалентным ему в общем случае. Мазур [9] построил хопфовский узел $L_M$, который мы будем называть узлом Мазура, неэквивалентный и неизотопный узлу $L_0$ (см. рис. 2). Согласно работе [4] диффеоморфизм $f\in G$ обладает энергетической функцией Морса тогда и только тогда, когда узел $L_f$ тривиален (эквивалентен стандартному узлу). В случае, когда узел $L_f$ не тривиален, число $\rho_f$ критических точек квази-энергетической функции Морса диффеоморфизма $f$ является, очевидно, четным числом, не меньшим шести: В работе [10] введено следующее понятие рода узла Хопфа. Пусть $L$ – узел Хопфа и $\overline L=p^{-1}(L)$ – его поднятие в $\mathbb R^3\setminus O$. Замкнутую ориентируемую поверхность $\Sigma\subset\mathbb S^2\times\mathbb S^1$ назовем секущей поверхностью узла $L$, если она имеет единственную точку пересечения с узлом $L$. Минимально возможный род $g_L$ секущей поверхности называется родом узла $L$. Секущая поверхность узла $L$ рода $g_L$ называется минимальной. В настоящей работе мы даем следующую оценку числа $\rho_f$ критических точек квазиэнергетической функции $f\in G$. В работе [11] построено счетное семейство хопфовских узлов $L_n$ – обобщенных узлов Мазура (см. рис. 3, а также подробную конструкцию узлов в п. 4), для которых там же доказано, что они попарно неэквивалентны. Основным результатом работы является доказательство следующего факта. Теорема 2. Пусть $f\in G$ – диффеоморфизм такой, что $[L_{f}]=[L_n]$, $n\in\mathbb N$. Тогда число $\rho_f$ критических точек квази-энергетической функции диффеоморфизма $f$ вычисляется по формуле 2. Конструкция диффеоморфизма класса $G$В настоящем пункте мы реализуем любой узел Хопфа диффеоморфизмом $f\in G$. Пусть $L\subset \mathbb S^{2}\times\mathbb S^1$ – хопфовский узел и $U(L)$ – его трубчатая окрестность. Тогда множество $\overline L=p^{-1}(L)$ является ${{\nu}}$-инвариантной дугой в $\mathbb R^3\setminus O$ и $U(\overline L)=p^{-1}(U(L))$ – ее ${{\nu}}$-инвариантная окрестность, диффеоморфная $\mathbb{D}^{2}\times\mathbb R^1$ (см. рис. 4). Положим
$$
\begin{equation*}
C=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb R^3 \colon x_2^2+x_{3}^2\leqslant 4\}
\end{equation*}
\notag
$$
и определим поток $g^t\colon C\to C$ формулой Тогда существует диффеоморфизм ${\zeta}\colon {U(L)}\to C$, который сопрягает диффеоморфизмы ${{\nu}}|_{{U(L)}}$ и $g=g^1|_C$. Определим поток $\phi^t$ на $C$ следующими формулами:
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \dot{x}_1= \begin{cases} 1-\dfrac{1}{9}(x_1^2+x_2^2+x_3^2-4)^2, & x_1^2+x_2^2+x_3^2 \leqslant 4, \\ 1, &x_1^2+x_2^2+x_3^2 > 4, \end{cases} \\ \dot{x}_2= \begin{cases} \dfrac{x_2}{2}\biggl(\sin\biggl(\dfrac{\pi}{2}(x_1^2+x_2^2+x_3^2-3)\biggr)-1\biggr), & 2<x_1^2+x_2^2+x_3^2\leqslant 4, \\ -x_2,&x_1^2+x_2^2+x_3^2\leqslant 2, \\ 0,&x_1^2+x_2^2+x_3^2 > 4, \end{cases} \\ \dot{x}_3=\begin{cases} - \dfrac{x_3}{2}\biggl(\sin\biggl(\dfrac{\pi}{2}(x_1^2+x_2^2+x_3^2-3)\biggr)-1\biggr), &2<x_1^2+x_2^2+x_3^2\leqslant 4, \\ x_3,& x_1^2+x_2^2+x_3^2\leqslant 2, \\ 0,&x_1^2+x_2^2+x_3^2 > 4. \end{cases} \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
По построению диффеоморфизм $\phi=\phi^1$ имеет два неподвижных гиперболических седла: седло $P_1(-1,0,0)$ с индексом Морса 1 и седло $P_2(1,0,0)$ с индексом Морса 2 (см. рис. 5). Некомпактная гетероклиническая кривая $W^{s}_{P_1}\cap W^{u}_{P_2}$ совпадает с открытым интервалом $\bigl\{\mathbf x\in\mathbb R^3\colon |x_1|<1,\,x_2=x_3=0\bigr\}$. Заметим, что $\phi$ совпадает с диффеоморфизмом $g=g^1$ вне шара $\{\mathbf x\in C\colon \|\mathbf x\|\leqslant 4\}$. Определим диффеоморфизм $\overline f_L\colon \mathbb R^3\to\mathbb R^3$ таким образом, что $\overline{f}_{L}$ совпадает с ${{\nu}}$ вне ${U({L})}$ и совпадает с ${\zeta}^{-1}\phi{\zeta}$ на ${U({L})}$. Тогда $\overline f_{L}$ имеет в ${U({L})}$ две неподвижные точки: седло ${\zeta}^{-1}(P_1)$ и седло ${\zeta}^{-1}(P_2)$. Обозначим через $N(0,0,0,1)$ северный полюс сферы $\mathbb S^3=\{\mathbf x=(x_1,x_2,x_3,x_{4})\!: \|\mathbf x\|=1\}$ и через $\vartheta\colon \mathbb R^3\to(\mathbb{S}^3\setminus\{N\})$ – стандартную стереографическую проекцию. По построению диффеоморфизм $\overline{f}_{L}$ совпадает с ${{\nu}}$ в некоторой окрестности точки $O$ и бесконечно удаленной точки, следовательно, он индуцирует на $\mathbb{S}^3$ диффеоморфизм Морса–Смейла
$$
\begin{equation*}
f_{{L}}(\mathbf s)= \begin{cases}\vartheta(\overline f_{L}(\vartheta(\mathbf s))),&\mathbf s\neq N, \\ N,&\mathbf s=N. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Непосредственно из построения следует, что неблуждающее множество диффеоморфизма $f_{{L}}$ состоит из четырех неподвижных гиперболических точек: стока $\omega=S$, двух седел $\sigma^1=\vartheta({\zeta}^{-1}(P_1))$, $\sigma^2=\vartheta({\zeta}^{-1}(P_2))$ и одного источника $\alpha=N$. Построенный диффеоморфизм принадлежит классу $G$; назовем такие диффеоморфизмы модельными (см. рис. 6). Предложение 1 [7]. Выполнены следующие утверждения: 3. Оценка числа критических точек квази-энергетической функции диффеоморфизма $f_L\in G$ через род узла $L$В настоящем пункте мы докажем теорему 1: для любого диффеоморфизма $f\in G$ справедлива следующая оценка: Доказательство теоремы 1. В силу предложения 1, не уменьшая общности, можно считать, что $f$ совпадает с модельным диффеоморфизмом $f_L$. Рассмотрим произвольную функцию Морса–Ляпунова $\varphi\colon \mathbb S^3\to\mathbb R$ для диффеоморфизма $f_L$. Положим для определенности, что $\varphi(\omega_f)=0$, $\varphi(\sigma_f^1)=1$, $\varphi(\sigma_f^2)=2$ и $\varphi(\alpha_f)=3$. Рассмотрим неустойчивые сепаратрисы $\ell_f^1$, $\ell_f^2$ точки $\sigma_f^1$. Из определения функции Морса–Ляпунова следует, что функция $\varphi|_{\ell_f^i}$, $i\in\{1,2\}$, монотонно убывает в некоторой окрестности седла $\sigma_f^1$. Следовательно, существует значение $\varepsilon_1\in(0,1)$ такое, что интервал $(1-\varepsilon_1,1)$ не содержит критических значений функции $\varphi$ и поверхность $\varphi^{-1}(1-\varepsilon_1)$ пересекает сепаратрису $\ell_f^i$ в единственной точке, которую обозначим $w_i$.
Пусть $\overline Q_1$ – компонента связности множества $\varphi^{-1}([0,1-\varepsilon_1])$, содержащая отрезок $[w_1,w_2]$ замыкания $\operatorname{cl}(W^u_{\sigma_f^1})$ (см. рис. 7). В силу убывания $\varphi$ вдоль траекторий диффеоморфизма $f$ значения функции $\varphi$ на $W^s_{\sigma_f^1}$ больше 1 и, следовательно, многообразие $\overline Q_1$ целиком лежит в многообразии $W^s_{\omega_f}$, диффеоморфном $\mathbb R^3$. Пусть функция $\varphi|_{\overline Q_1}$ имеет $k_q$, $q\in\{0,\dots,3\}$, критических точек индекса $q$. В силу [12; теорема 6.1] на многообразии $\overline Q_1$ существует правильная функция Морса $\psi$ (значение функции в критической точке совпадает с индексом этой точки), имеющая $k_q$ критических точек индекса $q$ и являющаяся константой на $\partial{\overline Q_1}$. Таким образом, многообразие $\overline Q_1$ представляет собой заполненную поверхность $\widetilde Q_1$ рода $g_1=1+k_1-k_0$ с приклееными к ней ручками индексов 2 и 3. Откуда следует, что род любой поверхности множества $\partial\overline Q_1$ не превосходит числа $g_1$. С другой стороны, число критических точек функции $\varphi|_{\overline Q_1}$ не меньше, чем $k_0+k_1$. При условии, что $k_0\geqslant 1$ и $g_1=1+k_1-k_0$, получаем, что $k_0+k_1=g_1+2k_0-1\geqslant g_1+1$. То есть функция $\varphi|_{\overline Q_1}$ имеет не менее $g_1+1$ критических точек. Обозначим через $\overline\Sigma_1$ компоненту связности множества $\partial\overline Q_1$, имеющую непустое пересечение с сепаратрисой $\ell_f^1$. Тогда поверхность $\overline\Sigma_1$ делит многообразие $W^s_{\omega_f}$ на две части, одна из которых $Q_1$ содержит отрезок $[w_1,\omega_f]$ замыкания сепаратрисы $\operatorname{cl}(\ell^1_f)$ и является $h$-сжимаемым телом. То есть $\Sigma_1=p(\overline\Sigma_1)$ – секущая поверхность к узлу $L=p(\ell_f^1)$ и, следовательно, Поскольку функция $3-\varphi$ является функцией Ляпунова для диффеоморфизма $f^{-1}$ и критические точки функций $\varphi$ и $\varphi^{-1}$ совпадают, то рассуждения, аналогичные вышеприведенным, приводят к существованию компоненты связности $\overline Q_2$ множества $\varphi^{-1}[2+\varepsilon_2,3]$, $\varepsilon_2>0$, содержащей не менее $g_L+1$ точек. Откуда следует, что общее число критических точек функции $\varphi$ не меньше, чем 4. Конструкция обобщенного узла Мазура $L_n$Рассмотрим множество
$$
\begin{equation*}
K_0=\biggl\{\mathbf x\in\mathbb R^3\colon \frac12\leqslant \|\mathbf x\|< 1\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
замыкание которого $K=\operatorname{cl}K_0$ является фундаментальной областью диффеоморфизма $\nu|_{\mathbb R^3\setminus O}$ с границей
$$
\begin{equation*}
\mathbb S^2=\bigl\{\mathbf x\in\mathbb R^3\colon \|\mathbf x\|= 1\bigr\}, \qquad \nu (\mathbb S^2).
\end{equation*}
\notag
$$
Выберем на окружности
$$
\begin{equation*}
\mathbb S^1=\bigl\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb R^3\colon x_1^2+x_2^2=1,\,x_3=0\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
попарно различные точки $\alpha_1,\dots,\alpha_{2n+1}$, пронумерованные в порядке их появления на окружности при движении по часовой стрелке (см. рис. 8). Пусть $a_i$, $i\in\{1,\dots,2n\}$, – дуга окружности $\mathbb S^1$, ограниченная точками $\alpha_i$, $\alpha_{i+1}$ и не содержащая в своей внутренности точек множества $\{\alpha_1,\dots,\alpha_{2n+1}\}$. Пусть $B,A_{i}\subset K$, $i\in\{1,\dots,2n\}$ – попарно непересекающиеся гладкие дуги такие, что:
$$
\begin{equation*}
\overline L_n=\bigcup_{k\in\mathbb Z}{\nu}^k(B\cup A_1\cup\dots\cup A_{2n}), \qquad L_n = p (\overline L_n).
\end{equation*}
\notag
$$
5. Построение квази-энергетической функции для диффеоморфизма $f_{L_n}\in G$ с хопфовским узлом $L_n$В настоящем пункте мы доказываем теорему 2. Пусть $f\in G$ – диффеоморфизм такой, что $[L_{f}]=[L_n]$, $n\in\mathbb N$. Тогда число $\rho_f$ критических точек квази-энергетической функции диффеоморфизма $f$ вычисляется по формуле Доказательство теоремы 2. В силу предложения 1, не уменьшая общности, можно считать, что $f$ совпадает с модельным диффеоморфизмом $f_{L_n}$. Тогда неблуждающее множество ${\mathcal R}_f$ состоит из четырех точек: стока $\omega_f$, источника $\alpha_f$ и седел $\sigma_f^1$, $\sigma_f^2$. В силу [10; лемма 3] род $g_{L_n}$ узла $L_n$ равен $n$. Тогда в $S^{2}\times\mathbb S^1$ существует поверхность $\Sigma$ рода $n$, имеющая с узлом $L_n$ единственную точку пересечения. Пусть компонента связности $\overline\Sigma$ прообраза $p^{-1}(\Sigma)$ ограничивает ручечное тело $Q_\Sigma$ того же рода (см. рис. 9). Построим для диффеоморфизма $f$ функцию Морса–Ляпунова с числом критических точек $4+2n$.
Построение квази-энергетической функции мы будем делать аналогично построению энергетической функции, проведенному в работе [5]. Шаг 1. Выберем энергетическую функцию $\varphi_ {p}\colon U_p\to\mathbb R$ в окрестности каждой неподвижной точки $p$ диффеоморфизма $f$ так, что $\varphi_ {p}(p)=\operatorname{dim}W^u_p$. Пусть $B_{\omega_f}$, $B_{\alpha_f}$ – 3-шары, являющиеся множествами уровня функций $\varphi_{\omega_f}$, $\varphi_{\alpha_f}$ соответственно такие, что $B_{\omega_f}\subset \operatorname{int}Q_\Sigma$. Выберем трубчатую окрестность $T_{\sigma_f^1}$ дуги $W^u_{\sigma_f^1}\setminus Q_\Sigma$ так, что ручечное тело $Q_\Sigma\cup T_{\sigma_f^1}$ рода $n+1$ является $f$-сжимаемым и его пересечение с $W^s_{\sigma_f^1}$ является двумерным диском; обозначим его через $d^s$ (см. рис. 9). Обозначим через $P^+$ сглаживание этого тела путем добавления малого внешнего воротника. Шаг 2. Диски $d^s,d_1,\dots,d_{2n-1}$ разрезают ручечное тело $P^+$ до 3-шара (см. рис. 9). Обозначим через $B_\Sigma$ $f$-сжимаемое сглаживание этого шара путем удаления внутреннего воротника. Согласно [5; лемма 4.2] функция $\varphi_{\omega_f}$ продолжаетcя на шар $B_\Sigma$ энергетической функцией, имеющей на нем единственную критическую точку $\omega_f$ индекса Морса 0. Поскольку $f(Q_\Sigma)\subset \operatorname{int}B_\Sigma$, то построенная функция убывает вдоль траекторий диффеоморфизма $f$. Согласно [5; п. 4.3] и результатам классической теории Морса (см., например, [13]) функция $\varphi_\omega$ продолжаетcя на множество $P^+$ энергетической функцией, имеющей на нем $n+1$ критическую точку индекса Морса 1, по одной на каждом диске $d^s,d_1,\dots,d_{2n-1}$ и точку $\omega_f$ индекса Морса 0. Шаг 3. Из определения узла $L_n$ следует, что $P^-=\mathbb S^3\setminus \operatorname{int}P^+$ – $f^{-1}$-сжимаемое ручечное тело рода $n+1$ и его пересечение с $W^u_{\sigma_f^2}$ является двумерным диском; обозначим его $d^u$. Кроме того, диски $d^u,d_2,\dots,d_{2n}$ разрезают ручечное тело $P^-$ до 3-шара (см. рис. 9). Аргументы, аналогичные приведенным в п. 2, позволяют продолжить функцию $\varphi_{\omega_f}$ на множество $P^-$ так, что она имеет на нем $n+1$ критическую точку индекса Морса 2, по одной на каждом диске $d^u,d_2,\dots,d_{2n}$ и точку $\alpha_f$ индекса Морса 3.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{PocTal24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|