| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Об одном свойстве квазикелеровых многообразий Г. А. Банару, М. Б. Банару Смоленский государственный университет
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S000143462405002X 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеИсследование структур на гиперповерхностях почти эрмитовых многообразий является интересным и очень важным направлением в изучении взаимосвязи двух дифференциально-геометрических структур — почти контактной метрической и почти эрмитовой. С середины 50-х годов прошлого века содержательные статьи в этой области опубликовали многие известные геометры, среди которых особенно выделяются японские специалисты: М. Окумура, С. Сасаки, С. Танно, Й. Таширо, Х. Янамото, К. Яно. С начала 80-х годов прошлого века большое число интересных результатов в данной области получил известный отечественный геометр В. Ф. Кириченко, а также некоторые его ученики. Среди последних мы особо отметим Л. В. Степанову, в диссертационном исследовании [1] которой разработаны новые методы изучения почти контактных метрических структур, индуцируемых на ориентируемой гиперповерхности произвольного почти эрмитова многообразия. Значительная часть научных фактов, полученных в данном направлении упомянутыми выше и многими другими математиками (за исключением последних десяти лет) содержится в книге [2] и обзоре [3]. В настоящей заметке представлен результат о контактной геометрии квазикелеровых многообразий. Ранее вместе с А. Абу-Салимом и Л. В. Степановой авторами этой заметки было показано, что если произвольное квазикелерово многообразие удовлетворяет аксиоме квазисасакиевых гиперповерхностей, то оно является почти келеровым многообразием [4]. Здесь наш основной результат содержит Теорема 1. Всякое квазикелерово многообразие, удовлетворяющее аксиоме $\eta$-квазиомбилических квазисасакиевых гиперповерхностей, является келеровым многообразием. Это утверждение, с одной стороны, развивает приведенный только что результат из [4], с другой – дает существенное обобщение классических результатов Сасаки и Янамото о почти контактных метрических структурах на гиперповерхности келерова многообразия (см. [5], [6], а также [3]). 2. Предварительные сведенияПочти эрмитовой (almost Hermitian, AH-) структурой на многообразии $M^{2n}$ четной размерности называют пару $\{J,g=\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle\}$, состоящую из почти комплексной структуры $J$ и римановой метрики $g=\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle $, которые согласованы условием
$$
\begin{equation*}
\langle JX,JY \rangle=\langle X,Y \rangle , \qquad X,Y \in \aleph (M^{2n}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\aleph (M^{2n})$ – модуль всех гладких векторных полей на рассматриваемом многообразии $M^{2n}$ [2]. Для каждой AH-структуры $\{ J,g=\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle\}$ на многообразии $M^{2n}$ соотношение
$$
\begin{equation*}
F(X,Y)=\langle X,JY\rangle , \qquad X,Y \in \aleph (M^{2n})
\end{equation*}
\notag
$$
определяет так называемую фундаментальную форму. Почти эрмитова структура называется квазикелеровой (quasi Kählerian, QK-), если выполняется следующее условие [2]:
$$
\begin{equation*}
\nabla_X(F)(Y,Z)+\nabla_{JX}(F)(JY,Z)=0, \qquad\text{где}\quad X,Y,Z \in \aleph (M^{2n}).
\end{equation*}
\notag
$$
Также напомним, что почти келерову (almost Kählerian, AK-), приближенно келерову (nearly Kählerian, NK-) и келерову структуру определяют, соответственно, такие равенства: Рассмотрим произвольное почти эрмитово многообразие $(M^{2n},\{J,g=\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle\})$. Выберем и зафиксируем точку $p \in M^{2n}$. Пусть $T_p (M^{2n})$ – пространство, касательное к данному многообразию $M^{2n}$ в этой точке, $\{ {J_p ,g_p=\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle}\}$ — почти эрмитова структура, порожденная исходной структурой $\{ {J,g=\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle}\}$. Конструкция адаптированных почти эрмитовой структуре реперов (их обычно называют А-реперами) в естественной комплексификации касательного пространства устроена так:
$$
\begin{equation*}
(p,\varepsilon_1,\dots ,\varepsilon_n ,\varepsilon_{\widehat 1} , \dots ,\varepsilon_{\widehat n}).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $ \varepsilon_a$ – собственные векторы оператора почти комплексной структуры, которые принадлежат собственному значению оператора $i=\sqrt{-1}$, $\varepsilon_{\widehat a}$ – собственные векторы, которые принадлежат собственному значению $-i$. Индекс $a$ принимает значения от 1 до $n$; $\widehat a=a+n$ [3]. Известно, что четверка тензорных полей $\{\Phi,\xi,\eta,g\}$ на многообразии нечетной размерности $N^{2n-1}$ называется почти контактной метрической структурой на этом многообразии, если для этой четверки выполняются такие условия [2]:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \eta (\xi)=1, \qquad\Phi (\xi)=0, \qquad\eta \circ \Phi=0, \qquad\Phi^2=- id+\xi \otimes \eta, \\ \langle \Phi X,\Phi Y \rangle=\langle X,Y \rangle-\eta (X)\eta (Y), \qquad X,Y \in \aleph (N^{2n-1}). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\xi$ – структурный вектор, $\Phi$ – поле тензора типа $(1,1)$, $\eta$ – структурная форма, $g=\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle$ – риманова метрика, $\aleph (N^{2n-1})$ – модуль гладких векторных полей на многообразии $N^{2n-1}$. Важнейшими примерами почти контактной метрической структуры являются косимплектическая и слабо косимплектическая структуры (последнюю называют иногда структурой Эндо), а также структуры Кенмоцу и Сасаки. Давно известно о существовании взаимосвязи между почти контактной метрической и почти эрмитовой структурами. В частности, если $(N^{2n-1},\{\Phi,\xi,\eta,g\})$ – почти контактное метрическое многообразие, то на произведении многообразия $N^{2n-1}$ на вещественную прямую индуцируется почти эрмитова структура [2]. При этом если такая почти эрмитова структура интегрируема, то исходная почти контактная метрическая структура называется нормальной. Нормальную контактную метрическую структуру называют сасакиевой. Во многих книгах и статьях сасакиеву структуру определяют с помощью равенства
$$
\begin{equation*}
\nabla_X (\Phi)Y=\langle X,Y \rangle \xi-\eta (Y)X, \qquad X,Y \in \aleph (N^{2n-1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Обладающая многими замечательными свойствами и играющая особую роль в контактной геометрии сасакиева структура индуцируется, например, на вполне омбилической гиперповерхности келерова многообразия [5]. Естественным обобщением структуры Сасаки является квазисасакиева структура. Почти контактная метрическая структура $\{\Phi,\xi,\eta,g\}$ называется квазисасакиевой (quasi-Sasakian, QS-), если ее фундаментальная форма $\Omega(X,Y)= \langle X,\Phi Y \rangle $ замкнута и выполняется условие где $N_{\Phi}$ – тензор Нейенхейса оператора $\Phi$.Основателем теории квазисаскиевых структур считается выдающийся американский геометр Блэр [7], а одной из самых важных работ по этой тематике, по нашему мнению, является фундаментальное исследование Кириченко и Рустанова [8]. Именно в статье [8] рассматривается такой важный пример квазисасакиева многообразия как произведение многообразия Сасаки на келерово многообразие. Гиперповерхность $N^{2n-1}$ почти эрмитова многообразия $M^{2n}$ называется $\eta$-квазиомбилической, если вторая квадратичная форма погружения $N^{2n-1}$ в $M^{2n}$ устроена таким образом [1]:
$$
\begin{equation}
\sigma(X,Y)=\lambda \langle X,Y\rangle+h\eta(X)\eta(Y),
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $\lambda$ – $\mathrm{const}$. Очевидно, что если $h=0$, то $\sigma (X,Y)=\lambda \langle {X,Y} \rangle$; в этом случае $N^{2n-1}$ будет вполне омбилической гиперповерхностью многообразия $M^{2n}$. Если же $h=0$ и при этом $\lambda=0$ , то $\sigma (X,Y)=0$; в этом случае гиперповерхность $N^{2n-1}$ будет вполне геодезической. Напомним, что почти эрмитово многообразие $M^{2n}$ удовлетворяет аксиоме квазисасакиевых гиперповерхностей, если через каждую точку этого многообразия проходит квазисасакиева гиперповерхность. Аналогично, почти эрмитово многообразие $M^{2n}$ удовлетворяет аксиоме $\eta$-квазиомбилических квазисасакиевых гиперповерхностей, если через каждую точку этого многообразия проходит $\eta$-квазиомбилическая квазисасакиева гиперповерхность. Такую терминологию более 40 лет назад ввел в рассмотрение Кириченко; по-видимому, впервые она встречается в [9]. 3. Доказательство теоремы 1Мы рассматриваем ориентируемую гиперповерхность $N^{2n-1}$ квазикелерова многообразия $M^{2n}$. Первая группа записанных в $\mathrm A$-репере структурных уравнений Картана квазикелеровой структуры выглядит так [10]:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, d\omega^a=\omega_b^a \wedge \omega^b+B^{abc}\omega_b \wedge \omega_c, \\ d\omega_a=- \omega_a^b \wedge \omega_b+B_{abc}\omega^b \wedge \omega^c, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
B^{abc}=\frac{i}{2}J_{[\widehat b,\widehat c]}^a, \qquad B_{abc}=- \frac{i}{2}J_{[b,c]}^{\widehat a}.
\end{equation*}
\notag
$$
Системы функций $\{B^{abc}\}$ и $\{B_{abc}\}$ служат компонентами тензоров Кириченко квазикелерова многообразия $M^{2n}$ [11]; $\{ J_{k,m}^j\}$ являются компонентами $\nabla J$; здесь и далее $a,b,c=1,\dots,n$; $\widehat a=a+n$. Аналоги тензоров Кириченко содержатся и в диссертации Степановой [1]:
$$
\begin{equation*}
\widetilde B^{abc}=- \frac{i}{2}J_{\widehat b,\widehat c}^a, \qquad \widetilde B_{abc}= \frac{i}{2}J_{b,c}^{\widehat a}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим следующие структурные уравнения Картана почти контактной метрической структуры на ориентируемой гиперповерхности $N^{2n-1}$ квазикелерова многообразия $M^{2n}$ [1], [12]:
$$
\begin{equation}
\begin{split} d\omega^\alpha &=\omega_\beta^\alpha \wedge \omega^\beta+B^{\alpha \beta \gamma}\omega_\beta \wedge \omega_\gamma \\ &\qquad +i\sigma_\beta^\alpha \omega^\beta \wedge \omega+\biggl(-\sqrt 2 \widetilde B^{n\alpha \beta}-\frac{1}{\sqrt 2}\widetilde B^{\alpha \beta n}+i\sigma^{\alpha \beta}\biggr) \omega_\beta \wedge \omega, \\ d\omega_\alpha &=-\omega_\alpha^\beta \wedge \omega_\beta+B_{\alpha \beta \gamma}\omega^\beta \wedge \omega^\gamma \\ &\qquad- i\sigma_\alpha^\beta \omega_\beta \wedge \omega+\biggl(-\sqrt 2 \widetilde B_{n\alpha \beta}-\frac{1}{\sqrt 2}\widetilde B_{\alpha \beta n}- i\sigma_{a\beta}\biggr)\omega^\beta \wedge \omega, \\ d\omega &=\sqrt 2 B_{n\alpha \beta}\omega^\alpha \wedge \omega^\beta+\sqrt 2 B^{n\alpha \beta}\omega_\alpha \wedge \omega_\beta \\ &\qquad -2i\sigma_\beta^\alpha \omega^\beta \wedge \omega_\alpha +(\widetilde B_{n\beta n}+i\sigma_{n\beta})\omega \wedge \omega^\beta +(\widetilde B^{n\beta n}-i\sigma_n^\beta)\omega \wedge \omega_\beta. \end{split}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Через $\sigma$ обозначена вторая квадратичная форма погружения гиперповерхности $N^{2n-1}$ в многообразие $M^{2n}$; $\{ \omega^\alpha\}$, $\{ \omega_\alpha\}$ – компоненты форм смещения ($\omega^n=\omega $), $\{ \omega_j^k\} $ – компоненты форм римановой связности; здесь и далее $\alpha,\beta,\gamma=1,\dots,n-1$. Сопоставляя (3.1) с первой группой структурных уравнений Картана квазисасакиевой структуры [1], [2]
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, d\omega^\alpha=\omega_\beta^\alpha \wedge \omega^\beta+B_\beta^\alpha \omega \wedge \omega^\beta, \\ d\omega_\alpha=- \omega_\alpha^\beta \wedge \omega_\beta-B_\alpha^\beta \omega \wedge \omega_\beta, \\ d\omega=2B_\beta^\alpha \omega^\beta \wedge \omega_\alpha, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
мы получаем условия, необходимые и достаточные для того, чтобы почти контактная метрическая структура на гиперповерхности $N^{2n-1}$ была квазисасакиевой:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, 1)\ B^{\alpha \beta \gamma}=0, \qquad 2)\ \sigma_\beta^\alpha=iB_\beta^\alpha, \qquad 3)\ B^{n\alpha \beta}=0, \\ 4)\ -\sqrt 2\widetilde B^{n\alpha \beta}-\frac{1}{\sqrt 2}\widetilde B^{\alpha \beta n}+i\sigma^{\alpha \beta}=0, \qquad 5)\ \widetilde B^{n\beta n}-i\sigma_n^\beta=0 \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
и формулы, получаемые комплексным сопряжением приведенных (мы их не выписываем). Из (3.3) (см. 3)) получаем
$$
\begin{equation*}
B^{n\alpha \beta}=0 \quad\Longrightarrow\quad \widetilde B^{n[\alpha \beta]}=0 \quad\Longrightarrow\quad \widetilde B^{n\alpha \beta}=\widetilde B^{n\beta\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
С помощью альтернирования (3.3) (см. 4)) находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0 &=\sigma^{[\alpha \beta ]}=- i\sqrt 2 \widetilde B^{n[\alpha \beta ]} -\frac{i}{\sqrt 2}\widetilde B^{[\alpha \beta ]n} \\ &=-\frac{i}{2}\biggl(\sqrt{2}\widetilde B^{n\alpha\beta}-\sqrt{2}\widetilde B^{n\beta\alpha}+\frac{1}{\sqrt{2}}\widetilde B^{\alpha\beta n} - \frac{1}{\sqrt{2}}\widetilde B^{\beta\alpha n}\biggr) =-i\sqrt{2} \widetilde B^{\alpha\beta n}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Получив $\widetilde B^{\alpha\beta n}=0$, мы приходим к тому, что $\sigma^{\alpha \beta}=- i\sqrt 2 \widetilde B^{n\alpha \beta}$. Соотношения (3.3) принимают такой вид:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, 1)\ B^{\alpha \beta \gamma}=0, \qquad 2)\ B^{n \alpha\beta}=0, \qquad 3)\ \widetilde B^{\alpha\beta n}=0, \qquad 4)\ \sigma_\beta^\alpha=iB_\beta^\alpha, \\ 5)\ \sigma^{\alpha \beta}=- i\sqrt 2 \widetilde B^{n\alpha \beta}, \qquad 6)\ \sigma_n^\beta =- i\widetilde B^{n\beta n}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Пусть теперь $N^{2n-1}$ является ориентируемой $\eta$-квазиомбилической гиперповерхностью квазикелерова многообразия $M^{2n}$. Тогда, принимая во внимание (2.1), получаем
$$
\begin{equation}
1)\ \sigma^{\alpha \beta}=0, \qquad 2)\ \sigma^{\beta}_n=0, \qquad 3)\ \sigma^{\alpha}_{\beta}=\lambda\delta^{\alpha}_{\beta}, \qquad 4)\ \sigma_{nn}=h.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Учитывая (3.5), мы можем записать (3.4) следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, 1)\ B^{\alpha \beta \gamma}=0, \qquad2)\ B^{n \alpha\beta}=0, \qquad3)\ \widetilde B^{\alpha\beta n}=0, \qquad4)\ \widetilde B^{n\alpha\beta}=0, \\ 5)\ \widetilde B^{n\beta n}=0, \qquad 6)\ B^{\alpha}_{\beta}=-i\lambda \delta^{\alpha}_{\beta}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Отсюда можно установить:
$$
\begin{equation*}
0=\widetilde B^{n\alpha \beta}=- B^{n\alpha \beta}-B^{\alpha \beta n} +B^{\beta n\alpha}=B^{\beta n\alpha}-B^{\alpha \beta n}=- 2B^{\alpha \beta n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $B^{\alpha \beta n}=0$. Более того,
$$
\begin{equation*}
0=\widetilde B^{n\beta n}=B^{n\beta n}+B^{\beta nn}-B^{nn\beta}=- 2B^{nn\beta}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $B^{nn\beta}=0$. Окончательно получаем, что Теперь зафиксируем точку $p\in {M^{2n}}$ . Если $\eta$-квазиомбилическая квазисасакиева гиперповерхность $N^{2n-1}$ проходит через точку $p$, то в этой точке выполняется условие (3.7). Это условие является известным критерием келеровости [10] в терминах тензоров Кириченко для произвольного квазикелерова многообразия. Отсюда вытекает, что если $\eta$-квазиомбилическая квазисасакиева гиперповерхность проходит через каждую точку квазисасакиева многообразия $M^{2n}$, то условие $B^{abc}=0$ выполняется в каждой точке этого многообразия. Следовательно, многообразие является келеровым. 4. Дополнительный результатС учетом соотношений (3.6) мы можем записать структурные уравнения (3.2) Картана квазисасакиевой структуры на ориентируемой квазисасакиевой $\eta$-квазиомбилической гиперповерхности $N^{2n-1}$ квазикелерова многообразия $M^{2n}$ в таком виде:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, d\omega^\alpha=\omega_\beta^\alpha \wedge \omega^\beta-i\lambda \delta_\beta^\alpha \omega \wedge \omega^\beta, \\ d\omega_\alpha=- \omega_\alpha^\beta \wedge \omega_\beta+i\lambda \delta_\alpha^\beta \omega \wedge \omega_\beta, \\ d\omega=- 2i\lambda \omega^\beta \wedge \omega_\alpha. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Уравнения (4.1) являются структурными уравнениями особой почти контактной метрической структуры, которую называют гомотетичной сасакиевой (см. [1], [2], а также [13]). В частном случае, при $\lambda=0$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, d\omega^\alpha=\omega_\beta^\alpha \wedge \omega^\beta, \\ d\omega_\alpha=- \omega_\alpha^\beta \wedge \omega_\beta, \\ d\omega=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
А это – известные структурные уравнения косимплектической структуры – самой простой и наиболее глубоко изученной почти контактной метрической структуры [2]. Многообразия, наделенные такой структурой, локально эквивалентны произведению келерова многообразия на вещественную прямую [14]. Следовательно, доказана Теорема 2. Квазисасакиева структура на ориентируемой $\eta$-квазиомбилической гиперповерхности квазикелерова многообразия является либо косимплектической, либо гомотетичной сасакиевой. Эта теорема является обобщением классических результатов Сасаки и Блэра о почти контактных метрических структурах на вполне омбилических гиперповерхностях комплексного евклидова пространства [5], [7]. Авторы искренне благодарят рецензента за внимательное и доброжелательное отношение к данной заметке и за полезные замечания. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BanBan24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|