| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 5 научных статьях (всего в 5 статьях) К задаче о точечном источнике в неоднородной среде С. Т. Гатауллинa, Т. М. Гатауллинb a МИРЭА — Российский технологический университет, г. Москва b Московский технический университет связи и информатики
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623110524 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеПусть $L(x,\partial/\partial x;k)$ – эллиптический при $\operatorname{Im}k=0$ оператор в $\mathbb R_x^n$ второго порядка, зависящий от комплексного параметра $k$:
$$
\begin{equation}
L\biggl(x,\frac{\partial}{\partial x}\,;k\biggr) =\Delta+k^2+V\biggl(x,\frac{\partial}{\partial x}\,;k\biggr),
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где
$$
\begin{equation*}
V\biggl(x,\frac{\partial}{\partial x}\,;k\biggr) =k^2\,d(x)-ikb(x)+\sum_{j=1}^na_j(x)\,\frac{\partial}{\partial x_j}+q(x)
\end{equation*}
\notag
$$
– дифференциальный оператор первого порядка. Здесь $d(x)$, $b(x)$, $q(x)$, $a_j(x)$, $j=1,2,\dots,n$, – финитные бесконечно дифференцируемые функции;
$$
\begin{equation*}
n^2(x)\overset{\mathrm{def}}{=}1+d(x)\geqslant\varepsilon>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $G(x,y;k)$ – ядро оператора $L^{-1}$ в $L^2(\mathbb R^n)$ при $\operatorname{Im}k>0$ Известно, что функция $G(x,y;k)$ имеет мероморфное продолжение по $k$ на комплексную плоскость с разрезом вдоль отрицательной части мнимой оси (при нечетном $n$ функция $G(x,y;k)$ мероморфна по $k$ на всей комплексной плоскости $C$) [1]. Будем предполагать, что для произвольного $y\in\mathbb R^n$ все траектории системы Гамильтона
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \dfrac{dx}{d\tau}=2p, &x(0)=y, \\ \dfrac{dp}{d\tau}=\nabla d(x), &|p(0)|^2=n^2(y), \end{cases}
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
удовлетворяют условию
$$
\begin{equation}
|x(\tau)|\to\infty\qquad \text{при}\quad\tau\to\infty.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
В лемме 3 работы [2] приведены условия на функцию $d(x)$, при которых (1.3) заведомо выполнено. Введем на сфере начальных импульсов $|p(0)|^2=n^2(y)$ угловые координаты $\theta^\circ=(\theta_1^\circ,\theta_2^\circ,\theta_3^\circ,\dots,\theta_{n-1}^\circ)$ и обозначим через $x(\theta^\circ,\tau)$ и $p(\theta^\circ,\tau)$ семейство решений системы (1.2). Обозначим через $\Gamma(y)$ многообразие, образованное решениями системы (1.2), а через $\Gamma_1(y)$ – часть $\Gamma(y)$, задаваемую областью изменения параметров $\varepsilon<\tau<+\infty$, $\theta^\circ\in U$. Здесь через $U$ обозначена область изменения $\theta^\circ$. Обозначим через $U_y^\varepsilon$ проекцию множества $\Gamma(y)\setminus\Gamma_1(y)$ на гиперплоскость $\mathbb R^n$. В работе [3] методом канонического оператора Маслова [4], [5] с использованием работ Кучеренко [2], [6], [7] построена асимптотика до любого порядка функции $G(x,y;k)$ – фундаментального решения для оператора (1.1) при $|\operatorname{Re}k|\to\infty$ в любой полуплоскости $\operatorname{Im}k\geqslant\mathrm{const}$. Эта асимптотика имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
\widetilde{G_N}(x,y;k)=g_1G_N(x,y;k)+g_2G_N^1(x,y;k).
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Здесь $g_1$ и $g_2$ — разбиение единицы пространства $\mathbb R^n$ по областям $\operatorname{int}(U_y^\varepsilon)$ и $\mathbb R^n\setminus(U_y^{\varepsilon\setminus 2})$; а функции $G_N$ и $G_N^1$ – соответственно сингулярная и регулярная части асимптотики функции $G(x,y;k)$.
2. Изучение сингулярной части асимптотикиВ работе [3] установлено, что функция $G_N(x,y;k)$ имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
G_N(x,y;k)=k^{(n-3)/2}\int_{A(k)}\frac1{t^{n/2}} \exp\biggl(ik\biggl(\frac{s^2}{4t}+t\biggr)\biggr) \sum_{j=0}^N\frac{1}{k^j}\,g_j(x,y,t)\,dt.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Здесь $S(x,y)=\int_y^x\sum_{i=1}^np_i\,dx_i$, где интегрирование ведется вдоль траекторий системы (1.2); контур $A(k)=(0,\infty)$ при $k=i\kappa$, $\kappa>B$. Функции $g_j(x,y,t)$ вычисляются по простым рекуррентным формулам и имеют следующий вид: где
$$
\begin{equation}
B(x,y)=\frac{2}{s}\int_0^\tau b(\tau)\,d\tau;\qquad D(x,y)=-\int_0^\tau(a,\nabla s)\,d\tau,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
а функции – полиномы по $t$; $B=\max_{x,y\in\mathbb R^n}|B(x,y)|$. Функции $f_k^j(x,y)$ определяются по следующим рекуррентным формулам:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f_0^\circ(x,y) =\frac{-i^{(n-2)/2}[n(y)]^{2(n-1)}}{2^n\pi^{n/2}}\,, \qquad f_1^\circ(x,y) =f_2^\circ(x,y)=0, \\ f_{j+1}^{j+1}(x,y) =2i\int_0^\tau\frac{1}{s}[\Delta+\langle R_{10},\nabla\rangle+R_{00}] f_j^j(t) \exp\biggl(-\int_t^\tau\frac{2(j+1)n^2}{s}(z)\,dz\biggr)\,dt, \\ \begin{split} f_{j+2}^{j+1}(x,y) &=2i\int_0^\tau\frac{1}{s}\bigl\{[\Delta+\langle R_{01},\nabla\rangle+R_{00}]f_{j+1}^j +[\langle R_{11},\nabla \rangle+R_{01}]f_j^j\bigr\}(t) \\ &\qquad\qquad{}\times \exp\biggl(-\int_t^\tau\frac{2(j+2)n^2}{s}(z)\,dz\biggr)\,dt, \end{split} \\ \begin{split} &f_{j+l+1}^{j+1}(x,y) =2i\int_0^\tau\frac{1}{s}\bigl\{[\Delta+\langle R_{10},\nabla\rangle+R_{00}]f_{j+l}^j +[\langle R_{11},\nabla\rangle +R_{01}]f_{j+l-1}^j \\ &\qquad+R_{02}f_{j+l-2}^j\bigr\}(t)\exp \biggl(-\int_t^\tau\frac{2(j+l+1)n^2}{s}(z)\,dz\biggr)\,dt,\qquad 2j\geqslant l\geqslant 2, \end{split} \\ \begin{split} f_{3j+2}^{j+1}(x,y) &=2i\int_0^\tau\frac{1}{s}\bigl\{[\langle R_{11},\nabla\rangle+R_{01}]f_{3j}^j +R_{02}f_{3j-1}^j\bigr\}(t) \\ &\qquad\qquad{}\times \exp\biggl(-\int_t^\tau\frac{2(3j+2)n^2}{s}(z)\,dz\biggr)\,dt, \end{split} \\ f_{3j+3}^{j+1}(x,y) =2i\int_0^\tau\frac{1}{s}\,R_{02}f_{3j}^j (t) \exp\biggl(-\int_t^\tau\frac{2(3j+3)n^2}{s}(z)\,dz\biggr)\,dt. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, R_{10} =a(x)+2\nabla_xD(x,y), \qquad R_{11} =2\nabla_xB(x,y), \\ R_{00} =\Delta_x D(x,y)+|\nabla_xD(x,y)|^2 +\langle a,\nabla_xD(x,y)\rangle+q(x), \\ R_{10} =\Delta_xB(x,y)+2\langle\nabla_xB(x,y),\nabla_xD(x,y)\rangle +\langle a(x),\nabla_xB(x,y)\rangle, \\ R_{02} =|\nabla_xB(x,y)|^2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Интегрирование в этих формулах ведется вдоль траекторий системы (1.2). При $x\in U_y^\varepsilon$ в области $D(k)=\{k\in C\colon\arg k\ne-\pi/2,\,|k|>B\}$ функция $G_N(x,y;k)$ удовлетворяет уравнению где
$$
\begin{equation*}
T^N(x,y,k)=k^{(n-3)/2}\int_{A(k)}\frac1{t^{n/2}} \exp\biggl(ik\biggl(\frac{s^2}{4t}+t\biggr)\biggr) [\Delta+q+\langle a,\nabla\rangle]g_N(x,y,t)\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Свойства функций $G_N(x,y,k)$, $T_N(x,y,k)$ и $\widetilde{G_N}(x,y,k)$ подробно изучены в работе [3]. Воспользуемся теперь следующей формулой [8]:
$$
\begin{equation*}
\int_0^\infty x^{\vartheta-1} \exp\biggl[\frac{i\mu}{2}\biggl(x+\frac{\beta^2}{x}\biggr)\biggr]\,dx =i\pi\beta^\vartheta \exp\biggl(\frac{i\vartheta\pi}2\biggr)H_{-\vartheta}^1(\beta,\mu).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Im}\mu>0,\qquad \operatorname{Im}(\beta^2\mu)>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда при
$$
\begin{equation*}
\mu=2k\biggl[1+\frac{B(x,y)}{ik}\biggr],\qquad \beta=\frac{s}{2}\,\frac{1}{\sqrt{1+B(x,y)/(ik)}},\qquad \vartheta=-\biggl(\frac{n-2}{2}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_0^\infty\frac1{t^{n/2}} \exp\biggl(ik\biggl(\frac{s^2}{4t}+t\biggr)+B(x,y)t\biggr)\,dt \\ &\qquad =i\pi\frac{2^{(n-2)/2}}{s^{(n-2)/2}}\, \exp\biggl(-i\frac{\pi}2\,\frac{n-2}2\biggr) H_{(n-2)/2}^1\biggl(ks\sqrt{1+\frac{B(x,y)}{ik}}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\operatorname{Im}k[1+B(x,y)/(ik)]>0$, $\operatorname{Im}s^2k>0$. Далее, в силу формул (2.2) и (2.3) для сингулярной части асимптотики фундаментального решения $G_N(x,y;k)$ при $k=i\kappa$, $\kappa>B$, получаем следующий результат о ее представлении в виде ряда по функциям Ханкеля первого рода:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, G_N(x,y;k) &=k^{(n-3)/2}\int_{A(k)}\frac1{t^{n/2}} \exp\biggl(ik\biggl(\frac{s^2}{4t}+t\biggr)\biggr) \sum_{j=0}^N\frac{1}{k^j}\,g_j(x,y,t)\,dt \\ &=k^{(n-3)/2}\int_{A(k)} \exp\biggl(ik\biggl(\frac{s^2}{4t}+t\biggr)\biggr) e^{B(x,y)t+D(x,y)}\sum_{j=0}^N\frac{1}{k^j}\sum_{p=j}^{3j}t^pf_p^j(x,y)\,dt \\ &=i\pi k^{(n-3)/2}e^{D(x,y)}\sum_{j=0}^N\frac{1}{k^j} \biggl\{\sum_{p=j}^{3j}f_p^j(x,y)\frac{2^{(n-2p-2)/2}}{s^{(n-2p-2)/2}} e^{-i(\pi/4)(n-2p-2)} \\ &\qquad{}\times H_{(n-2p-2)/2}^1 \biggl(ks\sqrt{1+\frac{B(x,y)}{ik}}\biggr)\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичные ряды в случае $b(x)=a_j(x)=q(x)=0$, $j=1,2,\dots,n$, другим методом получены в работах [9], [10]. В работе [11] развит общий метод построения квазиклассических асимптотических решений неоднородных дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений с локализованными правыми частями. Предложенный подход реализует идею Кучеренко–Маслова, связанную с вспомогательной задачей Коши, и служит основой аналитико-численного алгоритма построения эффективных асимптотических решений задач, возникающих в различных областях физики и механики сплошных сред. Отметим, что ранее авторы работы в статье [12] рассматривали эту задачу, используя подход Мельроуза и Ульмана [13]. Проведенный ими дальнейший анализ показал, что идея Кучеренко–Маслова охватывает более широкий круг задач и более перспективна с точки зрения получения вычислительно эффективных асимптотических формул. Кроме того, коротковолновая или квазиклассическая асимптотика фундаментального решения для оператора (1.1) может быть полезна, например, в акустических задачах при описании высокочастотных волновых полей и при решении уравнений квантовой механики, а также для изучения некоторых обратных задач тепломассообмена [14], [15]. Авторы заметки в дальнейшем предполагают асимптотическими методами Маслова, используя результаты Кучеренко, продолжить исследование и криптографических задач. На сегодня уже имеется ряд работ по применению идемпотентной математики Маслова в криптографии (см., например, работу 2023 г. [16]). Авторы благодарны С. Ю. Доброхотову за полезные обсуждения. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GatGat23} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|