| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Неравенства типа Джексона–Стечкина между наилучшими полиномиальными приближениями и обобщенными модулями непрерывности в весовом пространстве Бергмана М. Р. Лангаршоев Академия гражданской защиты МЧС России, г. Химки, Московская обл.
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624090086 
Реферативные базы данных:
 1. Введение и постановка задачиВ теории аппроксимации одной из центральных экстремальных задач является задача вычисления точных констант в неравенствах типа Джексона–Стечкина. Известно, что [1]–[3] под неравенством типа Джексона–Стечкина понимают неравенство, в котором величина наилучшего приближения функции конечномерным подпространством оценивается сверху через некоторую характеристику гладкости самой функции или ее некоторой производной. Первые точные константы в неравенстве Джексона в пространстве $C[0,2\pi]$ были получены Корнейчуком [4], а в пространстве $L_{2}[0,2\pi]$ Черных [5]. В пространстве Харди первые результаты связанные с вычислением точных значений верхних граней наилучшего приближения и вычисления точных значений $n$-поперечников классов комплексных аналитических в круге функций принадлежат Бабенко [6], Тихомирову [7] и Тайкову [8]. В обычном и весовом пространстве Бергмана $\mathscr{B}_{2,\gamma}$ указанные вопросы были изучены в работах Вакарчука [9], Шабозова и Шабозова [10]. В дальнейшем задачами вычисления точных констант типа Джексона–Стечкина как в действительной так и в комплексных областях занимались и другие математики (см., например, [11]–[23] и литературу приведенную в них). В настоящей работе мы продолжим и развиваем указанную тематику в весовом пространстве Бергмана. Пусть $\mathbb{N}$ – множество натуральных чисел, $\mathbb{Z}_{+}:=\mathbb{N}\cup 0$, $\mathbb{R}_{+}=(0,+\infty)$. Известно, что аналитическая в единичном круге функция
$$
\begin{equation*}
f(z)=\sum _{k=0}^{\infty}c_{k}z^{k}, \qquad z=\rho e^{it}, \quad 0\leqslant\rho<1,
\end{equation*}
\notag
$$
принадлежит весовому пространству Бергмана $\mathscr{B}_{2,\gamma}$ [10], если
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{2,\gamma}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\|f\|_{\mathscr{B}_{2,\gamma}} =\biggl(\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi}\rho\gamma(\rho)|f(\rho e^{it})|^{2}\,d\rho \,dt\biggr)^{1/2}<\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma(\rho)$ – неотрицательная суммируемая неэквивалентная нулю на $[0,1]$ функция, а интеграл понимается в смысле Лебега. Всюду, далее совокупность алгебраических комплексных полиномов степени $\leqslant n$, обозначим
$$
\begin{equation*}
\mathscr{P}_n=\biggl\{p_{n}(z)\colon p_{n}(z)=\sum_{k=0}^{n}a_{k}z^{k},\, a_{k}\in\mathbb{C}\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
а символом
$$
\begin{equation}
E_{n-1}(f)_{2,\gamma}=\inf\bigl\{\|f-p_{n}\|_{2,\gamma}\colon p_{n}\in\mathscr{P}_{n}\bigr\}
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
обозначим величину наилучшего приближения функции $f\in \mathscr{B}_{2,\gamma}$ множеством $\mathscr{P}_{n}$. Среди произвольных полиномов $p_{n-1}{\in}\mathscr{P}_{n-1}$ наименьшее значение величины (1.1) в пространстве $\mathscr{B}_{2,\gamma}$ доставляет частная сумма Тейлора $T_{n-1}(f,z)=\sum_{k=0}^{n-1}c_{k}z^{k}$ – разложение $f(z)$ в круге $|z|<1$. При этом
$$
\begin{equation}
E_{n-1}(f)_{2,\gamma}=\biggl\{\sum_{k=n}^{\infty}|c_{k}(f)|^{2} \int_{0}^{1}\rho^{2k+1}\gamma(\rho)\,d\rho\biggr\}^{1/2}.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Равенством
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \omega_{m}(f,t)_{2,\gamma} &:=\sup\bigl\{\|\Delta_{h}^{m}(f,\cdot,\cdot)\|_{2,\gamma}\colon |h|\leqslant t\bigr\} \\ &=\sup\biggl\{\biggl(\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}\rho\gamma(\rho)|\Delta_{h}^{m}(f;\rho,u)|^{2} \,d\rho\,du\biggr)^{1/2}\colon |h|\leqslant t\biggr\}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Delta_{h}^{m}(f;\rho, u)=\sum_{0}^{m}(-1)^{k} C_{m}^{k}f(\rho e^{i(u+kh)})
\end{equation*}
\notag
$$
– разность $m$-го порядка функции $f(\rho e^{it})$ по аргументу $t$ с шагом $h$, определим модуль непрерывности $m$-го порядка в пространстве $\mathscr{B}_{2,\gamma}$. При решении ряда задач полиномиальной аппроксимации функций как в действительной так и в комплексной области, часто используют различные модификации модулей непрерывности (1.3) порядка $m$, $m\in\mathbb{N}$. Например, иногда удобно использовать следующую усредненную характеристику гладкости [24]
$$
\begin{equation}
\bigl|\Delta_{m}(f;\rho,\tau, u)\bigr|^{2} =\frac{1}{\tau ^{m}} \int_{0}^{\tau}\dotsi \int_{0}^{\tau}\|\Delta_{\overline{h}}^{m}f(\rho e^{iu}) \|^{2}\,dh_{1}\dotsb dh_{m},
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \overline{h}=(h_{1},h_{2},\dots, h_{m}), \qquad \Delta_{\overline{h}}^{m}:= \Delta_{h_{1}}^{1}\circ\dots \circ\Delta_{h_{m}}^{1}, \\ \Delta_{\overline{h}_{j}}^{1}f(\rho e^{iu})= f(\rho e^{i(u+h_{j})})-f(\rho e^{iu}), \qquad j=1,\dots, m. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В работе [25] доказано выполнение отношения слабой эквивалентности Используя соотношение (1.4), согласно определению (1.3) полагаем
$$
\begin{equation}
\Omega_{m}(f,t)_{2,\gamma}=\sup\biggl\{\biggl(\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi}\rho \gamma(\rho)|\Delta_{m}(f; \rho, \tau, u)|^{2}\,d\rho \,d\tau \biggr)^{1/2}\colon |u|\leqslant t\biggr\}.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Для целых неотрицательных $r$ производную $r$ -го порядка функции $f(z)$ определим равенством
$$
\begin{equation*}
f^{(r)}(z)=\frac{d^{r}f}{dz^{r}}= \sum_{k=r}^{\infty}\alpha_{k,r}c_{k}z^{k-r}, \qquad \alpha_{k,r}=k!\,[(k-r)!]^{-1}, \quad k\geqslant r.
\end{equation*}
\notag
$$
Через $\mathfrak{B}_{2,\gamma}^{(r)}$ обозначим множество функций $f(z)\,{\in}\,\mathscr{B}_{2,\gamma}$, у которых $\|z^{r}f^{(r)}\|_{2,\gamma}\,{<}\,\infty$. Также полагаем
$$
\begin{equation*}
\mathscr{E}_{n-1}(\mathfrak{M})_{2,\gamma}:=\sup\bigl\{E_{n-1}(f)_{2,\gamma}\colon f\in\mathfrak{M}\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathfrak{M}$ – выпуклое центрально симметричное подмножество из $\mathscr{B}_{2,\gamma}$.
2. Неравенство типа Джексона–Стечкина в пространстве $\mathscr{B}_{2,\gamma}$Среди актуальных задач теории полиномиальных аппроксимаций аналитических в единичном круге функций в весовом пространстве Бергмана $\mathscr{B}_{2,\gamma}$, наиболее важной является экстремальная задача отыскания точных констант в неравенствах типа Джексона–Стечкина
$$
\begin{equation*}
E_{n-1}(f)_{2,\gamma}\leqslant\mathscr{K}\alpha_{n,r}^{-1}U_{m} \biggl(z^{r}f^{(r)},\frac tn\biggr)_{2,\gamma}, \qquad t>0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathscr{K}$ – наилучшая константа, зависящая от параметров $m,n,r$ и $t$, а $U_{m}$ – некоторая характеристика гладкости функции $f\in\mathscr{B}_{2,\gamma}$, например, $\omega_{m}$ или $\Omega_{m}$. 2.1.Для любого $m,n\in\mathbb{N}$, $r\in\mathbb{Z}_{+}$ и $h>0$ рассмотрим следующую аппроксимационную характеристику:
$$
\begin{equation}
\mathscr{K}_{m,n,r}(h) =\sup_{f\in\mathfrak{B}_{2,\gamma}^{(r)}} \frac{E_{n-1}(f)_{2,\gamma}}{\displaystyle\biggl[\Omega_{m}^{2/m}(z^{r}f^{(r)},h)_{2,\gamma} +\frac{n^{2}}{h}\int_{0}^{h}u(h-u)\Omega_{m}^{2/m} (z^{r}f^{(r)},u)_{2,\gamma}\,du\biggr]^{m/2}}.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Аппроксимационная характеристика (2.1), содержит обобщенный модуль непрерывности не только под знаком интеграла, но и вне интеграла. Теорема 1. Для произвольного $m,n\in\mathbb{N}$, $r\in\mathbb{Z}_{+}$, $n>r$ и $0<h\leqslant\pi/n$, имеет место следующее равенство Доказательство. Нетрудно показать, что если у функции $f(z)\in \mathscr{B}_{2,\gamma}$, ее производная $r$-го порядка $f^{(r)}(z)$ также принадлежит пространству $\mathscr{B}_{2,\gamma}$, то имеет место следующее соотношение
Учитывая соотношения (1.2), (2.3) и неравенство Гёльдера (см. [11]), для любого $k\geqslant n$ будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &E_{n-1}^{2}(f)_{2,\gamma}-\sum_{k=n}^{\infty}|c_{k}|^{2} \frac{\sin{kt}}{kt}\int_{0}^{1}\rho^{2k+1}\gamma(\rho)\,d\rho =\sum_{k=n}^{\infty}|c_{k}|^{2}\int_{0}^{1}\rho^{2k+1}\gamma(\rho)\,d\rho \biggl(1-\frac{\sin{kt}}{kt}\biggr) \\ &\qquad=\sum_{k=n}^{\infty}\biggl\{|c_{k}|^{2} \int_{0}^{1}\rho^{2k+1}\gamma(\rho)\,d\rho\biggr\}^{1-1/m} \biggl\{|c_{k}|^{2}\int_{0}^{1}\rho^{2k+1}\gamma(\rho)\,d\rho\biggr\}^{1/m} \biggl(1-\frac{\sin{kt}}{kt}\biggr) \\ &\qquad\leqslant\sum_{k=n}^{\infty}\biggl\{|c_{k}|^{2}\!\int_{0}^{1} \rho^{2k+1}\gamma(\rho)\,d\rho\biggr\}^{1-1/m} \biggl\{\sum_{k=n}^{\infty}|c_{k}|^{2}\!\int_{0}^{1}\rho^{2k+1}\gamma(\rho)\,d\rho \biggl(1-\frac{\sin{kt}}{kt}\biggr)^{m}\biggr\}^{1/m} \\ &\qquad\leqslant \biggl\{\sum_{k=n}^{\infty} |c_{k}|^{2}\int_{0}^{1}\rho^{2k+1}\gamma(\rho)\,d\rho\biggr\}^{1-1/m} \\ &\qquad\qquad\times \biggl\{\frac{1}{2^m}\cdot 2^{m}\sum_{k=n}^{\infty} \biggl(\frac{\alpha_{k,r}}{\alpha_{n,r}}\biggr)^{2}|c_{k}|^{2} \int_{0}^{1}\rho^{2k+1}\gamma(\rho)\,d\rho \biggl(1-\frac{\sin{kt}}{kt}\biggr)^{m} \biggr\}^{1/m} \\ &\qquad\leqslant E_{n-1}^{2-2/m}{(f)}_{2,\gamma} \frac{1}{2\alpha_{n,r}^{2/m}}\Omega_{m}^{2/m}(z^{r}f^{(r)},t)_{2,\gamma}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, мы получили, что
$$
\begin{equation}
E_{n-1}^{2}(f)_{2,\gamma}- \sum_{k=n}^{\infty}|c_{k}|^{2}\frac{\sin{kt}}{kt}\int_{0}^{1}\rho^{2k+1}\gamma(\rho)\,d\rho \leqslant E_{n-1}^{2-2/m}{(f)}_{2,\gamma}\frac{1}{2\alpha_{n,r}^{2/m}}\Omega_{m}^{2/m} (z^{r}f^{(r)},t)_{2,\gamma}.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Умножая обе части неравенства (2.4) на $t$ и интегрируем ее относительно $t$ в пределах от $0$ до $u$, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \frac{u^{2}}{2}E_{n-1}^{2}(f)_{2,\gamma}-\sum_{k=n}^{\infty}|c_{k}|^{2}\frac{1-\cos ku}{k^{2}}\int_{0}^{1}\rho^{2k+1}\gamma(\rho)\,d\rho \\ &\qquad \leqslant E_{n-1}^{2-2/m}{(f)}_{2,\gamma}\frac{1}{2\alpha_{n,r}^{2/m}} \int_{0}^{u}t\Omega_{m}^{2/m}(z^{r}f^{(r)},t)_{2,\gamma}\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Интегрируя неравенства (2.5) относительно $u$ в пределах от $0$ до $h$, и разделив обе части на $h$, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \frac{h^{2}}{6}E_{n-1}^{2}(f)_{2,\gamma}-\sum_{k=n}^{\infty}|c_{k}|^{2}\frac{kh-\sin kh}{k^{3}h}\int_{0}^{1}\rho^{2k+1}\gamma(\rho)\,d\rho \\ &\qquad \leqslant E_{n-1}^{2-2/m}(f)_{2,\gamma}\cdot\frac{1}{2\alpha_{n,r}^{2/m}h}\int_{0}^{h} \int_{0}^{u}t\Omega_{m}^{2/m}(z^{r}f^{(r)},t)_{2,\gamma}\,dt\,du. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Используя неравенство Гёльдера, преобразуем вычитаемое в левой части неравенства (2.6), и применив формулы (2.3), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{k=n}^{\infty}|c_{k}|^{2}\frac{kh-\sin kh}{k^{3}h}\int_{0}^{1}\rho^{2k+1}\gamma(\rho)\,d\rho \\ &\qquad =\sum_{k=n}^{\infty}\biggl(|c_{k}|^{2}\int_{0}^{1}\!\rho^{2k+1} \gamma(\rho)\,d\rho\biggr)^{1-1/m} \frac{1}{k^{2}}|c_{k}|^{2/m} \biggl(1-\frac{\sin kh}{kh}\biggr) \\ &\qquad\leqslant\biggl(\sum_{k=n}^{\infty}|c_{k}|^{2}\int_{0}^{1}\rho^{2k+1} \gamma(\rho)\,d\rho\biggr)^{1-1/m} \\ &\qquad\qquad\times \biggl(\frac{1}{2^{m}}\cdot 2^{m}\sum_{k=n}^{\infty}\frac{1}{k^{2m}}|c_{k}|^{2} \biggl(\frac{\alpha_{k,r}}{\alpha_{n,r}}\biggr)^{2} \biggl(1-\frac{\sin kh}{kh}\biggr)^{m} \\ &\qquad\leqslant E_{n-1}^{2-2/m}(f)_{2,\gamma}\frac{1}{2n^{2}\alpha_{n,r}^{2/m}} \Omega_{m}^{2/m}(z^{r}f^{(r)},h)_{2,\gamma}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В правой части неравенства (2.6) преобразуем двойной интеграл, применяя при этом метод интегрирования по частям
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{h} \int_{0}^{u}t\Omega_{m}^{2/m}(z^{r}f^{(r)},t)_{2,\gamma}\,dt\,du= \int_{0}^{h}u(h-u)\Omega_{m}^{2/m}(z^{r}f^{(r)},u)_{2,\gamma}\,du.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, соотношение (2.6) принимает следующий вид
$$
\begin{equation}
\frac{h^{2}}{3}E_{n-1}^{2/m}(f)_{2,\gamma} \leqslant\frac{1}{n^{2}\alpha_{n,r}^{2/m}} \biggl(\Omega_{m}^{2/m}(z^{r}f^{(r)},h)_{2,\gamma}+\frac{n^{2}}{h} \int_{0}^{h}u(h-u)\Omega_{m}^{2/m}(z^{r}f^{(r)},u)_{2,\gamma}\,du\biggr).
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Отсюда имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \mathscr{K}_{m,n,r}(h) &=\sup_{f\in\mathfrak{B}_{2,\gamma}^{(r)}} \frac{E_{n-1}(f)_{2,\gamma}} {\displaystyle \biggl[\Omega_{m}^{2/m}(z^{r}f^{(r)},h)_{2,\gamma} +\frac{n^{2}}{h}\int_{0}^{h}u(h-u)\Omega_{m}^{2/m} (z^{r}f^{(r)},u)_{2,\gamma}\,du\biggr]^{m/2}} \\ &\leqslant\frac{3^{m/2}}{\alpha_{n,r}(nh)^{m}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Таким образом, оценка сверху в соотношении (2.1) получена. Чтобы получить оценки снизу в этом соотношении введем в рассмотрение функцию $f_{0}(z)=z^{n}$. Для этой функции непосредственным вычислением находим
$$
\begin{equation}
E_{n-1}^{2}(f_{0})_{2,\gamma}=\int_{0}^{1}\rho^{2n+1}\gamma(\rho)\,d\rho,
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
$$
\begin{equation}
\Omega_{m}(z^{r}f_{0}^{(r)};t)_{2,\gamma}=2^{m/2}\alpha_{n,r}\biggl(1-\frac{ \sin nt}{nt}\biggr)^{m/2}E_{n-1}(f_{0})_{2,\gamma}.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Используя эти равенства, с учетом формулы (2.1), имеем следующую оценку снизу
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathscr{K}_{m,n,r}(h)=\sup_{f\in\mathfrak{B}_{2,\gamma}^{(r)}} \frac{E_{n-1}(f)_{2,\gamma}} {\displaystyle \biggl[\Omega_{m}^{2/m}(z^{r}f^{(r)},h)_{2,\gamma} +\frac{n^{2}}{h}\int_{0}^{h}u(h-u)\Omega_{m}^{2/m}(z^{r}f^{(r)},u)_{2,\gamma}\,du\biggr]^{m/2}} \\ &\quad \notag \geqslant\frac{E_{n-1}(f_{0})_{2,\gamma}} {\displaystyle\biggl[\Omega_{m}^{2/m}(z^{r}f_{0}^{(r)},h) +\frac{n^{2}}{h}\int_{0}^{h}u(h-u)\Omega_{m}^{2/m}(z^{r}f_{0}^{(r)},u)\,du\biggr]^{m/2}} \\ &\quad \notag =\frac{\displaystyle\biggl(\int_{0}^{1}\rho^{2n+1}\gamma(\rho)\,d\rho\biggr)^{1/2}} {\displaystyle\biggl\{2\alpha_{n,r}^{2/m} \biggl(\int_{0}^{1}\!\!\rho^{2n+1}\gamma(\rho)\,d\rho\biggr)^{1/m} \biggl[1\,{-}\,\frac{\sin nh}{nh}+\frac{n^{2}}{h}\!\int_{0}^{h}\!\!(h\,{-}\,u) \biggl(u\,{-}\,\frac{1}{n}\sin nu\biggr)du\biggr]\biggr\}^{m/2}} \\ &\quad =\frac{3^{m/2}}{\alpha_{n,r}(nh)^{m}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Равенство (2.2) получается сопоставлением соотношения (2.8) и (2.11), чем и завершаем доказательство теоремы 1. Доказательство. На основании неравенства (2.7) для любого $f\in \mathfrak{B}_{2,\gamma}^{(r)}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{h^{2}}{3}E_{n-1}^{2/m}(f)_{2,\gamma}\leqslant\frac{1}{n^{2}\alpha_{n,r}^{2/m}} \Omega_{m}^{2/m}(z^{r}f^{(r)},h)_{2,\gamma} \biggl(1+\frac{n^{2}h^{2}}{6}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем оценки сверху
$$
\begin{equation}
\sup_{f\in\mathfrak{B}_{2,\gamma}^{(r)}} \frac{E_{n-1}(f)_{2,\gamma}}{\Omega_{m}(z^{r}f^{(r)},h)_{2,\gamma}} \leqslant\frac{1}{\alpha_{n,r}} \biggl(\frac{1}{2}+\frac{3}{(nh)^{2}}\biggr)^{m/2}.
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Для получения оценки снизу рассмотрим функцию $f_{0}(z)=z^{n}$. Для этой функции, как уже выше мы рассмотрели, имеет место равенство (2.10). Из этого равенство для любого $0<h\leqslant\pi/n$ имеем
$$
\begin{equation}
\sup_{f\in\mathfrak{B}_{2,\gamma}^{(r)}} \frac{E_{n-1}(f)_{2,\gamma}}{\Omega_{m}(z^{r}f^{(r)},h)_{2,\gamma}} \geqslant\frac{1}{2^{m/2}\alpha_{n,r}}.
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Сравнивая соотношения (2.13) и (2.14), получаем двойное неравенство (2.12). При $h=\pi/n$ из соотношения (2.12) вытекает следующая оценка:
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{2^{m}\alpha_{n,r}}\leqslant\sup_{f\in\mathfrak{B}_{2,\gamma}^{(r)}} \frac{E_{n-1}(f)_{2,\gamma}}{\Omega_{m}(z^{r}f^{(r)},\pi/n)_{2,\gamma}} \leqslant\frac{1}{\alpha_{n,r}}\biggl(\frac{\pi^{2}+6}{2\pi^{2}}\biggr)^{m/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
2.2.Рассмотрим теперь следующую общую экстремальную аппроксимационную характеристику:
$$
\begin{equation}
\mathfrak{L}_{m,n,r,p}(\varphi,u)=\sup_{f\in\mathfrak{B}_{2,\gamma}^{(r)}} \frac{E_{n-1}(f)_{2,\gamma}} {\displaystyle\biggl\{\int_{0}^{u}\Omega_{m}^{p}(z^{r}f^{(r)},t)_{2,\gamma}\varphi(t)\,dt\biggr\}^{1/p}}.
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
Имеет место следующая Теорема 2. Пусть $m,n\in\mathbb{N}$, $r\in\mathbb{Z}_{+}$, $n>r$, $0<h\leqslant\pi/n$, $\varphi(t)$ – весовая на $(0,h)$ функция. Тогда для любого $0<p\leqslant\infty$ справедливо равенство Доказательство. В силу соотношения
$$
\begin{equation*}
\max_{nt\leqslant u}\frac{|\sin u|}{u}=\frac{\sin nt}{nt},
\end{equation*}
\notag
$$
где $0<nt\leqslant\pi/2$, из неравенства (2.3) получим
$$
\begin{equation}
\Omega_{m}^{2}(z^{r}f^{(r)},t)_{2,\gamma} \geqslant2^{m}\alpha_{n,r}^{2}\biggl(1-\frac{\sin nt}{nt}\biggr)^{m}E_{n-1}^{2}(f)_{2,\gamma}.
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
В соотношение (2.15) для параметра $p$, удовлетворяющего условию $0<p\leqslant\infty$, функционал $\|\Omega_{m}\varphi^{1/p}\|_{p}$ определен соотношением
$$
\begin{equation*}
\|\Omega_{m}\varphi^{1/p}\|_{p}= \begin{cases} \displaystyle \biggl\{\int_{0}^{u}\Omega_{m}^{p}(z^{r}f^{(r)},t)_{2,\gamma}\varphi(t)\,dt\biggr\}^{1/p}, &0<p<\infty, \\ \max\bigl\{\Omega_{m}(z^{r}f^{(r)},t)_{2,\gamma},\, t\in(0,h]\bigr\}, &p=\infty, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
и оно лишь при $1\leqslant p\leqslant\infty$ является нормой. Возведем обе части неравенства (2.17) в степень $p/2$, $0<p\leqslant\infty$, и полученное соотношение умножим на $\varphi(t)$, а затем проинтегрируем от $0$ до $u$, получим
$$
\begin{equation}
\int_{0}^{u}\Omega_{m}^{p}(z^{r}f^{(r)},t)_{2,\gamma}\varphi(t)\,dt\geqslant 2^{mp/2}\alpha_{n,r}^{p}\int_{0}^{u} \biggl(1-\frac{\sin nt}{nt}\biggr)^{mp/2}\varphi(t)\,dt E_{n-1}^{p}(f)_{2,\gamma}.
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Поскольку неравенство (2.18) верно для любой функции $f\in\mathfrak{B}_{2,\gamma}^{(r)}$, то из него следует оценка сверху для величины лежащей в левой части (2.16)
$$
\begin{equation}
\mathfrak{L}_{m,n,r,p}(\varphi,u)\leqslant\frac{1} {\displaystyle2^{m/2}\alpha_{n,r} \biggl\{\int_{0}^{u}\biggl(1-\frac{\sin nt}{nt}\biggr)^{mp/2}\varphi(t)\,dt\biggr\}^{1/p}}.
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Для получения оценки снизу рассмотрим функцию $f_{0}(z)=z^{n}$, принадлежащую классу $\mathfrak{B}_{2,\gamma}^{(r)}$. Используя формулы (2.9) и (2.10), с учетом (2.15), имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \mathfrak{L}_{m,n,r,p}(\varphi,u) &\geqslant\frac{E_{n-1}(f_{0})_{2,\gamma}} {\displaystyle\biggl\{\int_{0}^{u}\Omega_{m}^{p}(z^{r}f_{0}^{(r)},t)_{2,\gamma}\varphi(t)\,dt\biggr\}^{1/p}} \\ &=\frac{1}{\displaystyle2^{m/2}\alpha_{n,r}\biggl\{\int_{0}^{u} \biggl(1-\frac{\sin nt}{nt}\biggr)^{mp/2}\varphi(t)\,dt\biggr\}^{1/p}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
Сопоставим оценки сверху (2.19) и снизу (2.20), получим требуемое равенство (2.16). Из теоремы 2 непосредственно вытекают следующие следствия: Следствие 2. Пусть $m,n\in\mathbb{N}$, $r\in\mathbb{Z}_{+}$, $n>r$, $0<u\leqslant\pi/n$, $p=2/m$, $\varphi(t)=t$. Тогда имеет место равенство Следствие 3. Пусть $m=1$, $n\in\mathbb{N}$, $r\in\mathbb{Z}_{+}$, $n>r$, $0<h\leqslant\pi/n$, $p=2$, $\varphi(t)=1$. Тогда имеет место равенство Пусть $\Psi(t)$ – произвольная непрерывная возрастающая при $t\geqslant 0$ функция такая, что $\Psi(0)=0$. Символом $W_{m}^{(r)}(\Psi)$, $m\in\mathbb{N}$, $r\in\mathbb{Z}_{+}$, обозначим класс функций $f\in \mathfrak{B}_{2,\gamma}^{(r)}$, для которого имеет место неравенство
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{(nh)^{2}}\Omega_{m}^{2/m}(z^{r}f^{(r)},h)_{2,\gamma} +\frac{1}{h^{3}}\int_{0}^{h}u(h-u)\Omega_{m}^{2/m}(z^{r}f^{(r)},u)_{2,\gamma}\,du\leqslant\Psi^{2/m}(h).
\end{equation*}
\notag
$$
Требуется при любом $n\in\mathbb{N}$ и $r\in\mathbb{Z}_{+}$ найти точное значение величины
$$
\begin{equation}
\mathscr{E}_{n-1}(W_{m}^{(r)}(\Psi))_{2,\gamma} :=\sup\bigl\{E_{n-1}(f)_{2,\gamma}\colon f\in W_{m}^{(r)}(\Psi)\bigr\}.
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
Теорема 3. Пусть $m,n\in\mathbb{N}$, $r\in\mathbb{Z}_{+}$, $r<n$ и $0<h\leqslant\pi/n$. Тогда имеет место равенство Доказательство. Используя определение класса $W_{m}^{(r)}(\Psi)$ из результата теоремы 2 для величины (2.22) получим оценку сверху
$$
\begin{equation}
\mathscr{E}_{n-1}(W_{m}^{(r)}(\Psi))_{2,\gamma} \leqslant\sup\bigl\{E_{n-1}(f)_{2,\gamma}\colon f\in W_{m}^{(r)}(\Psi)\bigr\} \leqslant\frac{3^{m/2}}{\alpha_{n,r}}\Psi(h).
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
С целью получения оценки снизу введем в рассмотрение функцию
$$
\begin{equation*}
g(z)=\frac{3^{m/2}\Psi(h)}{\alpha_{n,r} \sqrt{\int_{0}^{1}\rho^{2n+1}\gamma(\rho)\,d\rho}}z^{n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем, что $g(z)\in W_{m}^{(r)}(\Psi)$. Так как
$$
\begin{equation*}
z^{r}g^{(r)}(z)=\frac{3^{m/2}\Psi(h)}{\sqrt{\int_{0}^{1}\rho^{2n+1}\gamma(\rho)\,d\rho}}z^{n},
\end{equation*}
\notag
$$
простыми вычислениями из (1.5) получаем
$$
\begin{equation}
\Omega_{m}(z^{r}g^{(r)},u)=6^{m/2}\biggl(1-\frac{\sin nu}{nu}\biggr)^{m/2}\Psi(h).
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
Используя равенства (2.25), приходим к следующему выражению:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\frac{1}{(nh)^{2}}\Omega_{m}^{2/m} (z^{r}g^{(r)}, u)_{2,\gamma}+\frac{1}{h^{3}} \int_{0}^{h}u(h-u)\Omega_{m}^{2/m} (z^{r}g^{(r)}, u)_{2,\gamma}\,du \\ \notag &\qquad =\frac{6}{(nh)^{2}} \biggl(1-\frac{\sin nh}{nh}\biggr)\Psi^{2/m}(h) +\frac{6}{h^{3}}\Psi^{2/m}(h)\int_{0}^{h}u(h-u) \biggl(1-\frac{\sin nu}{nu}\biggr)\,du \\ &\qquad =\frac{6}{(nh)^{2}}\Psi^{2/m}(h) \biggl[1-\frac{\sin nh}{nh}+\frac{n^{2}}{h} \biggl(\frac{h^{3}}{6}-\frac{h}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}}\sin nh\biggr)\biggr] =\Psi^{2/m}(h). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
Равенство (2.26) означает, что $g(z)\in W_{m}^{(r)}(\Psi)$. Поэтому мы имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathscr{E}_{n-1}(W_{m}^{(r)}(\Psi))_{2,\gamma} :=\sup\bigl\{E_{n-1}(f)_{2,\gamma}\colon f\in W_{m}^{(r)}(\Psi)\bigr\} \\ &\qquad \geqslant E_{n-1}(g)_{2,\gamma}=\frac{3^{m/2}\Psi(h)} {\sqrt{\int_{0}^{1}\rho^{2n+1}\gamma(\rho)\,d\rho}}E_{n-1}(z^{n})_{2,\gamma}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
E_{n-1}(z^{n})_{2,\gamma}=\sqrt{\int_{0}^{1}\rho^{2n+1}\gamma(\rho)\,d\rho},
\end{equation*}
\notag
$$
из (2.27) получаем
$$
\begin{equation}
\mathscr{E}_{n-1}(W_{m}^{(r)}(\Psi))_{2,\gamma}\geqslant\frac{3^{m/2}}{\alpha_{n,r}}\Psi(h).
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
Сопоставляя неравенства (2.24) и (2.28), получаем требуемое равенство (2.23). Теорема 3 доказана. 3. Точные значения $n$-поперечников классов функций $W_{m}^{(r)}(\Phi)$ и $W_{m,p}^{(r)}(u,\varphi)$ в пространстве $\mathscr{B}_{2,\gamma}$Прежде чем сформулировать остальные результаты, введем необходимые понятия и определения. Пусть $X$ банахово пространство, $S$ – единичный шар в $X$. $\mathfrak{M}$ – выпуклое центрально-симметричное подмножество из $X$, $\Lambda_{n}\subset X$ – $n$-мерное подпространство, $\Lambda^{n}\subset X$ – подпространство коразмерности $n$, ${\mathcal L}\colon X\to\Lambda_{n}$ – непрерывный линейный оператор, ${\mathcal L}^{\perp}\colon X\to\Lambda_{n}$ – непрерывный оператор линейного проектирования. Величины
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, b_{n}(\mathfrak{M},X) &=\sup\bigl\{\sup\bigl\{\varepsilon>0;\, \varepsilon S\cap\Lambda_{n+1}\subset\mathfrak{M}\bigr\}\colon \Lambda_{n+1}\subset X\bigr\}, \\ d^{n}(\mathfrak{M},X) &=\inf\bigl\{\sup\bigl\{\|f\|_{X}\colon f\in\mathfrak{M}\cap\Lambda^{n} \bigr\}\colon \Lambda^{n}\subset X\bigr\}, \\ d_{n}(\mathfrak{M},X) &=\inf\bigl\{\sup\bigl\{\inf\bigl\{\|f-\varphi\|_{X}\colon \varphi\in\Lambda_{n} \bigr\}\colon f\in\mathfrak{M}\bigr\}\colon \Lambda_{n}\subset X\bigr\}, \\ \lambda_{n}(\mathfrak{M},X) &=\inf\bigl\{\inf\bigl\{\sup\bigl\{\|f-{\mathcal L}f\|_{X}\colon f\in\mathfrak{M}\bigr\}\colon \mathcal L X\subset\Lambda_{n}\bigr\}\colon \Lambda_{n}\subset X\bigr\}, \\ \pi_{n}(\mathfrak{M},X) &=\inf\bigl\{\inf\bigl\{\sup\bigl\{\|f-{\mathcal L}^{\perp}f\|_{X}\colon f\in\mathfrak{M}\bigr\} \colon {\mathcal L}^{\perp}X\subset\Lambda_{n}\bigr\}\colon \Lambda_{n}\subset X\bigr\} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
называют соответственно бернштейновским, гельфандовским, колмогоровским, линейным и проекционным $n$-поперечниками в пространстве $X$. Поскольку $X=\mathscr{B}_{2,\gamma}$ – гильбертово пространство, то между перечисленными выше $n$-поперечниками выполняются соотношения [26; с. 239]:
$$
\begin{equation}
b_{n}(\mathfrak{M},X)\leqslant d^{n}(\mathfrak{M},X) \leqslant d_{n}(\mathfrak{M},X)=\lambda_{n}(\mathfrak{M},X)=\Pi_{n}(\mathfrak{M},X).
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Пусть $\Phi(t)$ – произвольная непрерывная возрастающая при $t\geqslant 0$ функции такая, что $\Phi(0)=0$. Символом $W_{m}^{(r)}(\Phi)$ и $W_{m}^{(r)}(u,\varphi)$ $m\in\mathbb{N}$, $r\in\mathbb{Z}_{+}$, соответственно обозначим класс функций $f\in \mathfrak{B}_{2,\gamma}^{(r)}$, для которых имеют место неравенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{2}{u^{2}}\int_{0}^{u}t\Omega_{m}^{2/m}(z^{r}f^{(r)},t)_{2,\gamma}\,dt\leqslant\Phi^{2/m}(u), \\ \int_{0}^{u}\Omega_{m}^{p}(z^{r}f^{(r)},t)_{2,\gamma}\varphi(t)\,dt\leqslant 1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Через $\tau_{*}$ обозначим величину аргумента функции $\sin \tau/\tau$, при которой она достигает на полусегменте $[0,\infty)$ своего наименьшего значения. При этом $\tau_{*}$ есть минимальный положительный корень уравнения ${\operatorname{tg}\tau}/{\tau}=1$, $4.49<\tau_{*}<4.51$ (см. [16]). Положим
$$
\begin{equation}
\biggl(1-\frac{\sin \tau}{\tau}\biggr)_{*}:= \begin{cases} 1-\dfrac{\sin\tau}{\tau}, &\text{если } \ 0\leqslant \tau\leqslant \tau_{*}, \\ 1-\dfrac{\sin\tau_{*}}{\tau_{*}}, &\text{если }\ \tau\geqslant\tau_{*}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Эта функция будет играть важную роль при нахождении значения вышеперечисленных поперечников указанных классов функций. Теорема 4. Пусть $m,n\in\mathbb{N}$, $r\in\mathbb{Z}_{+}$, и функция $\Phi$ при любых значениях $u\in\mathbb{R}_{+}$ удовлетворяет ограничению Тогда имеют место следующие равенства: где $\lambda_{n}(\cdot)$ – любой из перечисленных выше $n$-поперечников. Доказательство. Воспользуемся неравенством (2.5). Учитывая, что
$$
\begin{equation*}
\max_{k\geqslant{n}}\frac{1-\cos{ku}}{k^{2}}=\frac{1-\cos{nu}}{n^{2}},
\end{equation*}
\notag
$$
из неравенство (2.5) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\frac{u^{2}}{2}E_{n-1}^{2}(f)_{2,\gamma} -\frac{1-\cos{nu}}{n^{2}}\sum_{k=n}^{\infty}|c_{k}|^{2} \int_{0}^{1}\rho^{2k+1}\gamma(\rho)\,d\rho \\ &\qquad \leqslant E_{n-1}^{2-2/m}{(f)}_{2,\gamma}\frac{1}{2\alpha_{n,r}^{2/m}} \int_{0}^{u}t\Omega_{m}^{2/m} (z^{r}f^{(r)},t)_{2,\gamma}\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Неравенства (3.5) записываем в виде
$$
\begin{equation*}
\frac{E_{n-1}(f)_{2,\gamma}} {\displaystyle\biggl\{\frac{2}{u^{2}}\int_{0}^{u}t\Omega_{m}^{2/m} (z^{r}f^{(r)},t)_{2,\gamma}\,dt\biggr\}^{m/2}} \leqslant\frac{(nu)^{m}}{2^{m/2}\alpha_{n,r}} \biggl\{\frac{1}{(nu)^{2}-4\sin^{2}(nu/2)}\biggr\}^{m/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пологая в этом соотношении $u=\pi/n$, с учетом определения класса $W_{m}^{(r)}(\Phi)$, запишем оценки сверху для проекционного $n$-поперечника
$$
\begin{equation}
\Pi_{n}\bigl(W_{m}^{(r)}(\Phi),\mathscr{B}_{2,\gamma}\bigr)\leqslant \mathscr{E}_{n-1}(W_{m}^{(r)}(\Phi))_{\mathscr{B}_{2,\gamma}} \leqslant \frac{1}{2^{m/2}\alpha_{n,r}}\biggl(\frac{\pi^{2}}{\pi^{2}-4}\biggr)^{m/2} \Phi\biggl(\frac \pi n\biggr).
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Для получения оценки снизу рассмотрим в подпространстве $\mathscr{P}_{n}$ шар
$$
\begin{equation*}
S_{n+1}=\biggl\{p_{n}(z)\in\mathscr{P}_{n}\colon\|p_{n}\|_{2,\gamma}\leqslant \frac{1}{2^{m/2}\alpha_{n,r}}\biggl(\frac{\pi^{2}}{\pi^{2}-4}\biggr)^{m/2}\Phi\biggl(\frac \pi n\biggr)\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и покажем, что $S_{n+1}\in W_{m}^{(r)}(\Phi)$. С этой целью для произвольного $p_{n}\in\mathfrak{B}_{2,\gamma}^{(r)}$ запишем вытекающее из соотношение (1.5) неравенство
$$
\begin{equation}
\Omega_{m}(z^{r}p_{n}^{(r)},t)_{2,\gamma}\leqslant 2^{m/2}\alpha_{n,r}\biggl(1-\frac{\sin nt}{nt}\biggr)_{*}^{m/2}\|p_{n}\|_{2,\gamma}.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
\frac{2}{u^{2}}\int_{0}^{u}t\Omega_{m}^{2/m}(z^{r}p_{n}^{(r)},t)_{2,\gamma}\,dt\leqslant \frac{4}{u^{2}}\alpha_{n,r}^{2/m}\|p_{n}\|^{2/m}\int_{0}^{u}t\biggl(1-\frac{\sin nt}{nt}\biggr)_{*}\,dt\leqslant\Phi^{2/m}(u),
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
откуда следует,что $S_{n+1}\in W_{m}^{(r)}(\Phi)$. Согласно определению бернштейновского $n$-поперечника, соотношения (3.1) и определения класса $W_{m}^{(r)}(\Phi)$, получаем оценки снизу
$$
\begin{equation}
b_{n}(W_{m}^{(r)}(\Phi),\mathscr{B}_{2,\gamma})\geqslant b_{n}(S_{n+1},\mathscr{B}_{2,\gamma})\geqslant \frac{1}{2^{m/2}\alpha_{n,r}}\biggl(\frac{\pi^{2}}{\pi^{2}-4}\biggr)^{m/2} \Phi\biggl(\frac \pi n\biggr).
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Равенство (3.4) получаем из сопоставления оценки сверху (3.6) и оценки снизу (3.9) вышеперечисленных $n$ – поперечников.
Покажем, что функция $\Phi_{0}(u)=u^{m\alpha/2}$, где удовлетворяет условию (3.3).Для этого, подставляем функцию $\Phi_{0}$ в соотношение (3.3), имеем
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{nu}{\pi}\biggr)^{\alpha+2}\geqslant\frac{2}{\pi^{2}-4}\int _{0}^{nu}t\biggl(1-\frac{\sin t}{t}\biggr)_{*}\,dt.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Полагая $nu\stackrel{\mathrm{def}}{=}\mu$, $\mu\in[0,\infty)$, перепишем неравенство (3.11) в виде
$$
\begin{equation}
\mu^{\alpha+2}\geqslant\frac{2\pi^{\alpha+2}}{\pi^{2}-4}\int _{0}^{\mu}t\biggl(1-\frac{\sin t}{t}\biggr)_{*}\,dt,
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
и докажем справедливость полученного соотношения.
Введем следующую вспомогательную функцию
$$
\begin{equation}
\theta(\mu)=\mu^{\alpha+2}-\frac{2\pi^{\alpha+2}}{\pi^{2}-4}\int _{0}^{\mu}t\biggl(1-\frac{\sin t}{t}\biggr)_{*}\,dt.
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
С учетом соотношения (3.10), функцию (3.13) запишем в виде
$$
\begin{equation}
\theta(\mu)=\mu^{\alpha+2}-\pi^{\alpha}(\alpha+2)\int _{0}^{\mu}t\biggl(1-\frac{\sin t}{t}\biggr)_{*}\,dt.
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Для доказательства соотношения (3.12) достаточно показать, что функция $\theta(\mu)$ при всех $\mu\in[0,\infty)$ положительно.
Рассуждения проведем для трех случаев: а) $0\leqslant \mu\leqslant\pi$; б) $\pi\leqslant \mu<t_{*}$; в) $t_{*}\leqslant \mu<\infty$. Пусть сначала $0\leqslant \mu\leqslant\pi$. Используя неравенство
$$
\begin{equation*}
1-\frac{\sin t}{t}\leqslant\frac{t^{2}}{6}, \qquad 0\leqslant t\leqslant\pi,
\end{equation*}
\notag
$$
из (3.14) получаем
$$
\begin{equation}
\theta(\mu)\geqslant \mu^{\alpha+2}\biggl(1-\frac{\pi^{\alpha}(\alpha+2)\mu^{2-\alpha}}{24}\biggr).
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Так как $1<\alpha<2$, то из (3.15) сразу следует, что при $\mu\to 0+$ функция $\theta(\mu)$ принимает положительные значения и стремится к нулю. Покажем, что это функция на интервале $(0,\pi)$ сохраняет знак. Предположим, что это не так, т.е. существует точка $\xi\in[0, \pi]$, в которой функция $\theta$ меняет знак. Так как $\theta(0)=\theta(\pi)=0$, на основании теоремы Ролля производная первого порядка
$$
\begin{equation*}
\theta^{'}(\mu)=\pi^{\alpha}(\alpha+2)\mu \biggl\{\biggl(\frac{\mu}{\pi}\biggr)^{\alpha}-\biggl(1-\frac{\sin \mu}{\mu}\biggr)\biggr\}:=\pi^{\alpha}(\alpha+2)\mu\psi(\mu)
\end{equation*}
\notag
$$
должна иметь на $(0,\pi)$ не менее двух различных нулей. Функция
$$
\begin{equation*}
\psi(\mu)=\biggl(\frac{\mu}{\pi}\biggr)^{\alpha}-\biggl(1-\frac{\sin \mu}{\mu}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
подробно исследована в работе [16]. Там же показано, что эта функция в случаях а) и б) не меняет знак. Поскольку функция $\pi^{\alpha}(\alpha+2)\mu$ в случаях а) и б) монотонно возрастает и положительная, то функция $\theta^{'}(\mu)$ в указанных случаях сохраняет знак, и неравенство (3.12) для этих случаев выполняется.
Рассмотрим случай в). Функцию $\theta(\mu)$ на основании (3.2) запишем в виде
$$
\begin{equation}
\theta(\mu)=\mu^{\alpha+2}-\pi^{\alpha+2}- \pi^{\alpha}(\alpha+2)\biggl\{\int_{\pi}^{t_{*}}t\biggl(1-\frac{\sin t}{t}\biggr)+t_{*}\biggl(1-\frac{\sin t_{*}}{t_{*}}\biggr)(\mu-t_{*})\biggr\}.
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Из (3.16) получаем
$$
\begin{equation}
\theta^{'}(\mu)=\pi^{\alpha}(\alpha+2)t_{*} \biggl\{\frac{\mu}{t_{*}}\biggl(\frac{\mu}{\pi}\biggr)^{\alpha}-\biggl(1-\frac{\sin t_{*}}{t_{*}}\biggr)\biggr\}.
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
По условию $\alpha>1$, поэтому
$$
\begin{equation*}
\theta^{'}(t_{*})=\pi^{\alpha}(\alpha+2)t_{*} \biggl\{\biggl(\frac{t_{*}}{\pi}\biggr)^{\alpha}-\biggl(1-\frac{\sin t_{*}}{t_{*}}\biggr)\biggr\}>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Из равенства (3.16) и (3.17) следует, что производная $\theta^{'}(\mu)$ на множество значений $t_{*}\leqslant \mu<\infty$ является положительной и монотонно возрастающей функцией. Так как $\theta^{'}(t_{*})\geqslant 0$, то значит функция $\theta$ на указанном множестве неотрицательна и неравенство (3.12) имеет место. Теорема 4 доказана. Теорема 5. Пусть $m,n\in\mathbb{N}$, $r\in\mathbb{Z}_{+}$, $0<p\leqslant\infty$, $nu\leqslant\tau_{\ast}$, $\varphi(t)$ – весовая на $[0,h]$, $0<h\leqslant\pi/n$ функция. Тогда имеет место следующее равенство: Доказательство. Из неравенства (2.18) для функции $f\in W_{m,p}^{(r)}(u,\varphi)$ запишем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathscr{E}_{n-1}(W_{m,p}^{(r)}(u,\varphi))_{\mathscr{B}_{2,\gamma}} =\sup\bigl\{E_{n-1}(f)_{2,\gamma}\colon f\in W_{m,p}^{(r)}(u,\varphi)\bigr\} \\ &\qquad \leqslant 2^{-m/2}\alpha_{n,r}^{-1}\biggl(\int_{0}^{u}\biggl(1-\frac{\sin nt}{nt}\biggr)^{mp/2}\varphi(t)\,dt\biggr)^{-1/p}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
Учитывая соотношение (3.1) между вышеперечисленными $n$-поперечниками, согласно (3.18) получаем оценку сверху для проекционного поперечника
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \Pi_{n}(W_{m,p}^{(r)}(u,\varphi),\mathscr{B}_{2,\gamma}) \leqslant\mathscr{E}_{n-1}(W_{m,p}^{(r)}(u,\varphi))_{\mathscr{B}_{2,\gamma}} \\ &\qquad \leqslant 2^{-m/2}\alpha_{n,r}^{-1}\biggl(\int_{0}^{u}\biggl(1-\frac{\sin nt}{nt}\biggr)^{mp/2}\varphi(t)\,dt\biggr)^{-1/p}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
Для получения оценки снизу рассматриваемых $n$-поперечников введем в рассмотрение шар
$$
\begin{equation*}
r_{n+1}^{\ast}=\biggl\{p_{n}\in\mathscr{P}_{n}\colon \|p_{n}\|\leqslant 2^{-m/2}\alpha_{n,r}^{-1}\biggl(\int_{0}^{u}\biggl(1-\frac{\sin nt}{nt}\biggr)^{mp/2}\varphi(t)\,dt\biggr)^{-1/p}\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и покажем, что $r_{n+1}^{\ast}\in W_{m,p}^{(r)}(u,\varphi)$. Воспользуемся неравенством (3.7). Возведем обе части этого неравенства в степень $p$, $0<p\leqslant\infty$, результат умножим на весовую функцию $\varphi(t)$, и полученное соотношение интегрируем по отрезку $[0,u]$, после чего для произвольной $p_{n}\in r_{n+1}^{\ast}$ запишем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \int_{0}^{u}\Omega_{m}^{p}(z^{r}p_{n}^{(r)},t)_{2,\gamma}\varphi(t)\,dt \leqslant 2^{mp/2}\alpha_{n,r}^{p}\int_{0}^{u}\biggl(1-\frac{\sin nt}{nt}\biggr)_{\ast}^{mp/2}\varphi(t)\,dt\,\|p_{n}\|_{2,\gamma}^{p} \\ &\qquad =2^{mp/2}\alpha_{n,r}^{p}\int_{0}^{u}\biggl(1-\frac{\sin nt}{nt}\biggr)_{\ast}^{mp/2}\varphi(t)\,dt \\ &\qquad\qquad\times \biggl(2^{-m/2} \alpha_{n,r}^{-1}\biggl(\int_{0}^{u}\biggl(1-\frac{\sin nt}{nt}\biggr)^{mp/2}\varphi(t)\,dt\biggr)^{-1/p}\biggr)^{p}=1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $r_{n+1}^{\ast}\in W_{m,p}^{(r)}(u,\varphi)$. Согласно теореме Тихомирова [26] о поперечнике шара, запишем оценки снизу для бернштейновского $n$-поперечника
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & b_{n}(W_{m,p}^{(r)}(u,\varphi),\mathscr{B}_{2,\gamma})\geqslant b_{n}(r_{n+1}^{\ast},\mathscr{B}_{2,\gamma}) \\ &\qquad \geqslant 2^{-m/2}\alpha_{n,r}^{-1}\biggl(\int_{0}^{u}\biggl(1-\frac{\sin nt}{nt}\biggr)^{mp/2}\varphi(t)\,dt\biggr)^{-1/p}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
Сопоставляя неравенства (3.19) и (3.20) с учетом соотношения (3.1), получим утверждение теоремы 5. Автор искренне признателен рецензенту за ценные замечания. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Lan24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|