| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения О некоторых свойствах непрерывных монотонных функций М. Д. Ковалёвab, А. А. Кулешовab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623050309 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеВ 1946 г. Люстерником [1] была поставлена следующая геометрическая Задача. Пусть в плоскости даны три круга $K_1$, $K_2$, $K_3$ (возможно вырождение кругов в полуплоскости и в точки). Существует ли отличная от круга фигура – каток – которую можно так непрерывно провернуть на целый оборот, чтобы она все время прилегала ко всем трем кругам $K_1$, $K_2$, $K_3$? Задача эта была решена лишь в нескольких частных случаях [2], [3], например, когда круги вырождаются в полуплоскости. В случае, когда два круга превращаются в полуплоскости, а третий – в точку, лежащую внутри дополнения до этих полуплоскостей, известны невыпуклые катки. Эту задачу выделял и пропагандировал Колмогоров [4]. Однако до сих пор неизвестно, существуют ли в этой задаче Люстерника–Колмогорова выпуклые отличные от круга катки. Исследуя эту возможность, один из авторов статьи столкнулся с необходимостью сравнения двух непрерывных монотонных функций, что привело к формулировке и доказательству составляющих содержание этой заметки теорем. 2. Однозначность восстановления пары непрерывных монотонных функций по их разности и разности им обратныхРассмотрим две непрерывные строго возрастающие функции $F$ и $f$, заданные на полуинтервале $[0,a)$, где $0<a\leq \infty $. Пусть $F(0)=f(0)=0$ и $F(x)>f(x)$ при $x\in [0,a)$. Тогда на $[0,a)$ определена и непрерывна разность $h(x):=F(x)-f(x)$ и $h(x)>0$ на $(0,a)$, а на полуинтервале $[0,B)$, где $B:=\sup_{x\in [0,a)} f(x)$ (возможен случай $B=+\infty$), также определена непрерывная разность обратных функций $l(y):=f^{-1}(y)-F^{-1}(y)$ и $l(y)>0$ на $(0,B)$. Мы докажем, что функции $F$ и $f$ однозначно восстанавливаются по функциям $h$ и $l$. Точнее, допустим, что на $[0,a)$ заданы также непрерывные и возрастающие функции $G(x)$ и $g(x)$, удовлетворяющие условиям $G(0)=g(0)=0$ и $G(x)>g(x)$ при $x\in [0,a)$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, b:=\sup_{x\in [0,a)} g(x), \\ G(x)-g(x)=h(x) \quad\text{на}\ \ [0,a), \qquad g^{-1}(y)-G^{-1}(y)=l(y) \quad\text{на}\ \ [0,b)\cap [0,B). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда справедлива следующая теорема. Теорема 1. Имеет место равенсто $b=B$ и при $0\leq x<a$ cправедливы тождества $G(x)\equiv F(x)$ и $g(x)\equiv f(x)$. Доказательство. Допустим, $b\leq B$. Зададим в прямоугольнике $\Pi \colon 0\leq x<a$, $0\leq y< b$ два векторных поля: Пусть отображение $T_x$, определенное в прямоугольнике $\Pi$, переводит точку $p=(x,y)$ в точку $p+\vec l(p)=(x- l(y),y)$, также определим отображение Отображение $T_y$ переносит точки, лежащие на вертикали $x=c$, вниз на $h(c)$. По принципу Кавальери площади фигур, лежащих в $\Pi$, сохраняются при отображении $T_y$. Такое же заключение можно сделать и об отображении $T_x$.
Если бы было $g=f$, то и $G=f+h=F$, и заключение теоремы справедливо. Таким образом, достаточно разобрать случай $g\ne f$. Если $b<B$, то можно считать, что $g(x_0)<f(x_0)$ в какой-то точке $x_0\in (0,a)$. Если же $b=B$, то в силу равноправности в условии теоремы пар функций $F$, $f$ и $G$, $g$ также можно считать, что $g(x_0)<f(x_0)$ в точке $x_0\in (0,a)$. Тогда в силу непрерывности функций $f(x)-g(x)>\varepsilon >0$ при $x_0-\varepsilon_1 \leq x\leq x_0+\varepsilon_1$, и в пересечении этой полосы с прямоугольником $\Pi$ найдется фигура $E$ ненулевой площади $S$, лежащая между графиками функций $g$ и $f$. Рассмотрим бесконечную последовательность отображений
$$
\begin{equation*}
\mathcal T_1:=T_x, \qquad \mathcal T_2:= T_yT_x, \qquad \mathcal T_3:= T_xT_yT_x, \qquad \mathcal T_4:= T_yT_xT_yT_x, \qquad \dotsc\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Отображение $\mathcal T_1=T_x$ переводит фигуру $E$ в фигуру $E_1$, лежащую между графиками функций $G$ и $F$. Действительно, поскольку любая точка $p=(x,y)$ фигуры $E$ лежит левее графика $y=g(x)$ и правее графика $y=f(x)$, то точка $p+\vec l(p)$ лежит левее графика $y=G(x)$ и правее графика $y=F(x)$. Поскольку $\mathcal T_2(E)=T_y(E_1)$, отображение $\mathcal T_2$ переводит фигуру $E$ в фигуру $E_2$, лежащую между графиками функций $g$ и $f$. Точно так же и далее. Хотя отображения $\mathcal T_i$ выводят некоторые точки прямоугольника $\Pi$ за его пределы, это не касается точек фигуры $E$. Площадь каждой из фигур $E_i:=\mathcal T_i(E)$ равна $S$.
Рассмотрим теперь последовательность $(\Pi_i)_1^\infty$ прямоугольников $0\leq x\leq a_i,\ 0\leq y\leq b_i$ наименьшего размера, содержащих фигуры $E_i$. Последовательности $a_i$ и $b_i$ длин их сторон не возрастают и ограничены снизу, а значит, сходятся. Если хотя бы одна из них сходится к нулю, то это приводит к противоречию с тем, что площадь каждой фигуры $E_i\subset \Pi_i$ равна $S>0$. Далее допустим, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{i\to \infty} a_i=\alpha \in (0,a), \qquad \lim_{i\to \infty} b_i=\beta \in (0,b),
\end{equation*}
\notag
$$
и приведем это допущение к противоречию. Имеется такое $\Delta\in (0,\alpha)$, что функции $f$, $F$, $g$, $G$ определены на $[0,\alpha +\Delta]$, а им обратные определены при $0\leq y\leq \beta +\Delta$. Пусть
$$
\begin{equation*}
c:=g(\alpha-\Delta)>0, \qquad l := \min_{c\leq y\leq \beta+\Delta} l(y)>0
\end{equation*}
\notag
$$
(неравенство $c\leq \beta+\Delta$ вытекает из того, что фигуры $E_i$ лежат выше графика $y=g(x)$, поэтому предположение $\beta+\Delta <c$ влекло бы при достаточно больших $i$ отсутствие точек этих фигур вблизи правой стороны $x=\alpha$ прямоугольника $[0,\alpha]\times[0,\beta]$). Пусть $\delta:=\min \{l, \Delta \}>0$. Очевидно, найдется четный номер $2k$, для которого $b_{2k}\leq \beta+\Delta$ и $a_{2k}<\alpha +{\delta}/{2}$. Но тогда фигура $E_{2k}$ лежит в прямоугольнике $\Pi_{2k}$: $0\leq x\leq a_{2k}$, $0\leq y\leq b_{2k}$ между графиками функций $g$ и $f$, а фигура $E_{2k+1}$ лежит в прямоугольнике $0\leq x\leq a_{2k}-\delta<\alpha-{\delta}/{2}$, $0\leq y\leq b_{2k}$, ибо точки фигуры $E_{2k}$ с координатой $x\geq \alpha -\Delta$ переместятся влево не менее, чем на $l$ (см. рис. 1).
Это противоречит тому, что $\lim_{i\to \infty} a_i=\alpha $. Таким образом, допущение $\alpha>0$ ложно, и тем самым теорема доказана. В частности, доказано и равенство $b=B$. 3. Свойства площадей фигур специального видаПусть $0<a<+\infty$, функции $F,f\in C[0,a]$ строго возрастают и удовлетворяют условиям $F(0)=f(0)=0$, $F(x)>f(x)$ для всех $x\in(0,a]$. В этом случае существуют строго возрастающие непрерывные обратные функции
$$
\begin{equation*}
F^{-1}\colon [0,F(a)]\to[0,a], \qquad f^{-1}\colon [0,f(a)]\to[0,a].
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим
$$
\begin{equation*}
x_0:=F^{-1}(f(a))>0, \qquad u:=f^{-1}\circ F\colon [0,x_0]\to[0,a],
\end{equation*}
\notag
$$
тогда Так как $F(x)>f(x)$, имеем
$$
\begin{equation*}
u(x)>x\quad\text{для всех}\ \ x\in (0,x_0], \qquad u^{-1}(x)<x\quad\text{для всех}\ \ x\in (0,a];
\end{equation*}
\notag
$$
в частности, $x_0=u^{-1}(a)<a$. Для любого $t\in [0,x_0]$ определим криволинейные треугольники
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Delta_r(t):=\bigl\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\colon x\in [t,u(t)],\, f(x)\leqslant y\leqslant F(t) \bigr\}, \\ \Delta_l(t):=\bigl\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\colon x\in [u^{-1}(t),t],\, f(t)\leqslant y\leqslant F(x) \bigr\} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и обозначим их площади $S_r(t)$, $S_l(t)$ соответственно (см. рис. 2). Каждая из функций $S_r$ и $S_l$ является непрерывной и строго положительной на $(0,x_0]$. Нетрудно построить пример, в котором неравенство $S_l(t) \geqslant S_r(t)$ выполняется для некоторого $t\in (0,x_0]$. Наша цель – показать, что данное неравенство не может быть выполнено для всех $t\in (0,x_0]$. Доказательство. По определению для всех $t\in [0,x_0]$ имеем
$$
\begin{equation*}
S_r(t)=\int_t^{u(t)}(F(t)-f(x))\,dx, \qquad S_l(t)=\int_{u^{-1}(t)}^t(F(x)-f(t))\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что $S_l(t) \geqslant S_r(t)$ для всех $t\in [0,x_0]$, тогда получим
$$
\begin{equation}
\int_0^{x_0}S_l(x)\,dx\geqslant \int_0^{x_0}S_r(x)\,dx,
\end{equation}
\tag{1}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} \int_0^{x_0}S_l(x)\,dx &=\int_0^{x_0}\int_{u^{-1}(x)}^x(F(t)-f(x))\,dt\,dx \\ &=\int_0^{x_0}\overbrace {\int_t^{\min\{u(t),x_0\}}(F(t)-f(x))\,dx}^{V(t)}\,dt=\int_0^{x_0}V(t)\,dt \end{split}
\end{equation}
\tag{2}
$$
по теореме Фубини (см. рис. 3).
Имеем $V(t)=S_r(t)$ для всех $t\in [0,u^{-1}(x_0)]$ и $V(t)<S_r(t)$ для всех $t\in(u^{-1}(x_0),x_0]$, поэтому
$$
\begin{equation*}
\int_0^{x_0}S_r(x)\,dx>\int_0^{x_0}V(x)\,dx\overset{(2)}{=} \int_0^{x_0}S_l(x)\,dx,
\end{equation*}
\notag
$$
что противоречит (1) и завершает доказательство теоремы.
4. Замечания и дополненияОтметим, что теорема 1 очевидным образом обобщается на случай, в котором разность $h(x)\geq 0$ и множество ее нулей не имеет точек сгущения на $[0,a)$. С другой стороны, если $h(x)=0$ на произвольном интервале, то восстановление возрастающих функций $F(x)$ и $f(x)$ по разностям $h(x)$ и $l(y)$ становится невозможным. Например, разности
$$
\begin{equation*}
h(x)=x-x^2, \quad\text{при}\ \ x\in [0,1], \qquad h(x)=0, \quad\text{при}\ \ x\in [1,2]
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
l(y)=\sqrt{y}-y, \quad\text{при}\ \ y\in [0,1], \qquad l(y)=0, \quad\text{при}\ \ y\in [1,2],
\end{equation*}
\notag
$$
задают функции $f(x)=x^2$, $F(x)=x$ на отрезке $[0,1]$, а на отрезке $[1,2]\colon f(x)=F(x)=\varphi(x)$, где $\varphi(x)$ – произвольная непрерывная возрастающая от 1 до 2 функция. Также отметим, что множество точек $t_0\in(0,x_0]$, для которых согласно теореме 2 имеем $S_l(t_0)<S_r(t_0)$, является множеством положительной меры. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KovKul23} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|