| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Неравенство Бернштейна для производной Рисса порядка А. О. Леонтьева Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б. Н. Ельцина, г. Екатеринбург
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S000143462401019X 
Реферативные базы данных:
  1. Введение и постановка задачиОбозначим через $\mathbf{V}_\sigma$ класс целых функций экспоненциального типа, не превосходящего $\sigma>0$, представимых в виде где $s$ – комплекснозначная функция ограниченной вариации. Для таких функций определим производную Рисса порядка $\alpha>0$ при помощи множителя Фурье $|t|^\alpha$:
$$
\begin{equation}
D^\alpha f(z)=\int_{-\sigma}^\sigma |t|^\alpha e^{itz}\,ds(t).
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
На классе $\mathbf{V}_\sigma$ при $0<\alpha<1$ определение (1.2) производной Рисса $D^\alpha$ равносильно определению в виде сингулярного интеграла
$$
\begin{equation}
D^\alpha f(x)=C(\alpha)\int_0^\infty\frac{f(x+y)-2f(x)+f(x-y)}{y^{\alpha+1}}\,dy, \qquad 0<\alpha<1,
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
$$
\begin{equation}
C(\alpha)=-\frac{\Gamma(\alpha+1)\sin(\pi\alpha/2)}{\pi}.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Интеграл (1.3) был введен Стейном [1] при $0<\alpha<2$ в связи с изучением потенциала Рисса в многомерном случае. Для произвольного $\alpha>0$ представление дробных производных в виде сингулярных интегралов изучали в связи с исследованием потенциала Рисса Лизоркин [2] и Самко [3]. Убедимся в этом. Пусть $f\in \mathbf{V}_\sigma$. Подставляя (1.1) в (1.3), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_0^\infty \frac{f(x-y)-2f(x)+f(x+y)}{y^{\alpha+1}}\,dy =-2\int_0^\infty\frac{1}{y^{\alpha+1}} \int_{-\sigma}^\sigma e^{itx} (1-\cos(ty))\,d s(t) \,dy \\ &\qquad =-2 \int_{-\sigma}^\sigma \!e^{itx} \int_0^\infty \frac{1-\cos(ty)}{y^{\alpha+1}}\,dy\,d s(t) =-2 \int_{-\sigma}^\sigma \!e^{itx}|t|^\alpha \int_0^\infty \frac{1-\cos(|t|y)}{(|t|y)^{\alpha+1}}|t|\,dy \,d s(t) \\ &\qquad =-2 \int_{-\sigma}^\sigma e^{itx}|t|^\alpha \int_0^\infty \frac{1-\cos u}{u^{\alpha+1}}\,du\, d s(t); \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
возможность перестановки интегралов здесь нетрудно обосновать с помощью теоремы Фубини [4; § 3.4, п. 3.4.4], [5; гл. 3, § 11, п. 9]. Внутренний интеграл равен
$$
\begin{equation*}
\int_0^\infty \frac{1-\cos u}{u^{\alpha+1}}\,du=\frac{\pi}{2\Gamma(\alpha+1)\sin(\pi\alpha/2)}
\end{equation*}
\notag
$$
(см., например, [6; гл. 14, § 5, п. 539, пример 3]), а следовательно, оба определения производной Рисса действительно равносильны. Через $\mathbf{B}_\sigma$ обозначим введенный Бернштейном класс целых функций экспоненциального типа, не превосходящего $\sigma$, ограниченных на вещественной оси. Ясно, что $\mathbf{V}_\sigma\subset\mathbf{B}_\sigma$. Известно (см., например, [7; гл. 6, § 6.8, теорема 6.8.14]), что любая функция из $\mathbf{B}_\sigma$ является пределом функций из $\mathbf{V}_\sigma$, сходящихся к ней равномерно на любом компакте в $\mathbb{C}$. Будем считать, что производная Рисса порядка $0<\alpha<1$ функции $f\in \mathbf{B}_\sigma$ определяется при помощи (1.3). Подробную информацию о производных Рисса можно найти в [8; гл. 25, 26]. Всюду далее через $\|g\|$ будем обозначать равномерную норму функции $g$ на вещественной оси: $\|g\|=\sup\{|g(x)|\colon x\in\mathbb{R}\}$. В данной статье нас будет интересовать точное неравенство Бернштейна в равномерной норме для производной Рисса целых функций из $\mathbf{B}_\sigma$:
$$
\begin{equation}
\|D^\alpha f\|\leqslant \mathcal{B}_\sigma(\alpha)\|f\|, \qquad f\in\mathbf{B}_\sigma.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Ясно, что функция $f$ принадлежит классу $\mathbf{B}_1$ в том и только том случае, если функция $f_\sigma(x)=f(\sigma x)$ принадлежит $\mathbf{B}_\sigma$, $\sigma>0$. Из (1.3) видно, что $(D^\alpha f_\sigma)(x)=\sigma^\alpha(D^\alpha f)(\sigma x)$, поэтому $\mathcal{B}_\sigma(\alpha)=\sigma^\alpha\mathcal{B}_1(\alpha)$. В дальнейшем вместо $\mathcal{B}_1(\alpha)$ будем писать $\mathcal{B}(\alpha)$. 2. ИсторияНеравенства типа Бернштейна для тригонометрических полиномов и целых функций – обширная тематика, имеющая богатую историю; много информации и дальнейшие ссылки по этой теме можно найти в монографиях [9; гл. 3], [10; § 8.1], [11; § 6.1.2, § 6.1.7], обзорной статье Горбачёва [12], статьях [13], [14]. Неравенству (1.5) для целых функций предшествовали исследования аналогичного неравенства для производной Рисса
$$
\begin{equation*}
D^\alpha f_n(x)=\sum_{k=1}^n k^\alpha(a_k\cos kx+b_k\sin kx) =\sum_{k=-n}^n |k|^\alpha c_k e^{ikx}
\end{equation*}
\notag
$$
на множестве $\mathscr{T}_n$ тригонометрических полиномов степени не выше $n$ с комплексными коэффициентами
$$
\begin{equation*}
f_n(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^n (a_k \cos kx+b_k\sin kx)=\sum_{k=-n}^n c_k e^{ikx}.
\end{equation*}
\notag
$$
Неравенство Бернштейна для производной Рисса при $\alpha\geqslant 1$ хорошо изучено как для полиномов, так и для целых функций. Причина в том, что при $\alpha\geqslant 1$ для функций из $\mathbf{B}_\sigma$ и, как следствие, полиномов из $\mathscr{T}_n\subset \mathbf{B}_n$ справедлива интерполяционная формула по равномерным узлам
$$
\begin{equation}
D^\alpha f(x)=\sum_{\ell=-\infty}^\infty \mu_\ell(\alpha) f\biggl(x+\frac{\pi\ell}{\sigma}\biggr)
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
со следующими свойствами:
$$
\begin{equation}
\|D^\alpha f\|\leqslant \sigma^\alpha \|f\|, \qquad f\in\mathbf{B}_\sigma, \quad \alpha\geqslant 1,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
оно обращается в равенство, если $f(x)=a\cos \sigma x$. Формула (2.1) при $\alpha=1$ была явно найдена Ахиезером [15; § 84]. Лизоркин [16] показал, что производная Рисса порядка $\alpha>0$ может быть выражена формулой (2.1). Он доказал, что ее коэффициенты с точностью до множителя являются коэффициентами Фурье функции, равной $|t|^\alpha$ при $|t|\leqslant\pi$ и $2\pi$-периодически продолженной на всю ось. Кроме того, он установил их знакочередование при $\alpha\geqslant 1$. Неравенство (2.2) для полиномов было ранее установлено Сегё [17] при $\alpha=1$ и Соколовым [18] при $\alpha\geqslant 1$. Неравенство (2.2) выполняется с константой $\sigma^\alpha$ также в $L_p$, $1\leqslant p<\infty$, и в любом банаховом пространстве с нормой, инвариантной относительно сдвига, как для полиномов, так и для целых функций. В этом можно убедиться, применив неравенство треугольника к (2.1). Кроме того, в $L_p$, $1\leqslant p<\infty$, константа $\sigma^\alpha$ является точной. В случае тригонометрических полиномов оценку снизу дает полином $e^{int}$. В случае целых функций это доказал Лизоркин [16], построив последовательность целых функций из $L_p(\mathbb{R})$, сходящуюся к $\cos\sigma x$. Более того, он показал, что неравенство с константой $\sigma^\alpha$ при $1\leqslant p<\infty$ точное, но не обращается в равенство ни на какой функции. Козко [19] явно нашел коэффициенты интерполяционной формулы для производных Вейля–Сегё, в частности, для производной Рисса порядка $\alpha$ тригонометрических полиномов. На этом пути он установил справедливость неравенства (2.2) для тригонометрических полиномов при $1\leqslant p\leqslant\infty$ для $\alpha\geqslant 1$. В статье Виноградова [20; лемма 3.1] содержится неравенство Бернштейна в пространствах $L_p(\mathbb{R})$, $1\leqslant p\leqslant\infty$, для производных Вейля–Сегё порядка $\alpha\geqslant 1$ целых функций из $\mathbf{B}_\sigma\cap L_p(\mathbb{R})$ с точной константой $\sigma^\alpha$. Случай $0<\alpha<1$ представляется малоизученным. В 1935 г. Соколов [18] показал, что при $n=2$ для $0<\alpha<1$ справедливо строгое неравенство $B_2(\alpha)>2^\alpha$. Козко [19; § 4] обобщил этот результат на все четные $n$. Арестов и Глазырина [21; § 4] доказали, что $B_n(\alpha)>n^\alpha$ для $0<\alpha<1$ при всех $n\geqslant 2$. Соколов [18] доказал, что при $0\leqslant\alpha\leqslant 1$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\|D^\alpha f_n\|\leqslant \frac{2n^\alpha}{\alpha+1}\|f_n\|.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
В 1941 г. Сайвин [22] перенес неравенство (2.3) на целые функции из класса $\mathbf{V}_\sigma$. Соколов и Сайвин исходили из интерполяционных формул по равномерным узлам. Используя выпуклость вверх $t^\alpha$ при $0<\alpha<1$, они определили знаки коэффициентов этих формул: $\operatorname{sign} \mu_0(\alpha)=1$, $\operatorname{sign}\mu_\ell(\alpha)=(-1)^{\ell-1}$, $\ell\neq 0$. В данной статье при помощи интерполяционной формулы по неравномерным узлам будет получено точное значение величины $\mathcal{B}_\sigma(\alpha)$. В п. 5.3 будет показано, что справедливо строгое неравенство
$$
\begin{equation*}
\mathcal{B}_\sigma(\alpha)< \frac{2\sigma^\alpha}{\alpha+1}, \qquad 0<\alpha<1.
\end{equation*}
\notag
$$
3. Формулировка основного результатаВ формулировках и обосновании основных результатов данной работы будут использоваться некоторые факты, относящиеся к функциям Бесселя $J_\nu,\, \nu>-1$; их подробное изложение можно найти, например, в монографии [23] и учебнике [24; гл. 5, § 23]. Через $j_\nu$ будем обозначать нормированную функцию Бесселя Известно, что $j_\nu$ – четная целая функция типа 1; в частности, $j_{-1/2}(x)=\cos x$ и $j_{1/2}(x)=(\sin x)/x$. При $\nu\geqslant -1/2$ верно неравенство
$$
\begin{equation}
|j_\nu(x)|\leqslant j_\nu(0)=1, \qquad x\in\mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Важно, что при $\nu>-1$ функция $j_\nu$ имеет счетное множество нулей, все нули вещественные, простые и множество нулей не имеет конечных предельных точек. Обозначим через $\{\lambda_k(\nu)\}_{k=1}^\infty$ положительные нули функции $j_\nu$, занумерованные в порядке возрастания. В случае $\nu=-\alpha/2$ для нулей функции $j_{-\alpha/2}$ ниже используется обозначение $\lambda_k= \lambda_k(-\alpha/2)$. Наконец, узлы интерполяционной формулы – нули функции $j_{-\alpha/2}(x/2)$ – обозначены через $\{x_k\}_{k=1}^\infty$; таким образом, $x_k=2\lambda_k (-{\alpha}/{2})$. Относительно неравенства (1.5) в данной работе будет доказано следующее утверждение. Теорема 1. При $\sigma>0$, $0<\alpha<1$ справедливы следующие утверждения. 4. Интерполяционная формула для производной Рисса порядка $0<\alpha<1$Доказательство теоремы 1 основано на интерполяционной формуле для производной Рисса порядка $0<\alpha<1$, содержащейся в следующем утверждении. Лемма 1. При $\sigma>0$ для производной Рисса порядка $\alpha$, $0<\alpha<1$, на множестве функций $f\in \mathbf{B}_\sigma$ верна интерполяционная формула В обосновании леммы нами используется квадратурная формула по нулям функции Бесселя для целых функций экспоненциального типа. Ее впервые получили в 1993 г. Фрапье и Оливье. В 1995 г. Грозев и Рахман ослабили условия на подынтегральную функцию. Теорема A (см. Фрапье, Оливье [25], Грозев, Рахман [26]). Пусть $\nu>-1$, $\{\lambda_k(\nu)\}_{k=1}^\infty$ – положительные нули функции $j_\nu$, расположенные в порядке возрастания. Тогда для любой четной целой функции типа не выше $2\tau$, удовлетворяющей условию $x^{2\nu+1}f(x)\in L(0,\infty)$, справедлива квадратурная формула Доказательство леммы 1. Прежде всего докажем лемму для целой функции $f\in \mathbf{B}_1$ в точке $x=0$. В силу формулы (1.3) справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
D^\alpha f(0)=C(\alpha)\int_0^\infty \frac{f(x)-2f(0)+f(-x)}{x^2}x^{1-\alpha} \,dx,
\end{equation*}
\notag
$$
где $C(\alpha)$ определено формулой (1.4).
Применим формулу (4.2) к четной целой функции при $2\nu+1=1-\alpha$, т.е. при $\nu=-\alpha/2$. Свойство $g(x)x^{2\nu+1}=g(x)x^{1-\alpha}\in L(0,\infty)$ при $0<\alpha<1$, очевидно, выполняется. Экспоненциальный тип функции $g$ не выше $2\tau=1$. Получаем
$$
\begin{equation*}
D^\alpha f(0)=2^{3-\alpha}C(\alpha)\sum_{k=1}^\infty A_k\biggl(-\frac{\alpha}{2}\biggr)g(x_k),
\end{equation*}
\notag
$$
где $A_k(-{\alpha}/{2})$ определены формулой (4.3) и $x_k=2\lambda_k$. Переходя обратно к функции $f$, имеем
$$
\begin{equation}
D^\alpha f(0)=2^{3-\alpha}C(\alpha)\sum_{k=1}^\infty \widetilde{A}_k \bigl(f(x_k)-2f(0)+f(-x_k)\bigr), \qquad \widetilde{A}_k=\frac{A_k(-{\alpha}/{2})}{x_k^2}.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Теперь пусть $x$ произвольное и $f\in \mathbf{B}_\sigma,\, \sigma>0$. Функция $f_0(z)=f(z/\sigma+x)$, $z\in \mathbb{C}$, принадлежит классу $\mathbf{B}_1$. Подставив в формулу (1.3) представление $f(t)=f_0(\sigma (t-x))$ для функции $f$, получаем равенство $(D^\alpha f)(x)=\sigma^\alpha(D^\alpha f_0)(0)$. Применив формулу (4.4), находим
$$
\begin{equation*}
D^\alpha f(x)= \sigma^\alpha(D^\alpha f_0)(0) =\sigma^\alpha 2^{3-\alpha}C(\alpha)\sum_{k=1}^\infty \widetilde{A}_k \biggl(f\biggl(x+\frac{x_k}{\sigma}\biggr)-2f(x)+f\biggl(x-\frac{x_k}{\sigma}\biggr) \biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось преобразовать коэффициенты этой формулы. Имеем
$$
\begin{equation*}
\widetilde{A}_k= \frac{A_k(-{\alpha}/{2})}{x_k^2} =\frac{1}{4(J'_{-\alpha/2}(\lambda_k))^2 \lambda_k^{2+\alpha}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользуемся свойством функции Бесселя [27; § 7.11, формула (27)]
$$
\begin{equation*}
J'_\nu(x)J_{-\nu}(x)-J'_{-\nu}(x)J_\nu(x)=\frac{2\sin\pi \nu}{\pi x}
\end{equation*}
\notag
$$
при $\nu=-\alpha/2$ и $x=\lambda_k$. Получим
$$
\begin{equation*}
J'_{-\alpha/2}(\lambda_k)=-\frac{2\sin(\pi\alpha/2)}{\pi\lambda_k J_{\alpha/2}(\lambda_k)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пользуясь (3.1), находим
$$
\begin{equation*}
J'_{-\alpha/2}(\lambda_k)=-\frac{2^{1+\alpha/2}\sin(\pi\alpha/2)\Gamma(1+\alpha/2)} {\pi\lambda_k^{1+\alpha/2} j_{\alpha/2}(\lambda_k)}.
\end{equation*}
\notag
$$
С помощью несложных вычислений получаем
$$
\begin{equation*}
\widetilde{A}_k=\frac{\pi^2 j_{\alpha/2}^2(\lambda_k)}{16\cdot 2^\alpha \sin^2(\pi\alpha/2)\Gamma^2(1+\alpha/2)},
\end{equation*}
\notag
$$
и, как следствие,
$$
\begin{equation*}
2^{3-\alpha}C(\alpha)\widetilde{A}_k=\kappa(\alpha)j^2_{\alpha/2}(\lambda_k),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\kappa(\alpha)$ есть величина, определенная в (4.1). Лемма доказана. 5. Доказательство теоремы5.1. Экстремальная функция неравенства (1.5)Из формулы (4.1) леммы 1 вытекает оценка сверху наилучшей константы в неравенстве (1.5)
$$
\begin{equation}
\mathcal{B}_\sigma(\alpha) \leqslant 4\sigma^\alpha |\kappa(\alpha)| \sum_{k=1}^\infty j^2_{\alpha/2}(\lambda_k).
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Для получения оценки снизу рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
f^*_{\sigma,\alpha}(x) = f^*_\alpha(\sigma x)=1-2j_{-\alpha/2}^2\biggl(\frac{\sigma x}{2}\biggr);
\end{equation*}
\notag
$$
очевидно, что $f^*_{\sigma,\alpha}\in \mathbf{B}_\sigma$ и, как следствие неравенства (3.2), $\|f^*_{\sigma,\alpha}\|=1$. Убедимся, что $|D^\alpha f^*_\alpha(0)|$ совпадает с оценкой сверху в (5.1). Применяя формулу (4.1) к функции $f^*_{\sigma,\alpha}$ при $x=0$, видим, что в каждой точке $x_k(\sigma)=x_k/\sigma =2\lambda_k(-\alpha/2)/\sigma$ разность $f^*_\alpha(x_k(\sigma))-2f^*_\alpha(0)+f^*_\alpha(-x_k(\sigma))$ принимает наибольшее возможное значение $4$, благодаря чему неравенство (5.1) обращается в равенство. Это и доказывает утверждение 1) теоремы 1. 5.2. Вычисление точной константыДостаточно вычислить точную константу $\mathcal{B}(\alpha)=\mathcal{B}_1(\alpha)$ в неравенстве Бернштейна (1.5) для функций класса $\mathbf{B}_1$. Эта константа равна
$$
\begin{equation*}
\mathcal{B}(\alpha)=|(D^\alpha f_\alpha^*)(0)|=2(D^\alpha f_\alpha)(0),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
f_\alpha^*(x)=1-2j_{-\alpha/2}^2\biggl(\frac{x}{2}\biggr), \qquad f_\alpha(x)=\frac{1-f_\alpha^*(x)}{2}=j_{-\alpha/2}^2\biggl(\frac{x}{2}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Представим $f_\alpha$ в более удобном виде. Воспользуемся формулой умножения Гегенбауэра для нормированной функции Бесселя с параметром $\nu>-1/2$ (см. [23; § 41, (16)]):
$$
\begin{equation}
j_\nu(a)j_\nu(b)=c_\nu \int_{-1}^1 j_\nu\Bigl(\sqrt{a^2+b^2-2abv}\Bigr)(1-v^2)^{\nu-1/2}\,dv, \qquad c_\nu=\frac{\Gamma(\nu+1)}{\sqrt{\pi}\Gamma(\nu+1/2)}.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Положив в (5.2) $\nu=-\alpha/2$, $a=b=x/2$ при $x\in\mathbb{R}$, получим
$$
\begin{equation*}
f_\alpha(x)=j^2_{-\alpha/2}\biggl(\frac{x}{2}\biggr) =c_{-\alpha/2}\int_{-1}^1 j_{-\alpha/2}\biggl(x\sqrt{\frac{1-v}{2}}\biggr) (1-v^2)^{-(\alpha+1)/2} \,dv.
\end{equation*}
\notag
$$
Сделав замену переменных $1-v=2u^2$, $1+v=2(1-u^2)$, $u\in[0,1]$, получим представление функции $f_\alpha$ в виде
$$
\begin{equation}
f_\alpha(x)=2^{1-\alpha}c_{-\alpha/2}\int_0^1 j_{-\alpha/2}(xu) u^{-\alpha}\varphi(u)\,du, \qquad \varphi(u)=(1-u^2)^{-(\alpha+1)/2}.
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Теперь найдем $(D^\alpha f_\alpha)(0)$ по формуле (1.3). В силу четности $f_\alpha$ имеем
$$
\begin{equation*}
(D^\alpha f_\alpha)(0)=-2C(\alpha)\int_0^\infty\frac{f_\alpha(0)-f_\alpha(x)}{x^{\alpha+1}}\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя (5.3), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (D^\alpha f_\alpha)(0) &=-2^{2-\alpha}c_{-\alpha/2}C(\alpha) \int_0^\infty\frac{1}{x^{\alpha+1}} \int_0^1 \bigl(j_{-\alpha/2}(0)-j_{-\alpha/2}(xu)\bigr)u^{-\alpha}\varphi(u)\,du\,dx \\ &=-2^{2-\alpha}c_{-\alpha/2}C(\alpha) \int_0^1 u^{-\alpha}\varphi(u) \int_0^\infty \frac{j_{-\alpha/2}(0)-j_{-\alpha/2}(xu)}{x^{\alpha+1}}\,dx\,du \\ &=-2^{2-\alpha}c_{-\alpha/2}C(\alpha) \int_0^1 \varphi(u) \int_0^\infty \frac{j_{-\alpha/2}(0)-j_{-\alpha/2}(xu)}{(xu)^{\alpha+1}}u\,dx\,du. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
После замены переменной $xu=y$ во внутреннем интеграле имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag (D^\alpha f_\alpha)(0) &=-2^{2-\alpha}c_{-\alpha/2}C(\alpha) \int_0^1 \varphi(u) \int_0^\infty \frac{j_{-\alpha/2}(0)-j_{-\alpha/2}(y)}{y^{\alpha+1}}\,dy\,du \\ &=2^{1-\alpha}c_{-\alpha/2} (D^\alpha j_{-\alpha/2})(0) \int_0^1 \varphi(u)\,du. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Известно, что нормированная функция Бесселя при $\nu>-1/2$ представима интегралом Пуассона (см. [23; § 3.31, (6)])
$$
\begin{equation}
j_\nu(x)=c_\nu \int_{-1}^1 e^{itx}(1-t^2)^{\nu-1/2}\,dt,
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
$c_\nu$ определено по формуле (5.2); на самом деле это есть представление функции Бесселя в виде преобразования Фурье. Применяя формулы (1.1) и (1.2), получаем для $(D^\alpha j_{-\alpha/2})(0)$ следующее представление:
$$
\begin{equation}
(D^\alpha j_{-\alpha/2})(0)=2c_{-\alpha/2}\int_0^1 t^\alpha (1-t^2)^{-(\alpha+1)/2}\,dt.
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Выразив интегралы через $\Gamma$-функцию:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_0^1 {t^\alpha}{(1-t^2)^{-(\alpha+1)/2}}\,dt =\frac{1}{2}\int_0^1 v^{(\alpha-1)/2} (1-v)^{-(\alpha+1)/2}\,dv =\frac{1}{2}\Gamma\biggl(\frac{\alpha+1}{2}\biggr)\Gamma\biggl(\frac{1-\alpha}{2}\biggr), \\ \begin{split} \int_0^1 \varphi(u)\,du &=\int_0^1 {(1-u^2)^{-(\alpha+1)/2}}\,du =\frac{1}{2}\int_0^1 v^{-1/2} (1-v)^{-(\alpha+1)/2}\,dv \\ & =\frac{\Gamma(1/2)\Gamma((1-\alpha)/2)}{2\Gamma(1-\alpha/2)}, \end{split} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и подставив эти выражения в (5.6) и (5.4), получаем
$$
\begin{equation*}
\mathcal{B}(\alpha) =\frac{2^{3-\alpha}\Gamma^2(1-\alpha/2)\Gamma((\alpha+1)/2)\Gamma^2((1-\alpha)/2)\sqrt{\pi}} {4\pi\Gamma^2((1-\alpha)/2)\Gamma(1-\alpha/2)} =\frac{2^{1-\alpha}\Gamma(1-\alpha/2)\Gamma((\alpha+1)/2)}{\sqrt{\pi}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Умножим и разделим это выражение на $\Gamma^2((1-\alpha)/2)$, применим формулу дополнения для гамма-функции [28; § 1.2, формула (6)] с $z=(1-\alpha)/2$ и формулу удвоения [28; § 1.2, формула (15)]
$$
\begin{equation*}
2^{2z-1}\Gamma(z)\Gamma\biggl(z+\frac{1}{2}\biggr)=\sqrt{\pi}\Gamma(2z)
\end{equation*}
\notag
$$
вновь с $z=(1-\alpha)/2$, окончательно получим
$$
\begin{equation*}
\mathcal{B}(\alpha) =\frac{2\Gamma(1-\alpha)}{\Gamma^2((1-\alpha)/2)} \cdot\frac{\pi}{\cos(\pi\alpha/2)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым утверждение 2) теоремы 1 доказано. 5.3. Свойства точной константы $\mathcal{B}(\alpha)$Покажем, что при $0<\alpha<1$ полученное значение константы $\mathcal{B}(\alpha)$ улучшает результаты Соколова и Сайвина, т.е. справедливо неравенство (3.3). Воспользовавшись формулой (5.5) при $\nu=1/2$, получим
$$
\begin{equation*}
j_{1/2}(x)=\frac{\sin x}{x}=\frac{1}{2}\int_{-1}^1 e^{itx}\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
При помощи формулы (1.2) находим
$$
\begin{equation}
\frac{2}{\alpha+1}=D^\alpha\biggl(\frac{2\sin x}{x}\biggr)\bigg|_{x=0}.
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
С другой стороны,
$$
\begin{equation}
\mathcal{B}(\alpha)=D^\alpha\biggl( 2j^2_{-\alpha/2}\biggl(\frac{x}{2}\biggr)\biggr)\bigg|_{x=0}.
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Применим к правым частям (5.7) и (5.8) интерполяционную формулу (4.1). В случае четных функций $f\in\mathbf{B}_1$ она имеет вид
$$
\begin{equation*}
D^\alpha f(0)=\sum_{k=1}^\infty c_k \bigl(f(0)-f(x_k)\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где все $c_k>0$, а $x_k=x_k(\alpha)$ – положительные нули функции $j_{-\alpha/2}(x/2)$. Возьмем в качестве $f$ сначала функцию $f_1(x)=j^2_{-\alpha/2}(x/2)$, затем функцию $f_2(x)=(\sin x)/x$. В силу формул (5.7), (5.8) и положительности коэффициентов $c_k$ нам достаточно доказать, что
$$
\begin{equation}
f_1(0)-f_1(x_k)<f_2(0)-f_2(x_k), \qquad k\in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
Отсюда и будет вытекать требуемое неравенство (3.3). При $0<\alpha<1$ числа $x_k(\alpha)$ лежат [23; § 15.33] в интервалах $(2\pi m+\pi, 2\pi(m+ 1))$, $m=0,1,2,\dots$ . В этих интервалах $\sin x$ принимает отрицательные значения. Поэтому при всех $k\in\mathbb{N}$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f_1(0)-f_1(x_k) &=j^2_{-\alpha/2}(0)-j^2_{-\alpha/2}\biggl(\frac{x_k}{2}\biggr) =1-j^2_{-\alpha/2}\biggl(\frac{x_k}{2}\biggr) =1 \\ &<1-\frac{\sin x_k}{x_k} =f_2(0)-f_2(x_k). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, доказано, неравенство (5.9), а следовательно, и неравенство (3.3). Чтобы вычислить предельные значения $\mathcal{B}(\alpha)$ при $\alpha\to 0$ и $\alpha\to 1$, будем использовать тот факт, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{\varepsilon\to 0}\varepsilon \Gamma(\varepsilon)=\lim_{\varepsilon\to 0}\Gamma(\varepsilon+1)=\Gamma(1)=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Получим
$$
\begin{equation}
\lim_{\alpha\to 0}\mathcal{B}(\alpha) =\frac{2\Gamma(1)}{\Gamma^2(1/2)} \cdot\frac{\pi}{\cos 0}=2,
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
$$
\begin{equation*}
\lim_{\alpha\to 1}\mathcal{B}(\alpha) =\lim_{\varepsilon\to 0} \frac{2\Gamma(\varepsilon)}{\Gamma^2(\varepsilon/2)} \cdot\frac{\pi}{\sin(\pi\varepsilon/2)} =\lim_{\varepsilon\to 0}\frac{2\varepsilon^2}{4\varepsilon}\cdot\frac{\pi}{\sin(\pi\varepsilon/2)} =1.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, доказано утверждение 3) теоремы 1. Тем самым теорема 1 доказана полностью. 6. КомментарииПримененная нами для исследования неравенства Бернштейна (1.5) при $0<\alpha<1$ интерполяционная формула (4.1), построенная с помощью формулы (4.2) из [25] и [26], имеет вслед за (4.2), вообще говоря, неравноотстоящие узлы. Это отличает ее от интерполяционных формул (2.1) с равноотстоящими узлами, которые применялись ранее для исследования неравенства Бернштейна (1.5) при $\alpha\geqslant 1$. Существует близкая (4.2) квадратурная формула по нулям функций Бесселя [29]
$$
\begin{equation}
\int_0^\infty x^{2\nu+1} f(x)\,dx =a_0 f(0)+\sum_{k=1}^\infty a_k f\biggl(\frac{\lambda_k(\nu+1)}{\tau}\biggr),
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
где $\nu>-1$, $f$ – четная целая функция экспоненциального типа не выше $2\tau$ и такая, что $x^{2\nu+1} f(x)\in L(0,\infty)$; важно, что коэффициенты $a_k=a_k(\nu)$ положительны. Квадратурные формулы (4.2) и (6.1) успешно использовал Горбачёв при решении экстремальных задач для целых функций экспоненциального сферического типа в $\mathbb{R}^m$, а также аналогичных им экстремальных задач для четных целых функций экспоненциального типа на полуоси со степенным весом. В частности, при помощи формулы (4.2) он решил многомерные задачи Черных–Логана и Юдина [30], а при помощи формулы (6.1) – многомерную задачу Турана [31] для целых функций нескольких переменных, преобразование Фурье которых сосредоточено в евклидовом шаре. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Leo24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|