| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Оценка скорости равномерной сходимости ряда Фурье непрерывной периодической функции ограниченной Т. Ю. Семеноваab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624010243 
Реферативные базы данных:
  1. Введение и формулировка основных результатовПонятие функции ограниченной вариации было введено Жорданом [1]. Винер [2] определил значительно более широкие классы функций – функции ограниченной $p$-вариации. Пусть $p>1$, $f(x)$ – определенная на отрезке $[a,b]$ действительнозначная функция. $p$-Вариацией функции $f$ на $[a,b]$ будем называть величину
$$
\begin{equation}
V_p(f,[a,b])=\sup_{T}\biggl(\,\sum_{i=1}^{m}|f(x_i)- f(x_{i-1})|^p\biggr)^{1/p},
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где точная верхняя грань берется по всем разбиениям $T=\{a=x_0<\cdots<x_m=b\}$ отрезка $[a,b]$. Если $V_p(f,[a,b])<+\infty$, то функция называется функцией ограниченной $p$-вариации на $[a,b]$, а класс всех таких функций обозначается ${\mathbb V}_p[a,b]$. При $p=1$ определение (1.1) – обычное определение вариации функции. Отметим, что справедливы строгие вложения
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Lip}\frac{1}{p}[a,b]\subset {\mathbb V}_{p}[a,b] \subset {\mathbb V}_{p'}[a,b], \qquad p<p'.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим пространство $C_{2\pi}$ непрерывных на $\mathbb{R}$ действительнозначных $2\pi$-периодических функций с нормой
$$
\begin{equation*}
\|f\|=\sup \{|f(x)| \mid x\in {\mathbb {R}}\}= \max_{-\pi\leqslant x\leqslant \pi}|f(x)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Модулем непрерывности функции $f\in C_{2\pi}$ называется функция переменной $h$
$$
\begin{equation*}
\omega(f;h)=\max_{\substack{x_1,x_2\in\mathbb {R},\\ |x_1-x_2|\leqslant h}}|f(x_1)-f(x_2)|, \qquad 0\leqslant h\leqslant \pi.
\end{equation*}
\notag
$$
Частичную сумму ряда Фурье функции $f$ обозначим
$$
\begin{equation*}
S_n(f,x)=\frac{a_0}{2}+ \sum_{k=1}^{n}\bigl(a_k(f)\cos(kx)+b_k(f)\sin(kx)\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $a_k(f)$, $b_k(f)$ – коэффициенты Фурье, $r_n(f,x)=f(x)-S_n(f,x)$ – остаток ряда Фурье функции $f$. $(2\pi)$-Периодическую функцию $f$ будем называть функцией ограниченной $p$-вариации, если конечна величина Цель данной работы – оценить норму остатка ряда Фурье функции из $C_{2\pi}$, имеющей ограниченную $p$-вариацию, через модуль непрерывности этой функции. Сначала напомним известные результаты в этом направлении. Пусть $V(f)$ – вариация $f$ на отрезке $[0,2\pi]$. В 1881 г. Жордан [1] для произвольной функции из $C_{2\pi}$, $V(f)<+\infty$, доказал равномерную сходимость ряда Фурье на $\mathbb{R}$. В 1952 г. Стечкин [3], [4] вывел следующую оценку скорости стремления к нулю нормы $n$-го остатка ряда Фурье:
$$
\begin{equation*}
\|r_n(f)\|=O\biggl[\omega\biggl(f;\frac{\pi}{n}\biggr) \ln\biggl(\frac{V(f)}{\omega(f;\pi/n)}\biggr)\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Из результатов Жука [5; гл. 6, с. 241, теорема 54] можно получить неравенство
$$
\begin{equation}
\|r_n(f)\|\leqslant \omega \biggl(f;\frac{\pi}{n}\biggr) \biggl[\frac{2}{\pi^2} \ln\biggl(\frac{V(f)}{\omega(f;\pi/n)}\biggr)+9.5\biggr].
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Обозначим $\omega_n(f)=\omega(f;4\pi/(6n+3))$. В 2023 г. Поповым и автором [6] для произвольной непостоянной функции из $C_{2\pi}$, $V(f)<+\infty$, доказано следующее неравенство, более сильное, чем (1.2):
$$
\begin{equation}
\|r_n(f)\|\leqslant \omega_n(f)\biggl[\frac{2}{\pi^2} \ln\biggl(\frac{V(f)}{\omega_n(f)}\biggr)+1.303\biggr].
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
В [6] также доказаны неулучшаемость постоянной $2\pi^{-2}$ в главном члене оценки (1.3) и невозможность уменьшения постоянной во втором члене более чем на 1. Для функций ограниченной $p$-вариации, принадлежащих $C_{2\pi}$, равномерную сходимость ряда Фурье (без оценки скорости сходимости) доказал Салем [7], [8; гл. IV, с. 287–288]. В данной работе доказана теорема, обобщающая (1.3) на класс функций ограниченной $p$-вариации. Теорема 1. Пусть $f\in C_{2\pi}$, $f\not\equiv \operatorname{const}$, $V_p(f)<+\infty$, $n\in{\mathbb N}$. Тогда верно неравенство где Замечание 1. Для функции $C(p)$ выполнены соотношения Что касается неулучшаемости оценки (1.4), выяснилось, что множитель $2\pi^{-2}p$ в главном члене является точным. Это показано в теореме 2 данной работы. 2. Вспомогательные результаты Доказательство. Пусть $m$ и $M$ – соответственно минимальное и максимальное значение функции $f$. Тогда В то же время $\omega_n(f)\leqslant M-m$. Из этих двух неравенств следует утверждение леммы. Лемма 2. Пусть $p>1$, $A>0$, $t>0$. Положим $\varphi(A,t)=\ln t+{A}{t^{-1/p}}$, $m(A)=[({A}/{p})^p]+1$. Тогда Доказательство. При любом натуральном $m\geqslant 3$ рассмотрим полуинтервал $I_m=[m-1,m)$. Если $(A/p)^p\in I_m$, то $m=m(A)$. Очевидно, что разность является выпуклой вниз функцией на $I_m$. Следовательно, Сравним между собой значения $\varphi_m(p(m-1)^{1/p})$ и $\varphi_m(pm^{1/p})$. Рассмотрим разность
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber & \varphi_m\bigl(p(m-1)^{1/p}\bigr)-\varphi_m(pm^{1/p})= \frac{p(m-1)^{1/p}}{(m-0.5)^{1/p}}-\ln (m-1)- \frac{pm^{1/p}}{(m-0.5)^{1/p}}+\ln m \\ &\qquad=\ln \frac{m}{m-1}- p\biggl(\biggl(\frac{m}{m-0.5}\biggr)^{1/p}- \biggl(\frac{m-1}{m-0.5}\biggr)^{1/p}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Из теоремы Лагранжа о конечных приращениях для функции $t^{1/p}$ следует неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{m}{m-0.5}\biggr)^{1/p}- \biggl(\frac{m-1}{m-0.5}\biggr)^{1/p}\leqslant \frac{1}{p}\biggl(\frac{m}{m-0.5}\biggr)^{1/p-1}\cdot \frac{1}{m-0.5}<\frac{1}{p}\cdot \frac{1}{m-0.5}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому (2.2) оценивается снизу величиной $\ln(m/(m-1))-1/(m-0.5)>0$. Таким образом, имеем
$$
\begin{equation*}
\sup_{(A/p)^p\in I_m}\varphi_m(A)=\varphi_m\bigl(p(m-1)^{1/p}\bigr)= \frac{p(m-1)^{1/p}}{(m-0.5)^{1/p}}-\ln\frac{m-1}{m-0.5}-p.
\end{equation*}
\notag
$$
Произведем замену $(m-1)/(m-0.5)=t$. Несложно проверить, что функция $pt^{1/p}-\ln t-p$ является убывающей на интервале $(0,1)$, значит,
$$
\begin{equation}
\sup_{(A/p)^p\geqslant 2}\biggl(\varphi\bigl(A,m(A)-0.5\bigr)- \varphi\biggl(A,\biggl(\frac{A}{p}\biggr)^p\biggr)\biggr)= \varphi_3(p\cdot 2^{1/p})= \ln\frac{5}{4}+p\biggl(\frac{4}{5}\biggr)^{1/p}-p.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Аналогично имеем
$$
\begin{equation*}
\sup_{(A/p)^p\in [6/5,2)}\varphi_2(A)= \max\biggl\{\varphi_2\biggl(p\cdot \biggl(\frac{6}{5}\biggr)^{1/p}\biggr), \varphi_2(p\cdot 2^{1/p})\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для сравнения значений
$$
\begin{equation*}
\varphi_2(p \cdot 2^{1/p})= \ln\frac{3}{4}+p\biggl(\frac{4}{3}\biggr)^{1/p}-p, \qquad \varphi_2\biggl(p\cdot\biggl(\frac{6}{5}\biggr)^{1/p}\biggr)= \ln\frac{5}{4}+p\biggl(\frac{4}{5}\biggr)^{1/p}-p,
\end{equation*}
\notag
$$
рассмотрим функцию $\psi(p)=p(({4}/{3})^{1/p}-({4}/{5})^{1/p})$ на промежутке $(1,+\infty)$. Поскольку
$$
\begin{equation*}
\psi''(p)=\frac{1}{p^3}\biggl(\ln^2\frac{4}{3}\cdot \biggl(\frac{4}{3}\biggr)^{1/p}-\ln^2\frac{4}{5}\cdot \biggl(\frac{4}{5}\biggr)^{1/p}\biggr)> \frac{1}{p^3}\ln^2\frac{4}{3}\biggl(\biggl(\frac{4}{3}\biggr)^{1/p}- \biggl(\frac{4}{5}\biggr)^{1/p}\biggr)>0,
\end{equation*}
\notag
$$
$\psi(p)$ – выпуклая вниз функция. Так как $\psi(1)=8/15$, $\psi(+\infty)=\ln(5/3)$, то $\psi(p)>\ln(5/3)$ при $p>1$. Отсюда получаем неравенство $\varphi_2(p\cdot 2^{1/p})>\varphi_2(p\cdot({6}/{5})^{1/p})$. Это неравенство вместе с (2.3) доказывает лемму. Доказательство. 1) Заметим, что $V^p_p(f,[a,c])+ V^p_p(f,[c,b])$ есть точная верхняя грань сумм $\sum|f(x_i)-f(x_{i-1})|^p$ по всем разбиениям $T$ отрезка $[a, b]$, содержащим точку $c$, а $V^p_p(f,[a,b])$ – точная верхняя грань тех же сумм, но по всем разбиениям $T$, как содержащим точку $c$, так и не содержащим точку $c$. Это и доказывает п. 1 леммы.
2) Посмотрим, как отличаются суммы $\sum|f(x_i)-f(x_{i-1})|^p$ для произвольного разбиения отрезка $T=\{a=x_0<x_1<\dots<x_m=b\}$ и для разбиения $T\cup\{\xi\}$. Если $\xi=x_i$ для некоторого $i$, то очевидно, что эти суммы совпадают. Пусть $\xi\in(x_{i-1},x_{i})$ и для определенности $f(x_{i})\geqslant f(x_{i-1})$ (случай $f(x_{i-1})\geqslant f(x_i)$ разбирается аналогично). Тогда разность между суммой по разбиению $T\cup\{\xi\}$ и суммой по разбиению $T$ равна
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl|f(x_{i-1})-f(\xi)\bigr|^p+\bigl|f(\xi)-f(x_{i})\bigr|^p -\bigl|f(x_{i-1})-f(x_{i})\bigr|^p \\ &\qquad=\bigl(f(x_{i-1})-f(\xi)\bigr)^p+\bigl(f(x_{i})-f(\xi)\bigr)^p- \bigl(f(x_{i})-f(x_{i-1})\bigr)^p \\ &\qquad \geqslant \bigl(f(x_{i-1})-f(\xi)\bigr)^p\geqslant 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, точная верхняя грань сумм $\sum|f(x_i)-f(x_{i-1})|^p$ по всем разбиениям отрезка совпадает с точной верхней гранью сумм по разбиениям, содержащим точку $\xi$. Это доказывает п. 2 леммы. Заметим, что неравенство п. 1 леммы 3 известно, другое его доказательство приведено в теореме 1.1.4 работы [9]. Следующие две леммы (лемма 4 и лемма 5) не используются при доказательстве основных результатов данной работы. Они понадобятся при сравнении неравенства (1.4) со следствием, которое можно получить из результатов Жука. Набросок доказательства леммы 5 можно найти в теореме 2.5 работы [10], где приведен более общий результат оценки модулей непрерывности натурального порядка в $L_p$, а также в монографии [9; теорема 1.2.4, с. 23]. Впервые подобные неравенства установлены Юнгом [11] в 1936 г. Лемма 4. Пусть $f\in C_{2\pi}$, $V_p(f)<+\infty$, $\min_{\mathbb R}f(x)=f(\xi)$. Тогда выполнены следующие утверждения: Доказательство. 1) Для произвольного $a\in{\mathbb R}$ существует целое $k$ такое, что $\xi^*=\xi+2\pi k$ принадлежит отрезку $[a,a+2\pi]$. Тогда по утверждению п. 2) леммы 3 выполнено
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, V^p_p(f,[a,a+2\pi])&=V^p_p(f,[a,\xi^*])+V^p_p(f,[\xi^*,a+2\pi]) \\ &=V^p_p(f,[\xi^*,a+2\pi])+V^p_p(f,[a+2\pi,\xi^*+2\pi]). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее выражение по утверждению п. 1) леммы 3 не превосходит Отсюда следует равенство $V_p(f)=V_p(f,[\xi,\xi+2\pi])$.
2) Поскольку что и требовалось доказать.Лемма 5. Пусть $f\in C_{2\pi}$, $V_p(f)<+\infty$. Для произвольного $t\in{\mathbb R}$ выполнено неравенство Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что $t\geqslant 0$. Пусть $\min_{{\mathbb R}} f(x)=f(\xi)$.
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{-\pi}^{\pi}|f(x+t)-f(x)|^p\,dx&= \int_{\xi}^{\xi+2\pi}|f(x+t)-f(x)|^p\,dx\leqslant \int_{\xi}^{\xi+2\pi}V^p_p(f,[x,x+t])\,dx \\ &=\int_{\xi}^{\xi+2\pi}\bigl(V^p_p(f,[x,x+t])+ V^p_p(f,[\xi,x])-V^p_p(f,[\xi,x])\bigr)\,dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По утверждению п. 1) леммы 3
$$
\begin{equation*}
V^p_p(f,[\xi,x])+V^p_p(f,[x,x+t]) \leqslant V^p_p(f,[\xi,x+t]),
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{-\pi}^{\pi}\bigl|f(x+t)-f(x)\bigr|^p\,dx \leqslant \int_{\xi}^{\xi+2\pi}\bigl(V^p_p(f,[\xi,x+t])-V^p_p(f,[\xi,x])\bigr)\,dx \\ &\qquad=\int_{\xi}^{\xi+2\pi}\bigl(W(x+t)-W(x)\bigr)\,dx =\int_{\xi+t}^{\xi+t+2\pi}W(s)\,ds-\int_{\xi}^{\xi+2\pi}W(s)\,ds \\ &\qquad=\int_{\xi+2\pi}^{\xi+t+2\pi}W(s)\,ds-\int_{\xi}^{\xi+t}W(s)\,ds. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее используем результат п. 2) леммы 4. Имеем Лемма доказана. 3. Доказательство основного результатаПусть
$$
\begin{equation*}
D_n(t)=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n} \cos (kt)= \frac{\sin(n+0.5)t}{2\sin(t/2)}
\end{equation*}
\notag
$$
– ядро Дирихле, $\Phi_n(x)=\int_{x}^{\pi} D_n(t)\,dt$. Свойства $\Phi_n(x)$ подробно изучались в работе [12]. Известно, что на интервале $(0,\pi)$ функция $\Phi_n(x)$ имеет $n$ простых нулей $0<x_1^{(n)}<\cdots<x_n^{(n)}<\pi$, для которых верны неравенства
$$
\begin{equation*}
\frac{\pi(k-1)}{n+0.5}< x_k^{(n)}<\frac{\pi k}{n+0.5}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $x_{0}^{(n)}=0$, $x_{n+1}^{(n)}=\pi$ и докажем теорему 1. Начало доказательства, повторяющее часть рассуждений теоремы 1 работы [6], приведено схематично до момента использования факта ограниченности $p$-вариации функции. Доказательство теоремы 1. В силу линейности оператора $S_n(f)$ и инвариантности модуля непрерывности относительно сдвига аргумента можно считать, что $f(0)=0$, и оценивать сверху $|r_n(f,0)|$. Обозначим $\widetilde{f}(x)=(f(x)+f(-x))/2$ и используем интегральное представление остатка ряда Фурье функции $f$ [8; гл. I, с. 103–104]:
$$
\begin{equation*}
|r_n(f,0)|=\biggl|\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t) D_n(t)\,dt\biggr|=\biggl|\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\widetilde{f}(t) D_n(t)\,dt\biggr|.
\end{equation*}
\notag
$$
Разобьем интеграл по отрезку $[0,\pi]$ на сумму интегралов по отрезкам
$$
\begin{equation*}
[x_0^{(n)},x_1^{(n)}],\ [x_1^{(n)},x_2^{(n)}],\ \dots,\ [x_n^{(n)},x_{n+1}^{(n)}].
\end{equation*}
\notag
$$
Зафиксируем натуральное число $m\in [2,n+1]$. Имеем
$$
\begin{equation}
|r_n(f,0)| \leqslant \frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{m-1} \biggl|\int_{x_k^{(n)}}^{x_{k+1}^{(n)}}\widetilde{f}(t) D_n(t)\,dt\biggr|+\frac{2}{\pi}\sum_{k=m}^{n} \bigg|\int_{x_k^{(n)}}^{x_{k+1}^{(n)}} \widetilde{f}(t)D_n(t)\,dt\biggr|.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Если $m=n+1$, полагаем $\sum_{k=m}^{n}=0$. В доказательстве теоремы 1 работы [6] показано, что выражение (3.1) оценивается сверху величиной где $t_k^*$ и $t_k^{**}$ – некоторые точки, принадлежащие соответственно отрезкам $[x_k^{(n)}, \pi k/(n+0.5)]$ и $[\pi k/(n+0.5),x_{k+1}^{(n)}]$.
Положим $q=p/(p-1)$ и оценим сумму в (3.2), используя неравенство Гёльдера и ограниченность $p$-вариации функции $f$. Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\sum_{k=m}^{n}\bigl|\widetilde{f}(t_k^{*})-\widetilde{f}(t_k^{**})\bigr|\frac{1}{k-0.5} \leqslant\frac{1}{2}\sum_{k=m}^{n}\bigl(|f(t_k^{*})-f(t_k^{**})|+ |f(-t_k^{*})-f(-t_k^{**})|\bigr)\frac{1}{k-0.5} \\ \nonumber &\qquad\leqslant \frac{1}{2}{V_p(f,[0,2\pi])}\biggl(\,\sum_{k=m}^{n} \frac{2}{(k-0.5)^q}\biggr)^{1/q} \leqslant \frac{2^{1/q}}{2}V_p(f)\biggl(\frac{1}{(m-0.5)^q}+ \int_{m-0.5}^{\infty} \frac{dt}{t^q}\biggr)^{1/q} \\ \nonumber &\qquad=\frac{V_p(f)}{2^{1/p}}\biggl(\frac{1}{(m-0.5)^{q-1}}\biggr)^{1/q} \biggl(\frac{1}{m-0.5}+\frac{1}{q-1} \biggr)^{1/q} \\ &\qquad \leqslant \frac{V_p(f)}{2^{1/p}}\cdot \frac{1}{(m-0.5)^{1/p}} \biggl(1+\frac{1}{q-1}\biggr)^{1/q} =\frac{pV_p(f)}{(2p)^{1/p}}\cdot \frac{1}{(m-0.5)^{1/p}}\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Объединяя оценки (3.2) и (3.3), приходим к неравенству
$$
\begin{equation*}
\|r_n(f)\|\leqslant \omega_n(f)\biggl(\frac{2}{\pi^2} \biggl(\ln(m-0.5)+\frac{\pi pV_p(f)}{2\cdot (2p)^{1/p}\cdot \omega_n(f)} \cdot \frac{1}{(m-0.5)^{1/p}}\biggr)+1.14\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Подберем оптимальное натуральное значение $m^*\in [2,n+1]$, чтобы минимизировать выражение, оценивающее $\|r_n(f)\|$.
Обозначим
$$
\begin{equation*}
A=\frac{\pi pV_p(f)}{2\cdot (2p)^{1/p}\cdot \omega_n(f)}
\end{equation*}
\notag
$$
и рассмотрим функцию $\varphi(A,t)=\ln t+{A}{t^{-1/p}}$. Согласно лемме 1 верно неравенство $A\geqslant \pi p/(2\cdot p^{1/p})$, откуда следует, что $A\geqslant p(6/5)^{1/p}$. Минимум функции $\varphi$ как функции от $t$ достигается при $t=(A/p)^{p}$ и равен $p\ln (A/p)+p$.
Если $(A/p)^{p}<n$, возьмем $m^*=[(A/p)^{p}]+1\geqslant 2$. По лемме 2 значение $\varphi(m^*-0.5)$ отличается от $\varphi((A/p)^{p})$ на величину, не превосходящую $\ln (3/4)+p(4/3)^{1/p}-p$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|r_n(f)\|&\leqslant \omega_n(f)\biggl(\frac{2}{\pi^2} \biggl(p\ln \biggl(\frac{\pi V_p(f)}{2\cdot (2p)^{1/p}\cdot \omega_n(f)}\biggr)+\ln \frac{3}{4}+ p\biggl(\frac{4}{3}\biggr)^{1/p}\biggr)+1.14\biggr) \\ &=\omega_n(f)\biggl(\frac{2p}{\pi^2} \ln \biggl(\frac{V_p(f)}{\omega_n(f)}\biggr)+ \frac{2p}{\pi^2}\biggl(\frac{4}{3}\biggr)^{1/p}+ \frac{2p}{\pi^2}\ln \biggl(\frac{\pi}{2}\biggr)+ 1.14+\frac{2}{\pi^2}\ln\frac{3}{8p}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим
$$
\begin{equation*}
C(p)=\frac{2p}{\pi^2}\biggl(\frac{4}{3}\biggr)^{1/p}+ \frac{2p}{\pi^2}\ln \biggl(\frac{\pi}{2}\biggr) +1.14+\frac{2}{\pi^2}\ln\frac{3}{8p}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем, что это монотонно возрастающая на луче $p\in [1,+\infty)$ функция. Найдем производную функции $C(p)$:
$$
\begin{equation*}
C'(p)=\frac{2}{\pi^2}\biggl(\biggl(\frac{4}{3}\biggr)^{1/p} \biggl(1-\frac{1}{p}\ln\frac{4}{3}\biggr)+\ln\frac{\pi}{2}- \frac{1}{p}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
и на промежутке $(0,1]$ рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
\eta(z)=\biggl(\frac{4}{3}\biggr)^{z}\biggl(1-z\ln\frac{4}{3}\biggr) +\ln\frac{\pi}{2}-z.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко проверить, что $\eta'(z)<0$, т.е. $\eta(z)$ – убывающая функция. Тогда имеем, что $C'(p)$ – возрастающая при $p\in[1,+\infty)$ функция,
$$
\begin{equation*}
C'(1)=\frac{2}{\pi^2}\biggl(\frac{1}{3}-\frac{4}{3}\ln\frac{4}{3}+ \ln\frac{\pi}{2}\biggr)>0,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $C'(p)$ положительна на луче $[1,+\infty)$.
Значение
$$
\begin{equation*}
C(1)=\frac{8}{3\pi^2}+ \frac{2}{\pi^2}\ln\biggl(\frac{3\pi}{16}\biggr) +1.14\approx 1.302942\ldots<1.303,
\end{equation*}
\notag
$$
что полностью согласуется с результатом работы [6].
Если $(A/p)^{p}\geqslant n$, возьмем $m^*=n+1$. Тогда сумма в (3.2) равна нулю, условие ограниченности $p$-вариации функции применять не требуется, и мы получим оценку
$$
\begin{equation}
\|r_n(f)\|\leqslant \omega_n(f) \biggl(1.14+\frac{2}{\pi^2}\ln(n+0.5)\biggr).
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Неравенство (3.4) следует из результата работы [12] Стечкина и Гаврилюк для функций $C_{2\pi}$ без условия ограниченности вариации, который в случае $(A/p)^{p}\geqslant n$ сильнее (1.4). Теорема доказана. Теперь докажем неулучшаемость множителя ${2}{\pi^{-2}}p$ в главном члене оценки (1.4). Теорема 2. Для любого натурального $n\geqslant 2$ и для любого $\omega_n\in[n^{-1/p},2^{-1/p}]$ существует функция $\varphi=\varphi_{n}\in C_{2\pi}$ такая, что Доказательство. Используем конструкцию, аналогичную той, что приведена в работе [6]. Положим $m=[\omega_n^{-p}]$. Из ограничений на $\omega_n$ следует неравенство $2\leqslant m\leqslant n$. Зафиксируем $\delta\in(0,1/(10n)]$.
Обозначим $y_k=\pi k/(n+0.5)=ky_1$, $k=0,\dots,m$, и определим функцию $\varphi$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\varphi(t)=\begin{cases} (-1)^k\dfrac{(t-y_k)\omega_n}{2\delta y_1}\,, & t\in[y_k,y_k+\delta y_1], \\ (-1)^k\dfrac{\omega_n}{2}\,, & t\in[y_k+\delta y_1,y_{k+1}-\delta y_1], \\ (-1)^k\dfrac{(y_{k+1}-t)\omega_n}{2\delta y_1}\,, & t\in[y_{k+1}-\delta y_1,y_{k+1}], \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $0\leqslant k\leqslant m-1$. Пусть также $\varphi(t)=0$ при $ t\in[y_{m},\pi]$ и $\varphi(t)=\varphi(-t)$ при $t\in[-\pi,0]$.
По построению $\varphi$ – четная непрерывная функция. Несложно убедиться, что $\omega_n(\varphi)=\omega_n$. Посчитаем $p$-вариацию функции $\varphi$. Применяя п. 2) леммы 3 и его аналог для точек, в которых принимается наибольшее значение, получаем, что
$$
\begin{equation*}
V^p_p(\varphi)=2\biggl(V^p_p(\varphi,[0,\delta y_1])+ \sum_{k=1}^{m-1} V^p_p(\varphi,[y_k-\delta y_1,y_k+\delta y_1])+ V^p_p(\varphi,[y_m-\delta y_1,y_m])\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Используя известное неравенство $a_1^p+a_2^p+\dots+a_l^p\leqslant (\sum_{i=1}^{l}a_i)^p$, верное для неотрицательных чисел $a_i$ и для любого $p>1$ (см. [13; с. 47], а также непрерывность функции $\varphi$, окончательно имеем, что значение $p$-вариации функции $\varphi$ достигается на разбиении отрезка $[-\pi,\pi]$ точками множества $\{0,\pm\delta y_1,\pm(y_k\pm\delta y_1),\ k=1,\dots,m\}$ и равно $V_p(\varphi)=(4\omega^p_n/2^p+2(m-1)\omega^p_n)^{1/p}$. При этом выполнены соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, V_p(\varphi)&=\omega_n(2^{2-p}+2m-2)^{1/p}\leqslant \omega_n(2m)^{1/p}\leqslant 2^{1/p}, \\ V_p(\varphi)&\geqslant \omega_n (2^{2-p}-4+2\omega_n^{-p})^{1/p}= ((2^{2-p}-4)\omega_n^{p}+2)^{1/p} \\ &\geqslant ((2^{2-p}-4)\cdot 0.5+2)^{1/p}=2^{1/p-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В теореме 2 работы [6] показано, что
$$
\begin{equation*}
|r_n(\varphi,0)|>\omega_n(\varphi) \biggl(\frac{2}{\pi^2}\ln(m+1)+0.45\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку то окончательно получаем Теорема доказана. 4. ЗаключениеОценку, близкую к (1.4), но менее сильную, можно получить как следствие из результата Жука. Жук доказал оценку сверху $\|r_n(f)\|$ для произвольной функции $f\in C_{2\pi}$ через ее модуль непрерывности порядка $r\in \mathbb{N}$ с учетом отношения ее наилучших приближений $E_{n,p}(f)$ тригонометрическими полиномами порядка не выше $n$ по $L^p$-норме к модулю непрерывности того же порядка, взятому в точке $\pi/(n+1)$. Сформулируем теорему Жука для случая $r=1$. Теорема (Жук, [5; с. 241]). Пусть $f\in C_{2\pi}$, $f\not\equiv \operatorname{const}$, $n\in{\mathbb N}$, $p\in(1,+\infty)$. Тогда справедливо неравенство в котором a $R_2$ – оптимальная константа в оценке сверху приближения функции средними Рисса порядка 2 через ее второй модуль непрерывности. Применим к неравенству (4.1) следующую оценку Стечкина [14] наилучшего приближения $E_{n,p}(f)$:
$$
\begin{equation*}
E_{n,p}(f)\leqslant\frac{3}{2} \omega\biggl(f;\frac{\pi}{n+1}\biggr)_p, \qquad\text{где}\quad \omega(f;h)_p=\sup_{|t|\leqslant h} \biggl(\int_{-\pi}^{\pi}|f(x+t)-f(x)|^p\,dx\biggr)^{1/p},
\end{equation*}
\notag
$$
оценку (2.4) леммы 5 и оценку постоянной $R_2\leqslant 27/8$, которая в явном виде в [5] не приводится, но может быть получена на основании анализа результатов этой монографии (с. 200, с. 236–237, § 1–2 гл. 8). Следствие. Пусть $f\in C_{2\pi}$, $f\not\equiv \operatorname{const}$, $n\in{\mathbb N}$. Тогда верно неравенство где ${\widetilde B}(p)=9.25+(\pi/4)I(p)$. Величина в правой части (4.2) больше
$$
\begin{equation*}
\omega\biggl(f;\,\frac{\pi}{n+1}\biggr)\biggl[\frac{2p}{\pi^2} \ln\biggl(\frac{V_p(f)}{\omega(f;\pi/(n+1))}\biggr)+ \frac{2}{\pi^2}(p\ln 3+\ln\pi)+{\widetilde B}(p)\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим
$$
\begin{equation*}
{\widetilde C}(p)=\frac{2}{\pi^2}(p\ln 3+\ln\pi)+{\widetilde B}(p)
\end{equation*}
\notag
$$
и покажем, что оценка (4.2) слабее (1.4). Сначала сравним величины $C(p)$ из (1.4) и ${\widetilde C}(p)$. Представим интеграл $I(p)$ в виде
$$
\begin{equation*}
I(p)=\exp\biggl(q^{-1} \ln \int_{0}^{+\infty} \biggl(\frac{u-\sin u}{u^2}\biggr)^q\,du\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $(u-\sin u)/u^2<1$, то $I(p)$ – убывающая по переменной $q$, следовательно, возрастающая по переменной $p$ функция.
$$
\begin{equation*}
I(1)=\max_{u>0}\biggl(\frac{u-\sin u}{u^2}\biggr)=\pi^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда ${\widetilde C}(p)\geqslant {\widetilde C}(1)>9.7$ для любого $p\geqslant 1$. Несложно доказать, что функция $(u-\sin u)/u^2$ выпукла вверх на $(0,\pi)$ и, следовательно, на этом интервале верно неравенство $(u-\sin u)/u^2<u/\pi^2$. Также для любого натурального $k$ выполняется
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{(2k-1)\pi}^{(2k+1)\pi}\biggl(\frac{u-\sin u}{u^2}\biggr)^q\,du &=\int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi} \biggl(\frac{u-\pi+\sin u}{(u-\pi)^2}\biggr)^q+ \biggl(\frac{u-\sin u}{u^2}\biggr)^q\,du \\ &=\int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi}\frac{1}{(u-\pi)^q} \biggl(1+\frac{\sin u}{u-\pi}\biggr)^q+\frac{1}{u^q} \biggl(1-\frac{\sin u}{u}\biggr)^q\,du. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
И тогда, используя неравенство Бернулли, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{(2k-1)\pi}^{(2k+1)\pi}\biggl(\frac{u-\sin u}{u^2}\biggr)^q\,du &>\int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi}\frac{1}{(u-\pi)^q} \biggl(1+q\frac{\sin u}{u-\pi}\biggr)+\frac{1}{u^q} \biggl(1-q\frac{\sin u}{u}\biggr)\,du \\ &>\int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi}\frac{1}{(u-\pi)^q}+\frac{1}{u^q}\,du= \int_{(2k-1)\pi}^{(2k+1)\pi}\frac{1}{u^q}\,du. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге получаем следующую оценку для $I(p)$:
$$
\begin{equation*}
I(p)>\biggl(\int_{0}^{\pi}\biggl(\frac{u}{\pi^2}\biggr)^q\,du+ \int_{\pi}^{+\infty}\frac{1}{u^q}\,du\biggr)^{1/q}= \frac{1}{\pi^{1/p}}\biggl(\frac{2p(p-1)}{2p-1}\biggr)^{(p-1)/p}.
\end{equation*}
\notag
$$
При $p>4$ имеем
$$
\begin{equation*}
{\widetilde C}(p)>\frac{2}{\pi^2}(p\ln 3+\ln \pi)+9.25+ \frac{\pi}{4}(p-4)\biggl[\frac{1}{\pi^{1/p}(p-4)} \biggl(\frac{2p(p-1)}{2p-1}\biggr)^{(p-1)/p}\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Численные расчеты показывают, что
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\pi^{1/p}(p-4)} \biggl(\frac{2p(p-1)}{2p-1}\biggr)^{(p-1)/p}>0.97 \qquad\text{при всех}\quad p>4,
\end{equation*}
\notag
$$
а это дает неравенство Теперь можно сравнить величины $C(p)$ и ${\widetilde C}(p)$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, C(p)&<\frac{2p}{\pi^2}\biggl(\ln\biggl(\frac{\pi}{2}\biggr)+ 1\biggr)+1.02< 0.3 \cdot 9.7<0.3{\widetilde C}(p) \qquad \text{при}\quad 1\leqslant p\leqslant 4, \\ C(p)&<\frac{2p}{\pi^2}\biggl(\ln\biggl(\frac{\pi}{2}\biggr)+ 1\biggr)+1.02<0.295p+1.02 \\ &< 0.3(0.984 p+6.43)<0.3{\widetilde C}(p) \qquad\text{при}\quad p>4, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и мы показали, что $C(p)$ меньше ${\widetilde C}(p)$ более, чем в три раза. Кроме этого, в теореме 1 норма остатка ряда Фурье оценивается при помощи величины $\omega_n(f)$, которая не больше $\omega(f;\pi/(n+1))$. Это всегда дает лучший результат в силу монотонного возрастания функции $\omega(a\ln(V/\omega)+b)$ на промежутке $0<\omega\leqslant V$ (см. неравенство (2.1)) и при $b>a$ (в нашем случае $b=C(p)$, $a=2p/\pi^2$). Автор выражает глубокую благодарность А. Ю. Попову за постановку задачи и внимание к работе. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sem24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|