| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Полуправильные решения интегральных уравнений с разрывными нелинейностями В. Н. Павленкоa, Д. К. Потаповb a Челябинский государственный университет b Санкт-Петербургский государственный университет
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624070083 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеПусть $\Omega$ – ограниченная область в ${\mathbb R}^n$, $X$ и $Y$ – вещественные функциональные пространства измеримых на $\Omega$ функций. В пространстве $X$ рассматривается интегральное уравнение Ядро $k(t,s)$ измеримо на $\Omega\times\Omega$ и определяет вполне непрерывный интегральный оператор $A$, действующий из $Y$ в $X$, равенством Функция $g(s,x)$ предполагается суперпозиционно измеримой на $\Omega\times\mathbb R$ (т.е. для любой измеримой на $\Omega$ функции $x(s)$ композиция $g(s,x(s))$ измерима на $\Omega$), причем оператор Немыцкого $G$, порождаемый $g(s,x)$, действует из $X$ в $Y$. Отметим, что нелинейность $g(s,x)$ допускает разрывы по фазовой переменной $x$.Определение 1. Функция $x(s)\in X$ называется решением уравнения (1.1), если $x(s)$ удовлетворяет уравнению (1.1) почти всюду на $\Omega$. Определение 2. Решение $x(s)$ уравнения (1.1) называется полуправильным, если значения $x(s)$ при почти всех $s\in\Omega$ являются точками непрерывности функции $g(s,\cdot)$. Наряду с уравнением (1.1) будем рассматривать интегральное уравнение с положительным параметром $\lambda$ следующего вида: предполагая, что $g(s,0)=0$ почти всюду на $\Omega$. В этом случае уравнение (1.3) имеет тривиальное (нулевое) решение для любого $\lambda>0$ и интерес представляют значения параметра $\lambda$, при которых уравнение (1.3) имеет нетривиальные, в том числе полуправильные, решения.К интегральным уравнениям с разрывными по фазовым переменным нелинейностями приводят математические идеализации различных процессов. Например, к уравнению (1.3) сводится задача Гольдштика об отрывных течениях несжимаемой жидкости [1] (см. ниже пример). Красносельским и Покровским в [2] к исследованию уравнения (1.1) был применен метод нижних и верхних решений для $\Omega=(a,b)$, $X=C(\overline\Omega)$, $Y=L^\infty(\Omega)$. Существование полуправильных решений установлено в случае, когда $k(t,s)>0$ почти всюду на $\Omega\times\Omega$, функция $g(s,x)$ не убывает по $x$ для почти всех $s\in\Omega$ и удовлетворяет условию $\lim_{|x|\to\infty}\sup_{s\in [a,b]}x^{-1}g(s,x)=0$. В 1995 г. этими же авторами была опубликована работа [3] по проблеме существования полуправильных решений для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями, где также применялся метод нижних и верхних решений. Прямым ее продолжением можно считать работы [4], [5]. В [6] к исследованию уравнения (1.1) был применен вариационный метод, который базировался на понятии квазипотенциального оператора (см. далее пункт 4). Дальнейшее развитие данный подход получил, например, в [7] и [8]. В [6] пространства $X=L^p(\Omega)$, $Y=X^*=L^q(\Omega)$, где $p\geqslant 2$, $q=p/(p-1)$, сужение $A$ на $L^2(\Omega)$ – самосопряженный оператор, у которого либо отрицательная, либо положительная части спектра конечны. В этой работе вопрос о существовании полуправильных решений не рассматривался. В [7], [8] доказаны теоремы о существовании полуправильных решений для эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями. Укажем также на работу [9], где вариационным методом изучался вопрос о существовании собственных векторов у квазипотенциальных монотонных операторов. Из последних работ, в которых получены теоремы существования полуправильных решений для эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями вариационным методом, отметим [10] и [11]. В [10] рассматривались эллиптические системы, а в [11] предполагалось, что нелинейности имеют экспоненциальный рост. Отметим, что в [6] исследовались системы интегральных уравнений с нелинейностями, независящими от пространственных переменных. Главное отличие настоящей работы от [6] – это доказательство существования полуправильных решений уравнения (1.1) и нетривиальных полуправильных решений задачи с параметром (1.3). Работы последних лет по интегральным уравнениям связаны с новыми постановками задач, обобщающих классические (1.1) и (1.3), но с нелинейностями, удовлетворяющими условию Каратеодори, т.е. измеримыми по пространственной переменной $s$ и непрерывными по фазовой переменной $x$. Данные постановки были мотивированы рядом прикладных задач. Укажем на некоторые из таких работ. В [12] рассматривались возмущенные интегральные уравнения Гаммерштейна вида в пространстве $C([0,1])$, полуупорядоченном конусом
$$
\begin{equation*}
K=\Bigl\{u\in C([0,1])\colon \min_{t\in [0,1]}u(t)\geqslant c\|u\|\Bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $c$ – положительная константа, $\gamma\in C([0,1])$, $H$ – компактный функционал, ядро $k(t,s)$ измеримо на $[0,1]\times [0,1]$, функция $g\in L^1([0,1])$ неотрицательная почти всюду на $[0,1]$, нелинейность $f$ – каратеодориева на $[0,1]\times [0,+\infty)$. Получены теоремы существования ненулевых решений в $K$, а также теоремы несуществования. Доказательства базируются на теории индекса неподвижной точки. Доказанные теоремы применяются к исследованию моделей состояния прогиба эластичного бруса, химического реактора и термостата. Аналогичный подход в [12] реализуется и при изучении систем
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \displaystyle u(t)=\sum_{j=1}^2\gamma_{1j}(t)H_{1j}(u,v)+F_1(u,v)(t), \\ \displaystyle v(t)=\sum_{j=1}^2\gamma_{2j}(t)H_{2j}(u,v)+F_2(u,v)(t), \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma_{ij}\in C([0,1])$, $H_{ij}$ – компактный функционал,
$$
\begin{equation*}
F_i(u,v)(t)=\int_0^1 k_i(t,s)g_i(s)f_i\bigl(s,u(s),v(s)\bigr)\,ds,
\end{equation*}
\notag
$$
$k_i$ – измеримо на $[0,1]\times [0,1]$, $g_i\in L^1([0,1])$, неотрицательная почти всюду на $[0,1]$, $f_i$ – каратеодориева на $[0,1]\times {\mathbb R}\times {\mathbb R}$ ($i,j=1,2$). В [13] исследовалась система интегральных уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \displaystyle u_1(t)=\int_0^1 k_1(t,s)g_1(s)f_1\bigl(s,u_1(s),\dots,u_1^{(m_1)}(s),u_2(s),\dots,u_2^{(n_1)}(s)\bigr)\,ds, \\ \displaystyle u_2(t)=\int_0^1 k_2(t,s)g_2(s)f_2\bigl(s,u_1(s),\dots,u_1^{(m_2)}(s),u_2(s),\dots,u_2^{(n_2)}(s)\bigr)\,ds,\\ \end{cases}
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
где $k_i\in W_1^{r_i}([0,1]\times [0,1])$, $r_i=\max\{m_i,n_i\}$, $m_i$, $n_i$ – неотрицательные целые числа, $g_i\in L^1([0,1])$, неотрицательная почти всюду на $[0,1]$ и $f_i\colon [0,1]\times {\mathbb R}^{m_i+n_i+2}\to [0,+\infty)$ – $L^\infty$-каратеодориева. Последнее означает, что $f_i(\cdot,x)$ измеримая для любого $x\in {\mathbb R}^{m_i+n_i+2}$, $f_i(s,\cdot)$ непрерывная для почти всех $s\in [0,1]$, и для любого $\rho>0$ существует функция $\varphi_{i\rho}\in L^\infty ([0,1])$ такая, что $f_i(s,x)\leqslant\varphi_{i\rho}(s)$ для $y\in [-\rho,\rho]$ и почти всех $s\in [0,1]$. Система (1.4) рассматривалась в пространстве $C^{r_1}([0,1])\times C^{r_2}([0,1])$, полуупорядоченном конусом $K$ специального вида. Установлена теорема существования ненулевого решения из $K$. Доказательство опирается на известные результаты Гуо–Красносельского из теории конусов (см. [13; лемма 2]). В [14] изучалось уравнение
$$
\begin{equation}
u(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}k(t,s)f\bigl(s,u(s),\dots,u^{(m)}(s)\bigr)\,ds,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
где $k\colon {\mathbb R}^2\to \mathbb R$, принадлежит $W_\infty^m({\mathbb R}^2)$, $m\in\mathbb N$, $f\colon {\mathbb R}\times {\mathbb R}^{m+1}\to\mathbb R$ – $L^1$-каратеодориева, т.е. $f(\cdot,x)$ измеримая для любого $x\in {\mathbb R}^{m+1}$ и $f(s,\cdot)$ непрерывная для почти всех $s\in\mathbb R$, и для любого $r>0$ существует положительная функция $\varphi_r(s)$ из $L^1(\mathbb R)$ такая, что для $x\in {\mathbb R}^{m+1}$ с $|x|<r$ верно неравенство $|f(s,x)|\leqslant \varphi_r(s)$ для почти всех $s\in\mathbb R$. Уравнение (1.5) рассматривалось в пространстве $BC^m(\mathbb R)$, элементами которого являются функции, непрерывные и ограниченные на $\mathbb R$, вместе со своими производными до порядка $m$ включительно, с нормой $\|u\|=\max\{\|u^{(j)}\|_\infty, j=0,\dots,m\}$, где $\|v\|_\infty=\sup_{s\in\mathbb R} |v(s)|$. С помощью теоремы Шаудера о неподвижной точке доказана теорема существования для уравнения (1.5). Полученная теорема прилагается к исследованию модели отклонений бесконечной балки, лежащей на эластичном основании под локализованными внешними нагрузками. В [15] исследовалась система (1.4) на $\mathbb R$ (т.е. интегралы берутся от $-\infty$ до $+\infty$). При этом в предположениях относительно $k_i(t,s)$, $g_i(s)$, $f_i$ в [13] необходимо заменить $[0,1]$ на $\mathbb R$ и отказаться от неотрицательности функции $f_i$ ($i=1,2$). Система рассматривалась в пространстве $BC^{r_1}(\mathbb R)\times BC^{r_2}(\mathbb R)$ (пространство $BC^r(\mathbb R)$ было определено выше). Доказана теорема существования нетривиального решения изучаемой системы с помощью теоремы Шаудера о неподвижной точке. Полученный результат приложен к модели отклонений двух соединенных бесконечных брусов, лежащих на эластичном основании под локализованными внешними нагрузками. 2. Формулировка основных результатовПусть линейный интегральный оператор $A$, заданный формулой (1.2), действует из $Y=X^*=L^q(\Omega)$ в $X=L^p(\Omega)$, $q=p/(p-1)$, $p\geqslant 2$, вполне непрерывный с симметричным на $\Omega\times\Omega$ ядром $k(t,s)$. Тогда сужение $A$ на $H=L^2(\Omega)$ определяет вполне непрерывный самосопряженный оператор в $H$. Будем его обозначать $A_H$. Потребуем дополнительно неотрицательность оператора $A_H$, т.е. выполнение неравенства $(A_Hx,x)\geqslant 0$ для любого $x\in H$, где $(\cdot,\cdot)$ – скалярное произведение в $H$. Тогда определен неотрицательный квадратный корень $A^{1/2}_H$ из $A_H$. Можно показать, что его значения лежат в $X$ и как оператор из $H$ в $X$ он вполне непрерывный (см. [16; следствие 23.1]). Замечание 1. Для того чтобы интегральный оператор $A$, заданный равенством (1.2), с измеримым ядром $k(t,s)$ был вполне непрерывным из $L^q(\Omega)$ в $L^p(\Omega)$, $q^{-1}+p^{-1}=1$, достаточно, чтобы Замечание 2. Обозначим через $B$ оператор $A^{1/2}_H$, определенный выше, как оператор из $H$ в $X$. Тогда $A=BB^*$, причем сопряженный с $B$ оператор $B^*$ совпадает с непрерывным продолжением $A^{1/2}_H$ на $Y$ (см. [17; теорема 15.1]). Сформулируем основные результаты настоящей работы. Теорема 1. Предположим, что Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и дополнительно Тогда существует $\lambda_0>0$ такое, что для любого $\lambda>\lambda_0$ уравнение (1.3) имеет нетривиальное полуправильное решение. 3. ПримерыПриведем пример прикладной задачи, для которой выполняются условия теорем 1 и 2. Пример. Для математического описания отрывных течений несжимаемой жидкости в [1] предложена следующая модель: Здесь $\Delta$ – оператор Лапласа, $\lambda$ – параметр, $\Omega$ – ограниченная область в ${\mathbb R}^2$ с кусочно-гладкой границей $\partial\Omega$, $g(x)=-1$, если $x<0$, и $g(x)=0$, если $x\geqslant 0$. Функция $\phi$ непрерывна и неотрицательна на $\partial\Omega$, отлична от нуля на части границы. Физический смысл $x(s)$ – функция тока, а $\lambda$ – завихренность. Определение 3. Функция $x(s)\in W_q^2(\Omega)$, $q>1$, называется решением задачи (3.1)–(3.2), если $x(s)$ удовлетворяет уравнению (3.1) почти всюду на $\Omega$ и граничному условию (3.2). Заметим, что для любого $\lambda>0$ задача (3.1)–(3.2) имеет решение $\psi(s)$, для которого $\Delta\psi(s)=0$ на $\Omega$ и $\psi(s)=\phi(s)$ на $\partial\Omega$ (оно соответствует потенциальному течению жидкости). Интерес представляет ситуация, когда образуются отрывные течения. Математически это означает, что $\operatorname{mes}\{t\in\Omega\colon x(t)<0\}\neq 0$. В силу принципа максимума функция $\psi(s)$ положительна в $\Omega$. Заменой $z(t)=x(t)-\psi(t)$ задача (3.1)–(3.2) преобразуется к краевой задаче с однородными граничными условиями
$$
\begin{equation}
-\Delta z(t) =\lambda\widetilde{g}(t,z(t)), \qquad t \in\Omega,
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где $\widetilde{g}(t,z)=-1$, если $z<-\psi(t)$, $\widetilde{g}(t,z)=0$, если $z\geqslant -\psi(t)$. Если $z(t)$ – решение задачи (3.3)–(3.4), то $z(t)$ непрерывно дифференцируемая на $\overline\Omega$ функция, которая допускает следующее представление:
$$
\begin{equation}
z(t)=\lambda\int_\Omega k(t,s)\widetilde{g}(s,z(s))\,ds.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Здесь $k(t,s)$ – функция Грина оператора $-\Delta$ с однородными граничными условиями. Интегральный оператор $Az(t)=\int_\Omega k(t,s)z(s)\,ds$ – самосопряженный, неотрицательный и вполне непрерывный в пространстве $H=L^2(\Omega)$. Таким образом, условия 1) и 2) теоремы 1 выполняются с $q=p=2$. Покажем, что условие 3) теоремы 1 выполнено с $h(s)\equiv 1$ на $\Omega$. Действительно, $v(s)=Ah(s)$ является решением задачи
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} -\Delta v(s)&=1,&\qquad s&\in\Omega, \\ v(s)&=0,&\qquad s&\in\partial\Omega. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда в силу принципа максимума следует, что $v(s)>0$ на $\Omega$. Проверим, что $\widetilde{g}(s,x)$ суперпозиционно измеримая на $\Omega\times\mathbb R$ (условие 4) теоремы 1). Пусть $x(s)$ – измеримая на $\Omega$ функция. Функция $\widetilde{g}(s,x(s))$ принимает только два значения – $0$ или $-1$. Множества
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \{s\in\Omega\colon \widetilde{g}(s,x(s))=0\}&=\{s\in\Omega\colon x(s)+\psi(s)\geqslant 0\}, \\ \{s\in\Omega\colon \widetilde{g}(s,x(s))=-1\}&=\{s\in\Omega\colon x(s)+\psi(s)<0\} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
измеримые, поскольку функция $x(s)+\psi(s)$ измеримая на $\Omega$. Следовательно, функция $\widetilde{g}(s,x(s))$ измеримая на $\Omega$. Суперпозиционная измеримость $\widetilde{g}(s,x)$ на $\Omega\times\mathbb R$ доказана. Перейдем к проверке условий 5) и 6) теоремы 1. Фиксируем $s\in\Omega$. Функция $\widetilde{g}(s,\cdot)$ имеет единственную точку разрыва $x=-\psi(s)$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde{g}(s,-\psi(s)-) &=\lim_{\eta\to -\psi(s)-}\widetilde{g}(s,\eta)=-1, \\ \widetilde{g}(s,-\psi(s)+)&=\lim_{\eta\to -\psi(s)+}\widetilde{g}(s,\eta)=0=\widetilde{g}(s,\psi(s)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из чего заключаем, что выполняются условия 5) и 6) теоремы 1. Условие 7) теоремы 1 очевидно выполняется, если взять $a(s)\equiv 1$ на $\Omega$ и $b=0$. Далее, фиксируем $s\in\Omega$. Если $x\geqslant -\psi(s)$, то $2\int_0^x \widetilde{g}(s,v)\,dv=0$. Если $x<-\psi(s)$, то
$$
\begin{equation*}
2\int_0^x \widetilde{g}(s,v)\,dv=-2\int_x^{-\psi(s)}(-1)\,dv=-2\psi(s)-2x=-2\psi(s)+2|x|<2|x|.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что условие 8) теоремы 1 выполняется. Поскольку $\widetilde{g}(s,0)=0$, то условие $({\rm i1})$ теоремы 2 выполняется. Осталось проверить условие $({\rm i2})$ теоремы 2 с $B=A^{1/2}$. Пусть $z(s)=A^{1/2}h(s)$, где $h(s)\equiv 1$ на $\Omega$. Как было показано выше $Ah(s)>0$ на $\Omega$. Поэтому $A^{1/2}z(s)=Ah(s)>0$ на $\Omega$. Положим $u(s)=-Mz(s)$, где положительная константа $M$ выбирается так, чтобы в фиксированной точке $t\in\Omega$ выполнялось неравенство $MA^{1/2}z(t)>\psi(t)$. Как и прежде, $\psi(s)$ – решение задачи
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \Delta x(s)&=0,&\qquad s&\in\Omega, \\ x(s)&=\phi(s),&\qquad s&\in\partial\Omega, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
$\phi(s)$ – значение функции тока на $\partial\Omega$ (см. граничное условие (3.2)). Поскольку функции $A^{1/2}z(s)=Ah(s)$ и $\psi(s)$ непрерывны на $\Omega$, то множество имеет положительную меру. Покажем, что $f(A^{1/2}u)>0$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f(A^{1/2}u) &=\int_\Omega ds\int_0^{A^{1/2}u(s)}\widetilde{g}(s,v)\,dv= -\int_\Omega ds\int_{-MA^{1/2}z(s)}^0\widetilde{g}(s,v)\,dv \\ &= -\int_{\Omega_1} ds\int_{-MA^{1/2}z(s)}^{-\psi(s)}(-1)\,dv= \int_{\Omega_1} (MA^{1/2}z(s)-\psi(s))\,ds>0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось доказать. Таким образом, для интегрального уравнения (3.5) с параметром $\lambda$ выполнены все условия теоремы 2. Следовательно, существует $\lambda_0>0$ такое, что для любого $\lambda>\lambda_0$ уравнение (3.5) имеет нетривиальное полуправильное решение. Замечание 3. Простое достаточное условие суперпозиционной измеримости разрывной нелинейности $g(s,x)$ по $x$ и измеримой по $s$ на $\Omega\times\mathbb R$ было получено в [18]. А именно, для почти всех $s\in\Omega$ сечение $g(s,\cdot)$ в каждой точке $x\in\mathbb R$ должно иметь конечные односторонние пределы и быть непрерывным справа (слева) на $\mathbb R$. Отметим, что, например, монотонности и односторонней непрерывности $g(s,\cdot)$ на $\mathbb R$ для почти всех $s\in\Omega$ и измеримости $g(\cdot,x)$ для любых $x\in\mathbb R$, недостаточно для суперпозиционной измеримости функции $g(s,x)$. Ниже приведем соответствующий пример. Пример. Пусть $Z$ – неизмеримое множество на $[0,1]$. На $[0,1]\times\mathbb R$ рассмотрим функцию $g(s,x)=0$, если $x<s$, $g(s,x)=1$, если $x>s$, $g(s,s)=0$, если $s\in Z$ и $g(s,s)=1$, если $s\in [0,1]\setminus Z$. Для любого $s\in [0,1]$ функция $g(s,\cdot)$ неубывающая и непрерывная слева на $\mathbb R$, если $s\in Z$, и справа, если $s\in [0,1]\setminus Z$. Измеримость $g(\cdot,x)$ для каждого $x\in\mathbb R$ очевидна. Однако функция $g(s,s)$ неизмеримая на $[0,1]$, поскольку множество $\{s\in [0,1]\colon g(s,s)=0\}=Z$. 4. Предварительные сведенияПриведем ряд определений и утверждений, связанных с вариационным подходом к исследованию уравнений с разрывными операторами, который используется в настоящей работе. Пусть $E$ – вещественное банахово пространство, $E^*$ – сопряженное с $E$ пространство и $T$ – оператор, действующий из $E$ в $E^*$. Через $\langle y,x\rangle$ будем обозначать значение функционала $y\in E^*$ на элементе $x\in E$. Определение 4. Оператор $T$ называется радиально непрерывным в точке $x\,{\in}\, E$, если для любого $h\in E$ существует $\lim_{t\to 0}\langle T(x+th),h\rangle$, равный $\langle Tx,h\rangle$. Определение 5. Элемент $x\in E$ называется точкой разрыва оператора $T$, если найдется $h\in E$, для которого либо $\lim_{t\to 0}\langle T(x+th),h\rangle$ не существует, либо Определение 6. Оператор $T$ называется радиально суммируемым, если для любых $x$, $h\in E$ функция $\psi_{x,h}(t)=\langle T(x+th),h\rangle$ суммируема по Лебегу на $[0,1]$. Определение 7. Радиально суммируемый оператор $T$ называется квазипотенциальным, если существует непрерывный функционал $f\colon E\to\mathbb R$ такой, что При этом $f$ будем называть квазипотенциалом оператора $T$. Данный класс операторов был введен в [6], а термин “квазипотенциальный” появился в [17; с. 253] (см. также [9]). Приведем пример квазипотенциального оператора. Пример. В [19] показано, что если функция $g(s,x)$ удовлетворяет условиям 4) и 7) теоремы 1, то оператор Немыцкого $G(x)=g(s,x(s))$ действует из $E=L^p(\Omega)$ в $E^*=L^q(\Omega)$ ($p^{-1}+q^{-1}=1$), квазипотенциальный и его квазипотенциал. Заметим, что из условия 7) теоремы 1 следует оценка где $\|\cdot\|_l$ – норма в $L^l(\Omega)$, $l\geqslant 1$. Определение 8. Элемент $x\in E$ называется регулярной точкой оператора $T$, если существует $h\in E$ такой, что $\limsup_{t\to 0+}\langle T(x+th),h\rangle<0$. Сформулируем вариационный принцип, с помощью которого получаются результаты о существовании полуправильных решений. Теорема 3 (см. [7; теорема 1] или [8; теорема 1]). Пусть $x\in E$ – точка минимума квазипотенциала $f$ локально ограниченного оператора $T$, причем точки разрыва оператора $T$ регулярные. Тогда $x$ – точка радиальной непрерывности оператора $T$ и $Tx=0$. Укажем простое достаточное условие регулярности точек разрыва оператора $T$. Предложение 1 (см. [7; предложение 1]). Пусть $x$ – точка разрыва оператора $T$ и для любого $h\in E$ существует $\lim_{t\to 0+}\langle T(x+th)-Tx,h\rangle\leqslant 0$. Тогда $x$ – регулярная точка $T$. Определение 9. Вещественный функционал $f$, определенный на $E$, называется слабо непрерывным (слабо полунепрерывным снизу) в точке $x\in E$, если для любой слабо сходящейся к $x$ в $E$ последовательности $x_n$ имеем $\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x)$ (соответственно $\liminf_{n\to\infty}f(x_n)\geqslant f(x)$). Нам понадобится еще один результат. Теорема 4 (см. [17; теорема 9.5]). Пусть $f\colon E\to\mathbb R$ слабо полунепрерывный снизу на $E$ коэрцитивный функционал. Тогда существует $x_0\in E$ такое, что $f(x_0)=\inf_{x\in E}f(x)$. 5. Операторная постановка задачОператорная запись уравнения (1.1) имеет вид а уравнения (1.3) – $x=\lambda AG(x)$. Здесь $A$ – линейный интегральный оператор (1.2), действующий из $Y=X^*=L^q(\Omega)$ в $X=L^p(\Omega)$, $q=p/(p-1)$, $p\geqslant 2$, $G\colon X\to Y$ – оператор Немыцкого, порожденный нелинейностью $g(s,x)$, параметр $\lambda$ положительный.При выполнении условий 1) и 2) теоремы 1 оператор $A$ вполне непрерывный и его сужение $A_H$ на гильбертово пространство $H=L^2(\Omega)$ – самосопряженный неотрицательный оператор. В силу замечания 2 имеем $A=BB^*$, где $B\colon H\to X$ вполне непрерывный оператор и совпадает с $A_H^{1/2}$, а сопряженный с $B$ оператор $B^*$ является продолжением $A_H^{1/2}$ на $Y$. Кроме того, оператор $G$ квазипотенциальный и его квазипотенциал $f(x)=\int_\Omega ds\int_0^{x(s)}g(s,v)\,dv$ для любого $x\in X$ (см. пример). Уравнение вида (5.1) называют уравнением Гаммерштейна. В случае, когда $G$ – потенциальный оператор, вариационным методом такие уравнения изучались Вайнбергом и его учениками (см. монографию [17] и библиографию к ней), а также Красносельским (см. [20; гл. VI]). Исключение составляют работы [6], [9], а также [17; п. 17.7], где $G$ – квазипотенциальный оператор. Однако в этих работах полуправильные решения не рассматривались. Применить вариационный метод к уравнению (5.1) напрямую невозможно даже в случае, когда $G$ – потенциальный оператор (поскольку оператор $AG$, вообще говоря, непотенциальный). Если $G$ – потенциальный, то определенным образом (см. [16], [17]) от уравнения (5.1) переходят к уравнению с потенциальным оператором, из решения которого несложно получить решение уравнения (5.1). К полученному уравнению применяется вариационный метод. Доказательство теоремы 1 проводится по такой же схеме и вариационный принцип (теорема 3) применяется к уравнению с квазипотенциальным оператором. 6. Доказательство основных результатов Доказательство теоремы 1. Поскольку оператор Немыцкого $G\colon X\to Y$ квазипотенциален и $f$ – его квазипотенциал, то $f(Bu)$ – квазипотенциал оператора $F=B^*GB$, действующего в $H$. Здесь $B\colon H\to X$, $Bu=A_H^{1/2}u$ для любого $u\in H$. Действительно, для любых $u$, $h\in H$ имеем
$$
\begin{equation*}
f(B(u+h))-f(Bu)=\int_0^1\bigl\langle G(Bu+tBh),Bh\bigr\rangle \,dt=\int_0^1\bigl \langle B^*GB(u+th),h\bigr\rangle \, dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $B$ вполне непрерывный, а $f\colon X\to\mathbb R$ непрерывный, то функционал $f(Bu)$ слабо непрерывный на $H$. Рассмотрим функционал $\varphi(u)=\frac12(u,u)-f(Bu)$ на $H$. Тогда $\varphi$ – квазипотенциал оператора $Tu=u-B^*GBu$, действующего в $H$. Так как функционал $\frac12(u,u)$ слабо полунепрерывный снизу на $H$ [21; с. 168, следствие 2], а $f(Bu)$ слабо непрерывный, то функционал $\varphi(u)$ – слабо полунепрерывный снизу на $H$. Из условия 8) теоремы 1 следует коэрцитивность $\varphi$, так как для любого $u\in H$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varphi(u) &=\frac12\biggl(\|u\|_H^2-2\int_\Omega ds\int_0^{Bu(s)}g(s,v)\,dv\biggr) \\ &\geqslant\frac12\biggl(\|u\|_H^2-\int_\Omega \bigl(a(Bu(s))^2+b(s)|Bu(s)|^\nu+c(s)\bigr)\,ds\biggr) \\ &\geqslant\frac12\biggl(\bigl(1-a\|A_H\|\bigr)\|u\|_H^2-\|b\|_\alpha\|A_H\|^{\nu/2}\|u\|_H^\nu-\|c\|_1\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $a\|A_H\|<1$ и $\nu<2$, а значит $\lim_{\|u\|\to +\infty}\varphi(u)=+\infty$. Таким образом, для функционала $\varphi(u)$ выполнены условия теоремы 4. Поэтому существет $u_0\in H$ такое, что
Заметим, что в силу оценки (4.1) оператор $T$ ограниченные множества в $H$ переводит в ограниченные. Поэтому чтобы воспользоваться теоремой 3 осталось проверить, что все точки разрыва оператора $T$ регулярные. Для этого достаточно проверить выполнение условий предложения 1, т.е. что для любых $u$, $h\in H$ существует неположительный $\lim_{t\to 0+}\langle T(u+th)-Tu,h\rangle$. Фиксируем $u$, $h\in H$. Для произвольного $t\in [0,1]$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\bigl\langle T(u+th)-Tu,h\bigr\rangle=\bigl\langle u+th-B^*GB(u+th)-u+B^*GBu,h\bigr\rangle \\ \notag &\qquad =t\|h\|_H^2-\bigl\langle G(Bu+tBh)-G(Bu),Bh\bigr\rangle \\ &\qquad =t\|h\|_H^2-\int_\Omega \bigl(g(s,Bu(s)+tBh(s))-g(s,Bu(s))\bigr)Bh(s)\,ds. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
В силу условий 5) и 6) теоремы 1 существует
$$
\begin{equation}
\lim_{t\to 0+}\bigl(g(s,Bu(s)+tBh(s))-g(s,Bu(s))\bigr)Bh(s)\geqslant 0
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
для почти всех $s\in\Omega$. Из условия 7) теоремы 1 получается оценка для $t\in [0,1]$ и почти всех $s\in\Omega$
$$
\begin{equation*}
\bigl|g\bigl(s,Bu(s)+tBh(s)\bigr)Bh(s)\bigr|\leqslant \bigl(a(s)+b(|Bu(s)|+|Bh(s)|)^{p-1}\bigr)|Bh(s)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку правая часть последнего неравенства суммируема, то согласно теореме Лебега [22; гл. V, § 5, теорема 6] можно перейти к пределу под знаком интеграла в (6.2). Отсюда и неравенства (6.3) заключаем о существовании и неположительности $\lim_{t\to 0+}\langle T(u+th)-Tu,h\rangle$. Из предложения 1 следует, что все точки разрыва оператора $T$ регулярные.
Таким образом, выполнены условия теоремы 3. Следовательно, $u_0$, удовлетворяющее (6.1), является точкой радиальной непрерывности оператора $T$ и $Tu_0=0$. Последнее означает, что $u_0=B^*GBu_0$. Применяя к обеим частям этого равенства оператор $B$ и полагая $x_0=Bu_0$, получим $x_0=AG(x_0)$, т.е. $x_0$ – решение уравнения (1.1). Осталось показать, что $x_0$ – полуправильное решение уравнения (1.1). Допустим противное. Тогда с учетом условий 5) и 6) теоремы 1 мера множества
$$
\begin{equation*}
D=\bigl\{s\in\Omega\colon g(s,x_0(s)+)>g(s,x_0(s)-)\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
больше нуля. Из условия 3) теоремы 1 следует существование $h\in X$ такого, что $Ah(s)\neq 0$ почти всюду на $\Omega$. Поскольку $A=BB^*$, то $z(s)=B^*h(s)\in H$ и $v(s)=Bz(s)\neq 0$ почти всюду на $\Omega$. Тогда пересечение с $D$ хотя бы одного из множеств $\Omega_-=\{s\in\Omega\colon v(s)<0\}$ и $\Omega_+=\{s\in\Omega\colon v(s)>0\}$ имеет положительную меру, поскольку $\Omega_-\cup\Omega_+$ отличается от $\Omega$ на множество меры нуль. Пусть для определенности мера множества $D_+=D\cap\Omega_+$ ненулевая. Обозначим через $\omega_1$ множество $\{s\in D_+\colon g(s,x_0(s))<g(s,x_0(s)+)\}$, а через $\omega_2$ множество $\{s\in D_+\colon g(s,x_0(s))>g(s,x_0(s)-)\}$. Тогда хотя бы одно из них имеет положительную меру, так как в противном случае почти всюду на $D_+$ имеем $g(s,x_0(s)+)=g(s,x_0(s)-)$, что противоречит включению $D_+\subset D$. Поскольку $u_0(s)$ – точка радиальной непрерывности оператора $T$, то
$$
\begin{equation*}
\lim_{t\to 0+}\langle T(u_0+tz)-Tu_0,z\rangle=0, \qquad \lim_{t\to 0+}\langle -T(u_0-tz)+Tu_0,z\rangle=0,
\end{equation*}
\notag
$$
что в силу (6.2) влечет
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \lim_{t\to 0+}\int_\Omega \bigl(g(s,x_0(s)+tv(s))-g(s,x_0(s))\bigr)v(s)\,ds=0, \\ \lim_{t\to 0+}\int_\Omega \bigl(g(s,x_0(s))-g(s,x_0(s)-tv(s))\bigr)v(s)\,ds=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя к пределу под знаком интеграла в двух последних равенствах, получим
$$
\begin{equation}
\int_{\Omega_+}\bigl(g(s,x_0(s)+)-g(s,x_0(s))\bigr)v(s)\,ds+ \int_{\Omega_-}\bigl(g(s,x_0(s)-)-g(s,x_0(s))\bigr)v(s)\,ds=0,
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
$$
\begin{equation}
\int_{\Omega_+}\bigl(g(s,x_0(s))-g(s,x_0(s)-)\bigr)v(s)\,ds+ \int_{\Omega_-}\bigl(g(s,x_0(s))-g(s,x_0(s)+)\bigr)v(s)\,ds=0.
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
Возможность перехода к пределу под знаком интеграла следует из условия 7) теоремы 1 и теоремы Лебега. Заметим, что подынтегральные выражения в (6.4) и (6.5) неотрицательные. Если $\operatorname{mes}\omega_1>0$, то первый интеграл в (6.4) положительный, что приводит в противоречию с (6.4). Если $\operatorname{mes}\omega_2>0$, то положительный первый интеграл в (6.5), что противоречит (6.5). Случай, когда $\operatorname{mes}D\cap\Omega_->0$, сводится к рассмотренному, если $v(s)$ заменить на $-v(s)$. Теорема 1 доказана. Доказательство теоремы 2. Заметим, что для задачи (1.3) выполняются все условия теоремы 1, если в уравнении (1.1) заменить $g(s,x)$ на $\lambda g(s,x)$, $\lambda>0$. Поэтому для любого $\lambda>0$ существует $u_\lambda\in H$ такое, что $\varphi_\lambda(u_\lambda)=\inf_{u\in H}\varphi_\lambda(u)$, $\varphi_\lambda(u)=\frac12(u,u)-\lambda f(Bu)$, где $f$ и $B$ те же, что и в теореме 1. Более того, $Bu_\lambda$ – полуправильное решение уравнения (1.3). Из условия ${\rm (i1)}$ теоремы 2 следует, что $\varphi_\lambda(0)=0$. Поэтому, если существует $v\in H$ такое, что $\varphi_\lambda(v)<0$, то $\varphi_\lambda(u_\lambda)<0$ и значит $Bu_\lambda\neq 0$, так как в противном случае $f(Bu_\lambda)=0$ и $\varphi_\lambda(u_\lambda)=\frac12\|u_\lambda\|_H^2$. Из условия ${\rm (i2)}$ теоремы 2 следует существование $v\in H$ такого, что $f(Bv)>0$. Тогда $\lim_{\lambda\to +\infty}\varphi_\lambda(v)=-\infty$. Следовательно, найдется $\lambda_0>0$ такое, что справедливо неравенство $\varphi_\lambda(v)<0$ для любого $\lambda>\lambda_0$. Отсюда следует, что $Bu_\lambda$ – нетривиальное полуправильное решение уравнения (1.3). Теорема 2 доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{PavPot24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|