| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Группа изометрий решетки И. С. Бельдиев Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624030222 
Реферативные базы данных:
  1. Введение и постановка задачиМы будем работать над полем комплексных чисел $\mathbb C$. Проективное пространство $\mathbb C\mathbb P_n$ будем обозначать просто $\mathbb P_n$. Известно, что группа Гротендика $K_0(\mathbb P_n)$ когерентных пучков на $\mathbb P_n$ – это свободный $\mathbb Z$-модуль ранга $n+1$, снабженный формой Эйлера
$$
\begin{equation*}
\chi(E,F)=\sum_\nu(-1)^\nu\operatorname{dim}\operatorname{Ext}^\nu(E,F).
\end{equation*}
\notag
$$
Для удобства класс $[E]$ в $K_0(\mathbb P_n)$ когерентного пучка $E$ мы часто будем обозначать просто $E$. Определение 1. Базис $E_0,E_1,\dots,E_n$ решетки $K_0(\mathbb P_n)$ над $\mathbb Z$ называется исключительным, если матрица Грама формы $\chi$ в этом базисе верхняя унитреугольная, т.е. $\chi(E_i,E_j)=0$ при $i>j$ и $\chi(e_i,e_j)=1$ при $i=j$. Основной пример исключительного базиса решетки $K_0(\mathbb P_n)$ – $\mathscr O,\mathscr O(1),\dots,\mathscr O(n).$ То, что это исключительный базис, следует из теоремы Бейлинсона; см. [1]. Более того, любые $n+1$ последовательных “подкруток” $\mathscr O(k),\mathscr O(k+1),\dots,\mathscr O(k+n)$, где $k\in\mathbb Z$, образуют базис решетки $K_0(\mathbb P_n)$. Группа кос $B_{n+1}$ с $n+1$ нитями действует на множестве исключительных базисов решетки $K_0(\mathbb P_n)$ следующим образом: если $E_0,E_1,\dots,E_n$ – исключительный базис $K_0(\mathbb P_n)$, то образующие $g_i$ и $g_i^{-1}$ группы $B_{n+1}$ заменяют пару $E_i,E_{i+1}$ на
$$
\begin{equation*}
E_{i+1}-\chi(E_i, E_{i+1})E_i,E_i\qquad \text{и}\qquad E_{i+1},E_i-\chi(E_i,E_{i+1})E_{i+1}
\end{equation*}
\notag
$$
соответственно и оставляют неподвижными остальные векторы базиса. Как показывает прямое вычисление, эти формулы согласованы с соотношениями
$$
\begin{equation*}
g_ig_{i+1}g_i=g_{i+1}g_ig_{i+1}\quad \text{для всех}\quad i\qquad \text{и}\qquad g_ig_j=g_jg_i\quad \text{при}\quad |i-j|>1.
\end{equation*}
\notag
$$
Указанные преобразования называются соответственно левыми и правыми перестройками исключительного базиса $E_0,E_1,\dots,E_n$. Более подробные сведения о группе кос и ее действии на исключительных базисах можно найти в [2]. С описанным действием связана следующая гипотеза. Гипотеза 1. Группа, порожденная левыми и правыми перестройками исключительных базисов и изометриями решетки $K_0(\mathbb P_n)$, действует транзитивно на множестве всех ее исключительных базисов. Эта гипотеза доказана только в случаях $n=2$ (см. [3]) и $n=3$ (см. [4]). При этом методы, используемые в [3], [4], вряд ли могут быть обобщены на случай произвольного $n$. Более того, доказательство гипотезы в случае $n=3$, приведенное в [4], достаточно сложно, так что было бы интересно найти более простое доказательство даже в этом конкретном случае. Для этого полезно понять, как устроена группа изометрий решетки $(K_0(\mathbb P_n),\chi)$. Будем обозначать ее $\operatorname{Isom}(K_0(\mathbb P_n))$. В работе мы доказываем несколько результатов, более конкретно описывающих структуру этой группы:
2. Предварительные сведенияНапомним, что $\mathscr O,\mathscr O(1),\dots,\mathscr O(n)$ – исключительный базис $K_0(\mathbb P_n)$. Матрица Грама формы $\chi$ в этом базисе следующая:
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} 1 &n+1 &\displaystyle \binom{n+2}{2} &\dots &\displaystyle\binom{2n-1}{n-1} &\displaystyle\binom{2n}{n} \\ 0 &1 &n+1 &\dots &\displaystyle\binom{2n-2}{n-2} &\displaystyle\binom{2n-1}{n-1} \\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\ 0 &0 &0 &\dots &1 &n+1 \\ 0 &0 &0 &\dots &0 &1 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
так как $\chi(\mathscr O(k),\mathscr O(m))=\binom{n+m-k}{n}$ для всех $m,k\in\mathbb Z$. Опишем еще один базис решетки $K_0(\mathbb P_n)$, с которым нам иногда будет более удобно работать. Зафиксируем флаг $\mathbb P_0\subset\mathbb P_1\subset\dotsb\subset\mathbb P_n$. Тогда $\mathscr O_{\mathbb P_n},\mathscr O_{\mathbb P_{n-1}},\dots, \mathscr O_{\mathbb P_1},\mathscr O_{\mathbb P_0}$, где $\mathscr O_Y$ – ограничение структурного пучка $\mathscr O$ на подмногообразие $Y\subset\mathbb P_n$, также является базисом решетки $K_0(\mathbb P_n)$. Нам понадобятся формулы для выражения базиса $\mathscr O,\mathscr O(1),\dots,\mathscr O(n)$ через базис $\mathscr O_{\mathbb P_n},\mathscr O_{\mathbb P_{n-1}},\dots, \mathscr O_{\mathbb P_1},\mathscr O_{\mathbb P_0}$. Они могут быть получены из следующих соображений. Рассмотрим короткую точную последовательность (здесь $s$ – линейная форма, обращающаяся в нуль на гиперплоскости $\mathbb P_{n-1}$)
$$
\begin{equation*}
0\to\mathscr O(-1)\xrightarrow[]{\mathrm{s}}\mathscr O \to\mathscr O|_{\mathbb P_{n-1}}\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Из этой последовательности получаем соотношение
$$
\begin{equation*}
\mathscr O_{\mathbb P_{n-1}}=\mathscr O-\mathscr O(-1).
\end{equation*}
\notag
$$
Рассматривая аналогичные короткие точные последовательности для подпространств $\mathbb P_{n-1},\mathbb P_{n-2},\dots,\mathbb P_1$, получаем формулы перехода от базиса $\mathscr O,\mathscr O(-1),\dots, \mathscr O(-n)$ к базису $\mathscr O_{\mathbb P_n},\mathscr O_{\mathbb P_{n-1}},\dots, \mathscr O_{\mathbb P_1},\mathscr O_{\mathbb P_0}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathscr O_{\mathbb P_n} =\mathscr O, \\ \mathscr O_{\mathbb P_{n-1}} =\mathscr O-\mathscr O(-1); \\ \mathscr O_{\mathbb P_{n-2}} =\mathscr O-2\mathscr O(-1)+\mathscr O(-2); \\ \dots \\ \mathscr O_{\mathbb P_0} =\mathscr O-n\mathscr O(-1) +\binom{n}{2}\mathscr O(-2)-\dotsb+(-1)^n\mathscr O(-n). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, из комплекса Кошуля
$$
\begin{equation*}
0\to\mathscr O\to \mathscr O(1)^{\bigoplus(n+1)} \to\mathscr O(2)^{\bigoplus\binom{n+1}{2}} \to\dotsb\to\mathscr O(n)^{\bigoplus (n+1)}\to\mathscr O(n+1)\to 0
\end{equation*}
\notag
$$
следует соотношение
$$
\begin{equation*}
\mathscr O-(n+1)\mathscr O(1)+\binom{n+1}{2}\mathscr O(2)-\dotsb +(-1)^n(n+1)\mathscr O(n)+(-1)^{n+1}\mathscr O(n+1)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
при подкрутке которого на $\mathscr O(k)$ ($k$ – произвольное целое число) получается равенство
$$
\begin{equation*}
\mathscr O(k)-(n+1)\mathscr O(k+1)+\binom{n+1}{2}\mathscr O(k+2) -\dotsb+(-1)^{n+1}\mathscr O(k+n+1)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Пользуясь полученными соотношениями и проделав необходимые вычисления, можно вывести следующие формулы для выражения базиса $\mathscr O,\mathscr O(1),\dots,\mathscr O(n)$ через базис $\mathscr O_{\mathbb P_n},\mathscr O_{\mathbb P_{n-1}},\dots, \mathscr O_{\mathbb P_1},\mathscr O_{\mathbb P_0}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathscr O =\mathscr O_{\mathbb P_n}, \\ \mathscr O(1) =\mathscr O_{\mathbb P_n}+\mathscr O_{\mathbb P_{n-1}}+\dotsb +\mathscr O_{\mathbb P_0}; \\ \mathscr O(2) =\mathscr O_{\mathbb P_n}+2\mathscr O_{\mathbb P_{n-1}}+\dotsb +(n+1)\mathscr O_{\mathbb P_0}; \\ \dots \\ \mathscr O(n) =\mathscr O_{\mathbb P_n}+\binom{n+1}{n}\mathscr O_{\mathbb P_{n-1}} +\dotsb+\binom{2n}{n}\mathscr O_{\mathbb P_0}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отобразим каждый класс $[E]\in K_0(\mathbb P_n)$ в его многочлен Гильберта $\chi(E(t))$. При этом базис $\mathscr O,\mathscr O(1),\dots,\mathscr O(n)$ отождествляется с где
$$
\begin{equation*}
\gamma_k(t)=\binom{t+k}{k}=\frac{1}{k!}(t+1)(t+2)\dotsb(t+k).
\end{equation*}
\notag
$$
Как известно, многочлены $\gamma_n(t+i)$, $i=0,1,\dots,n$, образуют базис $\mathbb Z$-модуля
$$
\begin{equation*}
\mathscr M_n=\bigl\{f\in\mathbb Q[t]\colon f(\mathbb Z)\subset\mathbb Z\bigr\}\subset\mathbb Q[t]
\end{equation*}
\notag
$$
целозначных многочленов степени не выше $n$ с рациональными коэффициентами. Таким образом, решетка $K_0(\mathbb P_n)$ канонически отождествляется с этим модулем. Обозначим через $D$ дифференциальный оператор $d/dt$, действующий на $\mathbb Q[t]$. Поскольку отождествление $\mathscr M_n\cong K_0(\mathbb P_n)$ может быть продолжено до отождествления
$$
\begin{equation*}
\mathbb Q[t]_{\leqslant n}\cong K_0(\mathbb P_n)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q,
\end{equation*}
\notag
$$
мы получаем оператор, действующий на $K_0(\mathbb P_n)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q$, индуцированный оператором $D$. Для простоты этот оператор также будем обозначать $D$. При отождествлении $\mathscr M_n\cong K_0(\mathbb P_n)$ “подкрутка” $T\colon E\mapsto E(m)=E\otimes\mathscr O(m)$ отображается в оператор, действующий по правилу $e^{mD}\colon h_E(t)\mapsto h_E(t+m)$. Из уже упомянутой короткой точной последовательности
$$
\begin{equation*}
0\to \mathscr O(-1)\xrightarrow[]{\mathrm{s}}\mathscr O \to\mathscr O|_{\mathbb P_{n-1}}\to 0
\end{equation*}
\notag
$$
вытекает, что для локально свободного пучка $E$ существует следующая короткая точная последовательность:
$$
\begin{equation*}
0\to E(-1) \xrightarrow[]{\mathrm s}E\to E|_{\mathbb P_{n-1}}\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы приходим к выводу, что $h_{E|_{\mathbb P_{n-1}}}=h_E(t)-h_E(t-1)=\nabla h_E(t)$ для $E\in K_0(\mathbb P_n)$, где В частности, базис $\mathscr O_{\mathbb P_n},\mathscr O_{\mathbb P_{n-1}},\dots, \mathscr O_{\mathbb P_1},\mathscr O_{\mathbb P_0}$ переходит в базис при каноническом отождествлении $K_0(\mathbb P_n)$ с $\mathscr M_n$.Наконец, стоит сказать несколько слов о мультипликативной структуре на $\mathscr M_n$, индуцированной тензорным умножением на $K_0(\mathbb P_n)$. Имеется изоморфизм $\mathbb Q$-алгебр
$$
\begin{equation*}
\mathbb Q[[\nabla]]/\nabla^{n+1}=\mathbb Q[[D]]/D^{n+1} \cong \mathscr M_n\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q,
\end{equation*}
\notag
$$
заданный правилом $\psi(D)\mapsto\psi(D)\gamma_n$. Прообразом $\mathscr M_n$ при этом изоморфизме является решетка $\mathbb Z[[\nabla]]/\nabla^{n+1}$. Если мы отождествим эту решетку с $K_0(\mathbb P_n)$, тензорное произведение классов пучков в $K_0(\mathbb P_n)$ перейдет в обычное умножение в кольце $\mathbb Z[[\nabla]]/\nabla^{n+1}$. Однако с точки зрения самого $\mathscr M_n$ эта мультипликативная структура не описывается в настолько простых терминах.
3. Изометрии $K_0(\mathbb P_n)\otimes\mathbb R$Мы начнем с предложения, описывающего группу изометрий $K_0(\mathbb P_n)\otimes\mathbb R$. Предложение 1 [5]. Группа $\operatorname{Isom}(K_0(\mathbb P_n)\otimes\mathbb R)$ абелева и как подгруппа в группе $\operatorname{GL}(n+1,\mathbb R)$ состоит из двух компонент связности. Компонента связности единицы, обозначаемая $\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_n)\otimes \mathbb R)$, изоморфна $\mathbb R^{[(n+1)/2]}$. При отождествлении пространства $K_0(\mathbb P_n)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb R$ с $\mathbb R[t]_{\leqslant n}$ набор функций является базисом векторного пространства $\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_n)\otimes\mathbb R)$. Доказательство предложения 1 может быть найдено в [5]. В целях полноты изложения мы приведем это доказательство здесь.
Пусть $V$ – конечномерное векторное пространство, снабженное невырожденной билинейной формой $\beta$. Тогда существует единственный линейный оператор $\varkappa$ такой, что $\beta(u,v)=\beta(v,\varkappa u)$ для любых $u,v\in V$. Если $G$ – матрица Грама формы $\beta$ в некотором базисе пространства $V$, то матрица оператора $\varkappa$ в этом базисе равна $G^{-1}G^T$. Оператор $\varkappa$ называется каноническим оператором формы $\beta$.
Для линейного оператора $\varphi\colon V\to V$ определен левый (соответственно правый) сопряженный оператор, обозначаемый ${}^\vee\varphi$ (cоответственно $\varphi^\vee$) и определенный по формуле $\beta({}^\vee\varphi u, v)=\beta(u,\varphi v)$ (соответственно $\beta(u,\varphi^\vee v)=\beta(\varphi u,v)$) для любых $u,v\in V$. Вообще говоря, ${}^\vee\varphi\ne\varphi^\vee$. Однако прямое вычисление показывает, что справедливо следующее предложение. Оператор $\varphi$, удовлетворяющий любому из эквивалентных условий предложения 2, называется рефлексивным. Обозначим через $\mathscr A$ алгебру рефлексивных операторов. Определение 2. Линейный оператор $\varphi$ называется антисамосопряженным, если выполнено равенство ${}^\vee\varphi=\varphi^\vee=-\varphi$. Легко видеть, что любой антисамосопряженный оператор рефлексивен. Подпространство в $\mathscr A$, состоящее из всех антисамосопряженных операторов, будем обозначать $\mathscr A^-$. Следующее предложение описывает алгебру Ли алгебраической группы изометрий пространства $V$, снабженного формой $\beta$. Предложение 3. Алгебра Ли $\operatorname{Lie}(\operatorname{Isom})$ группы изометрий пространства $(V,\beta)$ естественно изоморфна $\mathscr A^-$. Предложение 3 может быть доказано с использованием рассуждений, приведенных в [6; глава 1, теорема 5]. Отметим, что это предложение обобщает известное утверждение о том, что алгебра Ли ортогональной группы $O(n)$ – пространство кососимметрических матриц размера $n$. Теперь перейдем к ситуации, когда $V=K_0(\mathbb P_n)\otimes\mathbb R$ и $\beta$ – форма Эйлера $\chi$. Покажем, что $D$ – антисамосопряженный оператор. Для этого нам понадобится следующая лемма. Доказательство. Из двойственности Серра следует, что $\chi(E,F)=(-1)^n\chi(F,E\otimes\omega)$. Это означает, что канонический оператор $\varkappa$ задан формулой
Также эта лемма может быть доказана с помощью явного вычисления для стандартного базиса $\mathscr O,\mathscr O(1),\dots,\mathscr O(n)$ решетки $K_0(\mathbb P_n)$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \chi\bigl(\mathscr O(m),\mathscr O(k-n-1)\bigr) &=\binom{n+k-n-1-m}{n} \\ &=\binom{k-m-1}{n}=\frac{(k-m-1)(k-m-2)\dotsb(k-m-n)}{n!} \\ &=(-1)^{n}\frac{(m-k+1)(m-k+2)\dotsb(m-k+n)}{n!} \\ &=(-1)^{n}\binom{n+m-k}{n} =(-1)^n\chi\bigl(\mathscr O(k),\mathscr O(m)\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что завершает доказательство. Запишем $\varkappa=(-1)^n \operatorname{Id}+\eta$, где $\eta=(-1)^n(\exp(-(n+1)D)-1)$. Легко видеть, что $\eta^{n+1}=0$, но $\eta^n\ne 0$. Значит, жорданова нормальная форма оператора $\varkappa$ состоит из единственного блока с собственным значением $(-1)^n$. Поэтому любой оператор, коммутирующий с $\varkappa$, представляет собой многочлен от $\varkappa$ и, следовательно, многочлен от $D$. Далее, $D$ коммутирует с $\varkappa$, так что ${}^\vee D=D^\vee=F(D)$, где $F\in\mathbb R[x]$ – некоторый многочлен. Поскольку $D$ нильпотентен, $F(D)$ также должен быть нильпотентным, т.е. свободный член $F$ равен нулю. Отсюда следует, что $\varkappa^\vee=\exp({-(n+1)F(D)})$. В то же время $\varkappa\in\operatorname{Isom}(K_0(\mathbb P_n))$, потому что
$$
\begin{equation*}
\chi(E,F)=\chi(F,E\otimes\omega)=\chi(E\otimes\omega,F\otimes\omega).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, ${}^\vee\varkappa=\varkappa^\vee=\varkappa^{-1}$. Значит, $\exp((n+1)F(D))=\exp(-(n+1)D)$, что может быть переписано как Но $D + F(D)$ нильпотентен, поэтому $D + F(D)=0$ и $D^\vee=-D$. Любой антисамосопряженный оператор коммутирует с $\varkappa$, так что он является многочленом от $\varkappa$. Отсюда и из того, что $D^\vee=-D$, мы заключаем, что любой антисамосопряженный оператор – линейная комбинация нечетных степеней оператора $D$. Экспоненцируя, мы получаем, что группа $\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_n))$ изоморфна $\mathbb R^{[(n+1)/2]}$ и – базис $\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_n\otimes\mathbb R))$.Чтобы завершить доказательство предложения 1, остается показать, что группа $\operatorname{Isom}(K_0(\mathbb P_n))$ имеет две связные компоненты. Для этого заметим, что группу $\operatorname{Isom}(K_0(\mathbb P_n\otimes\mathbb R))$ можно рассматривать как подпространство канонической алгебры $\mathscr A$, заданное условием $f(-D)f(D)=1$, где $f(D)=a_0+a_1D+a_2D^2+\dotsb+a_nD^n$, $a_i\in\mathbb R$. Условие $f(-D)f(D)=1$ может быть явно переписано в виде следующей системы:
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} a_0^2=1, \\ 2a_0a_2=a_1^2, \\ 2a_0a_4=-2a_1a_3 - a_2^2, \\ \dots\,. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Мы видим, что если выбрать $a_0=\pm 1$ и произвольные значения для коэффициентов $a_i$ с нечетными номерами, то оставшиеся коэффициенты с четными номерами определяются единственным образом. Следовательно, группа $\operatorname{Isom}(K_0(\mathbb P_n))$ состоит из двух компонент связности, соответствующих двум возможным выборам значения $a_0$. Это завершает доказательство предложения 1. Значит, любой элемент группы $\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_n)\otimes\mathbb R)$ может быть представлен в виде $\exp(a_1D+a_3D^3+\dotsb)$. Это наблюдение указывает, как можно пытаться искать элементы $\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_n))$. А именно, необходимо выбрать $a_1,a_3,\dots$ так, чтобы оператор $\exp(a_1D+a_3D^3+\dotsb)$ отображал решетку $K_0(\mathbb P_n)$ на себя биективно. Этот подход мы обсудим в следующем пункте. Сейчас мы сформулируем другое предложение, позволяющее выразить изометрии $K_0(\mathbb P_n)$ и $K_0(\mathbb P_n)\otimes\mathbb R$ как тензорное умножение на некоторые классы из $K_0(\mathbb P_n)$. Предложение 4. Любой элемент $\varphi\in\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_n)\otimes\mathbb R)$ может быть записан в виде $E\mapsto E\otimes F_\varphi$ для некоторого $F_\varphi\in K_0(\mathbb P_n)\otimes\mathbb R$. Наше доказательство предложения 4 основано на двух леммах. Доказательство. Напомним, что оператор $\nabla=1-\exp(-D)$ действует следующим образом: $\nabla(\gamma_m)=\gamma_{m-1}$ для любых $n\geqslant m\geqslant 1$ и $\nabla(\gamma_0)=0$. Значит, Так как $\gamma_m$ отождествляется с $\mathscr O_{\mathbb P_m}$, это равенство доказывает лемму. Доказательство. Напомним, что умножение на $\mathscr O(k)$ в терминах многочленов есть оператор
Значит, наша формула может быть переписана как Это известное комбинаторное тождество. Доказательство предложения 4. Мы собираемся доказать, что указанное свойство выполнено, если заменить $\varphi$ на $D$.
Покажем, что
$$
\begin{equation*}
D(E)=E\otimes\biggl(\mathscr O_{\mathbb P_{n-1}} +\frac{1}{2}\,\mathscr O_{\mathbb P_{n-2}} +\frac{1}{3}\,\mathscr O_{\mathbb P_{n-3}}+\dotsb +\frac{1}{n}\,\mathscr O_{\mathbb P_0}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
для любого класса $E\in K_0(\mathbb P_n\otimes\mathbb R)$. Поскольку правая часть линейна относительно $E$, достаточно рассмотреть случай $E=\mathscr O(k)$. Случай $k=0$ разобран в лемме 2. Докажем утверждение для произвольного $k$.
Имеем
$$
\begin{equation*}
\mathscr O(k)=\mathscr O_{\mathbb P_n}+k\mathscr O_{\mathbb P_{n-1}} +\binom{k+1}{2}\mathscr O_{\mathbb P_{n-2}}+\dotsb +\binom{k+n-1}{n}\mathscr O_{\mathbb P_0},
\end{equation*}
\notag
$$
так что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D(\mathscr O(k)) &=\biggl(\mathscr O_{\mathbb P_{n-1}}+\frac{1}{2}\mathscr O_{\mathbb P_{n-2}}+\dotsb +\frac{1}{n}\mathscr O_{\mathbb P_0}\biggr) +k\biggl(\mathscr O_{\mathbb P_{n-2}} +\frac{1}{2}\mathscr O_{\mathbb P_{n-3}}+\dotsb +\frac{1}{n\,{-}\,1}\,\mathscr O_{\mathbb P_0}\biggr) \\ &\qquad+\dotsb +\binom{k+n-2}{n-1}\biggl(\mathscr O_{\mathbb P_1} +\frac{1}{2}\,\mathscr O_{\mathbb P_0}\biggr) +\binom{k+n-1}{n}\mathscr O_{\mathbb P_0} \\ &=\mathscr O_{\mathbb P_{n-1}} +\biggl(k+\frac{1}{2}\biggr)\mathscr O_{\mathbb P_{n-2}}+\dotsb +\biggl(\frac{1}{r}+\frac{1}{r-2}\binom{k+1}{2} \\ &\qquad+\dotsb +\binom{k+r-2}{r-1}\biggr)\mathscr O_{\mathbb P_{n-r}}+\dotsb\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathscr O(k)\otimes\biggl(\mathscr O_{\mathbb P_{n-1}} +\frac{1}{2}\,\mathscr O_{\mathbb P_{n-2}} +\frac{1}{3}\,\mathscr O_{\mathbb P_{n-3}}+\dotsb +\frac{1}{n}\,\mathscr O_{\mathbb P_0}\biggr) \\ &\qquad=\biggl(\mathscr O_{\mathbb P_{n-1}}+k\mathscr O_{\mathbb P_{n-2}} +\binom{k+1}{2}\mathscr O_{\mathbb P_{n-3}}+\dotsb +\binom{k+n-2}{n-1}\mathscr O_{\mathbb P_0}\biggr) \\ &\qquad\qquad{}+\frac{1}{2}\biggl(\mathscr O_{\mathbb P_{n-2}} +k\mathscr O_{\mathbb P_{n-3}}+\binom{k+1}{2}\mathscr O_{\mathbb P_{n-4}}+\dotsb +\binom{k+n-3}{n-2}\mathscr O_{\mathbb P_0}\biggr) \\ &\qquad\qquad{}+\dotsb +\frac{1}{n-1}(k\mathscr O_{\mathbb P_1}+\mathscr O_{\mathbb P_0}) +\frac{1}{n}\,\mathscr O_{\mathbb P_0} \\ &\qquad=\mathscr O_{\mathbb P_{n-1}}+\dotsb +\biggl(\frac{1}{r}+\frac{k}{r-1}+\frac{1}{r-2}\binom{k+1}{2}+\dotsb +\binom{k+r-2}{r-1}\biggr)\mathscr O_{\mathbb P_{n-r}}+\dotsb\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Мы видим, что для любого $i$ коэффициенты при $\mathscr O_{\mathbb P_i}$ в двух выражениях совпадают. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
D(\mathscr O(k))=\mathscr O(k)\otimes\biggl(\mathscr O_{\mathbb P_{n-1}} +\frac{1}{2}\,\mathscr O_{\mathbb P_{n-2}} +\frac{1}{3}\,\mathscr O_{\mathbb P_{n-3}}+\dotsb +\frac{1}{n}\,\mathscr O_{\mathbb P_0}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Это в точности то утверждение, которое мы хотели доказать.
Далее, для любого натурального числа $m$ справедлива следующая формула: Отсюда мы заключаем, что если $f$ – многочлен, то $f(D)(E)=E\otimes F_{f(D)}$ для некоторого $F_{f(D)}\in K_0(\mathbb P_n)\otimes\mathbb R$ и для любого $E\in K_0(\mathbb P_n)\otimes\mathbb R$.4. Изометрии $K_0(\mathbb P_n)$: общие результатыЗаймемся изучением непосредственно группы $\operatorname{Isom}(K_0(\mathbb P_n))$. Ясно, что это подгруппа группы $\operatorname{Isom}(K_0(\mathbb P_n)\otimes \mathbb R)$. Обозначим через $\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_n))$ пересечение
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Isom}(K_0(\mathbb P_n)) \cap\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_n)\otimes\mathbb R).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 4. Группа $\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_n))$ – подгруппа индекса $2$ в группе $\operatorname{Isom}(K_0(\mathbb P_n))$. Доказательство. Нам достаточно показать, что множество непусто. Это следует из того, что отображение $E\mapsto-E$ – изометрия решетки $K_0(\mathbb P_n)$, которая не может быть представлена в форме $\exp(F(D))$, где $F$ – многочлен, так как любой оператор вида $\exp(F(D))$ имеет только одно собственное значение, равное $1$. Отсюда следует, что группа $\operatorname{Isom}(K_0(\mathbb P_n))$ изоморфна прямому произведению групп $\mathbb Z/2\mathbb Z$ и $\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_n))$. Далее мы будем работать только с подгруппой
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_n))\subset\operatorname{Isom}(K_0(\mathbb P_n)).
\end{equation*}
\notag
$$
Для нее справедлив следующий результат, аналогичный сформулированному в предложении 1. Доказательство. Понятно, что $\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_n))$ – дискретная подгруппа в группе $\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_n)\otimes\mathbb R)$. Значит, это решетка, изоморфная $\mathbb Z^k$ для некоторого целого неотрицательного $k$. Нам требуется только показать, что $k=[(n+1)/2]$, т.е. что эта решетка имеет полный ранг. Для этого достаточно найти $[(n+1)/2]$ линейно независимых элементов в $\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_n))$.
Покажем, что такие элементы могут быть выбраны в виде
$$
\begin{equation*}
\exp(b_1D),\exp(b_2D^3),\dots,\exp(b_{[(n+1)/2]}D^{2[(n+1)/2]-1})
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторых целых чисел $b_i$. В самом деле, любая степень $D$ – нильпотентный оператор, так что сумма
$$
\begin{equation*}
\exp({b_iD^{2i-1}})=I+b_iD^{2i-1}+\frac{b_i^2}{2}\,D^{4i-2}+\dotsb
\end{equation*}
\notag
$$
конечна, поэтому можно выбрать любые целые $b_i$ такие, что коэффициенты в этой сумме становятся целыми после умножения на $b_i$ (например, подойдут $b_i=n!$).
Для таких $b_i$ операторы $\exp(b_iD^{2i-1})$ отображают решетку $K_0(\mathbb P_n)$ в себя. Сюръективность этих отображений следует из того, что оператор $\exp(b_iD^{2i-1})$ имеет обратный, равный $\exp(-b_iD^{2i-1})$. Это завершает доказательство предложения. Замечание 1. Отметим, что операторы $\exp(n!D^{2i-1})$ совсем не обязательно образуют базис решетки $\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_n))$. Более того, вскоре мы увидим, что существуют $n$, для которых невозможно выбрать числа $b_i$ так, чтобы $\exp(b_iD^{2i-1})$ линейно порождали решетку $\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_n))$. Кроме того, существуют элементы вида $\exp(a_1D+a_2D^3+\dotsb)$, лежащие в $\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_n))$ и такие, что не все коэффициенты $a_i$ целые. Как мы уже сказали, чтобы найти элементы группы $\operatorname{Isom}(K_0(\mathbb P_n))$, достаточно выбрать $a_1,a_2,\ldots\in\mathbb R$ таким образом, чтобы операторы $\exp(a_1D+a_2D^3+\dotsb)$ отображали $K_0(\mathbb P_n)$ биективно в себя. Из доказательства предложения 5 следует, что биективность выполнена автоматически, если решетка $K_0(\mathbb P_n)$ отображается в себя. Однако сказанное не позволяет в явном виде найти все элементы группы $\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_n))$ для произвольного $n$. Несмотря на это, справедливо следующее предложение, полезное при вычислении группы $\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_n))$. Предложение 6. Если $\exp(a_1D+a_2D^3+a_3D^5+\dotsb)\in\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_n))$ для некоторых $a_1,a_2,\ldots\in\mathbb R$, то $a_1\in\mathbb Z$. Также в этом случае Доказательство. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\exp(a_1D+a_2D^3+a_3D^5+\dotsb) =\exp(a_1D)\exp(a_2D^3)\exp(a_3D^5)\dotsb \\ &\qquad=\biggl(I+a_1D +\frac{a_1^2}{2}\,D^2+\dotsb\biggr) \biggl(I+a_2D^3+\frac{a_2^2}{2}\,D^6+\dotsb\biggr) \\ &\qquad\qquad\times \biggl(I+a_3D^5+\frac{a_3^2}{2}\,D^{10}+\dotsb\biggr)\dotsb \\ &\qquad=I+a_1D+\frac{a_1^2}{2}\,D^2+\dotsb\,, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. коэффициент при $D$ в выражении $\exp(a_1D+a_2D^3+a_3D^5+\dotsb)$ равен $a_1$. Это означает, что многочлен $t+1$ (отвечающий классу $\mathscr O_{\mathbb P_1}\in K_0(\mathbb P_n)$) отображается этим оператором в $1+(1+a_1)t$. Значит, $a_1\in\mathbb Z$.
В то же время, если $c\in\mathbb Z$, то $\exp(cD)$ – изометрия решетки $K_0(\mathbb P_n)$, так как $\exp(cD)$ отображает многочлен $f(t)$ в $f(t+c)$. Отсюда следует, что для любого $b_1\in\mathbb Z$ имеем что доказывает вторую часть предложения.Замечание 2. Предложение 6 означает, что при вычислении группы изометрий решетки $K_0(\mathbb P_n)$ мы без ограничения общности можем считать, что $a_1=0$. Докажем также предложение, дающее ограничение на коэффициент при $D^3$ в выражении $\exp(a_1D+a_2D^3+a_3D^5+\dotsb)\in\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_n))$. Предложение 7. Если $\exp(a_1D+a_2D^3+a_3D^5+\dotsb)\in\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_n))$ и $n\geqslant 3$, то $a_2\in\mathbb Z$. Если к тому же $n\geqslant 4$, то $a_2$ четно. Доказательство. В силу предыдущего предложения без ограничения общности можно считать, что $a_1=0$. Тогда имеем Так как $n\geqslant 3$, то в $K_0(\mathbb P_n)$ содержится класс $\mathscr O_{\mathbb P_3}$, соответствующий многочлену $\gamma_3(t)=(t+1)(t+2)(t+3)/6$. Указанный многочлен под действием рассматриваемого оператора переходит в $\gamma_3(t)+a_2$, так что $a_2$ должно быть целым.
Если $n\geqslant 4$, то многочлен получаемый применением оператора к многочлену $\gamma_4(t)=(t+1)(t+2)(t+3)(t+4)/24$, также должен быть целозначным. Из этого следует, что $a_2$ четное.Предложение 8. Если оператор отображает $\mathscr O$ в элемент решетки $K_0(\mathbb P_n)$, то $\exp(a_1D+a_2D^3+a_3D^5+\dotsb)$ – элемент группы $\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_n))$. Доказательство. В силу предложения 4 $\varphi=\exp(a_1D+a_2D^3+a_3D^5+\dotsb)$ отображает любой элемент $E\in K_0(\mathbb P_n)$ в $E\otimes F_\varphi$ для какого-то $F_\varphi\in K_0(\mathbb P_n)\otimes\mathbb R$. В частности, $\mathscr O$ переходит в $\mathscr O\otimes F_\varphi=F_\varphi$. Поэтому, если $\mathscr O$ отображается в элемент решетки $K_0(\mathbb P_n)$, то $F_\varphi\in K_0(\mathbb P_n)$, а значит, $E\otimes F_\varphi\in K_0(\mathbb P_n)$ для любого $E\in K_0(\mathbb P_n)$. Предложение 8 позволяет упростить вычисление коэффициентов $a_1,a_2,\dots$, удовлетворяющих условию $\exp(a_1D+a_2D^3+a_3D^5+\dotsb)\in\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_n))$. Без этого результата было бы необходимо проверять, что каждый из элементов $\mathscr O_{\mathbb P_0},\dots,\mathscr O_{\mathbb P_n}$ отображается в элемент $K_0(\mathbb P_n)$ под действием $\exp(a_1D+a_2D^3+a_3D^5+\dotsb)$. Предложение 8 показывает, что достаточно проверить это лишь для $\mathscr O_{\mathbb P_n}=\mathscr O$. Наконец, опишем некоторые особые элементы группы $\operatorname{Isom}(K_0(\mathbb P_n))$. Одной из таких особых изометрий является оператор $\exp(D)$. В терминах целозначных многочленов он действует как $f(t)\mapsto f(t+1)$. В терминах $K_0(\mathbb P_n)$ это “подкрутка”, переводящая $E$ в $E(1)=E\otimes\mathscr O(1)$. Теперь рассмотрим случай, когда все коэффициенты в выражении нулевые, кроме последнего, т.е. кроме $a_{[(n+1)/2]}$. Разберем отдельно случаи четного и нечетного $n$.Предположим, что $n=2k-1$ нечетно. Тогда $[(n+1)/2]=k$, Многочлен
$$
\begin{equation*}
\gamma_n=\binom{t+n}{n}=\frac{1}{n!}(t+1)(t+2)\dotsb(t+n)
\end{equation*}
\notag
$$
переводится в $\gamma_n(t)+a_k$ под действием оператора $I+a_kD^{2k-1}$. Значит, $a_k\in\mathbb Z$. Обратно, если $a_k\in\mathbb Z$, мы получаем изометрию решетки $K_0(\mathbb P_n)$ в силу предложения 8. Следовательно, в базисе $\mathscr O_{\mathbb P_0},\mathscr O_{\mathbb P_1},\dots, \mathscr O_{\mathbb P_{n-1}},\mathscr O_{\mathbb P_n}$ изометрия $\exp(D^{2k-1})$ записывается следующей матрицей:
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} 1 &0 &\dots &1 \\ 0 &1 &\dots &0 \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ 0 &0 &\dots &1 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому данная изометрия переводит $\mathscr O(m)$ в $\mathscr O(m)+\mathscr O_{\mathbb P_0}$ для любого $m$. Это означает, что она действует так:
$$
\begin{equation*}
E\mapsto E\otimes (\mathscr O+\mathscr O_{\mathbb P_0}).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь предположим, что $n=2k$ четно. В этом случае $[(n+1)/2]=k$, Многочлен
$$
\begin{equation*}
\gamma_{2k}=\binom{t+2k}{2k}=\frac{1}{(2k)!}(t+1)(t+2)\dotsb(t+2k)
\end{equation*}
\notag
$$
переводится в $\gamma_{2k}(t)+t+((2k+1)/2)a_k$ оператором $I+a_kD^{2k-1}$, так что $a_k$ должно быть четным числом. Выполнения этого условия достаточно снова в силу предложения 8. В базисе $\mathscr O_{\mathbb P_0},\mathscr O_{\mathbb P_1},\dots, \mathscr O_{\mathbb P_{n-1}},\mathscr O_{\mathbb P_n}$ изометрия $\exp(2D^{2k-1})$ записывается следующей матрицей:
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} 1 &0 &\dots &0 &2 &2k-1 \\ 0 &1 &\dots &0 &0 &2 \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\ 0 &0 &\dots &1 &0 &0 \\ 0 &0 &\dots &0 &1 &0 \\ 0 &0 &\dots &0 &0 &1 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, эта изометрия переводит $\mathscr O(m)$ в $\mathscr O(m)+2\mathscr O_{\mathbb P_1}+(2k+2m-1)\mathscr O_{\mathbb P_0}$. Как и в случае четного $n$, мы видим, что данная изометрия действует следующим образом:
$$
\begin{equation*}
E\mapsto E\otimes(\mathscr O+2\mathscr O_{\mathbb P_1}+(2k-1)\mathscr O_{\mathbb P_0}).
\end{equation*}
\notag
$$
Мы приходим к следующему предложению. Предложение 9. 1. Если $n\geqslant 4$ четно, то если и только если $a_{[(n+1)/2]}$ – четное число. Изометрия $\exp(2D^{2[(n+1)/2]-1})$ действует по правилу 2. Если $n\geqslant 3$ нечетно, то если и только если $a_{[(n+1)/2]}$ – целое число. Изометрия $\exp(D^{2[(n+1)/2]-1})$ действует по правилуИзометрии из предложения 9 допускают альтернативное описание. Для нечетного $n=2k-1$ оператор $\exp(D^{2k-1})$ может быть записан в виде а для четного $n=2k$ оператор $\exp(2D^{2k-1})$ – в виде
$$
\begin{equation*}
E \mapsto E+2rk(E)\mathscr O_{\mathbb P_1}+\bigl(2c_1(E)+(2k-1)rk(E)\bigr)\mathscr O_{\mathbb P_0},
\end{equation*}
\notag
$$
где $rk(E)$ и $c_1(E)$ – ранг и первый класс Чженя элемента $E\in K_0(\mathbb P_n)$ соответственно. Справедливость этих формул в рассматриваемом случае следует из того, что они справедливы для $E=\mathscr O(m)$, и из линейности ранга и первого класса Чженя. Отметим, что это альтернативное описание допустимо в данном конкретном случае в силу того, что коэффициенты при $\mathscr O_{\mathbb P_{m-1}}$ и $\mathscr O_{\mathbb P_m}$ в выражении для $\mathscr O(k)\otimes\mathscr O_{\mathbb P_m}$ из леммы 3 – линейные многочлены от $k$. Значит, все выражение линейно по $k$, и утверждение следует из линейности ранга и первого класса Чженя. Однако, вообще говоря, коэффициенты в выражении
$$
\begin{equation*}
\mathscr O_{\mathbb P_m}+k\mathscr O_{\mathbb P_{m-1}} +\binom{k+1}{2}\mathscr O_{\mathbb P_{m-2}}+\dotsb +\binom{k+m-1}{m}\mathscr O_{\mathbb P_0}
\end{equation*}
\notag
$$
– многочлены от $k$ степени выше $1$. Поэтому указанное альтернативное описание невозможно в общем случае.
5. Изометрии $K_0(\mathbb P_n)$: явные формулы для малых значений $n$Здесь мы явно описываем группу изометрий $K_0(\mathbb P_n)$ для $n\leqslant 6$. Самые простые случаи – это $n=1$ и $n=2$. Пример 1. Для $n=1,2$ группа $\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_n))$ изоморфна $\mathbb Z$ и порождена “подкруткой” $E\mapsto E(1)=E\otimes\mathscr O(1)$. В самом деле, для $n=1,2$ имеем $[(n+1)/2]=1$, так что $\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_n))$ действительно изоморфна $\mathbb Z$ и порождена оператором $\exp(aD)$ для некоторого $a\in\mathbb R$. Из предложения 6 следует, что $a=1$. Как мы уже сказали, $\exp(D)$ действует как “подкрутка” $E\mapsto E\otimes\mathscr O(1)$. Это завершает доказательство. Ситуация становится более интересной в случае $n=3$. Справедливо следующее утверждение. Пример 2. Группа $\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_3))$ изоморфна $\mathbb Z^2$ и порождена операторами $E\mapsto E\otimes\mathscr O(1)$ и $E\mapsto E\otimes(\mathscr O+\mathscr O_{\mathbb P_0})$. Действительно, любой элемент группы $\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_3))$ может быть представлен в виде $\exp(aD+bD^3)$, где $a,b\in\mathbb R$. Мы знаем, что $\exp(D)$ – изометрия, действующая по правилу $E \mapsto E\otimes\mathscr O(1)$. Чтобы найти остальные изометрии, мы можем считать, что $a=0$ (здесь опять используем предложение 6). Но мы уже показали, что для $n=2k-1$ имеем $\exp({bD^{2k-1}})\in\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_{2k-1}))$ только при $b\in\mathbb Z$. Это дает нам порождающую группы $\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_3))$, равную $\exp(D^3)$ и заданную формулой
$$
\begin{equation*}
E\mapsto E\otimes(\mathscr O+\mathscr O_{\mathbb P_0}).
\end{equation*}
\notag
$$
Для $n=4$ справедлив аналогичный результат. Пример 3. Группа $\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_4))$ изоморфна $\mathbb Z^2$. Она порождена операторами В данном случае проверка аналогична проделанной в примере 2. Разница лишь в том, что здесь нужно применить первую часть предложения 9 из предыдущего пункта. Для $n\geqslant 5$ ситуация становится более сложной. В качестве примера опишем группу $\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_n))$ явно для $n=5,6$. Пример 4. Группа $\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_5))$ изоморфна $\mathbb Z^3$ и порождена операторами Как и раньше, изоморфизм $\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_5))\cong\mathbb Z^3$ следует из предложения 5. Применяя предложение 6, находим порождающую $E\mapsto E\otimes\mathscr O(1)$, в то время как остальные порождающие можно искать в виде $\exp(bD^3+cD^5)$, где $b,c\in\mathbb R$. Так как $D^6=0$, мы приходим к равенству Многочлен $\gamma_5(t)=(t+1)(t+2)(t+3)(t+4)(t+5)/120$ отображается в
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \gamma_5(t)+b\biggl(\frac{t^2}{2}+3t+\frac{17}{4}\biggr)+c =\gamma_5(t)+\frac{b}{2}\,t^2+3bt+\biggl(\frac{17b}{4}+c\biggr) \\ &\qquad =\gamma_5(t)+b\gamma_2(t)+\frac{3b}{2}\,\gamma_1(t)+\biggl(\frac{7b}{4}+c\biggr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
посредством оператора $I+bD^3+cD^5$. Значит, $\exp(bD^3+cD^5)$ является изометрией решетки $K_0(\mathbb P_n)$ тогда и только тогда, когда числа $b$, $3b/2$, $7b/4+c$ целые. Из того, что $3b/2\in\mathbb Z$, следует четность числа $b$. Кроме того, $7b/4+c\in\mathbb Z$, поэтому либо $b\in 2\mathbb Z\setminus 4\mathbb Z$ и $c\in(1/2)\mathbb Z\setminus\mathbb Z$, либо $b\in 4\mathbb Z$ и $c\in\mathbb Z$. Отсюда находим две порождающие группы $\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_5))$, а именно, Изометрия $I+2D^3+(1/2)D^5$ отображает $\gamma_5(t)$ в $\gamma_5(t)+2\gamma_2(t)+3\gamma_4(t)+4\gamma_0(t)$. В терминах классов из $K_0(\mathbb P_n)$ она переводит $\mathscr O$ в $\mathscr O+2\mathscr O_{\mathbb P_2}+3\mathscr O_{\mathbb P_1} +4\mathscr O_{\mathbb P_0}$. По предложению 4 эта изометрия действует как
$$
\begin{equation*}
E\mapsto E\otimes(\mathscr O+2\mathscr O_{\mathbb P_2} +3\mathscr O_{\mathbb P_1}+4\mathscr O_{\mathbb P_0}).
\end{equation*}
\notag
$$
Как мы уже знаем, изометрия $I+D^5$ действует следующим образом:
$$
\begin{equation*}
E\mapsto E\otimes(\mathscr O+\mathscr O_{\mathbb P_0}).
\end{equation*}
\notag
$$
Это завершает доказательство. Замечание 3. Отметим, что невозможно выбрать три порождающие группы $\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_5))$ в виде $\exp(aD)$, $\exp(bD^3)$, $\exp(cD^5)$ для некоторых $a,b,c\in\mathbb R$. Пример 5. Группа $\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_6))$ изоморфна $\mathbb Z^3$ и порождена операторами Как и раньше, имеется изометрия $E\mapsto E\otimes\mathscr O(1)$, а остальные можно искать в виде $\exp(bD^3+cD^5)$, где $b,c\in\mathbb R$. В нашем случае $D^7=0$, так что
$$
\begin{equation*}
e^{bD^3+cD^5}=\biggl(I+bD^3+\frac{b^2}{2}\,D^6\biggr)(I+cD^5) =I+bD^3+cD^5+\frac{b^2}{2}\,D^6.
\end{equation*}
\notag
$$
Оператор $I+bD^3+cD^5+(b^2/2)D^6$ переводит многочлен в
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\gamma_6(t)+b\biggl(\frac{t^3}{6}+\frac{7t^2}{4} +\frac{35t}{6}+\frac{49}{8}\biggr)+c\biggl(t+\frac{7}{2}\biggr) +\frac{b^2}{2} \\ &\qquad=\gamma_6(t)+\frac{b}{6}\,t^3+\frac{7b}{4}\,t^2 +\biggl(\frac{35b}{6}+c\biggr)t +\biggl(\frac{49b}{8}+\frac{7c}{2}+\frac{b^2}{2}\biggr) \\ &\qquad=\gamma_6(t)+b\gamma_3(t)+\frac{3b}{2}\,\gamma_2(t) +\biggl(\frac{7b}{4}+c\biggr)\gamma_1(t) +\biggl(\frac{15b}{8}+\frac{b^2}{2}+\frac{5c}{2}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, числа
$$
\begin{equation*}
b,\qquad \frac{3b}{2}\,,\qquad \frac{7b}{4}+c,\qquad \frac{15b}{8}+\frac{b^2}{2}+\frac{5c}{2}
\end{equation*}
\notag
$$
должны быть целыми. Так как $3b/2$ – целое число, $b$ четно и потому $b^2/2\in\mathbb Z$. Следовательно, числа $7b/4+c$ и $15b/8+5c/2$ также целые. Для четного $b$ возможны три случая: либо $b\in 2\mathbb Z\setminus 4\mathbb Z$ и $c\in 1/2+2\mathbb Z$, либо $b\in 4\mathbb Z\setminus 8\mathbb Z$ и $c\in 1+2\mathbb Z$, либо $b\in 8\mathbb Z$ и $c\in 2\mathbb Z$. Операторы
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} &I+2D^3+\frac{1}{2}\,D^5+2D^6, &\qquad b &=2,\quad c=\frac{1}{2}\,, \\ &I+2D^5, &\qquad b &=0,\quad c=2, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
являются искомыми порождающими. Оператор $I+2D^3+(1/2)D^5+2D^6$ переводит $\gamma_6(t)$ в $\gamma_6(t)+2\gamma_3(t)+3\gamma_2(t)+4\gamma_1(t)+7$. Другими словами, он переводит $\mathscr O$ в $\mathscr O+2\mathscr O_{\mathbb P_3}+3\mathscr O_{\mathbb P_2} +4\mathscr O_{\mathbb P_1}+7\mathscr O_{\mathbb P_0}$. Следовательно, данная изометрия действует как
$$
\begin{equation*}
E\mapsto E\otimes(\mathscr O+2\mathscr O_{\mathbb P_3} +3\mathscr O_{\mathbb P_2}+4\mathscr O_{\mathbb P_1}+7\mathscr O_{\mathbb P_0}).
\end{equation*}
\notag
$$
Тот факт, что оператор $I+2D^5$ действует по правилу $E\mapsto E\otimes(\mathscr O+5\mathscr O_{\mathbb P_0})$, был уже доказан в предыдущем пункте. В заключение выпишем ограничения на коэффициенты изометрических операторов для $n=7$. Пример 6. Группа $\operatorname{Isom}_e(K_0(\mathbb P_7))$ изоморфна $\mathbb Z^4$. Элементы этой группы представимы в виде со следующими ограничениями на $a,b,c,d$: Доказательство. Действительно, полагая $a=0$, имеем
$$
\begin{equation*}
\exp(bD^3+cD^5+dD^7)=I+bD^3+cD^5+\frac{b^2}{2}\,D^6+dD^7.
\end{equation*}
\notag
$$
Многочлен $\gamma_7(t)=(t+1)(t+2)\dotsb(t+7)/7!$ переводится таким оператором в многочлен
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &d+\frac{b^2}{2}(t+4)+c\biggl(\frac{t^2}{2}+4t+\frac{23}{3}\biggr) +b\biggl(\frac{t^4}{24}+\frac{2t^3}{3}+\frac{23t^2}{6} +\frac{28t}{3}+\frac{967}{120}\biggr) \\ &\qquad=\biggl(d+\frac{3b^2}{2}+\frac{25c}{6}+\frac{29b}{15}\biggr) +\biggl(\frac{b^2}{2}+\frac{15b}{8}+\frac{5c}{2}\biggr)\gamma_1(t) \\ &\qquad\qquad{}+\biggl(\frac{7b}{4}+c\biggr)\gamma_2(t) +\frac{3b}{2}\,\gamma_3(t)+b\gamma_4(t), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
так что выписанные коэффициенты при $\gamma_i(t)$, $i=0,1,2,3,4$, должны быть целыми. Из этого следует, что $b$ должно быть четным (на самом деле мы это доказали в предложении 8). В силу четности $b$ верно $b^2/2\in\mathbb Z$, и целочисленность остальных коэффициентов при $\gamma_i(t)$, $i=0,1,\dots,4$, эквивалентна целочисленности выражений $c-b/4$, $5c/2-b/8$, $d+25c/6-b/15$. Автор выражает благодарность своему научному руководителю А. Л. Городенцеву за постановку задачи и постоянную поддержку.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bel24} |
|
|||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|