| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Недеформированное обобщенное преобразование Данкля на прямой В. И. Ивановabc a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики c Тульский государственный университет
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623090171 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеПусть $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ – пространство Шварца бесконечно дифференцируемых на $\mathbb{R}$ и быстро убывающих на бесконечности функций, $J_{\alpha}(x)$ – функция Бесселя первого рода порядка $\alpha\geqslant -1/2$, $j_{\alpha}(x)= 2^{\alpha}\Gamma(\alpha+1)x^{-\alpha}J_{\alpha}(x)$ – нормированная функция Бесселя, $(\alpha)_n=\Gamma(\alpha+n)/\Gamma(\alpha)= \alpha(\alpha+1)\cdots(\alpha+n-1)$ – символ Похгаммера. Одномерное унитарное преобразование Данкля (см. [1], [2]) имеет вид
$$
\begin{equation*}
\mathcal{F}_k(f)(y)=c_k\int_{\mathbb{R}}f(x)E_k(-xy)|x|^{2k}\,dx,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
k\geqslant 0, \qquad c_k^{-1}=2^{k+1/2}\Gamma\biggl(k+\frac{1}{2}\biggr), \quad E_k(x)=j_{k-1/2}(x)+\frac{ix}{2k+1}j_{k+1/2}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Классическое преобразование Фурье получается при $k=0$. В 2012 г. Бен Саид, Кобаяши и Орстед [3] предложили двупараметрическое $(k,a)$-обобщенное унитарное преобразование Фурье, которое в одномерном случае имеет вид
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}_{k,a}(f)(y)= c_{k,a}\int_{\mathbb{R}}b_{k,a}(xy)f(x)|x|^{2k+a-2}\,dx,\qquad a>0, \quad 2k+a-1>0,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $\lambda=(2k-1)/a$, $c_{k,a}^{-1}=2a^{\lambda}\Gamma(\lambda+1)$,
$$
\begin{equation*}
b_{k,a}(x)=j_{\lambda}\biggl(\frac{2}{a}\,|x|^{a/2}\biggr)+ \frac{\Gamma(\lambda+1)}{\Gamma(\lambda+1+2/a)}\, \frac{x}{(ai)^{2/a}}\, j_{\lambda+2/a} \biggl(\frac{2}{a}\,|x|^{a/2}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Преобразование Данкля получается при $a=2$. Но если для преобразования Данкля $\mathcal{F}_k(\mathcal{S}(\mathbb{R}))=\mathcal{S}(\mathbb{R})$, то обобщенное преобразование Фурье при $a\ne 2$ деформирует хорошие классы функций. Например, $\mathcal{F}_{k,a}(\mathcal{S}(\mathbb{R}))=\mathcal{S}(\mathbb{R})$ тогда и только тогда, когда $a=2$. Более точно, множество $\mathcal{F}_{k,a}(\mathcal{S}(\mathbb{R}))\subset C^{\infty}(\mathbb{R})$, если только $a=2n$. Оно состоит из быстро убывающих на бесконечности функций, если только $a=2/n$, $n\in\mathbb{N}$. Если $a$ иррациональное, то для любой нетривиальной $f\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$ выполнено $\mathcal{F}_{k,a}(f)\not\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$ [4]. Поэтому обобщенное преобразование Фурье не является в полной мере недеформированным обобщением преобразования Данкля. Пусть $\lambda\geqslant -1/2$, $d\nu_{\lambda}(x)= (2^{\lambda+1}\Gamma(\lambda+1))^{-1}|x|^{2\lambda+1}\,dx$ – мера на $\mathbb{R}$, $1\leqslant p\leqslant \infty$, $L^{p}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ – лебегово пространство измеримых комплекснозначных функций с конечной нормой
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{p,d\nu_{\lambda}}=\biggl(\int_{\mathbb{R}} |f(x)|^p\,d\nu_{\lambda}(x)\biggr)^{1/p},\quad 1\leqslant p<\infty,\qquad \|f\|_{\infty}=\operatorname*{vrai\,sup}_{\mathbb{R}}|f(x)|,\quad p=\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
$C_b(\mathbb{R})$ – подмножество $L_{\infty}(\mathbb{R})$ непрерывных функций, $C_0(\mathbb{R})$ – подмножество $C_b(\mathbb{R})$ бесконечно малых на бесконечности функций, $C_K(\mathbb{R})$ – подмножество $C_0(\mathbb{R})$ функций с компактным носителем. В [4], отправляясь от преобразования (1.1) при $a=2/(2r+1)$, с помощью замены переменной получено двупараметрическое семейство недеформированных унитарных преобразований
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)(x)= \int_{\mathbb{R}}f(x)e_{r,\lambda}(-xy)\,d\nu_{\lambda}(x),
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $\lambda\geqslant -1/2$, $r\in\mathbb{Z}_+$,
$$
\begin{equation}
e_{r,\lambda}(x)=j_{\lambda}(x)+i(-1)^{r} \frac{x^{2r+1}}{2^{2r+1}(\lambda+1)_{2r+1}}j_{\lambda+2r+1}(x).
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Назовем (1.2) $(r,\lambda)$-обобщенным преобразованием Данкля. Преобразование Данкля получаем при $r=0$, $\lambda=k-1/2$. Ядро преобразования (1.2) является ограниченной целой функцией экспоненциального типа по каждой переменной и справедливо вложение $\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\mathcal{S}(\mathbb{R}))\subset C^{\infty}(\mathbb{R})$, но преобразование $\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)$ для $f\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$, к сожалению, может не иметь быстрого убывания на бесконечности. Точное описание инвариантного для преобразования $\mathcal{F}_{r}^{\lambda}$ подпространства бесконечно дифференцируемых функций выглядит следующим образом [4]. Пусть
$$
\begin{equation*}
\mathcal{S}_{0}(\mathbb{R})=\mathcal{S}(\mathbb{R}),\qquad \mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})=\bigl\{f\in\mathcal{S}(\mathbb{R})\colon f^{(2s+1)}(0)=0,\, s=0,1,\dots,n-1\bigr\},\qquad n\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\mathcal{S}_{r}(\mathbb{R}))= \mathcal{S}_{r}(\mathbb{R}).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, преобразование (1.2) при $r\geqslant 1$ имеет свои особенности. В настоящей работе в п. 2 приводятся некоторые свойства обобщенного преобразования Данкля. В п. 3 определены два оператора обобщенного сдвига. Опираясь на новую теорему умножения для нормированных функций Бесселя [5], для них получены интегральные представления и доказана $L_p$-ограниченность. С помощью операторов обобщенного сдвига определены две свертки, и для них доказана теорема Юнга. В пп. 4, 5 с помощью сверток определяются обобщенные средние и исследуется их $L_p$-сходимость. 2. Некоторые свойства обобщенного преобразования ДанкляПусть $\{P_n^{(\alpha)}(t)\}_{n=0}^{\infty}$ – многочлены Гегенбауэра, ортогональные на отрезке $[-1,1]$ с весом $(1-t^2)^{\alpha}$, $\alpha>-1$, и нормированные условием $P_n^{(\alpha)}(1)=1$, При $\alpha\geqslant -1/2$, $d_{n,\alpha}=1$ (см. [4]). С многочленами Гегенбауэра $C_n^{\lambda}(t)$, ортогональными с весом $(1-t^2)^{\lambda-1/2}$ (см. [6; гл. X, 10.9]), многочлены $P_n^{(\alpha)}(t)$ связаны соотношением
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\lambda}\,C_n^{\lambda}(t)= \frac{2\Gamma(2\lambda+n)}{n!\,\Gamma(2\lambda+1)}\, P_n^{(\lambda-1/2)}(t),\qquad \lambda>-\frac{1}{2}\,.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Пусть $\lambda> -1/2$, $dm_{\lambda}(t)=c_{\lambda}(1-t^2)^{\lambda-1/2}\,dt$ – вероятностная мера на отрезке $[-1,1]$,
$$
\begin{equation}
c_{\lambda}^{-1}=\int_{-1}^{1}(1-t^2)^{\lambda-1/2}\,dt= \frac{\sqrt{\pi}\,\Gamma(\lambda+1/2)}{\Gamma(\lambda+1)}\,.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Приведем некоторые свойства преобразования $\mathcal{F}_{r}^{\lambda}$, $\lambda\geqslant -1/2$, $r\geqslant 0$, из [4]. Для ядра преобразования $\mathcal{F}_{r}^{\lambda}$ при $\lambda\geqslant -1/2$ выполняется оценка При $\lambda> -1/2$ для него справедливо представление
$$
\begin{equation}
e_{r,\lambda}(xy)=\int_{-1}^{1}(1+P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}(t))\, e^{ixyt}\,dm_{\lambda}(t).
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Из (2.1)–(2.4) вытекают оценки
$$
\begin{equation*}
M_{r,\lambda}\leqslant 1+d_{2r+1,\lambda-1/2},\quad -\frac{1}{2}<\lambda<0, \qquad M_{r,\lambda}=1, \quad \lambda\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Преобразование $\mathcal{F}_{r}^{\lambda}$ – унитарный оператор, и для $f\in L^{2}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ справедливо равенство Планшереля
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}}|\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)(y)|^2\, d\nu_{\lambda}(y)=\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2\,d\nu_{\lambda}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Обратный оператор имеет вид
$$
\begin{equation*}
(\mathcal{F}_{r}^{\lambda})^{-1}(g)(x)= \int_{-\infty}^{\infty}e_{r,\lambda}(xy)g(y)\,d\nu_{\lambda}(y).
\end{equation*}
\notag
$$
Равенство
$$
\begin{equation}
f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}e_{r,\lambda}(xy) \mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)(y)\,d\nu_{\lambda}(y)
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
справедливо не только в $L^{2}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$, но и поточечно, если $f$ принадлежит классу
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}=\bigl\{f\in C_b(\mathbb{R})\colon f,\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)\in L^{1}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что $\mathcal{S}_r(\mathbb{R})\subset\mathcal{A}$ и $\mathcal{S}_r(\mathbb{R})$ плотно в пространствах $L^{p}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$, $1\leqslant p<\infty$. Неравенство Хаусдорфа–Юнга имеет вид
$$
\begin{equation*}
\|\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)\|_{p',d\nu_{\lambda}}\leqslant M_{r,\lambda}^{2/p-1}\|f\|_{p,d\nu_{\lambda}}, \qquad 1\leqslant p\leqslant 2,\quad \frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Для веса $|x|^{2\lambda+1}$ дифференциально-разностный оператор Данкля первого порядка и лапласиан Данкля имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber D_{\lambda+1/2}f(x)&=f'(x)+\biggl(\lambda+\frac12\biggr)\frac{f(x)-f(-x)}{x}\,, \\ \Delta_{\lambda+1/2}f(x)&=D_{\lambda+1/2}^2f(x)= f''(x)+\frac{2\lambda+1}{x}\,f'(x)- \biggl(\lambda+\frac12\biggr)\frac{f(x)-f(-x)}{x^2}\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
При $r=0$ ядро Данкля $e_{0,\lambda}(xy)$ является собственной функцией лапласиана Данкля
$$
\begin{equation*}
(\Delta_{\lambda+1/2})_{x}e_{0,\lambda}(xy)=-|y|^2e_{0,\lambda}(xy).
\end{equation*}
\notag
$$
При $r\geqslant 1$ ядро является собственной функцией более сложного дифференциально-разностного оператора
$$
\begin{equation}
\delta_{\lambda,r}f(x)=\Delta_{\lambda+1/2}f(x)- 2r(\lambda+r+1)\,\frac{f(x)-f(-x)}{x^2}\,,
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
т.е.
$$
\begin{equation*}
(\delta_{\lambda,r})_{x}e_{r,\lambda}(xy)=-|y|^2e_{r,\lambda}(xy).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 1. Оператор Если $f\in\mathcal{S}_{r}(\mathbb{R})$ и $n\in\mathbb{N}$, то Доказательство. Произвольная функция $f\in\mathcal{S}_{r}(\mathbb{R})$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
f(x)=f_1(x)+x^{2r+1}f_2(x),\qquad f_1,f_2\in\mathcal{S}(\mathbb{R})\quad\text{четные}.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство (2.8) основано на легко проверяемом равенстве $\delta_{\lambda,r}x^{2r+1}=0$. Применяя (2.6), (2.7), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \delta_{\lambda,r}f(x)&=f_1''(x)+\frac{2\lambda\,{+}\,1}{x}f_1'(x) +x^{2r+1}\biggl(f_2''(x)+(4r\,{+}\,2\lambda\,{+}\,3) \frac{f_2'(x)}{x}\biggr) +f_2(x)\delta_{\lambda,r}x^{2r+1} \\ &=g_1(x)+x^{2r+1}g_2(x), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
g_1(x)=f_1''(x)+\frac{2\lambda+1}{x}\,f_1'(x)\in \mathcal{S}(\mathbb{R}),\qquad g_2(x)=f_2''(x)+(4r+2\lambda+3)\frac{f_2'(x)}{x}\in \mathcal{S}(\mathbb{R})
\end{equation*}
\notag
$$
и $g_1(x)$, $g_2(x)$ – четные функции. Следовательно, $\delta_{\lambda,r}f\in\mathcal{S}_r(\mathbb{R})$. Равенство (2.9) с использованием (2.8) устанавливается так же, как в [4]. Лемма 1 доказана. 3. Операторы обобщенного сдвига и сверткиДля $y\in\mathbb{R}$ рассмотрим два оператора обобщенного сдвига
$$
\begin{equation}
\tau^{y}f(x) =\int_{-\infty}^{\infty}e_{r,\lambda}(yz) e_{r,\lambda}(xz)\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)(z)\,d\nu_{\lambda}(z),
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
$$
\begin{equation}
T^{y}f(x) =\frac{\tau^{y}f(x)+\tau^{-y}f(x)}{2}= \int_{-\infty}^{\infty}j_{\lambda}(yz) e_{r,\lambda}(xz)\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)(z)\,d\nu_{\lambda}(z).
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Для многомерного преобразования Данкля аналог оператора $\tau^y$ определен в [7], [8], аналог оператора $T^y$ – в [9], [10]; для обобщенного преобразования Фурье аналог оператора $\tau^y$ был определен в [11]. С помощью операторов (3.1), (3.2) в дальнейшем будут определяться потенциал и преобразование Рисса (см. [12]). В пространстве $L^{2}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ для них справедливы оценки
$$
\begin{equation*}
\|\tau^{y}f\|_{2,d\nu_{\lambda}}\leqslant M_{r,\lambda}\|f\|_{2,d\nu_{\lambda}},\quad \|T^{y}f\|_{2,d\nu_{\lambda}}\leqslant \|f\|_{2,d\nu_{\lambda}},\qquad y\in\mathbb{R},\quad\lambda\geqslant -\frac{1}{2}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Получим для операторов (3.1), (3.2) интегральные представления. Напомним теорему сложения Гегенбауэра для нормированной функции Бесселя [13; гл. XI, 11.4]:
$$
\begin{equation*}
j_{\lambda}(A)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k+\lambda}{\lambda}\, \frac{x^k}{2^k(\lambda+1)_{k}}j_{\lambda+k}(x) \frac{y^k}{2^k(\lambda+1)_{k}}j_{\lambda+k}(y)C_{k}^{\lambda}(t),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\lambda>-1/2$, $A=\sqrt{x^2+y^2-2xyt}$ , $x,y\in\mathbb{R}$, $|t|\leqslant 1$. Используя ортогональность многочленов Гегенбауэра, из теоремы сложения легко получаются следующие известные теоремы умножения:
$$
\begin{equation}
j_{\lambda}(xz)j_{\lambda}(yz) = \int_{-1}^{1}j_{\lambda}(Az)\,dm_{\lambda}(t),
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{(xz)^{2r+1}j_{\lambda+2r+1}(xz)}{2^{2r+1}(\lambda+1)_{2r+1}}\, \frac{(yz)^{2r+1}j_{\lambda+2r+1}(yz)}{2^{2r+1}(\lambda+1)_{2r+1}} = \int_{-1}^{1}j_{\lambda}(Az)P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}(t)\, dm_{\lambda}(t).
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
С использованием многочлена $P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}(t)$, (2.2) формула (3.4) записана в более компактной, чем это принято, форме. Более сложно доказывается следующая теорема умножения [5]:
$$
\begin{equation}
(xz)^{2r+1}j_{\lambda+2r+1}(xz)j_{\lambda}(yz)= \int_{-1}^{1}j_{\lambda+2r+1}(Az)(Az)^{2r+1} P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}\biggl(\frac{x-yt}{A}\biggr)\, dm_{\lambda}(t).
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Если $f_{\mathrm e}(z)$, $f_{\mathrm o}(z)$ – четная и нечетная составляющие функции $f(z)$, $z\in\mathbb{R}$, то, применяя (1.3), (3.3)–(3.5), получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &e_{r,\lambda}(yz)e_{r,\lambda}(xz)=j_{\lambda}(xz)j_{\lambda}(yz) \\ \nonumber &\qquad\qquad+\frac{i(-1)^r}{2^{2r+1}(\lambda+1)_{2r+1}} \bigl\{(xz)^{2r+1}j_{\lambda+2r+1}(xz)j_{\lambda}(yz)+ (yz)^{2r+1}j_{\lambda+2r+1}(yz)j_{\lambda}(xz)\bigr\} \\ \nonumber &\qquad\qquad-\frac{(xz)^{2r+1}j_{\lambda+2r+1}(xz)} {2^{2r+1}(\lambda+1)_{2r+1}}\, \frac{(yz)^{2r+1}j_{\lambda+2r+1}(yz)}{2^{2r+1}(\lambda+1)_{2r+1}} \\ \nonumber &\qquad=\int_{-1}^{1} \biggl\{(e_{r,\lambda}(Az))_{\mathrm e}(1-P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}(t)) \\ \nonumber &\qquad\qquad+(e_{r,\lambda}(Az))_{\mathrm o} \biggl(P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)} \biggl(\frac{x-yt}{A}\biggr)+P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)} \biggl(\frac{y-xt}{A}\biggr)\biggr)\biggr\}\,dm_{\lambda}(t) \\ \nonumber &\qquad=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\biggl\{e_{r,\lambda}(Az) \biggl(1-P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}(t)+P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)} \biggl(\frac{x-yt}{A}\biggr)+ P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}\biggl(\frac{y-xt}{A}\biggr)\biggr) \\ \nonumber &\qquad\qquad+e_{r,\lambda}(-Az) \biggl(1-P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}(t)-P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)} \biggl(\frac{x-yt}{A}\biggr) \\ &\qquad\qquad-P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)} \biggl(\frac{y-xt}{A}\biggr)\biggr)\biggr\}\,dm_{\lambda}(t). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Аналогично,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber j_{\lambda}(yz)e_{r,\lambda}(xz)&=j_{\lambda}(xz)j_{\lambda}(yz)+ \frac{i(-1)^r(xz)^{2r+1}}{2^{2r+1}(\lambda+1)_{2r+1}} j_{\lambda+2r+1}(xz)j_{\lambda}(yz) \\ \nonumber &=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\biggl\{e_{r,\lambda}(Az) \biggl(1+P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}\biggl(\frac{x-yt}{A}\biggr)\biggr) \\ &\qquad+e_{r,\lambda}(-Az)\biggl(1-P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)} \biggl(\frac{x-yt}{A}\biggr)\biggr)\biggr\}\,dm_{\lambda}(t). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Отметим, что при $|t|\leqslant 1$
$$
\begin{equation}
1-\frac{(x-yt)^2}{A^2}=\frac{(1-t^2)y^2}{A^2}\geqslant 0,\qquad \frac{|x-yt|}{A}\leqslant 1.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Пусть $y\in\mathbb{R}$. Опираясь на (3.6) и (3.7), определим два линейных оператора
$$
\begin{equation}
\nonumber \tau_{1}^{y}f(x) =\frac{1}{2}\int_{-1}^{1} \biggl\{f(A)\biggl(1-P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}(t)+ P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}\biggl(\frac{x-yt}{A}\biggr)+ P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}\biggl(\frac{y-xt}{A}\biggr)\biggr)
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \qquad+f(-A)\biggl(1-P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}(t)- P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}\biggl(\frac{x-yt}{A}\biggr)
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad-P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)} \biggl(\frac{y-xt}{A}\biggr)\biggr)\biggr\}\,dm_{\lambda}(t),
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber T_1^yf(x) =\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\biggl\{f(A) \biggl(1+P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}\biggl(\frac{x-yt}{A}\biggr)\biggr)
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad+f(-A)\biggl(1-P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)} \biggl(\frac{x-yt}{A}\biggr)\biggr)\biggr\}\,dm_{\lambda}(t),
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
где, как обычно, $A=\sqrt{x^2+y^2-2xyt}$ . Интересно сравнить операторы (3.9), (3.10) с соответствующими операторами в работах [14], [15]. Лемма 2. Если $g(t)$ – действительная непрерывная нечетная на отрезке $[-1,1]$ функция, $\|g\|_{\infty}\leqslant 1$, $y\in\mathbb{R}$, и линейный оператор то $T_g^yf(x)$ – положительный оператор, $T_g^{-y}f(x)=T_g^yf(x)$ и для любой функции $f\in L^p(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$, $1\leqslant p\leqslant\infty$, выполняется неравенство Доказательство. Если $f(x)\geqslant 0$, то $T_g^{y}f(x)\geqslant 0$. При заменах $y\to -y$, $t\to -t$, $yt$ и $A=\sqrt{x^2+y^2-2xyt}$ не изменятся, поэтому $T_g^{-y}f(x)=T_g^yf(x)$.
Если $p=\infty$, то согласно (2.3), (3.8)
$$
\begin{equation*}
|T_g^{y}f(x)|\leqslant \frac{1}{2}\int_{-1}^{1} \biggl\{\|f\|_{\infty}\biggl(1+g\biggl(\frac{x-ty}{A}\biggr)\biggr)+ \|f\|_{\infty}\biggl(1-g\biggl(\frac{x-ty}{A}\biggr)\biggr\}\, dm_{\lambda}(t)=\|f\|_{\infty}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
Если $p=1$, то, делая замены $x\to -x$, $t\to -t$ и учитывая нечетность функции $g(t)$, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &2\int_{-\infty}^{\infty}|T_g^{y}f(x)|\,d\nu_{\lambda}(x) \leqslant\int_{0}^{\infty}\int_{-1}^{1} \biggl\{|f(A)|\biggl(1+g\biggl(\frac{x-ty}{A}\biggr)\biggr) \\ &\qquad\qquad\qquad+|f(-A)|\biggl(1-g\biggl(\frac{x-ty}{A}\biggr)\biggr\}\, dm_{\lambda}(t)\,d\nu_{\lambda}(x) \\ &\qquad+\int_{0}^{\infty}\int_{-1}^{1} \biggl\{|f(A)|\biggl(1-g\biggl(\frac{x-ty}{A}\biggr)\biggr) +|f(-A)|\biggl(1+g\biggl(\frac{x-ty}{A}\biggr)\biggr\}\, dm_{\lambda}(t)\,d\nu_{\lambda}(x) \\ &\qquad=2\int_{0}^{\infty}\int_{-1}^{1}\{|f(A)|+|f(-A)|\}\, dm_{\lambda}(t)\,d\nu_{\lambda}(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{\infty}\int_{-1}^{1}|f(A)|\,dm_{\lambda}(t)\, d\nu_{\lambda}(x)\leqslant\int_{0}^{\infty}|f(x)|\,d\nu_{\lambda}(x)
\end{equation*}
\notag
$$
(см., например, [16]), то
$$
\begin{equation*}
\|T_g^{y}f\|_{1,d\nu_{\lambda}}\leqslant \int_{0}^{\infty}|f(x)|\,d\nu_{\lambda}(x)+ \int_{0}^{\infty}|f(-x)|\,d\nu_{\lambda}(x)= \|f\|_{1,d\nu_{\lambda}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя интерполяционную теорему Рисса–Торина, получим неравенство (3.11) для всех $1\leqslant p\leqslant\infty$. Лемма 2 доказана. Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, M_{r,\lambda}^{\tau}&=\begin{cases} 1+3d_{2r+1,\lambda-1/2}, & -\dfrac{1}{2}<\lambda<0, \\ 4, & \lambda\geqslant 0, \end{cases} \\ M_{r,\lambda}^{T}&=\begin{cases} 1+d_{2r+1,\lambda-1/2}, & -\dfrac{1}{2}<\lambda<0, \\ 1, & \lambda\geqslant 0. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как для линейных операторов (3.9), (3.10) справедливы оценки
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} |\tau_{1}^{y}f(x)|&\leqslant\frac{1}{2}(1+3d_{2r+1,\lambda-1/2}) \int_{-1}^{1}\{|f(A)|+|f(-A)|\}\,dm_{\lambda}(t),&&\qquad -\frac{1}{2}<\lambda<0, \\ |\tau_{1}^{y}f(x)|&\leqslant 2\int_{-1}^{1}\{|f(A)|+|f(-A)|\}\,dm_{\lambda}(t),&&\qquad \lambda\geqslant 0, \\ |T_{1}^{y}f(x)|&\leqslant\frac{1}{2}(1+d_{2r+1,\lambda-1/2}) \int_{-1}^{1}\{|f(A)|+|f(-A)|\}\,dm_{\lambda}(t),&&\qquad -\frac{1}{2}<\lambda<0, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
то, применяя лемму 2 для $g(t)=0$, $P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}(t)$, придем к следующему утверждению. Лемма 3. Для всех $1\leqslant p\leqslant\infty$, $y\in\mathbb{R}$, $r\in\mathbb{Z}_+$, $\lambda> -1/2$, линейные операторы (3.9) и (3.10) ограничены в пространствах $L^p(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ и для их норм справедливы оценки Замечание 1. На подпространстве четных функций Оценки $L_p$-норм оператора обобщенного сдвига для обобщенного преобразования Фурье, аналогичного оператору $\tau^y$, при $\lambda\geqslant 0$ получены в [5] (см. также [15]). Лемма 4. Линейные операторы (3.1) и (3.9), а также (3.2) и (3.10) как операторы из $L^2(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ в $L^2(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ совпадают. Доказательство. Пусть $R>0$, $f\in L^2(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$,
$$
\begin{equation*}
S_R(x,f)=\int_{-R}^{R}e_{r,\lambda}(xz) \mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)(z)\,d\nu_{\lambda}(z)
\end{equation*}
\notag
$$
– частичный интеграл для (2.5). Согласно (3.6) и (3.9) $\tau_1^{y}e(xz)=e(xz)e(yz)$, поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \tau_1^{y}S_r(x,f)&=\int_{-R}^{R}\tau_1^{y}e_{r,\lambda}(xz) \mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)(z)\,d\nu_{\lambda}(z) \\ &=\int_{-R}^{R}e_{r,\lambda}(xz)e_{r,\lambda}(yz) \mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)(z)\,d\nu_{\lambda}(z) =\tau^{y}S_r(x,f). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из ограниченности операторов $\tau_1^{y}$, $\tau^{y}$ в $L^2(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$, $\tau_1^{y}f(x)=\tau^{y}f(x)$. Случай операторов (3.2) и (3.10) разбирается аналогично. Лемма 4 доказана. Таким образом, операторы (3.9), (3.10) являются продолжениями операторов (3.1), (3.2) на пространства $L^p(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$, $p\ne 2$. В дальнейшем операторы (3.9), (3.10) будем обозначать $\tau^{y}$, $T^{y}$ соответственно. Лемма 5. Для всех $1\leqslant p\leqslant\infty$, $x\in\mathbb{R}$, $r\in\mathbb{Z}_+$, $\lambda> -1/2$ справедливы оценки Доказательство. Для $x\in\mathbb{R}$ рассмотрим линейный оператор $B^{x}f(y)=T^yf(x)$. Неравенство (3.13) вытекает из оценки
$$
\begin{equation*}
|B^{x}f(y)|\leqslant\frac{1}{2}(1+d_{2r+1,\lambda-1/2}) \int_{-1}^{1}\{|f(A)|+|f(-A)|\}\,dm_{\lambda}(t),\qquad -\frac{1}{2}<\lambda<0,
\end{equation*}
\notag
$$
и леммы 2.
При $\lambda\geqslant 0$ применяем интерполяционную теорему Рисса–Торина. Как и в лемме 2, $\|B^{x}f\|_{\infty}\leqslant \|f\|_{\infty}$, поэтому достаточно доказать (3.14) для $p=1$. Так как $T^y=T^{-y}$, то
$$
\begin{equation*}
\|B^{x}f\|_{1,d\nu_{\lambda}}=\sup\biggl\{\int_{\mathbb{R}} T^yf(x)\overline{g(y)}\,d\nu_{\lambda}(y)\colon \|g\|_{\infty}\leqslant 1,\, g\in C_K(\mathbb{R}),\, g\text{ четная}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя равенство Планшереля и (3.2), получим
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}}T^yf(x)\overline{g(y)}\,d\nu_{\lambda}(y) =\int_{\mathbb{R}}\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)(z) \overline{e_{r,\lambda}(xz) \mathcal{F}_{r}^{\lambda}(g)(z)}\,d\nu_{\lambda}(z) =\int_{\mathbb{R}}f(y)\overline{\tau^{-x}g(y)}\,d\nu_{\lambda}(y),
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому
$$
\begin{equation*}
\|Bf\|_{1,d\nu_{\lambda}}\leqslant \|f\|_{1,d\nu_{\lambda}} \sup\{\|\tau^{-x}g(y)\|_{\infty}\colon \|g\|_{\infty}\leqslant 1,\, g\in C_K(\mathbb{R}),\, g\text{ четная}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\|g\|_{\infty}\leqslant 1$, то согласно (3.9)
$$
\begin{equation*}
\|\tau^{-x}g(t)\|_{\infty}\leqslant \int_{-1}^{1}(1-P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}(t))\,dm_{\lambda}(t)=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 5 доказана. Соберем вместе некоторые свойства операторов обобщенного сдвига. Далее до конца статьи $\lambda>-1/2$, $r\in\mathbb{Z}_+$. Лемма 6. Для операторов обобщенного сдвига $\tau^y$, $T^y$ справедливы следующие свойства: 1) если $\lambda\geqslant 0$, $f(x)\geqslant 0$, то $T^tf(x)\geqslant 0$; 2) $\tau^0f(x)=T^0f(x)=f(x)$; 3) $\tau^t1=T^t1=1$; 4) $\tau^ye_{r,\lambda}(xz)=e_{r,\lambda}(yz)e_{r,\lambda}(xz)$, $T^ye_{r,\lambda}(xz)=j_\lambda(yz)e_{r,\lambda}(xz)$; 5) если $f,g\in L^{2}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$, то
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb{R}}\tau^{y}f(x)g(x)\,d\nu_\lambda(x) = \int_{\mathbb{R}}f(x)\tau^{-y}g(x)\,d\nu_\lambda(x),
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb{R}}T^{y}f(x)g(x)\,d\nu_\lambda(x) = \int_{\mathbb{R}}f(x)T^{y}g(x)\,d\nu_\lambda(x);
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
6) если $f\in L^{1}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$, то
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb{R}}\tau^tf(x)\,d\nu_\lambda(x) = \int_{\mathbb{R}}f(x)\,d\nu_\lambda(x),
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb{R}} T^tf(x)\,d\nu_\lambda(x) = \int_{\mathbb{R}}f(x)\,d\nu_\lambda(x);
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
7) пусть $\delta>0$, $\operatorname{supp}f\subset[-\delta,\delta]$; если $|y|\leqslant\delta$, то если $|y|>\delta$, то Доказательство. Свойства 1)–4) получаются из леммы 2, (3.1), (3.2), (3.6), (3.7), (3.9), (3.10). Свойство 5) вытекает из равенства Планшереля.
Если $\chi_R(x)$ – характеристическая функция отрезка $[-R,R]$, то $\lim_{R\to\infty}\chi_R(x)=1$ для всех $x$, поэтому по теореме Лебега об ограниченной сходимости согласно (3.10) $\lim_{R\to\infty}T^y\chi_R(x)=1$ для всех $x$ и $y$. Для любой $f\in L^1(\mathbb{R},d\nu_{\lambda}) \cap L^2(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ по теореме Лебега об ограниченной сходимости при $R\to\infty$
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}}T^yf(x)\chi_R(x)\,d\nu_{\lambda}(x)\to \int_\mathbb{R} T^yf(x)\,d\nu_{\lambda}(x), \quad\ \ \int_{\mathbb{R}} fT^y\chi_R(x)\,d\nu_{\lambda}(x)\to \int_{\mathbb{R}} f(x)\,d\nu_{\lambda}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Но для таких $f$ по свойству (3.16)
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}}T^yf(x)\chi_R(x)\,d\nu_{\lambda}(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x)T^y\chi_R(x)\,d\nu_{\lambda}(x),
\end{equation*}
\notag
$$
и для них свойство (3.18) выполнено. Так как множество $L^1(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})\cap L^2(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ плотно в $L^1(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$, то в силу непрерывности оператора $T^y$ в $L^1(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ свойство (3.18) выполнено для всех $f\in L^1(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$. Свойство (3.17) для оператора $\tau^y$ доказывается аналогично.
Свойство 7) вытекает из неравенства $x^2+y^2-2xyt\geqslant(|x|-|y|)^2>\delta^2$. Лемма 6 доказана. С помощью операторов $\tau^y$ и $T^y$ определим две свертки
$$
\begin{equation}
(f\ast_{\tau}g)(x) = \int_{\mathbb{R}}f(y)\tau^{-x}g(y)\,d\nu_{\lambda}(y),
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
$$
\begin{equation}
(f\ast_{T}g_{\mathrm e})(x) = \int_{\mathbb{R}}T^yf(x)g_{\mathrm e}(y)\,d\nu_{\lambda}(y).
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
Лемма 7. Если $f\in \mathcal{A}$, $g\in L^{1}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ и $g$ четная, то для всех $x,y\in\mathbb{R}$ Доказательство. Пусть сначала $g\in\mathcal{A}$. В силу (3.1), (3.15) и (3.20)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (f\ast_{\tau}g)(x)&= \int_{\mathbb{R}}f(y)\tau^{-x}g(y)\,d\nu_{\lambda}(y)= \int_{\mathbb{R}}\tau^{y}f(x)g(y)\,d\nu_{\lambda}(y) \\ &=\int_{\mathbb{R}}g(y)\int_{\mathbb{R}^d}e_{r,\lambda}(yz) e_{r,\lambda}(xz)\mathcal{F}_{r}^{\lambda} (f)(z)\,d\mu_{\lambda}(z)\,d\nu_{\lambda}(y) \\ &=\int_{\mathbb{R}}e_{r,\lambda}(xz)\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)(z) \mathcal{F}_{}^{\lambda}(g)(z)\,d\nu_{\lambda}(z). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, применяя (3.2) и (3.21), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (f\ast_{T}g)(x)&=\int_{\mathbb{R}}T^yf(x)g(y)\,d\nu_{\lambda}(y) \\ &=\int_{\mathbb{R}}g(y) \int_{\mathbb{R}}j_{\lambda}(yz)e_{r,\lambda}(xz) \mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)(z)\,d\nu_{\lambda} (z)\,d\nu_{\lambda}(y) \\ &=\int_{\mathbb{R}}e_{r,\lambda}(xz)\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)(z) \mathcal{F}_{r}^{\lambda}(g)(z)\,d\nu_{\lambda}(z) =\int_{\mathbb{R}}\tau^{y}f(x)g(y)\,d\nu_{\lambda}(y). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Равенства (3.22) и (3.23) для $g\in\mathcal{A}$ доказаны. Случай $g\in L^{1}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ получается предельным переходом. Если $g_{\varepsilon}\in\mathcal{A}$ и $\|g-g_{\varepsilon}\|_{1,d\nu_{\lambda}}\to 0$ при $\varepsilon\to 0$, то применяя леммы 3, 5, получим равномерную ограниченность $\tau^yf(x)$, $T^yf(x)$ и при $\varepsilon\to 0$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_{\mathbb{R}}f(y)\tau^{x}(g(y)- g_{\varepsilon}(y))\,d\nu_{\lambda}(y)\to 0, \qquad \int_{\mathbb{R}}\tau^{y}f(x)(g(y)- g_{\varepsilon}(y))\,d\nu_{\lambda}(y)\to 0, \\ \int_{\mathbb{R}}T^{y}f(x)(g(y)- g_{\varepsilon}(y))\,d\nu_{\lambda}(y)\to 0, \qquad \|\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(g)(z)- \mathcal{F}_{r}^{\lambda}(g_{\varepsilon})(z)\|_{\infty}\to 0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 7 доказана. Теперь мы можем доказать неравенство Юнга для сверток (3.20) и (3.21). При доказательстве следуем [10]. Теорема 1. Пусть $1\leqslant p,q\leqslant\infty$, $1/p+1/q\geqslant 1$ и $1/s=1/p+1/q-1$. Если $f\in L^p(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$, $g\in L^q(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$, то Доказательство. Пусть $1/\mu=1/p-1/s$ и $1/\nu=1/q-1/s$. Тогда $1/\mu\geqslant 0$, $1/\nu\geqslant 0$ и $1/s+1/\mu+1/\nu=1$.
Применяя неравенство Гёльдера, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|\int_{\mathbb{R}}f(y)\tau^xg(y)\,d\nu_{\lambda}(y)\biggr| \\ &\qquad\leqslant\biggl(\int_{\mathbb{R}}|f(y)|^p |\tau^xg(y)|^q\,d\nu_{\lambda}(y)\biggr)^{1/s} \biggl(\int_{\mathbb{R}}|f(y)|^p\,d\nu_{\lambda}(y)\biggr)^{1/\mu} \biggl(\int_{\mathbb{R}}|\tau^xg(y)|^q\, d\nu_{\lambda}(y)\biggr)^{1/\nu} \\ &\qquad=\biggl(\int_{\mathbb{R}}|f(y)|^p|\tau^xg(y)|^q\, d\nu_{\lambda}(y)\biggr)^{1/s}\|f\|_{p,d\nu_{\lambda}}^{p/\mu} \|\tau^xg\|_{q,d\nu_{\lambda}}^{q/\nu}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (3.12)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|(f\ast_{\tau}g)\|_{s,d\nu_{\lambda}} \\ &\qquad\leqslant \biggl(\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}|f(y)|^p |\tau^yg(x)|^q\,d\nu_{\lambda}(y)\,d\nu_{\lambda}(x)\biggr)^{1/s} \|f\|_{p,d\nu_{\lambda}}^{p/\mu} \|\tau^yg(x)\|_{q,d\nu_{\lambda}}^{q/\nu} \\ &\qquad\leqslant \|f\|_{p,d\nu_{\lambda}}\|\tau^yg\|_{q,d\nu_{\lambda}}\leqslant M_{r,\lambda}^{\tau}\|f\|_{p,d\nu_{\lambda}} \|g\|_{q,d\nu_{\lambda}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Неравенство (3.24) доказано.
Аналогично,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|\int_{\mathbb{R}}T^yf(x)g_{\mathrm e}(y)\, d\nu_{\lambda}(y)\biggr|\leqslant\biggl(\int_{\mathbb{R}}|T^yf(x)|^p |g_{\mathrm e}(y)|^q\,d\nu_{\lambda}(y)\biggr)^{1/s} \\ &\qquad\qquad\times \biggl(\int_{\mathbb{R}} |T^yf(x)|^p\,d\nu_{\lambda}(y)\biggr)^{1/\mu} \biggl(\int_{\mathbb{R}}|g_{\mathrm e}(y)|^q\, d\nu_{\lambda}(y)\biggr)^{1/\nu} \\ &\qquad \leqslant\biggl(\int_{\mathbb{R}}|T^yf(x)|^p |g_{\mathrm e}(y)|^q\,d\nu_{\lambda}(t)\biggr)^{1/s} \|T^yf\|_{p,d\nu_{\lambda}}^{p/\mu} \|g_{\mathrm e}\|_{q,d\nu_{\lambda}}^{q/\nu}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (3.12)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|(f\ast_{T}g_{\mathrm e})\|_{s,d\nu_{\lambda}}&\leqslant \biggl(\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}|T^yf(x)|^p |g_{\mathrm e}(y)|^q\,d\nu_{\lambda}(y)\,d\nu_{\lambda}(x)\biggr)^{1/s} \\ &\qquad \times \|T^yf\|_{p,d\nu_{\lambda}}^{p/\mu} \|g_{\mathrm e}\|_{q,d\nu_{\lambda}}^{q/\nu}\leqslant M_{r,\lambda}^{T} \|f\|_{p,d\nu_{\lambda}}\|g_{\mathrm e}\|_{q,d\nu_{\lambda}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Неравенство (3.25) и теорема 1 доказаны. Замечание 2. Если $f\in L^p(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ при $1\leqslant p<\infty$, $f\in C_0(\mathbb{R})$ при $p=\infty$, $f_{\varepsilon}\in\mathcal{A}$, $\|f-f_{\varepsilon}\|_{p,d\nu_{\lambda}}\to 0$ при $\varepsilon\to 0$ и $g\in L^1(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$, $g$ четная, то, применяя лемму 6 и теорему 1, получим следовательно, $\|(f\ast_{\tau}g)(x)-(f\ast_{T}g)(x)\|_{p,d\nu_{\lambda}}=0$ и $(f\ast_{\tau}g)(x)=(f\ast_{T}g)(x)$ почти всюду. 4. Сходимость обобщенных средних в пространствах $L_p$Пусть $\varepsilon>0$, $\widehat{\varphi}=\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\varphi)$, $\varphi,\widehat{\varphi}\in \mathcal{A}$, $\varphi(0)=1$, $\widehat{\varphi}_{\varepsilon}(y)= \mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\varphi(\varepsilon(\,\cdot\,)))(y)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\widehat{\varphi}_{\varepsilon}(y)= \varepsilon^{-2(\lambda+1)}\widehat{\varphi} (\varepsilon^{-1}y),\qquad \widehat{\varphi}_{\varepsilon}\in L^1(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})\cap C_0(\mathbb{R}),\qquad \int_{\mathbb{R}} \widehat{\varphi}_{\varepsilon}(y)\,d\nu_{\lambda}(y)=1.
\end{equation*}
\notag
$$
В этом пункте под $L^{\infty}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ мы понимаем $C_0(\mathbb{R})$. В соответствии с теоремой 1 для $f\in L^p(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$, $1\leqslant p\leqslant\infty$, мы можем определить $(r,\lambda)$-обобщенные средние
$$
\begin{equation}
\Phi_{\varepsilon}^{\tau}f(x)=(f\ast_{\tau} \widehat{\varphi}_{\varepsilon})(x)= \int_{\mathbb{R}}f(y)\tau^{-x} \widehat{\varphi}_{\varepsilon}(y)\,d\nu_{\lambda}(y).
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Функцию $\varphi$ будем называть генератором обобщенных средних (4.1). Если $\varphi(x)=\varphi_{\mathrm e}(x)$, то согласно замечанию 2 почти всюду
$$
\begin{equation*}
\Phi_{\varepsilon}^{\tau}f(x)=\Phi_{\varepsilon}^{T}f(x)= (f\ast_{T}(\widehat{\varphi}_{\varepsilon})_{\mathrm e})(x)= \int_{\mathbb{R}}T^yf(x) (\widehat{\varphi}_{\varepsilon})_{\mathrm e}(y)\,d\nu_{\lambda}(y).
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\|\Phi_{\varepsilon}^{\tau}f\|_{p,d\nu_{\lambda}}\leqslant M_{r,\lambda}^{\tau} \|(\widehat{\varphi}_{\varepsilon})\|_{1,d\nu_{\lambda}} \|f\|_{p,d\nu_{\lambda}},
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
$$
\begin{equation}
\|\Phi_{\varepsilon}^{T}f\|_{p,d\nu_{\lambda}}\leqslant M_{r,\lambda}^{T} \|(\widehat{\varphi}_{\varepsilon})_{\mathrm e}\|_{1,d\nu_{\lambda}} \|f\|_{p,d\nu_{\lambda}}.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Исследуем $L^p$-сходимость обобщенных средних. Пусть
$$
\begin{equation*}
\omega_{\tau}(\delta,f)_{p,d\nu_{\lambda}}=\sup_{|y|\leqslant \delta}\|\tau^yf-f\|_{p,d\nu_{\lambda}},\qquad \omega_T(\delta,f)_{p,d\nu_{\lambda}}= \sup_{|y|\leqslant\delta}\|T^yf-f\|_{p,d\nu_{\lambda}}
\end{equation*}
\notag
$$
– модули непрерывности функции $f\in L^p(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$, $1\leqslant p\leqslant\infty$. Лемма 8. Если $f\in L^p(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$, $1\leqslant p\leqslant\infty$, то Доказательство. Применяя (3.12), получим (4.4). В силу (3.12) равенства (4.5) можно доказывать для функций из плотного множества. Пусть $f\in\mathcal{S}_r(\mathbb{R})\cap C_K(\mathbb{R})$, $|y|\leqslant 1$, $R\geqslant 2$ выбрано так, что $\operatorname{supp}f\subset [-R+1,R-1]$. Будем писать $A\lesssim B$, если выполнено неравенство $A\leqslant CB$ с константой $C$, зависящей от несущественных параметров.
Так как для нормированной функции Бесселя
$$
\begin{equation*}
j_{\lambda}'(z)=-\frac{z}{2(\lambda+1)}j_{\lambda+1}(z)
\end{equation*}
\notag
$$
[17; гл. V], то $|j_{\alpha}(z)-1|\leqslant|z|/(2(\lambda+1))$ и из (1.3) $|e_{r,\lambda}(yz)-1|\lesssim |y|\,|z|$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
|\tau^tf(x)-f(x)|\leqslant M_{r,\lambda}\int_{\mathbb{R}}|e_{r,\lambda}(yz)-1|\, |\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)(z)|\,d\nu_{\lambda}(z) \lesssim |y|\int_{\mathbb{R}}|z|\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)(z)|\, d\nu_{\lambda}\lesssim |y|.
\end{equation*}
\notag
$$
Равенство (4.5) для модуля непрерывности $\omega_{\tau}(\delta,f)_{p,d\nu_{\lambda}}$ при $p=\infty$ доказано.
Если $p<\infty$, то, применяя (3.19), получим $\operatorname{supp}\tau^yf(x)\subset [-R,R]$, поэтому
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}}|\tau^yf(x)-f(x)|^p\,d\nu_{\lambda}\lesssim |y|^p\int_{-R}^{R}d\nu_{\lambda}.
\end{equation*}
\notag
$$
Равенство (4.5) для модуля непрерывности $\omega_{\tau}(\delta,f)_{p,d\nu_{\lambda}}$ при $p<\infty$ также доказано. Случай модуля непрерывности $\omega_{T}(\delta,f)_{p,d\nu_{\lambda}}$ разбирается аналогично. Лемма 8 доказана. Теорема 2. Пусть $\widehat{\varphi}=\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\varphi)$, функции $\varphi,\widehat{\varphi}\in \mathcal{A}$, $\varphi(0)=1$. Если $f\in L^p(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ при $1\leqslant p<\infty$ или $f\in C_0(\mathbb{R})$ при $p=\infty$, то Доказательство. Учитывая (4.2) и теорему Банаха–Штейнгауза, теорему 2 достаточно доказывать на плотном множестве $\mathcal{S}_r(\mathbb{R})$. Если $f\in\mathcal{S}_r(\mathbb{R})$, то в силу (3.15)
$$
\begin{equation*}
\Phi_{\varepsilon}f(x)= (f\ast_{\tau}\widehat{\varphi}_{\varepsilon})(x)= \int_{\mathbb{R}}f(y)\tau^{-x} \widehat{\varphi}_{\varepsilon}(y)\,d\nu_{\lambda}(y)= \int_{\mathbb{R}}\tau^{y}f(x) \widehat{\varphi}_{\varepsilon}(y)\,d\nu_{\lambda}(y),
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|f(x)-\Phi_{\varepsilon}f(x)\|_{p,d\nu_{\lambda}}= \biggl\|\int_{\mathbb{R}}(\tau^{\varepsilon y}f(x)-f(x)) \widehat{\varphi}(y)\,d\nu_{\lambda}(y)\biggr\|_{p,d\nu_{\lambda}} \\ &\qquad\leqslant \int_{\mathbb{R}} \|\tau^{\varepsilon y}f(x)-f(x)\|_{p,d\nu_{\lambda}} |\widehat{\varphi}(y)|\,d\nu_{\lambda}(y) \leqslant \int_{\mathbb{R}} \omega_{\tau}(\varepsilon y,f)_{p,d\nu_{\lambda}} |\widehat{\varphi}(y)|\,d\nu_{\lambda}(y). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Утверждение теоремы 2 вытекает из (4.4), (4.5) и оценки
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbb{R}}\omega_{\tau}(\varepsilon y,f)_{p,d\nu_{\lambda}} |\widehat{\varphi}(y)|\,d\nu_{\lambda}(y) \\ &\qquad\leqslant \omega_{\tau}(\varepsilon R,f)_{p,d\nu_{\lambda}} \int_{|y|\leqslant R}|\widehat{\varphi}(y)|\,d\nu_{\lambda}(y) +\bigl(1+M_{r,\lambda}^{\tau}\bigr)\|f\|_{p,d\nu_{\lambda}} \int_{|y|\geqslant R}|\widehat{\varphi}(y)|\,d\nu_{\lambda}(y). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2 доказана. Следствие 1. Если в условиях теоремы 2 $\varphi=(\varphi)_{\mathrm e}$, то, учитывая неравенство (4.3), имеем Обобщенные средние $\Phi_{\varepsilon}f$, для которых имеет место сходимость в пространствах $L^p(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$, $1\leqslant p\leqslant\infty$, назовем регулярными. 5. Примеры обобщенных среднихДля четного генератора $\varphi$ обобщенное преобразование Данкля $\widehat{\varphi}$ также является четным и совпадает с преобразованием Ганкеля
$$
\begin{equation*}
\widehat{\varphi}(y)=2\int_{\mathbb{R}_+}j_{\lambda}(yx) f(x)\,d\nu_{\lambda}(x)=H_{\lambda}(f)(y),
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому обобщенное преобразование Данкля $(r\geqslant 0)$ четного генератора обобщенных средних совпадает с обычным преобразованием Данкля $(r=0)$ и даже преобразованием Ганкеля. В [18] рассмотрены следующие примеры средних для преобразования Данкля с четными генераторами: средние Гаусса–Вейерштрасса, Пуассона, Бохнера–Рисса. Они будут примерами и обобщенных средних. Для обобщенных средних Гаусса–Вейерштрасса $\varphi(x)=\widehat{\varphi}(x)=e^{-x^2/2}\in L^{1}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$. Для обобщенных средних Пуассона
$$
\begin{equation*}
\varphi(x)=e^{-|x|}\in L^{1}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda}), \qquad \widehat{\varphi}(y)=\frac{c_{\lambda}}{(1+y^2)^{\lambda+3/2}}\in L^{1}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda}).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, обобщенные средние Гаусса–Вейерштрасса и Пуассона являются регулярными. Для обобщенных средних Бохнера–Рисса
$$
\begin{equation*}
\varphi(x)=\begin{cases} (1-|x|^2)^{\delta}, & |x|\leqslant 1, \\ 0, & |x|\geqslant 1, \end{cases}\qquad \widehat{\varphi}(y)=c_{\lambda,\delta}j_{\lambda+\delta+1}(y),\qquad \delta>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Генератор $\varphi\in L^{1}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$. Функция $\widehat{\varphi}\in L^{1}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$, если только $\delta>\delta_0=\lambda+1/2$. Число $\delta_0$ называют критическим показателем. Если $\delta>\delta_0$, то обобщенные средние Бохнера–Рисса являются регулярными. При $\delta\leqslant\delta_0$ они не являются регулярными. Рассмотрим пример генератора $\varphi_{s,a}(x)=(1+ax^{2s+1})e^{-x^2/2}$, $s\in\mathbb{Z}_+$, $a\in\mathbb{R}$, не являющегося четным. Функция $\varphi_{s,a}\in \mathcal{S}_r(\mathbb{R})$ при $s\geqslant r$. Обобщенное преобразование Данкля
$$
\begin{equation*}
\widehat{\varphi}_{s,a}(y)=e^{-y^2/2}+iac_{r,\lambda,s}y^{2r+1} \begin{cases} \Phi\biggl(\lambda+r+s+2,\lambda+2r+2,-\dfrac{y^2}{2}\biggr),&s<r, \\ e^{-y^2/2}L_{s-r}^{\lambda+2r+1}\biggl(\dfrac{y^2}{2}\biggr),&s\geqslant r. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
(см. [20; гл. VIII, (8.6.13), (8.6.14)]). Здесь $L_s^{\lambda}(x)$ – обобщенные многочлены Лагерра (см. [6; гл. X, 10.12]). Следовательно, $\widehat{\varphi}_{s,a}\in\mathcal{S}_r(\mathbb{R})$ при $s\geqslant r$. Согласно асимптотике вырожденной гипергеометрической $\Phi$-функции [19; гл. VI, (6.13.1)] при $s<r$ и $y\to\infty$
$$
\begin{equation*}
\Phi\biggl(\lambda+r+s+2,\lambda+2r+2,-\frac{y^2}{2}\biggr) =\frac{\Gamma(\lambda+2r+2)}{\Gamma(r-s)}\biggl(\frac{y^2}{2}\biggr)^{-(\lambda+r+s+2)} \biggl(1+O\biggl(\frac{1}{y^2}\biggr)\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому $\widehat{\varphi}_{s,a}\in L^{1}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$, но $\widehat{\varphi}_{s,a}\not\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$. Обобщенные средние с генератором $\varphi_{s,a}$ являются регулярными. Они обобщают средние Гаусса–Вейерштрасса.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Iva23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|