| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Опорное условие сильной выпуклости и условие Липшица для метрической проекции М. В. Балашов, К. З. Биглов Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, г. Москва
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624010152 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеРассмотрим $n$-мерное вещественное евклидово пространство $\mathbb R^n$ со скалярным произведением $(\cdot,\cdot)$ и нормой $\| \cdot\| =\sqrt{(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)}$. Определим замкнутый шар $\mathcal B_r(0)$ радиуса $r>0$ с центром в нуле. Для множества $\mathcal M\subset\mathbb R^n$ определим границу $\partial \mathcal M$ и внутренность $\operatorname{int} \mathcal M$. Пусть $\mathcal S_1=\partial \mathcal B_1(0)$. Пусть $\{ e_i\}_{i=1}^n$ – стандартный ортонормированный базис в $\mathbb R^n$. Определим для вектора $p\in\mathbb R^n$ опорную функцию $s(p,\mathcal M)=\sup_{x\in \mathcal M}(p,x)$ и опорное подмножество $\mathcal M (p)=\{ x\in\mathcal M\colon (p,x)=s(p,\mathcal M)\}$. Элемент опорного подмножества также будем обозначать $\mathcal M (p)$. Вектор $p$ будем называть нормалью к множеству $\mathcal M$ в точке $x\in\mathcal M$, если $(p,x)=s(p,\mathcal M)$. Полунорму компактного подмножества $\mathcal M$ обозначим $\| \mathcal M\|=\max_{x\in\mathcal M}\| x\|$. Пусть $P_{\mathcal M}x$ – метрическая проекция точки $x$ на множество $\mathcal M$. Определение 1. Будем говорить, что выпуклый компакт $\mathcal M\subset\mathbb R^n$ удовлетворяет опорному условию сильной выпуклости для единичного вектора $p_0$ с радиусом $R>0$, если множество $\mathcal M (p_0)$ одноточечно и Заметим, что само множество $\mathcal M$ может не быть даже строго выпуклым. Отметим также, что константа $R$ зависит от $p_0$ и вектор $p_0$ нормален к множеству $\mathcal M$ в точке $\mathcal M(p_0)$. Важным классом множеств, удовлетворяющих условию (1.1), являются сильно выпуклые множества с радиусом $R>0$. Напомним, что выпуклое компактное множество $\mathcal M\subset\mathbb R^n$ называется сильно выпуклым с радиусом $R>0$, если $\mathcal M$ можно представить как пересечение замкнутых шаров радиуса $R$, т.е. $\mathcal M=\bigcap_{x\in\mathcal X}\mathcal B_R(x)$ для некоторого множества центров $\mathcal X\subset \mathbb R^n$. Указанные множества, а также их обобщения изучались в [1]–[4]. Определение 1 выполнено для таких множеств с одной и той же константой $R$ для каждого единичного вектора $p$. В дальнейшем было показано, что сильная выпуклость с радиусом $R>0$ для выпуклого компактного множества $\mathcal M\subset\mathbb R^n$ характеризуется тем, что для любых точек $x_0,x_1$ на расстоянии не менее $r>0$ от $\mathcal M$ проекции $a_i=P_{\mathcal M}x_i$, $i=0,1$, удовлетворяют условию [5], [6] Структура выпуклых замкнутых множеств в гильбертовом пространстве с константой Липшица оператора метрического проектирования на множество меньшей 1 изучалась также в работе [7]. Условие (1.2), а также сильная выпуклость множества, позволили доказать в ряде случаев линейную сходимость метода проекции градиента и метода условного градиента (по-другому, метода Франк–Вульфа) без предположения о сильной выпуклости или даже выпуклости функции [5], [6; теоремы 4.2, 4.3].В работе [8; § 5] было показано, что достаточно некоторого локального условия сильной выпуклости, заданного через модуль выпуклости в точке, для линейной в случае модуля второго порядка или сублинейной в случае модуля более высокого порядка сходимости метода условного градиента. Линейная сходимость метода условного градиента в случае сильно выпуклого множества была доказана в работе [9; теорема 6.1, п. 5)]. Кроме того, в работе [8; теорема 3.1] для множеств достижимости линейных управляемых систем была показана типичность указанного выше условия второго порядка для локального модуля выпуклости в граничной точке множества достижимости. В работе [10] было доказано, что выполнение опорного условия сильной выпуклости в смысле определения 1 обеспечивает линейную скорость сходимости некоторых градиентных методов. При этом помимо выполнения определения 1 никаких условий на множество накладывать не нужно. В отличие от локального условия сильной выпуклости в точке множества, которое задано через модуль выпуклости и требует строгой выпуклости множества в окрестности этой точки, определение 1 предъявляет более мягкие требования ко множеству. В частности, нами было показано, что локальное условие сильной выпуклости в точке в смысле [8] влечет опорное условие сильной выпуклости в смысле определения 1 [10; заключение]. В настоящей работе рассматривается опорное условие сильной выпуклости. В п. 2 доказан ряд технических лемм, уточняющих условие Липшица для опорных элементов множества, удовлетворяющего определению 1. В п. 3 рассмотрено условие Липшица для метрической проекции. Пусть $a_0\in\partial \mathcal M$, $p_0$ – единичный нормальный вектор к множеству $\mathcal M$ в точке $a_0$ и $x_0\,{\in}\,\{a_0+ tp_0\colon t\geqslant 0\}$. Пусть для любого $x$ и $a=P_{\mathcal M}x$ выполнено условие $\| a_0-a\|\leqslant \lambda \| x_0-x\|$ с константой $\lambda\in (0,1)$, при этом точки $x_0$, $x$ находятся на расстоянии $\geqslant r>0$ от множества $\mathcal M$. Указанное условие Липшица с константой $\lambda<1$ имеет место тогда и только тогда, когда для множества $\mathcal M$ выполнено определение 1 для единичного вектора $p_0$ с некоторым радиусом $R>0$. На основе этих результатов доказана одна теорема о сходимости метода альтернативных проекций для проксимально гладкого (в общем случае невыпуклого) множества и выпуклого компактного множества. Заметим, что мы не требуем для множеств свойств типа трансверсальности [11; § 8.5]. В п. 4 мы доказываем, что определение 1 выполняется для любого выпуклого компакта для почти всех единичных векторов $p_0$ с некоторыми радиусами $R(p_0)>0$. Таким образом, свойство из определения 1 является типичным и выполнено для почти всех в смысле меры Лебега элементов единичной сферы $\mathcal S_1$. Отметим в заключение, что все результаты работы, кроме результатов п. 4, могут быть доказаны в вещественном гильбертовом пространстве. 2. Свойства опорного условия сильной выпуклостиРассмотрим простейший пример. Пусть $\mathcal M=\operatorname{co} \{\pm e_n\}$ – отрезок длины 2. Пусть единичный вектор $p\in\mathbb R^n$ образует угол $\alpha \in (0,\pi/2)$ с вектором $e_n$ стандартного ортонормированного базиса. Из элементарной планиметрии легко видеть, что $\mathcal M(p)=e_n$ и $\mathcal M\subset \mathcal B_R(e_n-Rp)$ для $R={1}/{\cos \alpha}$. Для всякого единичного вектора $p$ такого, что $\alpha={\pi}/{2}$, множество $\mathcal M$ не удовлетворяет опорному условию сильной выпуклости. Определение 2. Пусть $\mathcal M\subset\mathbb R^n$ – выпуклое компактное множество, $p\in\mathbb R^n$ – единичный вектор. Будем говорить, что множество $\mathcal M$ удовлетворяет условию Липшица для вектора $p$ с константой $L>0$, если для любого единичного вектора $q\in\mathbb R^n$ и произвольного элемента опорного множества $\mathcal M(q)$ (который мы также обозначим $\mathcal M(q)$) выполнено неравенство Заметим, что в силу определения $\mathcal M(p)$ – одноточечное опорное подмножество $\mathcal M$ в направлении $p$. Лемма 1. Пусть выпуклое компактное множество $\mathcal M\subset\mathbb R^n$ удовлетворяет условию (1.1) – опорному условию сильной выпуклости в направлении $p$, $\| p\|=1$, с радиусом $R$. Тогда для всякого единичного вектора $q\in\mathbb R^n$ и произвольного элемента опорного множества $\mathcal M(q)$ (который мы также обозначим $\mathcal M(q)$) выполнено неравенство т.е. множество $\mathcal M$ удовлетворяет условию Липшица для вектора $p$ с константой $L=2R$. Доказательство. Зафиксируем единичный вектор $q$ и элемент $\mathcal M(q)$. Положим без ограничения общности $\mathcal M (p)-Rp=0$.
Пусть $(p,q)\geqslant 0$. Точка $\mathcal M(q)$ содержится в множестве $S=\mathcal B_R(0)\cap H_q^+$ (где $H_q^+=\{x\in\mathbb R^n\colon (q,x)\geqslant (q,\mathcal M(p))\}$), которое является сферическим сегментом. Пусть $\xi=[0,Rq]\cap\partial H_q^+$. Тогда $\| \xi - Rp\|\leqslant R\| q-p\|$ (так как $\xi$ – метрическая проекция $Rq$ на $\partial H_q^+$) и $\| \mathcal M(q)-\mathcal M(p)\|\leqslant \operatorname{diam}S=2\| \xi - Rp\|$ (так как $(p,q)\geqslant 0$ и диаметр $S$ реализуется на основании сегмента). Если $(p,q)<0$, то $\| p-q\|^2=2-2(p,q)>2$, $\| p-q\|>\sqrt{2}$ и Лемма доказана.Лемма 1 обобщает аналогичный результат для сильно выпуклого множества с радиусом $R$. Известно, что условие Липшица опорного элемента выпуклого компакта на единичной сфере с константой Липшица $R$ эквивалентно условию его сильной выпуклости с радиусом $R$ [4; теорема 4.3.2]. Лемма 2. Пусть выпуклое компактное множество $\mathcal M\subset\mathbb R^n$ удовлетворяет условию Липшица для единичного вектора $p$ с константой $L>0$. Тогда множество $\mathcal M$ удовлетворяет опорному условию сильной выпуклости (1.1) в направлении $p$ с радиусом $R=L$. Доказательство. Допустим, что для $R=L$ множество $\mathcal M$ не удовлетворяет опорному условию сильной выпуклости в направлении $p$ с константой $R$, т.е. Определим $z_0\in\operatorname{Arg}\max_{z\in\mathcal M}\| \mathcal M(p)-Rp-z\|$ – какая-то наиболее удаленная точка множества $\mathcal M$ от точки $z_*=\mathcal M(p)-Rp$ и $R_1=\| z_0-(\mathcal M(p)-Rp)\|$. Определим единичный вектор $q=(z_0-z_*)/\| z_0-z_*\|$. Очевидно, что $z_0=\mathcal M(q)$ и $\mathcal M\subset \mathcal B_{R_1}(\mathcal M(p)-Rp)$. При этом $R_1>R$.
Возводя в квадрат равенство $R_1=\| z_0-(\mathcal M(p)-Rp)\|$, имеем Отсюда с учетом условий $z_0=\mathcal M(q)$, $(p,q)\leqslant 1$ и $R_1>R$ получаем Последнее неравенство противоречит условию Липшица множества $\mathcal M$ для вектора $p$ с константой $R>0$. Лемма доказана.3. Условие Липшица для метрической проекции. Альтернативные проекцииТеорема 1. Пусть $\mathcal M\subset\mathbb R^n$ – выпуклый компакт, $x_0\in\mathbb R^n$, $\varrho(x_0,\mathcal M)= r_0>0$, $a_0=P_{\mathcal M}x_0$. Пусть существует такая константа $\lambda\in (0,1)$, что для любой точки $x\in \mathbb R^n$, $\varrho(x,\mathcal M)\geqslant r_0$, и $a=P_{\mathcal M}x$ выполнено неравенство Тогда для выпуклого компакта $\mathcal M$ выполнено опорное условие сильной выпуклости для вектора $p_0=(x_0-a_0)/\| x_0-a_0\|$ с константой $R=\lambda r_0/(1-\lambda)$. Доказательство. Зафиксируем единичный вектор $p$ и опорный элемент $a=\mathcal M(p)\in\mathcal M$. Выберем $x=a+r_0 p$, тогда $\varrho (x,\mathcal M)=r_0$ и $P_{\mathcal M}x=a$. Из условия теоремы с учетом равенства $x_0=a_0+r_0p_0$ имеем
$$
\begin{equation*}
\| a_0-a\| \leqslant \lambda \| a_0+r_0p_0 - a - r_0p\|\leqslant \lambda\| a_0-a\|+\lambda r_0\| p-p_0\|,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е.
$$
\begin{equation*}
\| a_0-a\|\leqslant\frac{\lambda r_0}{1-\lambda }\| p_0-p\|.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу леммы 2 множество $\mathcal M$ удовлетворяет опорному условию сильной выпуклости для единичного вектора $p_0$ с радиусом $R =\lambda r_0/(1-\lambda)$. Теорема доказана. Теорема 2. Пусть $r>0$, $\mathcal M\subset\mathbb R^n$ – выпуклый компакт, удовлетворяющий опорному условию сильной выпуклости для единичного вектора $p_0$ и радиуса $R>0$. Пусть $x_0=\mathcal M(p_0)+\varrho_0 p_0$, $\varrho_0\geqslant r$, и $x\in\mathbb R^n$, $\varrho=\varrho (x,\mathcal M)\geqslant r$. Тогда для $a=P_{\mathcal M}x$ и $a_0=P_{\mathcal M}x_0=\mathcal M(p_0)$ выполнено неравенство Перед доказательством заметим, что если расстояние от точек $x_0$ и $x$ до множества $\mathcal M$ не менее $r$, то выполнено следующее условие Липшица для метрической проекции: где $x_0=\mathcal M(p_0)+\varrho_0 p_0$, $\varrho_0\geqslant r$. Доказательство теоремы 2. Положим $p=(x-a)/{\varrho}$. Вектор $p$ является единичной нормалью к множеству $\mathcal M$ в точке $a=P_{\mathcal M}x$. В силу леммы 1 Возводя в квадрат и группируя слагаемые, получаем Положим $\alpha=\| a_0-a\|$, $z=a_0-Rp_0$.
Рассмотрим треугольники $x_0a_0a$ и $za_0a$. Поскольку точка $a_0$ содержится на отрезке $[z,x_0]$, мы имеем равенство $\angle x_0a_0a=\pi-\angle za_0a$ и
$$
\begin{equation*}
\cos \angle x_0a_0a=\cos( \pi-\angle za_0a)=-\frac{R^2+\alpha^2-\| z-a\|^2}{2R\alpha}\leqslant -\frac{\alpha}{2R},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \| x_0-a\|^2 &=\| x_0-a_0\|^2+\| a_0-a\|^2-2\|x_0-a_0\|\cdot \| a_0-a\|\cos\angle x_0a_0a \\ &\geqslant\varrho_0^2+\alpha^2+2\varrho_0\alpha\frac{\alpha}{2R} =\varrho_0^2+\alpha^2+\frac{\alpha^2\varrho_0}{R}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
В треугольнике $xa_0a$ угол $\angle xaa_0$ не менее $\pi/2$, откуда
$$
\begin{equation}
\| x-a_0\|^2\geqslant \| a_0-a\|^2+\| x-a\|^2=\alpha^2+\varrho^2.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Подставляя оценки (3.3) и (3.4) в (3.2) и умножая обе части неравенства на $\varrho_0\varrho$, получаем Поскольку $\varrho_0\geqslant r$, $\varrho\geqslant r$, то из последней формулы получаем утверждение теоремы.Напомним, что замкнутое множество $\mathcal N\subset\mathbb R^n$ проксимально гладкое с константой $K>0$, если функция расстояния $\varrho (x,\mathcal N)$ непрерывно дифференцируема на множестве $U_{\mathcal N}(K)=\{ x\in\mathbb R^n\colon 0<\varrho (x,\mathcal N)<K\}$. Эквивалентными проксимальной гладкости множества $\mathcal N$ с константой $K$ являются следующие условия [2]:
Метод альтернативных проекций для выпуклых и проксимально гладких множеств в гильбертовом пространстве рассматривался ранее в работе [12], где главным образом были доказаны достаточные условия слабой сходимости и сходимости по норме проекций. Алгоритм альтернативных проекций для сильно выпуклого и проксимально гладкого подмножеств из $\mathbb R^n$ также ранее рассматривался одним из авторов в работе [13; утверждение 6]. В работе [14] для случая банаховых пространств изучались условия корректности по Тихонову задачи поиска минимального расстояния между сильно выпуклым множеством, являющимся слагаемым по Минковскому шара в банаховом пространстве, и проксимально гладким множеством. Теорема 3. Пусть $\mathcal M\subset\mathbb R^n$ – выпуклый компакт, а $\mathcal N$ – проксимально гладкое множество с константой $K>0$. Допустим, что Пусть множество $\mathcal M$ удовлетворяет опорному условию сильной выпуклости для вектора $p_0=(x_0-y_0)/\| x_0-y_0\|$ с радиусом $R>0$. Предположим, что $K>2R+r_0$ и в задаче $\inf_{(x,y)\in\mathcal N\times\mathcal M}\| x-y\|$ нет других, кроме $(x_0,y_0)$, стационарных точек при условии $x\in \mathcal N$, $y\in\mathcal M$ и $\| x-y\|\leqslant r_0K/(2R+r_0)$. Тогда при произвольном выборе $x_1\in\mathcal N$ таком, что $\varrho (x_1,\mathcal M)\leqslant r<r_0K/(2R+r_0)$, альтернативные проекции $\{ (x_k,y_k)\}_{k\geqslant 1}$ вида $y_k=P_{\mathcal M}x_k$, $x_{k+1}=P_{\mathcal N}y_k$, $k=1,2,\dots$, сходятся к $(x_0,y_0)$ с линейной скоростью. Стационарной точкой в задаче $\inf_{(x,y)\in\mathcal N\times\mathcal M}\| x-y\|$ мы будем называть такую точку $(x,y)\in\mathcal N\times\mathcal M$, что $P_{\mathcal M}x=y$ и $P_{\mathcal N}y=x$. Заметим, что если множество $\mathcal N$ просто выпукло, то при условиях теоремы 3 точка $(x_0,y_0)$, где достигается расстояние между множествами $\mathcal M$ и $\mathcal N$, – единственная стационарная точка в задаче $\inf_{(x,y)\in\mathcal N\times\mathcal M}\| x-y\|$, $K=+\infty$ и $x_1\in\mathcal N$ можно выбирать произвольно. Доказательство. Если $\varrho (x_1,\mathcal M)=\| x_1-y_1\|\leqslant r$, то $\varrho (y_1,\mathcal N)=\| y_1-x_2\|\leqslant \| y_1-x_1\|\leqslant r$ и т.д., $\| x_k-y_k\|\leqslant r$, $\| x_{k+1}-y_k\|\leqslant r$ для всех $k$. Запишем условие Липшица из теоремы 2
$$
\begin{equation}
\| y_0-y_k\|\leqslant \frac{2R}{2R+r_0}\| x_0-x_k\|.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Из проксимальной гладкости $\mathcal N$ получаем
$$
\begin{equation}
\| x_0-x_{k+1}\|\leqslant \frac{K}{K-r}\| y_0-y_k\|.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Совместно формулы (3.5) и (3.6) дают В силу условий на константы
Оценка для $\| y_k-y_0\|$ аналогична. Теорема доказана. 4. Типичность определения 1Рассмотрим произвольный выпуклый компакт $\mathcal M\subset\mathbb R^n$. В настоящем пункте мы покажем, что для почти всякого единичного вектора $p$ найдется число $R(p)\geqslant \| \mathcal M\|$, для которого $\mathcal M\subset\mathcal B_{R(p)}(\mathcal M(p)-R(p)p)$. Отметим, что $R(p)$ определено неоднозначно. Если мы найдем некоторое $R(p)$, то при любом $R_1>R(p)$ предыдущее включение верно. Для множеств $\mathcal M,\mathcal N\subset \mathbb R^n$ обозначим через $\mathcal Q=\mathcal M\stackrel{*}{-}\mathcal N=\{ x\in\mathbb R^n\colon x+\mathcal N\subset \mathcal M\}$ геометрическую разность множеств $\mathcal M$ и $\mathcal N$. Для выпуклого компакта $\mathcal M$ и точки $x\in\mathcal M$ обозначим нормальный конус
$$
\begin{equation*}
N(\mathcal M,x)=\{ p\in\mathbb R^n\colon (p,x)\geqslant (p,y)\ \forall\, y\in\mathcal M\}
\end{equation*}
\notag
$$
и $N_1(\mathcal M,x)=N(\mathcal M,x)\cap\mathcal S_1$. Зафиксируем выпуклое компактное множество $\mathcal M\,{\subset}\,\mathbb R^n$. Определим для $R\,{\geqslant}\, \| \mathcal M\|$
$$
\begin{equation}
\mathcal N_R=\mathcal B_R(0)\stackrel{*}{-} \mathcal M, \qquad \mathcal Q_R=\mathcal M+\mathcal N_R\subset \mathcal B_R(0),
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
$$
\begin{equation}
f_R(p)=R\| p\| - s(p,\mathcal Q_R)=R\| p\| - \bigl(s(p,\mathcal M)+s(p,\mathcal N_R)\bigr).
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Множество $\mathcal N_R$ сильно выпукло с радиусом $R$. Действительно, $\mathcal N_R=\mathcal B_R(0)\stackrel{*}{-} \mathcal M=\bigcap_{x\in \mathcal M}\mathcal B_R(-x)$. Из определения множеств $\mathcal N_R$ и $\mathcal Q_R$ в (4.1) получаем $f_R(p)\geqslant 0$ для всех $p\in\mathcal S_1$. Для единичного вектора $p$ покажем равносильность условий
$$
\begin{equation*}
\mathcal M\subset \mathcal B_R(\mathcal M(p)-Rp) \qquad\text{и}\qquad f_R(p)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\mathcal M\subset \mathcal B_R(\mathcal M(p)-Rp)$, то $\mathcal M+(Rp-\mathcal M(p))\subset\mathcal B_R(0)$, т.е. $Rp-\mathcal M(p)\in\mathcal N_R$. Отсюда $f_R(p)\leqslant R\|p\|-s(p,\mathcal M)-(p,Rp-\mathcal M (p))=0$ и с учетом неравенства $f_R(p)\geqslant 0$ получаем $f_R(p)=0$. Пусть $f_R(p)=0$. Зафиксируем опорный элемент $\mathcal M(p)\in\mathcal M$. Из условия $(p,\mathcal M(p)+\mathcal N_R(p))=R\| p\|$ и включения (4.1) получаем
$$
\begin{equation*}
\mathcal N_R(p)=Rp-\mathcal M(p), \qquad \mathcal M+Rp-\mathcal M(p)\subset\mathcal B_R(0), \qquad \mathcal M\subset\mathcal B_R(\mathcal M(p)-Rp).
\end{equation*}
\notag
$$
Определим $R(p)$ как наименьшее неотрицательное решение уравнения $f_R(p)=0$ при $R\geqslant \| \mathcal M\|$. Если $f_R(p)>0$ при всех $R\geqslant\| \mathcal M\|$, положим $R(p)=+\infty$. Отметим, что функция $R\mapsto f_R(p)$ непрерывна по $R$ при $R\geqslant \| \mathcal M\|$, так как отображение $R\mapsto \mathcal N_R$ непрерывно [4; теорема 2.8.4]. Кроме того, заметим, что для всех $R>R(p)$ выполнено равенство $f_R(p)=0$. Лемма 3. Пусть $\mathcal M\subset\mathbb R^n$ – выпуклое компактное множество, $\| p\|=1$, $\mathcal N_R$ определено по формуле (4.1) и $N_1(\mathcal N_R,\mathcal N_R(p))=\{p\}$. Тогда $f_R(p)=0$, где $f_R$ задается формулой (4.2). Доказательство. Предположим от противного, что $f_R(p)>0$. Найдется число $\varepsilon>0$ и окрестность $\operatorname{int}\mathcal B_{\delta}(p)\cap\mathcal S_1$ точки $p\in\mathcal S_1$ такая, что для всех $q\in\operatorname{int}\mathcal B_{\delta}(p)\cap\mathcal S_1$ выполнено неравенство $f_R(q)>\varepsilon$. Без ограничения общности можно считать $\delta<1$.
Для всякого $\alpha>0$ определим точку $z(\alpha)=\mathcal N_R(p)+\alpha p\notin\mathcal N_R$. Пусть $\alpha \in (0,\varepsilon)$. Тогда для всякого $q\in \operatorname{int}\mathcal B_{\delta}(p)\cap\mathcal S_1$ имеем $(q,p)>0$, откуда
$$
\begin{equation*}
s\bigl(q,\mathcal N_R\cup\{ z(\alpha)\}\bigr)=\max\bigl\{ s(q,\mathcal N_R), (q,z(\alpha))\bigr\}\leqslant \alpha (q,p)+s(q,\mathcal N_R)
\end{equation*}
\notag
$$
и условие $f_R(q)> \varepsilon$ означает
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &s\bigl(q,\mathcal N_R\cup\{ z(\alpha)\}\bigr)+s(q,\mathcal M)\leqslant \alpha (q,p)+s(q,\mathcal N_R)+s(q,\mathcal M) \\ &\qquad \leqslant\varepsilon+s(q,\mathcal N_R)+s(q,\mathcal M)< R\|q\|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Рассмотрим случай $q\in \mathcal S_0=\mathcal S_1\setminus (\operatorname{int}\mathcal B_{\delta}(p)\cap\mathcal S_1)$. Множество $\mathcal S_0$ компактно, а функция $\mathcal S_1\ni q\mapsto \mathcal N_R(q)$ однозначна (как единственный опорный элемент сильно выпуклого множества $\mathcal N_R$) и непрерывна [4; теорема 4.3.2]. Поэтому множество $\mathcal X_R=\{ \mathcal N_R(q)\colon q\in\mathcal S_0\}$ компактно и $\mathcal N_R(p)\notin\mathcal X_R$ (в этом месте мы пользуемся условием $N_1(\mathcal N_R,\mathcal N_R(p))=\{ p\}$ из леммы 3). Положим $\gamma=\varrho (\mathcal N_R(p),\mathcal X_R)>0$. Для всякого $q\in\mathcal S_0$ в силу опорного принципа для сильно выпуклых множеств [4; теоремы 4.1.3 и 4.2.7] и равенства $\gamma=\varrho (\mathcal N_R(p),\mathcal X_R)$ имеем включение
$$
\begin{equation*}
\mathcal N_R(p)\in \mathcal B_R\bigl(\mathcal N_R(q)-Rq\bigr)\setminus \operatorname{int}\mathcal B_{\gamma}(\mathcal N_R(q)).
\end{equation*}
\notag
$$
Определим
$$
\begin{equation*}
\mathcal H=\operatorname{aff}\bigl(\partial\mathcal B_R(\mathcal N_R(q)-Rq)\cap\partial \mathcal B_{\gamma}(\mathcal N_R(q))\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что гиперплоскость $\mathcal H$ параллельна опорной плоскости
$$
\begin{equation*}
\mathcal H_q=\bigl\{ x\in\mathbb R^n\colon (q,x)=s(q,\mathcal N_R)\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Зафиксируем произвольную точку $x\in \partial\mathcal B_R(\mathcal N_R(q)-Rq)\cap\partial \mathcal B_{\gamma}(\mathcal N_R(q))$ и рассмотрим плоское сечение $\operatorname{aff}\{ \mathcal N_R(q),\mathcal N_R(q)-Rq,x\}$. Треугольник $\mathcal N_R(q),\mathcal N_R(q)-2Rq,x$ вписан в круг радиуса $R$ и является прямоугольным, поэтому для угла $\beta=\angle (x,\mathcal N_R(q)-2Rq,\mathcal N_R(q))$ выполнено равенство
$$
\begin{equation*}
\sin\beta= \frac{\|\mathcal N_R(q)-x\|}{2R}=\frac{\gamma}{2R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда расстояние между прямыми
$$
\begin{equation*}
\mathcal H\cap \operatorname{aff}\bigl\{ \mathcal N_R(q),\mathcal N_R(q)-Rq,x\bigr\} \qquad\text{и}\qquad \mathcal H_q\cap \operatorname{aff}\bigl\{ \mathcal N_R(q),\mathcal N_R(q)-Rq,x\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
равно $\gamma^2/(2R)$ и равно расстоянию между $\mathcal H$ и $\mathcal H_q$.
Поэтому при $\alpha<\gamma^2/(2R)$ мы имеем оценку
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag (q,z(\alpha))=(q,\mathcal N_R(p)+\alpha p)\leqslant (q,\mathcal N_R(p))+\alpha < (q,\mathcal N_R(q)), \\ s\bigl(q,\mathcal N_R\cup\{ z(\alpha)\}\bigr)+s(q,\mathcal M)= s(q,\mathcal N_R)+s(q,\mathcal M)\leqslant R\|q\|. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Зафиксируем $0<\alpha<\min\{ \varepsilon,\gamma^2/(2R)\}$ и соответствующую точку $z(\alpha)$. Формулы (4.3) и (4.4) совместно означают, что для всякого $q\in\mathcal S_1$ верно условие $s(q,\mathcal N_R\cup\{ z(\alpha)\})+s(q,\mathcal M)\leqslant R\| q\|$, т.е. $\mathcal N_R\cup\{ z(\alpha)\}+\mathcal M\subset\mathcal B_R(0)$. Это противоречит определению $\mathcal N_R$. Лемма доказана. Определим множества
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal F_R=\bigl\{ p\in\mathcal S_1\colon R(p)>R\bigr\}=\bigl\{ p\in\mathcal S_1\colon f_R(p)>0\bigr\}, \\ \mathcal G_R=\bigl\{ p\in\mathcal S_1:\operatorname{dim}N(\mathcal N_R,\mathcal N_R(p))>1\bigr\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Конус $N(\mathcal N_R,\mathcal N_R(p))$ выпуклый и его размерность по определению есть размерность его линейной оболочки. Заметим, что если опорное условие сильной выпуклости не выполняется для единичного вектора $p$ при любом $R>0$, то $R(p)=+\infty$. Из леммы 3 вытекает включение $\mathcal F_R\subset \mathcal G_R$. Заметим также, что множество $\mathcal F_R$ открыто в $\mathcal S_1$ как лебегово множество непрерывной функции $f_R$. Пусть $\mu$ – мера Хаусдорфа размерности $(n-1)$ [15; раздел 3.10, (iii)], отнормированная так, что $\mu \mathcal S_1=1$. В силу [16; теорема 1] мера Хаусдорфа совпадает с нормированной мерой Лебега на сфере. Лемма 4. Пусть $\mathcal M\subset\mathbb R^n$ – выпуклое компактное подмножество и $R>\| \mathcal M\|$. Тогда Доказательство. Из включения $\mathcal M \subset \mathcal B_{\|\mathcal M\|}(0)$ получаем Для измеримого подмножества $\mathcal S \subset \mathcal S_1$ определим $\mathcal N_R(\mathcal S) =\{\mathcal N_R(p)\colon p\in \mathcal S\}$.
Поскольку $\mathcal B_{R-\|M\|}(0) \subset \mathcal N_R$, а оператор метрического проектирования на выпуклый компакт липшицев с константой 1, то $(R-\|M\|)^{n-1} =\mu\partial (\mathcal B_{R-\|M\|}(0)) \leqslant \mu \partial \mathcal N_R$ [15; лемма 3.10.12]. В силу [17; теорема 25.5] множество точек недифференцируемости по Фреше выпуклой функции на открытом множестве имеет лебегову меру нуль. Отсюда (см. также [18; теорема 2.5]) мера Хаусдорфа размерности $n-1$ точек негладкости $\mathcal N_R(\mathcal G_R)$ границы выпуклого тела $\mathcal N_R$ равна нулю. В силу включения $\mathcal F_R\subset\mathcal G_R$ имеем $\mu \mathcal N_R(\mathcal F_R)=0$. Далее имеем
$$
\begin{equation*}
\mu\partial\mathcal N_R=\mu\bigl(\mathcal N_R(\mathcal S_1 \setminus \mathcal F_R)\cup \mathcal N_R(\mathcal F_R)\bigr) \leqslant \mu\mathcal N_R(\mathcal S_1\setminus\mathcal F_R) + \mu \mathcal N_R(\mathcal F_R).
\end{equation*}
\notag
$$
Отображение $\mathcal S \ni p \mapsto \mathcal N_R(p)$ однозначно и липшицево с константой $R$, так как его значения – опорные элементы сильно выпуклого с радиусом $R$ множества $\mathcal N_R$ [4; теорема 4.3.2].
Отсюда с учетом замкнутости $\mathcal N_R(\mathcal F_R)$ и [15; лемма 3.10.12] $\mu \mathcal N_R(\mathcal S_1\setminus\mathcal F_R) \leqslant R^{n-1} \mu(\mathcal S_1\setminus\mathcal F_R)$. В итоге получаем
$$
\begin{equation*}
\mu\partial\mathcal N_R \leqslant R^{n-1} \mu(\mathcal S_1\setminus\mathcal F_R)=R^{n-1}(1 - \mu\mathcal F_R).
\end{equation*}
\notag
$$
Окончательно имеем откуда следует утверждение леммы.Отметим, что доказательство леммы 4 не зависит от сдвига множества $\mathcal M$. Поэтому можно без ограничения общности рассмотреть такое $\mathcal M$, для которого $0$ является чебышевским центром $\mathcal M$, т.е. решением по $x$ задачи $R_{\mathcal M}=\min_{x\in\mathbb R^n}\max_{a\in\mathcal M} \| x-a\|$. Известно, что для любого компактного подмножества $\mathcal M$ решение этой задачи существует и единственно [4; лемма 2.1.1]. При этом величина $R_{\mathcal M}$ называется чебышевским радиусом, т.е. $R_{\mathcal M}$ – радиус минимального шара, содержащего $\mathcal M$. В рассматриваемом случае $\| \mathcal M\|=R_{\mathcal M}$, и мы можем заменить в (4.5) $\| \mathcal M\|$ на $R_{\mathcal M}$, т.е.
$$
\begin{equation*}
\mu\mathcal F_R\leqslant 1-\biggl( 1-\frac{R_{\mathcal M}}{R}\biggr)^{n-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Последняя оценка более точна, чем (4.5). Теорема 4. Пусть $\mathcal M\subset\mathbb R^n$ – произвольный выпуклый компакт. Тогда множество единичных векторов, для которых выполнено определение 1, есть множество полной меры на $\mathcal S_1$. Доказательство. Определим множество
$$
\begin{equation*}
\mathcal F_{\infty}=\{ p\in\mathcal S_1\colon R(p)=+\infty\}=\bigcap_{N\in\mathbb N}\mathcal F_N.
\end{equation*}
\notag
$$
Множества $\mathcal F_N$ монотонно убывают по включению, причем в силу леммы 4 получаем $\mu\mathcal F_N\to 0$ при $N\to\infty$. Следовательно, $\mu\mathcal F_{\infty}=0$. Остается заметить, что, как указано выше, в силу [16; теорема 1] $(n-1)$-мерная мера Хаусдорфа на сфере $\mathcal S_1$ совпадает с мерой Лебега на $\mathcal S_1$. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BalBig24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|