| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Предельная теорема для момента максимума случайного блуждания, достигающего фиксированного уровня, лежащего в зоне умеренно больших уклонений М. А. Анохина Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624030192 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеРассмотрим случайное блуждание $S_n=X_1+\dots+X_n$, $n\in\mathbb{N}$, $S_0=0$, где $X_1,X_2,\dots$ – независимые одинаково распределенные (н.о.р.) случайные величины (сл.в.) с $\mathsf{E}X_1=0$. В случае, когда сл.в. $X_i$ равновероятно принимают значения $-1$ и $1$, хорошо известен закон арксинуса (см. [1]):
$$
\begin{equation*}
\mathsf{P}\biggl(\frac{\tau}{n}\leqslant x\biggr) \to \frac{2}{\pi} \arcsin\sqrt{x}\,,\qquad n\to\infty,\quad x\in [0,1],
\end{equation*}
\notag
$$
где $\tau$ – момент первого достижения максимума блужданием $S_n$ на отрезке $[0,n]$. В силу принципа инвариантности этот результат переносится на произвольные случайные блуждания с нулевым средним и конечной положительной дисперсией [2]. В работе [3] рассмотрена возможность приложения закона арксинуса к другим функционалам от траектории случайного блуждания. Нас будет интересовать задача исследования асимптотического поведения такой вероятности при $n\to\infty$ в случае арифметического случайного блуждания при условии достижения максимумом некоторого значения $k\in\mathbb{N}$, т.е.
$$
\begin{equation*}
\mathsf{P}\biggl(\frac{\tau}{n}\leqslant x \Bigm| M_n=k\biggr),\qquad x\in [0,1],
\end{equation*}
\notag
$$
где $M_n = S_{\tau}$ – максимум нашего блуждания. При этом мы предполагаем, что $k$ может зависеть от $n$. В нерешетчатом случае рассматривается аналогичная задача для вероятностей
$$
\begin{equation*}
\mathsf{P}\biggl(\frac{\tau}{n}\leqslant x \Bigm| M_n \in [z,z+\Delta)\biggr), \qquad x\in [0,1],
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Delta>0$, $z$ может зависеть от $n$. В зоне нормальных уклонений, т.е. когда $k/\sqrt{n}\to y>0$, $n\to\infty$, исследование асимптотического поведения такой вероятности в арифметическом случае связано с исследованием вероятности $\mathsf{P}(S_i>0,\,i\leqslant n \mid S_n=k)$, а в нерешетчатом случае – с $\mathsf{P}(S_i>0,\,i\leqslant n\mid S_n\in [z,z+\Delta))$. Для случая простого симметричного случайного блуждания эта вероятность описывается в лемме о баллотировке (см. [1]), история и некоторые обобщения которой описываются в [4]. В случае общего распределения существуют аналогичные результаты (см. теоремы 1 и 2 в [5]), из которых можно получить асимптотическое поведение такой условной вероятности. В арифметическом случае отсюда напрямую можно получить асимптотическое поведение интересующей нас вероятности, а в нерешетчатом случае требуются некоторые дополнительные оценки, лежащие за пределами данной работы. Нас будет интересовать случай умеренных уклонений, когда $k/n^\alpha\to y>0$, $n\to\infty$, $1/2<\alpha<1$. В работе вместо $\tau$ нам будет удобнее рассмотреть $\widetilde\tau$ – момент последнего достижения максимума. Нами получено асимптотическое поведение вероятности
$$
\begin{equation*}
\mathsf{P}\biggl(\frac{n - \widetilde\tau}{n^\beta} \leqslant x \Bigm| M_n=k_n\biggr), \qquad x\geqslant 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\beta = 2-2\alpha$. Аналогичная задача решается и для нерешетчатого случая. Нами исследовано асимптотическое поведение
$$
\begin{equation*}
\mathsf{P}\biggl(\frac{n - \widetilde\tau}{n^\beta}\leqslant x \Bigm| M_n\in[z_n, z_n+\Delta)\biggr), \qquad x\geqslant0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $z_n\in\mathbb{R^{+}}$, $z_n/n^\alpha\to y>0$, $n\to\infty$, $1/2<\alpha<1$, $\beta = 2-2\alpha$, $\Delta>0$. Естественно задаться аналогичными вопросами в случае малых уклонений, когда $k/n^\alpha\to y>0$, $n\to\infty$, $0<\alpha<1/2$; этому будет посвящена отдельная работа. Отметим, что случай больших уклонений, т.е. когда $k/n \to y > 0$ при $n \to \infty$, напрямую следует из работы [6]. Оставшаяся часть работы устроена следующим образом. В п. 2 введены обозначения и приведены некоторые известные результаты; в п. 3 приведены основные теоремы 4 и 5; в п. 4 содержатся формулировки и доказательства вспомогательных результатов. 2. Предварительные сведенияБудем говорить, что $X$ – решетчатая случайная величина, если существуют такие $d>0$ и $a\in\mathbb{R}$, что $\mathsf{P}(X \in a + d\mathbb{Z}) = 1$. Все распределения, не являющиеся решетчатыми, называются нерешетчатыми. При этом будем называть $X$ арифметической сл.в., если она принимает только целые значения и при этом не существует таких $d>1$ и $a$, что $\mathsf{P}(X \in a + d\mathbb{Z}) = 1$. Пусть при некотором положительном $h$ выполнено условие $R(h)=\mathsf{E}e^{hX_1}<\infty$. Будем говорить, что сл.в. $X^{(h)}$ имеет сопряженное распределение с параметром $h$ по отношению к величине $X$, если при всех $A\in\mathscr{B}(\mathbb{R})$
$$
\begin{equation*}
\mathsf{P}(X^{(h)}\in A)= \int_A\frac{e^{hx}}{R(h)}\,\mathsf{P}(X\in dx).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $S_n^{(h)} = X_1^{(h)}+\cdots+X_n^{(h)}$, $n\in\mathbb{N}$, $S_0^{(h)}=0$, где величины $X_i^{(h)}$ предполагаются независимыми. Отметим, что тогда
$$
\begin{equation*}
\mathsf{P}(S_n^{(h)}\in A)= \int_A\frac{e^{hx}}{R(h)^n}\,\mathsf{P}(S_n\in dx).
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим $\mathsf{E}X_1^{(h)}=m(h)$, $\mathsf{D}X_1^{(h)}=\sigma^2(h)$. Для удобства мы будем использовать обозначение $\rho_{n,l}(I)$ для величины, которая является $o(1)$ при $n\to\infty$ равномерно малым по всем $l\in I$. При этом в разных местах $\rho_n$ может обозначать разные величины. Также отметим, что в случае, когда мы будем рассматривать арифметическое случайное блуждание, мы будем опускать целые части (понимая, что все рассуждения верны и с ними), чтобы не загромождать выкладки дополнительными техническими деталями. Нам понадобятся следующие результаты. Для начала сформулируем следующую теорему, которая является комбинацией трех результатов, приведенных в [7]: классической теоремы Гнеденко (теорема 8.7.3), теоремы 8.7.3А (равномерность по параметру $h$) и теоремы 9.3.4. Теорема 1 (Гнеденко). Пусть $X_1^{(h)},X_2^{(h)},\dots$ – н.о.р. арифметические сл.в., имеющие сопряженное распределение с параметром $h\in[0,\widetilde\delta]$ по отношению к $X_1,X_2,\dots$, где $\mathsf{E}X_1 = 0$, $\mathsf{E}X_1^2\in(0,\infty)$ и $\mathsf{E}X_1^2e^{\widetilde\delta X_1}<\infty$ при некотором $\widetilde\delta>0$. Тогда где $m(h)=\mathsf{E}X_1^{(h)}$, $\sigma^2(h)=\mathsf{D}X_1^{(h)}$, а $o(\,\cdot\,)$ равномерно мало по $k\in\mathbb{Z}$ и $h\in[0,\widetilde\delta]$. В нерешетчатом случае верна следующая теорема, которая также является комбинацией трех результатов, приведенных в [7]: классической теоремы Стоуна (теорема 8.7.1), теоремы 8.7.1А (равномерность по параметру $h$) и теоремы 9.3.1. Теорема 2 (Стоун). Пусть $X_1^{(h)},X_2^{(h)},\dots$ – н.о.р. нерешетчатые сл.в., имеющие сопряженное распределение с параметром $h\,{\in}\,[0,\widetilde\delta]$ по отношению к $X_1,X_2,\dots$, где $\mathsf{E}X_1 = 0$, $\mathsf{E}X_1^2\in(0,\infty)$ и $\mathsf{E}X_1^2e^{\widetilde\delta X_1}<\infty$ при некотором $\widetilde\delta>0$. Тогда где $m(h)=\mathsf{E}X_1^{(h)}$, $\sigma^2(h)=\mathsf{D}X_1^{(h)}$, $\Delta>0$, а $o(\,\cdot\,)$ равномерно мало по $x\in\mathbb{R}$ и $h\in[0,\widetilde\delta]$. Также нам понадобится теорема 15.2 из [2]. Теорема 3. Пусть $X_1, X_2,\dots$ – н.о.р. сл.в. с $\mathsf{E}X_1 = 0$ и $\mathsf{E}X_1^2=\sigma^2\in(0,\infty)$. Тогда при $n\to\infty$ где $T^{-} = \min\{n>0\colon S_n\leqslant0\}$, $T^{+} = \min\{n>0\colon S_n > 0\}$, $\widetilde c$ – некоторая константа. Замечание 1. Заметим, что аналогичный результат с той же константой $\widetilde c$ можно получить для $(T^{-})' = \min\{n>0\colon S_n<0\}$ и $(T^{+})' = \min\{n>0\colon S_n \geqslant 0\}$, применив теорему 3 к $S_n' = (-X_1)+\dots+(-X_n)$. 3. Основной результатСформулируем основные результаты настоящей работы. Теорема 4. Пусть $X_1,X_2,\dots$ – н.о.р. арифметические сл.в. с $\mathsf{E}X_1=0$ и $\mathsf{E}X_1^2=\sigma^2\in(0,\infty)$, $\mathsf{E}e^{\widetilde\delta X_1}<\infty$ для некоторого $\widetilde\delta>0$, $\{k_n\}$ – некоторая целочисленная последовательность, удовлетворяющая соотношению $k_n/n^{\alpha}\to y$, $n\to\infty$, $y > 0$, $1/2<\alpha<1$. Тогда для всех $x\geqslant 0$ выполнено соотношение где $\beta = 2-2\alpha$, $c = y/\sqrt{2\sigma^2}$. Теорема 5. Пусть $X_1,X_2,\dots$ – н.о.р. нерешетчатые сл.в. с $\mathsf{E}X_1=0$ и $\mathsf{E}X_1^2=\sigma^2\in(0,\infty)$, $\mathsf{E}e^{\widetilde\delta X_1}<\infty$ для некоторого $\widetilde\delta>0$, $\{z_n\}$ – некоторая последовательность, удовлетворяющая соотношению $z_n/n^{\alpha}\to y$, $n\to\infty$, $y > 0$, $1/2<\alpha<1$. Тогда для всех $x\geqslant 0$ и $\Delta>0$ выполнено соотношение где $\beta = 2-2\alpha$, $c = y/\sqrt{2\sigma^2}$ . Замечание 2. Асимптотика равномерна по $\Delta$, принадлежащим любому компактному подмножеству $\mathbb{R^{+}}$, что можно увидеть из доказательства теорем. Для нас этот факт не принципиален, поэтому в теоремах 4, 5 мы его опускаем. Доказательство теорем 4 и 5. Для удобства читателя доказательство разбито на ряд вспомогательных утверждений, доказательства которых приведены в п. 4. Здесь и далее для краткости мы будем опускать индекс $n$ у параметров $k$ и $z$. Проведем доказательство для арифметического случая, а особенности выкладок в нерешетчатом случае будем отмечать отдельно. Для начала представим условную вероятность в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \mathsf{P}\biggl(\frac{n-\widetilde\tau}{n^\beta} \leqslant x\Bigm| M_n=k\biggr)&=\frac{\mathsf{P}(n-\widetilde\tau \leqslant xn^\beta, M_n=k)}{\mathsf{P}(M_n=k)} \\ &=\frac{\sum_{l\colon n-l\in[0,xn^\beta]} \mathsf{P}(\widetilde\tau=l,M_n=k)}{\mathsf{P}(M_n=k)}\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
В нерешетчатом случае выкладка аналогична.
Введем функцию $R(h) = \mathsf{E}e^{hX_1}$. Заметим, что она конечна для $h\in[0,\widetilde\delta]$ в силу условия теоремы и что для нее справедливы следующие соотношения, доказанные в лемме 2:
$$
\begin{equation}
R(h) = \exp\biggl(\frac{h^2\sigma^2}2 + O(h^3)\biggr), \qquad h^2n^\beta \sim d^2y^2, \quad h^3n^\beta \sim \frac{d^3y^3}{n^{1-\alpha}},
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где $h\sim dk/n$, $n\to\infty$, $d=\sigma^{-2}$.
Покажем, что знаменатель в правой части (3.1) допускает представление
$$
\begin{equation*}
\sqrt{n}\,\mathsf{P}(M_n = k) = C_1\exp\bigl(-(hk-n\ln R(h))\bigr)(1+o(1)),\qquad n\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где $h$ определяется соотношением $m(h)=k/n$, $C_1$ – некоторая константа, задаваемая соотношением (3.10).
В нерешетчатом случае аналогичным образом можно доказать, что
$$
\begin{equation*}
\sqrt{n}\,\mathsf{P}\bigl(M_n \in[z, z+\Delta)\bigr)= C_1\Delta \exp\bigl(-(hz-n\ln R(h))\bigr)(1+o(1)),\qquad n\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где $h$ определяется соотношением $m(h)=z/n$.
Фиксируем положительный параметр $\delta_2$ и представим $\sqrt{n}\,\mathsf{P}(M_n=k)$ в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \sqrt{n}\,\mathsf{P}(M_n=k)&=\sqrt{n}\,\mathsf{P}\bigl(0\leqslant \widetilde\tau<n-n^{\beta+\delta_2},\,M_n=k\bigr) \\ &\qquad+\sqrt{n}\,\mathsf{P}\bigl(n-n^{\beta+\delta_2}\leqslant \widetilde\tau\leqslant n,\,M_n=k\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Оценим первое слагаемое в правой части (3.3):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\sqrt{n}\,\mathsf{P}\bigl(0\leqslant\widetilde\tau<n-n^{\beta+\delta_2},\, M_n=k\bigr) \leqslant \sqrt{n}\,\mathsf{P}\bigl(\exists\, i< n-n^{\beta+\delta_2}\colon S_i=k\bigr) \\ \nonumber &\qquad\leqslant\sqrt{n}\,\sum_{i=0}^{n-n^{\beta+\delta_2}} \mathsf{P}(S_i=k)=\sqrt{n}\,\sum_{i=0}^{n-n^{\beta+\delta_2}} \mathsf{P}(S_i^{(h)}=k)\frac{R(h)^i}{e^{hk}} \leqslant \sqrt{n}\,\sum_{i=0}^{n-n^{\beta+\delta_2}}\frac{R(h)^i}{e^{hk}} \\ &\qquad=\frac{\sqrt{n}}{e^{hk}}\, \frac{R(h)^{n-n^{\beta+\delta_2}}-1}{R(h)-1} \leqslant \frac{\sqrt{n}}{e^{hk}}\, \frac{R(h)^{n-n^{\beta+\delta_2}}}{R(h)-1}= o\biggl(\frac{R(h)^n}{e^{hk}}\biggr), \qquad n\to\infty, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где последнее соотношение вытекает из (3.2). Теперь рассмотрим второе слагаемое в (3.3). Тогда для произвольного $\delta_3\in(0,\delta_2)$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\sqrt{n}\,\mathsf{P}\bigl(n-n^{\beta+\delta_2}\leqslant \widetilde\tau\leqslant n,\,M_n=k\bigr) \\ &\qquad =\sqrt{n}\,\sum_{l=n-n^{\beta+\delta_2}}^{n-n^{\delta_3}} \mathsf{P}\bigl(\widetilde\tau=l,\,M_n=k\bigr) +\sqrt{n}\,\sum_{l=n-n^{\delta_3}+1}^{n} \mathsf{P}\bigl(\widetilde\tau=l,\,M_n=k\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Здесь и далее $\rho_n = \rho_{n,l}(I)$, где $I=[n-n^{\beta+\delta_2}, n]$. В силу леммы 11 (см. п. 4) при всех достаточно малых положительных $\delta_2$
$$
\begin{equation}
\mathsf{P}\bigl(\widetilde\tau=l,\,M_n=k\bigr)= C\frac{k}{n\sqrt{n(n-l)}}\exp\bigl(-(hk-l\ln R(h))\bigr)(1+\rho_n), \qquad n\to\infty,
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
где $h$ определяется соотношением $m(h)=k/n$, $l=n-tn^\beta$, $t\in(0,n^{\delta_2}]$, $C$ – некоторая константа.
В нерешетчатом случае аналогичный результат представлен в замечании 10. Рассмотрим каждую из сумм в правой части (3.5) по отдельности. В силу (3.6) для первой из них имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sqrt{n}\,\sum_{l=n-n^{\beta+\delta_2}}^{n - n^{\delta_3}} \mathsf{P}\bigl(\widetilde\tau=l,\,M_n=k\bigr) \\ &\qquad=\sqrt{n}\,C(1+o(1)) \sum_{l\colon(n-l)/n^\beta\in [n^{\delta_3-\beta},n^{\delta_2}]}\frac{k}{n\sqrt{n(n-l)}} \exp\bigl(-(hk-l\ln R(h))\bigr) \\ &\qquad=C\frac{R(h)^{n}}{e^{hk}}(1+o(1))\sum_{l\colon(n-l)/n^\beta\in [n^{\delta_3-\beta},n^{\delta_2}]}\frac{kR(h)^{-t_ln^\beta} n^{\alpha-1}}{n^\alpha\sqrt{t_ln^\beta}}\,, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $t_l=(n-l)n^{-\beta}$. В силу (3.2) при достаточно малых $\delta_2$ получаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\sqrt{n}\,\sum_{l=n-n^{\beta+\delta_2}}^{n - n^{\delta_3}} \mathsf{P}\bigl(\widetilde\tau=l,\,M_n=k\bigr) \\ &\qquad=Cy\frac{R(h)^{n}}{e^{hk}}(1+o(1))\sum_{l\colon(n-l)/n^\beta\in [n^{\delta_3-\beta},n^{\delta_2}]} \frac{e^{-d^2y^2\sigma^2t_l/2}}{\sqrt{t_l}}\, \frac{1}{n^\beta},\qquad n\to\infty. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Покажем, что
$$
\begin{equation}
\sum_{l\colon (n-l)/n^\beta\in[n^{\delta_3-\beta},n^{\delta_2}]} \frac{e^{-d^2y^2\sigma^2t_l/2}}{\sqrt{t_l}}\,\frac{1}{n^\beta} \to \int_0^\infty \frac{e^{-d^2y^2\sigma^2u/2}}{\sqrt{u}}\,du, \qquad n\to\infty.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Обозначим $f(u) = e^{-d^2y^2\sigma^2u/2}/\sqrt{u}$. Эта функция положительна, монотонно убывает и
$$
\begin{equation*}
\int_0^\infty f(u)\,du=\frac{\sqrt{2\pi}}{dy\sigma}<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Зафиксируем положительный параметр $\varepsilon$. Тогда существуют такие положительные $u_1<u_2$, что
$$
\begin{equation*}
\int_0^{u_1} f(u)\,du < \frac{\varepsilon}{3}\,, \qquad \int_{u_2}^\infty f(u)\,du < \frac{\varepsilon}{3}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{l\colon (n-l)/n^\beta\in[n^{\delta_3-\beta},n^{\delta_2}]} f(t_l)\frac{1}{n^\beta} \\ &\qquad=\biggl(\,\sum_{l\colon (n-l)/n^\beta\in[n^{\delta_3-\beta},u_1)}+ \sum_{l\colon (n-l)/n^\beta\in[u_1,u_2]} + \sum_{l\colon (n-l)/n^\beta\in(u_2,n^{\delta_2}]}\biggr) f(t_l)\frac{1}{n^\beta} \\ &\qquad\geqslant \sum_{l\colon (n-l)/n^\beta\in[u_1,u_2]} f(t_l) \frac{1}{n^\beta}\geqslant \int_{u_1}^{u_2} f(u)\,du - \frac{\varepsilon}{3} \\ &\qquad\geqslant \int_{u_1}^{u_2} f(u)\,du-\frac{\varepsilon}{3}+ \int_{u_2}^\infty f(u)\,du - \frac{\varepsilon}{3} + \int_0^{u_1} f(u)\,du - \frac{\varepsilon}{3}= \int_0^\infty f(u)\,du - \varepsilon. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, по построению
$$
\begin{equation*}
\sum_{l\colon (n-l)/n^\beta\in[n^{\delta_3-\beta},n^{\delta_2}]} f(t_l)\frac{1}{n^\beta} \leqslant \int_0^\infty f(u)\,du.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу произвольности $\varepsilon$ получаем соотношение (3.8).
Поскольку
$$
\begin{equation*}
\sum_{l\colon (n-l)/n^\beta\in[n^{\delta_3-\beta},n^{\delta_2}]} f(t_l)\frac{1}{n^\beta} = (1+o(1))\int_0^\infty f(u)\,du = \frac{\sqrt{2\pi}}{dy\sigma} (1+o(1)), \qquad n\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
представление (3.7) преобразуется к виду
$$
\begin{equation}
\sqrt{n}\,\mathsf{P}\bigl(n-n^{\beta+\delta_2}\leqslant \widetilde\tau\leqslant n-n^{\delta_3},\,M_n=k\bigr) = C_1\frac{R(h)^{n}}{e^{hk}}(1+o(1)), \qquad n\to\infty,
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
где
Для второй суммы в (3.5) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\sqrt{n}\,\sum_{l=n-n^{\delta_3}+1}^{n} \mathsf{P}\bigl(\widetilde\tau=l,\,M_n=k\bigr) \\ &\qquad= \sqrt{n}\sum_{l=n-n^{\delta_3}+1}^{n} \mathsf{P}\bigl(S_i\geqslant0,\,i<l,\,S_l=k\bigr) \mathsf{P}\bigl(S_i<0,\,i\leqslant n-l\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
С учетом того, что в силу теоремы 7
$$
\begin{equation*}
\mathsf{P}\bigl(S_i\geqslant0,\,i<l,\,S_l=k\bigr)= C_0\frac{k}{n\sqrt{n}}\exp\bigl(-(hk-l\ln R(h))\bigr)(1+\rho_n), \qquad n\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_0$ – некоторая константа, для любого положительного $\varepsilon$ из (3.11) вытекает соотношение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\sqrt{n}\,\sum_{l=n-n^{\delta_3}+1}^{n}\mathsf{P} \bigl(\widetilde\tau=l,\,M_n=k\bigr) \leqslant C_0(1+\varepsilon)\frac{R(h)^n}{e^{hk}}\,\frac{k}{n} \sum_{l=n-n^{\delta_3}+1}^{n}R(h)^{-(n-l)} \\ &\qquad\leqslant C_0(1+\varepsilon)y\frac{R(h)^n}{e^{hk}}n^{\alpha-1} \sum_{r=0}^{n^{\delta_3}-1}R(h)^{-r} \leqslant C_0(1+\varepsilon)y\frac{R(h)^n}{e^{hk}}n^{\alpha-1+\delta_3}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Таким образом, в силу представлений (3.3) и (3.5), а также с учетом соотношений (3.4), (3.9) и (3.12) получаем, что
$$
\begin{equation*}
\sqrt{n}\,\mathsf{P}(M_n=k) = C_1\frac{R(h)^{n}}{e^{hk}}+ o\biggl(\frac{R(h)^{n}}{e^{hk}}\biggr), \qquad n\to\infty.
\end{equation*}
\tag{3.13}
$$
Рассуждения, аналогичные доказательству (3.8), приводят к следующему соотношению:
$$
\begin{equation*}
\sum_{l\colon (n-l)/n^\beta\in[n^{\delta_3-\beta},n^{\delta_2}]} \frac{\exp(-d^2y^2\sigma^2t_l/2)}{\sqrt{t_l}}\,\frac{1}{n^\beta} \to \int_0^x\frac{\exp(-d^2y^2\sigma^2u/2)}{\sqrt{u}}\,du, \qquad n\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
справедливому при всех $x\geqslant0$, откуда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sqrt{n}\,\sum_{l\colon n-l\in[0,xn^\beta]} \mathsf{P}\bigl(\widetilde\tau=l,\,M_n=k\bigr) \\ &\qquad= (1+o(1))Cye^{-(hk-n\ln R(h))}\int_0^x \frac{\exp(-d^2y^2\sigma^2u/2)}{\sqrt{u}}\,du, \qquad n\to\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathsf{P}\biggl(\frac{n-\widetilde\tau}{n^\beta} \leqslant x \Bigm| M_n=k\biggr)=\frac{\sqrt{n}\,\sum_{l\colon n-l\in[0,xn^\beta]} \mathsf{P}(\widetilde\tau=l,M_n=k)}{\sqrt{n}\,\mathsf{P}(M_n=k)} \\ &\qquad= (1+o(1))\frac{y}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\int_0^x \frac{e^{-d^2y^2\sigma^2u/2}}{\sqrt{u}}\,du =\frac{1+o(1)}{\sqrt{\pi}}\int_0^{c^2x} \frac{e^{-u}}{\sqrt{u}}\,du, \qquad n\to\infty, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $c = dy\sigma/\sqrt{2}=y/\sqrt{2\sigma^2}$ . Теорема 4 доказана.
Теорема 5 вытекает из приведенных выше замечаний, касающихся нерешетчатого случая. 4. Вспомогательные результатыДля начала сформулируем и докажем две леммы. Доказательство. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, h&= m^{-1}\biggl(\frac{k}{n}\biggr) = m^{-1}(0)+(m^{-1}(x))'\big|_{x=0} \frac{k}{n} + o\biggl(\frac{k}{n}\biggr) \\ &= \frac{1}{m'(m^{-1}(x))|_{x=0}}\,\frac{k}{n} + o\biggl(\frac{k}{n}\biggr) = \frac{1}{\sigma^2(0)}\,\frac{k}{n} + o\biggl(\frac{k}{n}\biggr) = \frac{1}{\sigma^2}\,\frac{k}{n} + o\biggl(\frac{k}{n}\biggr), \qquad n\to\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 2. Пусть $h\sim dk/n$, $k/n^\alpha\to y>0$ при $n\to\infty$, где $1/2<\alpha<1$, $d=\sigma^{-2}$. Тогда при $n\to\infty$ справедливы следующие соотношения: где $\beta=2-2\alpha$. Доказательство. Поскольку $m(0) = \mathsf{E}X_1 = 0$, имеем
$$
\begin{equation*}
\ln R(h) = \ln R(0) + h m(0) + \frac{h^2}{2}\sigma^2(0) + O(h^3) = \frac{h^2}{2}\sigma^2 + O(h^3), \qquad h\to0+,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому
$$
\begin{equation*}
R(h) = \exp\biggl(\frac{h^2\sigma^2}2 + O(h^3)\biggr), \qquad h\to0+.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $k/n^\alpha\to y$ при $n\to\infty$, получаем
$$
\begin{equation*}
h^2n^\beta \sim d^2\frac{k^2}{n^2}n^\beta= d^2\frac{k^2}{n^{2\alpha}}\,\frac{n^\beta}{n^{2-2\alpha}} \sim d^2y^2,
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
h^3n^\beta \sim d^3\frac{k^3}{n^3}n^\beta = d^3\frac{k^3}{n^{3\alpha}}\,\frac{n^\beta}{n^{3-3\alpha}} \sim d^3y^3\frac{1}{n^{1-\alpha}}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 2 доказана. Нам будет полезна следующая теорема, являющаяся обобщением леммы 2.2 из статьи [8]. Теорема 6. Пусть $Y_i = m(h) - X_i^{(h)}$, $i\geqslant1$, – н.о.р. арифметические сл.в., где $\mathsf{E}X_1^{(h)} = m(h)$, $\mathsf{D}X_1^{(h)} = \sigma^2(h)\in (0,\infty)$. Пусть $\widehat S_n(h) = Y_1 + \dots + Y_n = nm(h) - S_n^{(h)}$, $\widehat M_\varepsilon = \sup_{n\geqslant1}(\widehat S_n(h) - n\varepsilon)^{+}$ для $\varepsilon>0$. Тогда где $\tau_{+} = \min\{n\colon \widehat S_n(0) >0\}$, $m(h)=k/n$, $k/n^\alpha\to y>0$, $n\to\infty$. Замечание 3. Отметим, что теорема 6 не может быть получена из результатов работы [8] напрямую, поскольку в [8] рассматриваются величины с фиксированным распределением, к которым добавляют зависящий от параметра сдвиг. В нашем же случае величины $X^{(h)}$ при различных $h$ имеют распределения с, вообще говоря, различными дисперсиями. Замечание 4. В нерешетчатом случае в тех же предположениях также выполнено соотношение (4.1). Доказательство теоремы 6 во многом повторяет рассуждения статьи [8], использованные при доказательстве леммы 2.2. Доказательство. Данный факт хорошо известен, однако мы приведем его доказательство. Введем преобразование Лапласа сл.в. $X$:
$$
\begin{equation*}
\psi_{X}(\lambda) := \mathsf{E}e^{\lambda X} =\phi_{X}(-i\lambda), \qquad \text{где}\quad \phi_{X}(t) = \mathsf{E}e^{itX}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда преобразование Лапласа сопряженной сл.в. $X^{(h)}$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\psi_{X^{(h)}}(i t) = \mathsf{E}e^{i t X^{(h)}} = \frac{\mathsf{E}e^{(it+h)X}}{\mathsf{E}e^{hX}} = \frac{\psi_{X}(it+h)}{\psi_{X}(h)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу непрерывности преобразования Лапласа в полосе $\mathrm{Re}\lambda = \mathrm{Re}(it+h)=h\in[0, \widetilde \delta]$ (см. [7], гл. 9, § 1) и с учетом того, что $R(h)=\mathsf{E}e^{hX} \to 1$, $h\to 0+$, получаем, что $\psi_{X^{(h)}}(i t) \to \psi_{X}(it)$, $h\to 0+$, или, что то же самое, $\phi_{X^{(h)}}(t)\to\phi_{X}(t)$, $h\to 0+$. Лемма 3 доказана. В силу леммы 8.3.1 из [9] отсюда вытекает сходимость $(F^{(h)})^{-1}(t)\to F^{-1}(t)$ при всех $t\in (0,1) \cap C(F^{-1})$, где $F^{-1}(t) := \inf \{s\colon F(s)\geqslant t\}$ (определение для $(F^{(h)})^{-1}(t)$ аналогично), $C(F^{-1})$ – множество точек непрерывности функции $F^{-1}(t)$. Пусть $R_i$, $i\in\mathbb{N}$ – н.о.р. сл.в. и $R_i\sim R(0,1)$. Положим
$$
\begin{equation*}
X_i^{(h)} := (F^{(h)})^{-1}(R_i),\qquad X_i := F^{-1}(R_i).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда в силу предыдущего утверждения $X_i^{(h)}\to X_i$ п.н. для любого $i$ при $h\to0+$. Поэтому в последующих леммах 4–6 будем предполагать, что $X_i$ и $X_i^{(h)}$ заданы описанным выше образом. Положим
$$
\begin{equation*}
\tau_{+}(h) = \min\{n\colon \widehat S_n(h) - nm(h)>0\},
\end{equation*}
\notag
$$
где под минимумом пустого множества будем подразумевать $\infty$, а
$$
\begin{equation*}
\tau_{-}(h) = \min\{n\colon \widehat S_n(h) - nm(h)\leqslant0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что тогда $\tau_{+}=\tau_{+}(0)$, $\tau_{-}=\tau_{-}(0)$. Для дальнейшего доказательства теоремы 6 нам понадобятся следующие леммы. Лемма 4. В условиях теоремы 6 верно соотношение Доказательство. Обозначим через $T_r$ момент достижения блужданием $\{-S_n, n\geqslant 0\}$ уровня $r$. Пусть
$$
\begin{equation*}
A = \bigl\{\omega\colon \forall\,r\ T_r(\omega)<\infty\bigr\} \cap \bigl\{\omega\colon \forall\,i\ X_i^{(h)}(\omega)\to X_i(\omega), \, h\to0+\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\mathsf{P}(A)=1$. Зафиксируем $\omega\in A$. Для любого положительного $K$ существует такой момент $T$, что $(-S_T)^{+} > K$. Значит, при достаточно малых значениях $h$ имеем $(-S_T^{(h)})^{+} > K/2$. Следовательно, для любого $\omega\in A$ имеем $\widehat M_{m(h)}\to\infty$ при $h\to0+$. Лемма 4 доказана. Лемма 5. Пусть выполнены условия теоремы 6. Тогда Доказательство. Пусть сл.в. $Y= m(h) - X^{(h)}$ не зависит от $\{Y_i, i\geqslant1\}$ и имеет то же распределение, что $Y_1$, а $\widetilde Y = Y - m(h) = -X^{(h)}$. Применим к нашему случаю формулу (0.1) из [8]:
$$
\begin{equation}
\mathsf{E}\widehat M_{m(h)}=(2m(h))^{-1}\bigl(\mathsf{E}\widetilde Y^2- \mathsf{E}((\widetilde Y^{-}-\widehat M_{m(h)})^{+})^2\bigr).
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
В силу леммы 4 п.н. выполнено соотношение
$$
\begin{equation*}
(\widetilde Y^{-}-\widehat M_{m(h)})^{+} \to0, \qquad h\to0+.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом п.н. выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
(\widetilde Y^{-}-\widehat M_{m(h)})^{+} \leqslant (X^{(\widetilde\delta)})^{+}, \qquad h\in[0,\widetilde\delta].
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, по теореме Лебега о мажорируемой сходимости
$$
\begin{equation*}
\mathsf{E}((\widetilde Y^{-}-\widehat M_{m(h)})^{+})^2\to0, \qquad h\to0+.
\end{equation*}
\notag
$$
Остается умножить обе части в (4.2) на $2m(h)$ и заметить, что
$$
\begin{equation*}
\mathsf{E}{\widetilde Y}^2=\sigma^2(h) +m^2(h)\to\sigma^2, \qquad h\to0+.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 5 доказана. Замечание 5. Отметим, что рассуждения, приведенные в доказательствах леммы 4 и леммы 5, верны как для арифметических, так и нерешетчатых случайных величин. Лемма 6. В условиях теоремы 6 верно соотношение Доказательство. Зафиксируем $\omega$ и соответствующий ему момент $\tau_{+}$, положим $-S_{\tau_{+}}=r>0$. Для любого $0<\varepsilon<r/\tau_{+}$ при всех достаточно малых $h$ и при всех $i\leqslant\tau_{+}$ выполнены неравенства $0\leqslant X_i^{(h)} - X_i < \varepsilon$. При этом $-S_n^{(h)}\leqslant -S_n \leqslant 0$ при $n<\tau_{+}$, а $-S_{\tau_{+}}^{(h)} > -S_{\tau_{+}} -\tau_{+}\varepsilon > 0$, значит, $\tau_{+}(h)=\tau_{+}$. При этом $- S_{\tau_{+}} \geqslant -S_{\tau_{+}}^{(h)} > 0$. Кроме того, $m(h)\tau_{+}(h)$ стремится к нулю п.н. при $h\to0+$. Таким образом, мы обосновали сходимость $\widehat S_{\tau_{+}(h)}(h)-m(h)\tau_{+}(h)\to \widehat S_{\tau_{+}}(0)$ п.н. при $h\to0+$. В силу этого и леммы Фату имеем
Снова зафиксируем $\omega$ и соответствующий ему момент $\tau_{-}$; положим $-S_{\tau_{-}}=r$. Рассмотрим случай $r<0$. Для любого $0<\varepsilon < (-r)/\tau_{-}$ при всех достаточно малых $h$ и при всех $i\leqslant\tau_{-}$ выполнены неравенства $0\leqslant X_i^{(h)} - X_i < \varepsilon$. При этом $-S_n^{(h)} > -S_n - n\varepsilon > 0$ при $n<\tau_{-}$ и достаточно малых $\varepsilon$. К тому же, поскольку $-S_{\tau_{-}}^{(h)} \leqslant -S_{\tau_{-}}=r < 0$, то п.н. выполнено соотношение
$$
\begin{equation*}
\varliminf_{h\to0+}\bigl(\widehat S_{\tau_{-}(h)}(h)-m(h)\tau_{-}(h)\bigr)^{-} =(\widehat S_{\tau_{-}}(0))^{-}.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом если $r=0$, то п.н. выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
\varliminf_{h\to0+}\bigl(\widehat S_{\tau_{-}(h)}(h)-m(h)\tau_{-}(h)\bigr)^{-} \geqslant (\widehat S_{\tau_{-}}(0))^{-}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, по лемме Фату
$$
\begin{equation}
\mathsf{E}\bigl(\widehat S_{\tau_{-}}(0)\bigr)^{-} \leqslant \mathsf{E}\varliminf_{h\to0+}(\widehat S_{\tau_{-}(h)}(h) - m(h)\tau_{-}(h))^{-} \leqslant \varliminf_{h\to0+}\mathsf{E}\bigl(\widehat S_{\tau_{-}(h)}(h) -m(h)\tau_{-}(h)\bigr)^{-}.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Обозначим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, s_{+}(h)&=\mathsf{E}\bigl(\widehat S_{\tau_{+}(h)}(h) - m(h)\tau_{+}(h)\bigr)\mathbf{1}_{\{\tau_{+}(h)<\infty\}}, \\ s_{-}(h)&=\mathsf{E}\bigl(\widehat S_{\tau_{-}(h)}(h)- m(h)\tau_{-}(h)\bigr)^{-}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Также заметим, что по лемме 2.1 из [8]
$$
\begin{equation}
\mathsf{E}\widehat S_{\tau_{+}}(0) \mathsf{E}(\widehat S_{\tau_{-}}(0))^{-}=\frac{\sigma^2}{2}\,.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Поэтому в силу (4.3), (4.4) будем иметь
$$
\begin{equation*}
\varliminf_{h\to0+} s_{-}(h) \varliminf_{h\to0+} s_{+}(h) \geqslant \frac{\sigma^2}{2}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично (2.5) из леммы 2.2 в [8] имеем
$$
\begin{equation*}
s_{+}(h)s_{-}(h)\sim\frac{\sigma^2}{2}\,, \qquad h\to0+.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\varliminf_{h\to0+} s_{-}(h) \varlimsup_{h\to0+} s_{+}(h) \leqslant \frac{\sigma^2}{2}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда в силу (4.4) и (4.5)
$$
\begin{equation*}
\varlimsup_{h\to0+} s_{+}(h) \leqslant \mathsf{E}\widehat S_{\tau_{+}}(0).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу этого и (4.3) получаем требуемое. Лемма 6 доказана. Для завершения доказательства теоремы 6 остается применить формулу (1.5) из [8]
$$
\begin{equation*}
\mathsf{E}\bigl(\widehat S_{\tau_{+}(h)}(h) - m(h)\tau_{+}(h)\bigr)\mathbf{1}_{\{\tau_{+}(h)<\infty\}}= \mathsf{P}(\widehat M_{m(h)} = 0)\mathsf{E}\widehat M_{m(h)},
\end{equation*}
\notag
$$
перейти к пределу по $h\to0+$ и воспользоваться результатами лемм 5 и 6. Теорема 7. При достаточно малых положительных $\delta_2$ где $l=n-tn^\beta$, $t\in[0,n^{\delta_2}]$, $\beta=2-2\alpha$, $1/2<\alpha<1$, $h$ определяется соотношением $m(h)=k/n$, $C_0$ – константа. Замечание 6. В нерешетчатом случае теорема 7 принимает вид где $h$ определяется соотношением $m(h)=z/n$. Доказательство. Рассмотрим сопряженные сл.в. $X_i^{(h)}$, $i\geqslant1$. Заметим, что
$$
\begin{equation}
\mathsf{P}\bigl(S_i\geqslant0,\,i\leqslant l,\,S_l=k\bigr) = e^{-hk}R(h)^l \mathsf{P}\bigl(S_i^{(h)}\geqslant0,\,i\leqslant l,\,S_l^{(h)}=k\bigr),
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Положим $q=n^{1-\delta}$, $\delta>0$, и представим вероятность в правой части (4.6) в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\mathsf{P}\bigl(S_i^{(h)}\geqslant0,\,i\leqslant l,\,S_l^{(h)}=k\bigr)= \mathsf{P}\bigl(S_1^{(h)}\geqslant0,\dots,S_q^{(h)}\geqslant0,\, S_l^{(h)}=k\bigr) \\ &\qquad-\mathsf{P}\bigl(S_1^{(h)}\geqslant0,\dots,S_q^{(h)}\geqslant0,\, \exists\, i\in(q,l)\colon S_i^{(h)}<0,\,S_l^{(h)}=k\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Рассмотрим уменьшаемое и вычитаемое в правой части (4.7) по отдельности. Доказательство. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathsf{P}\bigl(S_1^{(h)}\geqslant0,\dots,S_q^{(h)}\geqslant0,\, \exists\, i\in(q,l)\colon S_i^{(h)}<0,\,S_l^{(h)}=k\bigr) \\ &\qquad=\sum_{x<0,\,q<i<l}\mathsf{P}\bigl(S_1^{(h)}\geqslant0,\dots, S_{i-1}^{(h)}\geqslant0,\,S_i^{(h)}=x<0\bigr) \mathsf{P}(S_{l-i}^{(h)}=k-x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу теоремы 1 для любого $\varepsilon>0$ при достаточно больших $n$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
\mathsf{P}(S_{l-i}^{(h)}=k-x) \leqslant \frac{1+\varepsilon}{\sqrt{2\pi(l-i)}\,\sigma(h)} \exp\biggl(-\frac{(k-x-(l-i)m(h))^2}{2(l-i)\sigma^2(h)}\biggr).
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Поскольку $k-lm(h) \geqslant 0$ и $-x>0$, то при $i\in(q,l)$ справедливы неравенства
$$
\begin{equation}
\frac{(k-x-(l-i)m(h))^2}{l-i} \geqslant \frac{(q m(h))^2}{l-q} \sim \frac{(yn^{1-\delta}n^{\alpha-1})^2}{n-tn^\beta-n^{1-\delta}}\,,
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
где правая часть (4.9) имеет порядок $n^{2\alpha-1-2\delta}$ при $n\to\infty$. Таким образом, при $\delta<\alpha-1/2$ вероятность в левой части (4.8) допускает представление $k\rho_n/(n\sqrt{n}\,)$, где $\rho_n$ равномерно мало по $x\in\mathbb{Z}\cap (-\infty,0)$.
Остается заметить, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{x<0,\,q<i<l}\mathsf{P}\bigl(S_1^{(h)}\geqslant0,\dots, S_{i-1}^{(h)}\geqslant0,\,S_i^{(h)}=x<0\bigr)= \mathsf{P}\Bigl(\min_{q<i<l} S_i^{(h)}<0\Bigr) \leqslant1.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 7 доказана. Замечание 7. В нерешетчатом случае выполнено соотношение Доказательство этого соотношения аналогично рассуждениям, приведенным выше. Рассмотрим теперь первую вероятность в (4.7). Представим ее в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\mathsf{P}\bigl(S_1^{(h)}\geqslant0,\dots, S_q^{(h)}\geqslant0,\,S_l^{(h)}=k\bigr) \\ &\qquad=\sum_{u\in\mathbb{Z_{+}}} \mathsf{P}\bigl(S_1^{(h)}\geqslant0,\dots,S_q^{(h)}=u\bigr) \mathsf{P}(S_{l-q}^{(h)}=k-u). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
В силу теоремы 1 для любого положительного $\varepsilon$ при достаточно больших $n$
$$
\begin{equation}
\mathsf{P}(S_{l-q}^{(h)}=k-u) \leqslant \frac{1+\varepsilon}{\sqrt{2\pi(l-q)}\,\sigma(h)} \exp\biggl(-\frac{(k-u-(l-q)m(h))^2}{2(l-q)\sigma^2(h)}\biggr).
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Разобьем сумму в (4.10) на две части, соответствующие областям
$$
\begin{equation*}
U_1 = \bigl\{u\colon |u-qm(h)| \geqslant q^{1/2+\delta}\bigr\}, \qquad U_2 = \bigl\{u\colon |u-qm(h)| < q^{1/2+\delta}\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее нам понадобятся следующие леммы. Лемма 8. В области $U_1 = \{u\colon |u-qm(h)| \geqslant q^{1/2+\delta}\}$ для всех достаточно малых положительных $\delta$ выполнено соотношение Доказательство. В силу неравенства Чебышёва при $u\in U_1$ справедливы соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathsf{P}\bigl(S_i^{(h)}\geqslant0,\,i\leqslant q,\,S_q^{(h)}=u\bigr) &\leqslant \mathsf{P}(S_q^{(h)}=u) = \mathsf{P}\bigl(S_q^{(h)} - qm(h)=u-qm(h)\bigr) \\ &\leqslant \mathsf{P}\bigl(|S_q^{(h)} - qm(h)| \geqslant q^{1/2+\delta}\bigr) \leqslant \frac{q\sigma^2(h)}{q^{1+2\delta}}= q^{-2\delta}\sigma^2(h). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда в силу (4.11) при всех положительных $\varepsilon$ и $u\in U_1$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{u\in U_1}\mathsf{P}\bigl(S_i^{(h)}>0,\,i\leqslant q,\,S_q^{(h)}=u\bigr) \mathsf{P}(S_{l-q}^{(h)}=k-u) \\ &\qquad\leqslant q^{-2\delta}\sigma(h) \frac{1+\varepsilon}{\sqrt{2\pi(l-q)}}\sum_{u\in U_1} \exp\biggl(-\frac{(k-lm(h)-u+qm(h))^2}{2(l-q)\sigma^2(h)}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что для достаточно малых положительных $\delta$ и $\delta_2$ справедливо соотношение
$$
\begin{equation*}
k-lm(h)=tyn^{1-\alpha}+o(n^{1-\alpha})=o(q^{1/2+\delta}), \qquad n\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где $o(\,\cdot\,)$ равномерно мало по $l$. Следовательно, для $u\in U_1$ при всех достаточно больших $n$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\bigl|k-lm(h)-(u-qm(h))\bigr| \geqslant \frac{|u-qm(h)|}{2}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $S=\{u-qm(h), u\in U_1\}$. Тогда при всех достаточно больших $n$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{u\colon u-qm(h)\geqslant q^{1/2+\delta}} \exp\biggl(-\frac{(k-lm(h)-u+qm(h))^2}{2(l-q)\sigma^2(h)}\biggr) \\ &\qquad\leqslant \sum_{u\colon u-qm(h)\geqslant q^{1/2+\delta}} \exp\biggl(-\frac{(u-qm(h))^2}{8n\sigma^2(h)}\biggr) \\ &\qquad\leqslant \sum_{c=1}^\infty\,\sum_{u\colon u\in S\cap [cq^{1/2+\delta},(c+1)q^{1/2+\delta}]} \exp\biggl(-\frac{c^2q^{1+2\delta}}{8n\sigma^2(h)}\biggr) \leqslant \sum_{c=1}^\infty q^{1/2+\delta} \exp\biggl(-\frac{c^2n^{\delta/2}}{8\sigma^2(h)}\biggr) \\ &\qquad\leqslant q^{1/2+\delta}\sum_{c=1}^\infty \exp\biggl(-\frac{cn^{\delta/2}}{8\sigma^2(h)}\biggr)= q^{1/2+\delta}\frac{\exp(-n^{\delta/2}/(8\sigma^2(h)))} {1-\exp(-n^{\delta/2}/(8\sigma^2(h)))}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассуждения для случая $u-qm(h)\leqslant -q^{1/2+\delta}$ аналогичны.
Таким образом, для любого положительного $\varepsilon$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{u\in U_1}\mathsf{P}\bigl(S_i^{(h)}\geqslant0,\, i\leqslant q,\,S_q^{(h)}=u\bigr)\mathsf{P}(S_{l-q}^{(h)}=k-u) \\ &\qquad\leqslant 2\sigma(h)q^{1/2-\delta} \frac{1+\varepsilon}{\sqrt{2\pi(l-q)}}\, \frac{\exp(-n^{\delta/2}/(2\sigma^2(h)))} {1-\exp(-n^{\delta/2}/(2\sigma^2(h)))}=\frac{k}{n\sqrt{n}}\rho_n. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 8 доказана. Замечание 8. В нерешетчатом случае в той же области выполнено соотношение Лемма 9. В области $U_2 = \{u\colon |u-qm(h)| < q^{1/2+\delta}\}$ для любого положительного $\delta$ справедливы неравенства Доказательство. С учетом (4.11) для любого положительного $\varepsilon$ в качестве оценки сверху для правой части (4.10) в области $U_2$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{u\in U_2}\mathsf{P}\bigl(S_i^{(h)}\geqslant0,\,i\leqslant q,\, S_q^{(h)}=u\bigr)\mathsf{P}(S_{l-q}^{(h)}=k-u) \\ &\qquad\leqslant \sum_{u\in U_2} \mathsf{P}\bigl(S_i^{(h)}\geqslant0,\,i\leqslant q,\,S_q^{(h)}=u\bigr) \frac{1+\varepsilon}{\sqrt{2\pi(l-q)}\,\sigma(h)} \\ &\qquad\qquad\times \exp\biggl(-\frac{(k-lm(h)-u+qm(h))^2}{2(l-q)\sigma^2(h)}\biggr) \\ &\qquad\leqslant \frac{1+\varepsilon}{\sqrt{2\pi(l-q)}\,\sigma(h)} \mathsf{P}\bigl(S_i^{(h)}\geqslant0,\,i\leqslant q,\,S_q^{(h)}\in U_2\bigr) \\ &\qquad\leqslant \frac{1+\varepsilon}{\sqrt{2\pi(l-q)}\,\sigma(h)} \mathsf{P}\bigl(S_i^{(h)}\geqslant0,\,i\leqslant q\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу произвольности $\varepsilon$ получаем требуемую оценку сверху.
Теперь оценим правую часть (4.10) снизу. Для любого положительного $\varepsilon$ при достаточно больших $n$ в силу теоремы 1
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\sum_{u\in U_2} \mathsf{P}\bigl(S_i^{(h)}\geqslant0,\,i\leqslant q,\,S_q^{(h)}=u) \mathsf{P}(S_{l-q}^{(h)}=k-u) \\ \nonumber &\qquad\geqslant \sum_{u\in U_2} \mathsf{P}\bigl(S_i^{(h)}\geqslant0,\,i\leqslant q,\,S_q^{(h)}=u\bigr) \frac{1-\varepsilon}{\sqrt{2\pi(l-q)}\,\sigma(h)} \\ \nonumber &\qquad\qquad\times\exp\biggl(-\frac{(k-lm(h)-u+qm(h))^2}{2(l-q) \sigma^2(h)}\biggr) \\ \nonumber &\qquad\geqslant \frac{1-\varepsilon}{\sqrt{2\pi(l-q)}\,\sigma(h)} \sum_{u\in U_3} \mathsf{P}\bigl(S_i^{(h)}\geqslant0,\,i\leqslant q,\,S_q^{(h)}=u\bigr) \\ &\qquad\qquad\times\exp\biggl(-\frac{(k-lm(h)-u+qm(h))^2}{2(l-q) \sigma^2(h)}\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
где $U_3=\{u\colon |u-qm(h)|<q^{(1+\delta)/2}\}\subset U_2$. Поскольку $k-lm(h)=o(\sqrt{n}\,)$ при $n\to\infty$, a $|u-qm(h)|<q^{(1+\delta)/2}=o(\sqrt{n}\,)$ при $n\to\infty$, где величины $o(\,\cdot\,)$ равномерно малы по $l$, то в этой области равномерно по $u$ выполняется соотношение
$$
\begin{equation*}
\exp\biggl(-\frac{(k-lm(h)-u+qm(h))^2}{2(l-q)\sigma^2(h)}\biggr) \to 1, \qquad n\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда правая часть (4.12) оценивается снизу следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{(1-\varepsilon)(1-\varepsilon/2)}{\sqrt{2\pi(l-q)}\,\sigma(h)} \sum_{u \in U_3} \mathsf{P}\bigl(S_i^{(h)}\geqslant0,\,i\leqslant q,\,S_q^{(h)}=u\bigr) \\ &\qquad\geqslant\frac{1-2\varepsilon}{\sqrt{2\pi(l-q)}\,\sigma(h)} \sum_{u \in U_3} \mathsf{P}\bigl(S_i^{(h)}\geqslant0,\,i\leqslant q,\,S_q^{(h)}=u\bigr) \\ &\qquad=\frac{1-2\varepsilon}{\sqrt{2\pi(l-q)}\,\sigma(h)} \biggl(\mathsf{P}\bigl(S_i^{(h)}\geqslant0,\,i\leqslant q,\, S_q^{(h)}\geqslant0\bigr) \\ &\qquad\qquad-\sum_{u \in \overline U_3} \mathsf{P}\bigl(S_i^{(h)}\geqslant0,\,i\leqslant q,\,S_q^{(h)}=u\bigr)\biggr) \\ &\qquad=\frac{1-2\varepsilon}{\sqrt{2\pi(l-q)}\,\sigma(h)} \mathsf{P}\bigl(S_1^{(h)}\geqslant0,\dots,S_q^{(h)}\geqslant0\bigr)+ \frac{k}{n^2}\rho_n, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\overline U_3=\bigl\{u\colon |u-qm(h)|\geqslant q^{(1+\delta)/2}\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
а последнее равенство мы получили, воспользовавшись леммой 8. В силу произвольности $\varepsilon$ получаем требуемое. Лемма 9 доказана. Замечание 9. В нерешетчатом случае в области $U_2$ справедливы неравенства Итак, из лемм 8 и 9 получаем следующую оценку для (4.10):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{1-\rho_n}{\sqrt{2\pi(l-q)}\,\sigma(h)} \mathsf{P}\bigl(S_1^{(h)}\geqslant0,\dots,S_q^{(h)}\geqslant0\bigr) + \frac{k}{n\sqrt{n}}\rho_{n} \leqslant \mathsf{P}\bigl(S_i^{(h)}\geqslant0,\,i\leqslant q,\,S_l^{(h)}=k\bigr) \\ &\qquad\leqslant \frac{1+\rho_n}{\sqrt{2\pi(l-q)}\,\sigma(h)} \mathsf{P}\bigl(S_1^{(h)}\geqslant0,\dots,S_q^{(h)}\geqslant0\bigr) + \frac{k}{n\sqrt{n}}\rho_{n}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом полученного неравенства и леммы 7 получаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\frac{1-\rho_n}{\sqrt{2\pi(l-q)}\,\sigma(h)} \mathsf{P}\bigl(S_1^{(h)}\geqslant0,\dots,S_q^{(h)}\geqslant0\bigr) + \frac{k}{n\sqrt{n}}\rho_{n} \leqslant \mathsf{P}\bigl(S_i^{(h)}\geqslant0,\,i\leqslant l,\,S_l^{(h)}=k\bigr) \\ &\qquad\leqslant \frac{1+\rho_n}{\sqrt{2\pi(l-q)}\,\sigma(h)} \mathsf{P}\bigl(S_1^{(h)}\geqslant0,\dots,S_q^{(h)}\geqslant0\bigr) + \frac{k}{n\sqrt{n}}\rho_{n}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Остается исследовать вероятность $\mathsf{P}(S_1^{(h)}\geqslant0,\dots,S_q^{(h)}\geqslant0)$. Нам потребуется следующая лемма. Доказательство. Покажем, что в представлении
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathsf{P}\bigl(\forall\,t\geqslant 0\ S_t^{(h)}\geqslant0\bigr)&= \mathsf{P}\bigl(S_1^{(h)}\geqslant0,\dots,S_q^{(h)}\geqslant0\bigr) \\ &\qquad-\mathsf{P}\bigl(S_1^{(h)}\geqslant0,\dots,S_q^{(h)}\geqslant0,\, \exists\, i>q\colon S_i^{(h)}<0\bigr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
вычитаемое мало по сравнению с $1/\sqrt{n}$ . Для произвольного положительного $\delta_1$ выполнено соотношение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\mathsf{P}\bigl(S_1^{(h)}\geqslant0,\dots,S_q^{(h)}\geqslant0,\, \exists\, i>q\colon S_i^{(h)}<0\bigr) \\ \nonumber &\qquad= \mathsf{P}\bigl(S_1^{(h)}\geqslant0,\dots,0 \leqslant S_q^{(h)}< n^{\alpha-\delta_1},\,\exists\, i>q\colon S_i^{(h)}<0\bigr) \\ \nonumber &\qquad\qquad+\mathsf{P}\bigl(S_1^{(h)}\geqslant0,\dots,S_q^{(h)} \geqslant n^{\alpha-\delta_1},\,\exists\, i>q\colon S_i^{(h)}<0\bigr) \\ \nonumber &\qquad\leqslant \mathsf{P}\bigl(S_q^{(h)}<n^{\alpha-\delta_1}\bigr) + \mathsf{P}\bigl(S_q^{(h)} \geqslant n^{\alpha-\delta_1}\bigr) \mathsf{P}\bigl(\exists\, i\geqslant0\colon S_i^{(h)}<-n^{\alpha-\delta_1}\bigr) \\ &\qquad= \mathsf{P}\bigl(S_q^{(h)}<n^{\alpha-\delta_1}\bigr) + \mathsf{P}\bigl(S_q^{(h)} \geqslant n^{\alpha-\delta_1}\bigr) \mathsf{P}\Bigl(\min_{i\geqslant0}S_i^{(h)}<-n^{\alpha-\delta_1}\Bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
В силу неравенства Маркова и с учетом того, что имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathsf{P}\bigl(S_q^{(h)} < n^{\alpha-\delta_1}\bigr)= \mathsf{P}\bigl(\exp(-hS_q^{(h)}) > \exp(-hn^{\alpha-\delta_1})\bigr)\leqslant \frac{\mathsf{E}\exp(-hS_q^{(h)})}{\exp(-hn^{\alpha-\delta_1})} \\ &\qquad =\frac{(R^{(h)}(-h))^{q}}{\exp(-hn^{\alpha-\delta_1})} =\frac{\exp(hn^{\alpha-\delta_1})}{R(h)^q} =\exp\biggl(hn^{\alpha-\delta_1} - \frac{qh^2\sigma^2}2 + o(qh^2)\biggr)= o\biggl(\frac{1}{\sqrt{n}}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где последнее верно при достаточно малых $\delta<\delta_1$ в силу леммы 2. Второе слагаемое в (4.14) с учетом леммы 2 также мало, поскольку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathsf{P}\bigl(S_q^{(h)} \geqslant n^{\alpha-\delta_1}\bigr) \mathsf{P}\Bigl(\min_{i\geqslant0}S_i^{(h)}\leqslant-n^{\alpha-\delta_1}\Bigr) \leqslant \mathsf{P}\Bigl(\min_{i\geqslant0}S_i^{(h)} \leqslant -n^{\alpha-\delta_1}\Bigr) \\ &\qquad\leqslant \sum_{i=0}^{\infty} \mathsf{P}\bigl(S_i^{(h)}\leqslant-n^{\alpha-\delta_1}\bigr)= \sum_{i=0}^{\infty}\mathsf{P}\bigl(\exp((-hS_i^{(h)}) \geqslant \exp(hn^{\alpha-\delta_1})\bigr) \\ &\qquad \leqslant \sum_{i=0}^{\infty} \frac{\mathsf{E}\exp(-hS_i^{(h)})}{\exp(hn^{\alpha-\delta_1})} = \sum_{i=0}^{\infty}\exp(-hn^{\alpha-\delta_1}) \frac{1}{R(h)^{i}} = \exp(-hn^{\alpha-\delta_1})\frac{1}{1-(1/R(h))} \\ &\qquad= \exp(-hn^{\alpha-\delta_1})\frac{R(h)}{R(h) - 1} = o\biggl(\frac{1}{\sqrt{n}}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим также, что суммирование в шестом переходе законно, так как $R(h) > 1$. Лемма 10 доказана. Продолжим доказательство теоремы 7. Будем иметь
$$
\begin{equation*}
\mathsf{P}\bigl(\forall\,t\geqslant 0\ S_t^{(h)}\geqslant0\bigr) = \mathsf{P}\Bigl(\sup_{t\geqslant1}\max(-S_t^{(h)},0) = 0\Bigr) = \mathsf{P}(\widehat M_{m(h)}=0),
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому в силу теоремы 6 получаем
$$
\begin{equation}
\mathsf{P}\bigl(\forall\,t\geqslant 0\ S_t^{(h)}\geqslant0\bigr) \sim C_0\frac{k}{n}\,, \qquad n\to\infty,
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
где $C_0$ – константа. Теорема 7 вытекает из представления (4.6), оценки (4.13), леммы 10 и полученного выше соотношения (4.15). Лемма 11. В условиях теоремы 4 при достаточно малых положительных $\delta_2$ верно соотношение где $h$ определяется соотношением $m(h)=k/n$, $l=n-tn^\beta$, $t\in(0,n^{\delta_2}]$, $C$ – некоторая константа. Доказательство. Заметим, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \mathsf{P}\bigl(\widetilde\tau = l,\,M_n=k\bigr)&= \mathsf{P}\bigl(S_i\leqslant k,\,i<l,\,S_l=k,\,S_i< k,\, l<i\leqslant n\bigr) \\ &=\mathsf{P}\bigl(S_i\geqslant0,\,i\leqslant l,\,S_l=k\bigr) \mathsf{P}\bigl(S_i<0,\,i\leqslant n-l\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
В силу приведенных теорем 3 и 7, а также с учетом представления (4.16) получаем, что
$$
\begin{equation*}
\mathsf{P}\bigl(\widetilde\tau=l,\,M_n=k\bigr) = C\frac{k}{n\sqrt{n(n-l)}} \exp\bigl(-(hk-l\ln R(h))\bigr)(1+\rho_n), \qquad n\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где $C$ – некоторая константа. Лемма 11 доказана. Замечание 10. В нерешетчатом случае (в условиях теоремы 5) верно соотношение где $h$ определяется соотношением $m(h)=z/n$. Доказательство этого соотношения аналогично рассуждениям, приведенным выше. Автор благодарит А. В. Шкляева за плодотворные обсуждения и анонимного рецензента за полезные замечания, позволившие улучшить качество работы и упростить доказательство леммы 3. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ano24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|