| Математические заметки |
|
|
|
|
|
О достаточных условиях второго порядка в задаче математического программирования А. В. Арутюнов, С. Е. Жуковский Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, г. Москва
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624010140 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеПусть $X$ – банахово пространство. Рассмотрим гладкую нелинейную задачу минимизации с конечным числом ограничений типа равенств и неравенств
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} f_0(x)\to\min,\qquad x\in X, \\ f_1(x)\leqslant 0,\quad \dots,\quad f_{k_1}(x)\leqslant 0, \\ f_{k_1+1}(x)=0,\quad \dots, \quad f_k(x)=0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $k_1$ и $k\geqslant k_1$ – заданные неотрицательные целые числа, а $f_j$, $j=0,\dots,k$, – заданные функции, которые предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми в окрестности заданной точки $x_*\in X$. Для определенности будем считать, что $k\geqslant 1$. Частным случаем рассматриваемой задачи является задача, в которой ограничения типа неравенств отсутствуют, и в этом случае $k_1=0$. Другим частным случаем является задача, в которой ограничения типа равенств отсутствуют, и тогда $k_2:=k-k_1=0$. Удаляя часть ограничений типа неравенств, которые не играют роли для локальных рассмотрений, будем считать, что $f_j(x_*)=0$ при всех $j=0,\dots,k$. Напомним необходимые условия экстремума в точке $x_*$ (см., например, [1; гл. 3] или [2; гл. 4]). Зададим функцию Лагранжа стандартно по формуле
$$
\begin{equation*}
\mathscr L(x_*,\lambda)=\sum_{j=0}^k\lambda_jf_j(x),\qquad \lambda=(\lambda_0,\lambda_1,\dots,\lambda_k)\in\mathbb R^{k+1},\quad \lambda_j\geqslant 0\quad \forall\,j=0,\dots,k_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Векторы $\lambda=(\lambda_0,\lambda_1,\dots,\lambda_k)\in\mathbb R^{k+1}$, для которых $\lambda_j\geqslant 0$ при всех $j=0,\dots,k_1$, будем называть множителями Лагранжа. Для них положим
$$
\begin{equation*}
|\lambda|:=\sum_{j=0}^{k_1}\lambda_j+\sum_{j=k_1+1}^k|\lambda_j|.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $\Lambda(x_*)$ множество нормированных множителей Лагранжа $\lambda$, отвечающих точке $x_*$ в силу правила множителей Лагранжа, т.е. таких, что
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\mathscr L}{\partial x}(x_*,\lambda)=0,\qquad |\lambda|=1.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Для каждого целого $s$ введем в рассмотрение множество (возможно, пустое), состоящее из тех множителей Лагранжа $\lambda\in\Lambda(x_*)$, для которых существует такое (зависящее от $\lambda$) замкнутое подпространство $\Pi\subseteq X$, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}\Pi\leqslant s,\qquad \Pi\subseteq\operatorname{Ker}\frac{\partial f}{\partial x}(x_*),\qquad \frac{\partial^2\mathscr L}{\partial x^2}(x_*,\lambda)[x,x]\geqslant 0\quad \forall\,x\in\Pi.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $f=(f_1,f_2,\dots,f_k)$. Это множество множителей Лагранжа будем обозначать через $\Lambda_s(x_*)$. Введем также в рассмотрение конус критических направлений
$$
\begin{equation*}
K(x_*)=\bigl\{h\in X\colon \langle f'_j(x_*),h\rangle\leqslant 0\ \forall\,j=0,\dots,k_1,\, \langle f'_j(x_*),h\rangle=0\ \forall\,j=k_1+1,\dots,k\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Он, очевидно, является выпуклым и непустым ($0\in K(x_*)$). Доказано (см. [3; теорема 2.1]), что если в рассматриваемой задаче точка $x_*$ является локальным минимумом, то множество $\Lambda_k(x_*)$ непусто и, более того,
$$
\begin{equation*}
\max_{\lambda\in\Lambda_k(x_*)}\, \frac{\partial^2\mathscr L}{\partial x^2}(x_*,\lambda)[h,h]\geqslant 0 \qquad \forall\,h\in K(x_*).
\end{equation*}
\notag
$$
Настоящая статья посвящена достаточным условиям экстремума второго порядка. Напомним их. Пусть $\gamma\colon X\to\mathbb R$ – заданная непрерывная квадратичная форма, для которой имеет место оценка
$$
\begin{equation}
\gamma(x)>0\qquad \forall\,x\in X\colon\quad x\ne 0.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Эта форма задана симметричной билинейной формой, значения которой будем обозначать через $\gamma[x_1,x_2]$. Квадратичная форма $\gamma$ бесконечно дифференцируема (см., например, [1; § 2.2.5, предложение 2]). Известно, что если $\gamma$ является строгим высшим порядком (см., например, [3; § 1.7]), множество $\Lambda(x_*)$ непусто и, более того, выполнено
$$
\begin{equation}
\max_{\lambda\in\Lambda(x_*)} \frac{\partial^2\mathscr L}{\partial x^2}(x_*,\lambda)[h,h]\geqslant\gamma[h,h]\qquad \forall\,h\in K(x_*),
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
то точка $x_*$ является точкой строго локального минимума в рассматриваемой задаче. Это утверждение назовем теоремой ($\mathbf M$). Отметим, что в конечномерном случае и в случае гильбертового пространства можно взять $\gamma(x)=\varepsilon\|x\|^2$ для некоторого $\varepsilon>0$. Когда пространство $X$ конечномерно, предположение (1.3) эквивалентно предположению
$$
\begin{equation*}
\max_{\lambda\in\Lambda(x_*)} \frac{\partial^2\mathscr L}{\partial x^2}(x_*,\lambda)[h,h]>0\qquad \forall\,h\in K(x_*),\quad h\ne 0
\end{equation*}
\notag
$$
(см., например, [2], [4], [5]). Аналогичные утверждения для других задач оптимизации получены, например, в [6]–[10]. Определим еще одно множество множителей Лагранжа. Через $\Lambda_k(x_*,\gamma)$ обозначим множество тех $\lambda\in\Lambda(x_*)$, для которых существует такое (зависящее от $\lambda$) замкнутое линейное подпространство $\Pi\subseteq X$, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}\Pi\leqslant k,\qquad \Pi\subseteq\operatorname{Ker} \frac{\partial f}{\partial x}(x_*),\qquad \frac{\partial^2\mathscr L}{\partial x^2}(x_*,\lambda)[x,x] \geqslant\frac{\gamma[x,x]}{4}\quad \forall\,x\in\Pi.
\end{equation*}
\notag
$$
Каждое из множеств $\Lambda_k(x_*,\gamma)$ замкнуто (это вытекает из [3; теорема 2.3]) и, возможно, пусто. Сравнивая достаточные условия с выписанными выше необходимыми, видим, что в них фигурируют разные множества множителей Лагранжа: $\Lambda(x_*)$ и $\Lambda_k(x_*)$. Это несоответствие представляется неестественным. Наша цель – доказать, что при общих предположениях в достаточных условиях второго порядка (1.3) множество $\Lambda(x_*)$ можно заменить на, вообще говоря, меньшее множество $\Lambda_k(x_*,\gamma)$. 2. Вспомогательные утвержденияВначале рассмотрим задачу с ограничениями только типа равенств, т.е. при $k_1=0$, $k=k_2$ задачу
$$
\begin{equation}
f_0(x)\to\min,\quad x\in X,\qquad f_1(x)=0,\quad \dots,\quad f_k(x)=0.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Для нее конус критических направлений имеет вид
$$
\begin{equation*}
K(x_*)=\bigl\{h\in X\colon \langle f'_0(x_*),h\rangle\leqslant 0,\, \langle f'_i(x_*),h\rangle=0,\,i=1,\dots,k\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 1. Пусть пространство $X$ конечномерно, $\Lambda(x_*)\ne\varnothing$ и выполняется условие (1.3), т.е. имеет место Тогда $\Lambda_k(x_*,\gamma)\ne\varnothing$ и существует $\delta>0$, для которого справедливо неравенство Доказательство. Снова для простоты будем считать, что $x_*=0$. Рассматриваемая задача, очевидно, эквивалентна следующей задаче с ограничениями типа неравенств, но уже в количестве $2k$ штук:
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} f_0(x)\to\min, \qquad x\in X, \\ f_j(x)\leqslant 0, \quad -f_j(x)\leqslant 0, \qquad j=1,\dots,k. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим аналогичную задачу, порожденную линейными и квадратичными членами разложения функций $f_j$ в ряд Тейлора, с возмущением $\gamma/4$, т.е.
$$
\begin{equation}
\begin{cases} g_0(x)-\dfrac{\gamma[x,x]}{4}\to\min, \qquad x\in X, \\ g_j(x)-\dfrac{\gamma[x,x]}{4}\leqslant 0,\quad -g_j(x)-\dfrac{\gamma[x,x]}{4}\leqslant 0, \qquad j=1,\dots,k. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Здесь
$$
\begin{equation*}
g_j(x)=\langle f'_j(0),x\rangle+\frac{1}{2}\,f''_j(0)[x,x],\qquad j=0,\dots,k.
\end{equation*}
\notag
$$
Для задачи (2.4) обозначим функцию Лагранжа через $\mathscr L^\gamma$, т.е. положим Здесь $\mu=(\mu_0,\mu_1,\mu_2)\in\mathbb R_+\times\mathbb R^k_+\times\mathbb R^k_+$ – это множители Лагранжа,
Очевидно, что $g'_j(0)=f'_j(0)$ и $g''_j(0)=f''_j(0)$, $j=0,\dots,k$. Критический конус в нуле обозначим через $K^\gamma$, а множество нормированных множителей Лагранжа – через $\Lambda^\gamma$, т.е. положим
$$
\begin{equation}
\Lambda^\gamma=\biggl\{\mu\in\mathbb R_+\times\mathbb R^k_+ \times\mathbb R^k_+\colon \frac{\partial\mathscr L^\gamma}{\partial x}(0,\mu)=0,\, |\mu|=\mu_0+\sum_{j=1}^k\mu_{1,j}+\sum_{j=1}^k\mu_{2,j}=1\biggr\}.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Очевидно, что $K(0)=K^\gamma$.
Покажем, что точка $x_*=0$ является строгим локальным минимумом возмущенной квадратичной формой $\gamma/4$ задачи (2.4). Действительно, нуль является допустимой точкой для рассматриваемой задачи. Далее, для любых $x\in X$ и $\mu=(\mu_0,\mu_1,\mu_2)\geqslant 0$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\partial^2\mathscr L^\gamma}{\partial x^2}(0,\mu)[x,x] &=\mu_0g''_0(0)[x,x]-\mu_0\frac{\gamma[x,x]}{2} \nonumber \\ &\qquad{}+\sum_{j=1}^k(\mu_{1,j}-\mu_{2,j})g''_j(0)[x,x] -\frac{\gamma[x,x]}{2}\sum_{j=1}^k(\mu_{1,j}+\mu_{2,j}) \nonumber \\ &=\frac{\partial^2\mathscr L}{\partial x^2} (0,(\mu_0,\mu_1-\mu_2))[x,x] -\frac{\gamma[x,x]}{2}\biggl(\mu_0+\sum_{j=1}^k(\mu_{1,j}+\mu_{2,j})\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Покажем, что для задачи (2.4) выполняется предположение теоремы ($\mathbf M$). Действительно, возьмем произвольный $x\in K(0)=K^\gamma$. Пусть максимум в (2.2) достигается на некотором $\lambda=(\lambda_0,\dots,\lambda_k)\in\Lambda(0)$. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mu_0 :=\lambda_0,\qquad \mu_{1,j}:=\max\{0,\lambda_j\},\quad \mu_{2,j}:=\max\{0,-\lambda_j\},\qquad j=1,\dots,k, \\ \mu_1 :=(\mu_{1,1},\dots,\mu_{1,k}),\qquad \mu_2:=(\mu_{2,1},\dots,\mu_{2,k}),\qquad \mu:=(\mu_0,\mu_1,\mu_2)\geqslant 0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что Кроме того,
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mu_0+\sum_{j=1}^k\mu_{1,j}+\sum_{j=1}^k\mu_{2,j} =\lambda_0+\sum_{j=1}^k|\lambda_j|=1, \\ \frac{\partial\mathscr L^\gamma}{\partial x}(0,\mu) =\mu_0f'_0(0)+\sum_{j=1}^k(\mu_{1,j}-\mu_{2,j})f'_j(0) \overset{(2.8)}{=}\frac{\partial\mathscr L}{\partial x}(0,\lambda)=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Значит, $\mu\in\Lambda^\gamma$ и поэтому $\Lambda^\gamma\ne\varnothing$. Кроме того, имеет место
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\partial^2\mathscr L^\gamma}{\partial x^2}(0,\mu)[x,x] &\overset{(2.7)}{=}\frac{\partial^2\mathscr L}{\partial x^2} (0,(\mu_0,\mu_1-\mu_2))[x,x] -\frac{\gamma[x,x]}{2} \biggl(\mu_0+\sum_{j=1}^k(\mu_{1,j}+\mu_{2,j})\biggr) \\ &\overset{(2.8),\,(2.9)}{=} \frac{\partial^2\mathscr L}{\partial x^2}(0,\lambda)[x,x] -\frac{\gamma[x,x]}{2}\overset{(2.2)}{\geqslant}\frac{\gamma[x,x]}{2}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, показано, что для задачи (2.4) выполняется предположение теоремы ($\mathbf M$). Из нее вытекает, что точка $x_*=0$ является строгим локальным минимумом в задаче (2.4).
Шаг I. Обозначим через $\Lambda^\gamma_k$ множество (возможно, пустое) всех векторов $\mu\in \Lambda^\gamma$, для которых существует (зависящее от $\mu$) замкнутое линейное подпространство $\Pi\subset X$, для которого
$$
\begin{equation}
\operatorname{codim}\Pi\leqslant k,\qquad \Pi\subset\operatorname{ker}f'_j(0)\quad \forall\,j=1,\dots,k, \qquad \frac{\partial^2\mathscr L^\gamma}{\partial x^2}(0,\mu)[x,x]\geqslant 0\quad \forall\,x\in\Pi.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Зафиксируем произвольное $h\in K(0)$, $h\ne 0$, и докажем, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \exists\,\mu=(\mu_0,\mu_1,\mu_2)\in\Lambda^\gamma_k \colon\quad \frac{\partial^2\mathscr L}{\partial x^2} (0,(\mu_0,\mu_1-\mu_2))[h,h]\geqslant 0, \\ \mu_{1,j}\mu_{2,j}=0\quad \forall\,j=1,\dots,k, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
и, в частности, $\Lambda^\gamma_k\ne\varnothing$.
Рассмотрим два случая. Первый случай. Предположим вначале, что существует $j\in\{1,\dots,k\}$, для которого $g''_j(0)[h,h]\ne 0$. Для определенности будем считать, что Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \xi(\chi):=0\quad \text{при}\quad \chi\in[0,1],\qquad \xi(\chi):=(\chi-1)^4\quad \text{при}\quad \chi\geqslant 1, \\ \widetilde g_0(x):=g_0(x)-\frac{\gamma[x,x]}{4}+(\gamma[x,x])^2,\qquad g_i(x,\chi):=\widetilde g_0(x)-\chi\widetilde g_0(i^{-1}h)+\xi(\chi). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
По построению функция $\xi$ выпукла и трижды непрерывно дифференцируема при $\chi>0$.
При натуральном $i\geqslant 1$ рассмотрим задачу
$$
\begin{equation}
\begin{cases} g_i(x,\chi)\to\min, \qquad x\in X,\quad \chi\in\mathbb R,\quad \|x\|^2\leqslant r^2, \quad \chi\geqslant 0, \\ \bigl(g_j(x)-\chi g_j(i^{-1}h)\bigr)-\dfrac{\gamma[x,x]}{4}\leqslant 0, \qquad j=1,\dots,k, \\ -\bigl(g_j(x)-\chi g_j(i^{-1}h)\bigr)-\dfrac{\gamma[x,x]}{4}\leqslant 0, \qquad j=1,\dots,k. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Здесь $r >0$ – это радиус той окрестности, в которой достигается строгий минимум в задаче (2.4).
При номерах $i>r^{-1}$, которые мы только и будем рассматривать, решение задачи (2.12) существует, поскольку точка $(i^{-1}h,1)$ удовлетворяет всем ее ограничениям, шар $\{x\colon \|x\|^2\leqslant r^2\}$ компактен и по построению $\xi(\chi)/\chi\to +\infty$ при $\chi\to\infty$. Покажем, что среди решений $(x,\chi)$ задачи (2.12) существует решение $(x_i,\chi_i)$ такое, что $\chi_i>0$. Действительно, пусть $(x_i,0)$ является решением задачи (2.12). Покажем, что тогда $x_i=0$. Действительно, пусть $x_i\ne 0$. Тогда поскольку $x_i$ удовлетворяет всем ограничениям задачи (2.4), то $g_0(x_i)-\gamma[x_i,x_i]/4\geqslant 0$ и, значит, имеем
$$
\begin{equation*}
g_i(x_i,0)=g_0(x_i)-\frac{\gamma[x_i,x_i]}{4}+(\gamma[x_i,x_i])^2 \geqslant(\gamma[x_i,x_i])^2>0\qquad \text{и}\qquad g_i(i^{-1}h,1)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $g_i(x_i,0)>g_i(i^{-1}h,1)=0$ и точка $(i^{-1}h,1)$ также удовлетворяет всем ограничениям рассматриваемой задачи. Полученное противоречие доказывает, что $x_i=0$. Но тогда минимум в задаче (2.12) равен нулю. Значит, точка $(i^{-1}h,1)$ также является ее решением и $\chi_i>0$. Это доказывает требуемое.
Рассмотрим последовательность таких решений $(x_i,\chi_i)$ задачи (2.12), что $\chi_i> 0$ для любого $i$. Из $\xi(\chi)/\chi\to+\infty$ при $\chi\to+\infty$ вытекает ограниченность последовательности $\{\chi_i\}$. Используя это, неравенство $g_i(x_i,\chi_i)\leqslant g_i(i^{-1}h,1)=0$ и неотрицательность функции $\xi$, имеем
$$
\begin{equation*}
\widetilde g_0(x_i)\leqslant\mathrm{const}|\widetilde g_0(i^{-1}h)|\to 0\qquad \text{при}\quad i\to+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому для любой предельной точки $\overline x\in X$ последовательности $\{x_i\}$ имеет место $\widetilde g_0(\overline x)=g_0(\overline x) -\gamma[\overline x,\overline x]/4+(\gamma[\overline x,\overline x])^2\leqslant 0$. Значит,
$$
\begin{equation*}
g_0(\overline x)-\frac{\gamma[\overline x,\overline x]}{4}<0\qquad \text{при}\quad \overline x\ne 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Зафиксируем произвольную предельную точку $\overline x$ последовательности $\{x_i\}$. Вначале переходя к подпоследовательности, а затем к пределу при $i\to\infty$ в ограничениях задачи (2.12), получаем, что точка $\overline x$ является допустимой в задаче (2.4).
Как доказано выше, условный минимум в задаче (2.4) функции $g_0(x)-\gamma[x,x]/4$ равен нулю. Поэтому $g_0(\overline x)-\gamma[\overline x,\overline x]/4\geqslant 0$. Значит, $\overline x=0$. Следовательно, $x_i\to 0$ при $i\to +\infty$. Поэтому при достаточно больших $i$, которые только и будут рассматриваться, $\|x_i\|<r$. Покажем, что существует номер $I>0$, для которого выполнено Условие (A). Для всех $i\geqslant I$ в задаче (2.12) в точке $(x_i,\chi_i)$ при каждом $j=1,\dots,k$ активно не более одного из двух ограничений, т.е. если Покажем сначала, что $x_i\ne 0$ для любого достаточно большого $i$. Действительно, предположим противное, т.е. $x_i=0$. Тогда при $j=1$ из соотношений
$$
\begin{equation*}
-\bigl(g_1(x_i)-\chi_ig_1(i^{-1}h)\bigr)-\frac{\gamma[x_i,x_i]}4\leqslant 0, \qquad \bigl(g_1(x_i)-\chi_ig_1(i^{-1}h)\bigr)-\frac{\gamma[x_i,x_i]}4\leqslant 0
\end{equation*}
\notag
$$
и $\chi_i\ne 0$ следует, что $g_1(i^{-1}h)=0$. Отсюда, учитывая, что $h\in K(0)$ и, значит, $g_1(0)=0$, $\langle g'_1(0),h\rangle=0$, получаем, что $g''_1(0)[i^{-1}h,i^{-1}h]=0$, а это противоречит предположению $g''_1(0)[h,h]\ne 0$. Таким образом, $x_i\ne 0$. Поскольку квадратичная форма $\gamma$ положительна и $x_i\ne 0$, то выполняется не более одного из двух равенств
$$
\begin{equation*}
-\bigl(g_1(x_i)-\chi_ig_1(i^{-1} h)\bigr)-\frac{\gamma[x_i,x_i]}{4}=0 \qquad\text{или}\qquad \bigl(g_1(x_i)-\chi_ig_1(i^{-1}h)\bigr)-\frac{\gamma[x_i,x_i]}{4}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым доказано, что для достаточно больших $i$ выполнено условие (A). При каждом $i$ обозначим через $\widetilde{\mathscr L}_i((x_i,\chi_i),\mu)$ функцию Лагранжа для задачи (2.12) в точке $(x_i,\chi_i)$, т.е. положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{split} &\widetilde{\mathscr L}_i((x,\chi),\mu) =\mu_0g_i(x,\chi) +\sum_{j=1}^k\mu_{1,j} \biggl((g_j(x)-\chi g_j(i^{-1}h))-\frac{\gamma[x,x]}{4}\biggr) \\ &\qquad\qquad +\sum_{j=1}^k\mu_{2,j} \biggl(-(g_j(x)-\chi g_j(i^{-1}h))-\frac{\gamma[x,x]}{4}\biggr), \qquad (x,\chi)\in X\times\mathbb R_+, \end{split} \\ \mu=(\mu_0,\mu_1,\mu_2)\in\mathbb R^{2k+1},\qquad \mu_1=(\mu_{1,1},\dots,\mu_{1,k}),\qquad \mu_2=(\mu_{2,1},\dots,\mu_{2,k}). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь слагаемые, отвечающие ограничениям $\|x\|^2\leqslant r^2$ и $\chi\geqslant 0$ задачи (2.12), отсутствуют, поскольку в точке $(x_i,\chi_i)$ эти ограничения неактивны. Из (2.5) вытекает тождество
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\widetilde{\mathscr L}_i((x,\chi),\mu) \equiv\mathscr L^\gamma(x,\mu) \nonumber \\ &\qquad\qquad+\mu_0\bigl((\gamma[x,x])^2-\chi\widetilde g_0(i^{-1}h)+\xi(\chi)\bigr) -\chi\sum_{j=1}^k(\mu_{1,j}-\mu_{2,j})g_j(i^{-1}h). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Применим при больших $i$ к задаче (2.12) необходимые условия минимума [3; теорема 2.1]. В силу этой теоремы существуют такие множители Лагранжа
$$
\begin{equation*}
\mu^i=(\mu_0^i,\mu_{1,1}^i,\dots,\mu_{1,k}^i,\mu_{2,1}^i,\dots,\mu_{2,k}^i)
\end{equation*}
\notag
$$
и подпространство $\Pi_i\subset X$, что
$$
\begin{equation}
|\mu^i|=1,\qquad \mu^i\geqslant 0,\qquad \mu_{1,j}^i\mu_{2,j}^{i}=0\quad \forall\,j=1,\dots,k;
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\mathscr L^\gamma}{\partial x}(x_i,\mu^i) +4\mu_0^i\gamma[x_i,x_i]\gamma[x_i,\,\cdot\,]=0,
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} &\mu_0^ig_0(i^{-1}h)+\sum_{j=1}^k(\mu_{1,j}^i-\mu_{2,j}^i)g_j(i^{-1}h) +\mu_0^i(\gamma[i^{-1}h,i^{-1}h])^2 \\ &\qquad =\mu_0^i\xi'(\chi_i)+\mu_0^i\frac{\gamma[i^{-1}h,i^{-1}h]}{4}\geqslant 0, \end{split}
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
$$
\begin{equation}
\operatorname{codim}\Pi_i=k,\qquad \Pi_i\subset\left\{x\in X\colon \begin{matrix} \text{либо}\quad \langle g'_j(x_i),x\rangle-\dfrac{\gamma[x_i,x]}{2}=0 \\ \text{либо}\quad \langle-g'_j(x_i),x\rangle-\dfrac{\gamma[x_i,x]}{2}=0 \end{matrix}\right\} \quad \forall\,j=1,\dots,k,
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial^2\mathscr L^\gamma}{\partial x^2}(x_i,\mu^i)[x,x] +\mu^i_0\bigl(4\gamma[x_i,x_i]\gamma[x,x]+8(\gamma[x_i,x])^2\bigr)\geqslant 0 \qquad \forall\,x\in\Pi_i.
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Здесь последнее равенство в (2.14) вытекает из условия (A). Равенство (2.15) следует из того, что $(\partial\widetilde{\mathscr L}_i/\partial x)((x_i,\chi_i),\mu^i)=0$, и тождества (2.13). Равенство в (2.16) следует из того, что $(\partial\widetilde{\mathscr L}_i/\partial\chi)((x_i,\chi_i),\mu^i)=0$, и тождества (2.13). Соотношения (2.17) и (2.18) вытекают из следующих соображений. По теореме 2.1 из [3] неравенство
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^2\widetilde{\mathscr L}_i}{\partial(x,\chi)^2} ((x_i,\chi_i),\mu^i)[(x,\chi),(x,\chi)]\geqslant 0
\end{equation*}
\notag
$$
справедливо на некотором подпространстве $\widetilde\Pi_i\subset X\times\mathbb R$, коразмерность которого не превышает $k$. Отсюда, поскольку в силу тождества (2.13) и выпуклости функции $\xi$ имеют место соотношения
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^2\widetilde{\mathscr L}_i}{\partial\chi^2}((x_i,\chi_i),\mu^i) =\mu_0\xi''(\chi_i)\geqslant 0, \qquad \frac{\partial^2\widetilde{\mathscr L}_i}{\partial x\,\partial\chi} ((x_i,\chi_i),\mu^i)\equiv 0,
\end{equation*}
\notag
$$
получаем, что неравенство
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^2\widetilde{\mathscr L}_i}{\partial x^2}((x_i,\chi_i),\mu^i)[x,x]\geqslant 0
\end{equation*}
\notag
$$
справедливо на линейном подпространстве $\Pi_i:=\{x\in X\colon (x,0)\in\widetilde{\Pi}_i\}$ и $\operatorname{codim}\Pi_i\leqslant k$. Кроме того, в (2.17) мы воспользовались тем, что в силу условия (A) из $2k$ ограничений активно не более $k$ штук. По теореме 2.3 из [3] существует подпространство $\Pi\subset X$ такое, что $\operatorname{codim}\Pi= k$ и $\Pi\subset\operatorname{Ls}\{\Pi^i\}$. Переходя сначала к подпоследовательности, а затем к пределу при $i\to \infty$ в соотношениях (2.14)–(2.18) и используя, что $x_i\to 0$, получим, что существует вектор $\mu=(\mu_0,\mu_{1,1},\dots,\mu_{1,k},\mu_{2,1},\dots,\mu_{2,k})$, для которого имеет место
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mu^i\to\mu\quad\text{при}\ \ i\to \infty,\qquad |\mu|=1,\qquad \mu\geqslant 0,\qquad \mu_{1,j}\mu_{2,j}=0\quad \forall\,j, \\ \frac{\partial\mathscr L^\gamma}{\partial x}(0,\mu)=0, \\ \operatorname{codim}\Pi=k,\qquad \Pi\subset\bigl\{x\in X\colon g'_j(0)x=0,\,j=1,\dots,k\bigr\}, \\ \frac{\partial^2\mathscr L^\gamma}{\partial x^2}(0,\mu)[x,x]\geqslant 0\qquad \forall\,x\in \Pi. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Таким образом, $\mu\in\Lambda^\gamma_k$. Кроме того, раскладывая в левой части (2.16) функции $g_0$ и $g_j$ в нуле до членов второго порядка включительно и учитывая, что $h\in K(0)$, переходя к пределу при $i\to\infty$ получаем, что
$$
\begin{equation}
\mu_0g''_0(0)[h,h]+\sum_{j=1}^k(\mu_{1,j}-\mu_{2,j})g''_j(0)[h,h]\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
Итак, первый случай рассмотрен, т.е. в предположении, что $g''_j(0)[h,h]\ne 0$ для некоторого $j\in\{1,\dots,k\}$, доказано (2.11). Рассмотрим второй случай. А именно, теперь предположим, что $g''_j(0)[h,h]=0$ при всех $j\in\{1,\dots,k\}$. Положим
$$
\begin{equation*}
g_{s,j}(x):=g_j(x)+s^{-1}\gamma[x,x]\qquad \forall\,j=1,\dots,k,
\end{equation*}
\notag
$$
для натуральных $s$ для $x\in X$. При каждом натуральном $s$ рассмотрим задачу
$$
\begin{equation}
g_0(x)\to\min,\qquad g_{s,j}(x)=0,\quad j=1,\dots,k.
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
Для этой задачи нуль является допустимой точкой, критический конус в нуле совпадает с $K(0)$, а множество нормированных множителей Лагранжа совпадает с $\Lambda(0)$. Обозначим через $\mathscr L_s(x,\lambda)$ функцию Лагранжа для этой задачи, т.е.
$$
\begin{equation*}
\mathscr L_s(x,\lambda)\equiv\lambda_0g_0(x)+\sum_{j=1}^k\lambda_jg_{s,j}(x),
\end{equation*}
\notag
$$
а через $\mathscr L^\gamma_s$ – функцию Лагранжа для соответствующей возмущенной задачи
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} g_0(x)-\dfrac{\gamma[x,x]}{4}\to\min, \qquad x\in X, \\ -g_{s,j}(x)-\dfrac{\gamma[x,x]}{4}\leqslant 0,\quad g_{s,j}(x)-\dfrac{\gamma[x,x]}{4}\leqslant 0, \qquad j=1,\dots,k. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\gamma$ – это заданная в предположении леммы квадратичная форма. Функция Лагранжа $\mathscr L^\gamma_s$ получается заменой $g_j(x)$ на $g_{s,j}(x)$ в правой части равенства (2.5). Из предположения (2.2) следует, что
$$
\begin{equation*}
\max_{\lambda\in\Lambda(0)} \frac{\partial^2\mathscr L_s}{\partial x^2}(0,\lambda)[x,x] \geqslant(1-2s^{-1})\gamma[x,x]\qquad \forall\,x\in K(0).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для достаточно больших номеров $s$ для задачи (2.21) в нуле выполняется предположение теоремы ($\mathbf M$) и по построению $g''_{s,j}(0)[h,h]\ne 0$ при каждом $j=1,\dots,k$. Следовательно, применяя к задаче (2.21) доказанное в первом случае шага I, утверждение, получаем, что
$$
\begin{equation}
\forall\,s\quad \exists\,\mu^s\in\Lambda^{\gamma,s}_k\colon \quad \frac{\partial^2\mathscr L_s}{\partial x^2} (0,(\mu^s_0,\mu^s_1-\mu^s_2))[h,h]\geqslant 0,\quad \mu^s_{1,j}\mu^s_{2,j}=0,\quad j=1,\dots,k.
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
Здесь $\Lambda^{\gamma,s}_k$ – это множество всех единичных неотрицательных векторов $\mu^s\in\mathbb R_+\times\mathbb R^k_+\times\mathbb R^k_+$, для которых $(\partial\mathscr L^\gamma_s/\partial x)(0,\mu^s)=0$ и существует подпространство $\Pi_s\subset X$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}\Pi_s\leqslant k,\quad\ \ \Pi_s\subset\operatorname{ker}g'_{s,j}(0)\quad \forall\,j=1,\dots,k,\quad\ \ \frac{\partial^2\mathscr L^\gamma_s}{\partial x^2}(0,\mu^s)[x,x]\geqslant 0\quad \forall\,x\in\Pi_s.
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя к подпоследовательности, будем, не ограничивая общности, считать, что $\mu^s$ при $s\to\infty$ сходится к некоторому вектору $\mu=(\mu_0,\mu_1,\mu_2)\in\mathbb R_+\times\mathbb R^k_+\times\mathbb R^k_+$, для которого $\mu_1=(\mu_{1,1},\dots,\mu_{1,k})$, $\mu_2=(\mu_{2,1},\dots,\mu_{2,k})$. Очевидно, что $\mu\in\Lambda^\gamma$. Переходя в (2.22) к пределу при $s\to\infty$ и используя [3; теорема 2.3], получаем, что
$$
\begin{equation*}
\mu\in\Lambda_k^\gamma\quad \text{и}\quad \frac{\partial^2\mathscr L}{\partial x^2}(0,(\mu_0,\mu_1-\mu_2))[h,h]\geqslant 0, \qquad \mu_{1,j}\mu_{2,j}=0\quad \text{при}\ \ j=1,\dots,k.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрение второго случая завершено. Разделение шага I на два случая вызвано следующими соображениями. В предположениях первого случая, т.е. когда $g''_j(0)[h,h]\ne 0$ для некоторого $j$, доказано, что при всех $i\ne 0$ существует решение $(x_i,\chi_i)$ задачи (2.12) такое, что $x_i\ne 0$ при всех достаточно больших $i$. Значит, в точке $x_i$ активно не более одного из двух ограничений
$$
\begin{equation*}
-\frac{\gamma[x,x]}{4}\leqslant(g_j(x)-\chi g_j(i^{-1}h))\leqslant\frac{\gamma[x,x]}{4}
\end{equation*}
\notag
$$
и поэтому в задаче (2.12) также активно не более $k$ ограничений, откуда уже выводится, что $\operatorname{codim}\Pi\leqslant k$. Если же выполняется предположение второго случая, т.е. $g''_j(0)[h,h]=0$ при всех $j$, то возможно, что $x_i=0$ для всех решений $(x_i,\chi_i)$ задачи (2.12). В этом случае при указанном $j$ уже активны оба ограничения задачи (2.12), что не позволяет получить нужную оценку коразмерности подпространства $\Pi$. Поэтому мы и возмущаем задачу (2.12), заменяя функцию $g_j$ на $g_j+s^{-1}\gamma$, для которой предположения первого случая уже выполняются. Шаг II. Докажем, что существует $\overline\lambda\in\Lambda(0)$ и подпространство $\Pi\subset X$, для которых
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \operatorname{codim}\Pi\leqslant k,\qquad \Pi\subset\operatorname{ker}f'_j(0)\quad \forall\,j=1,\dots,k, \\ \frac{\partial^2\mathscr L}{\partial x^2}(0,\overline\lambda)[x,x] \geqslant\frac{\gamma[x,x]}{2}\quad \forall\,x\in\Pi,\qquad \frac{\partial^2\mathscr L}{\partial x^2}(0,\overline\lambda)[h,h]\geqslant 0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
В силу утверждения, доказанного на шаге I, существует $\mu=(\mu_0,\mu_1,\mu_2)$, для которого выполняются неравенство и равенства в (2.11), и подпространство $\Pi\subset X$, для которого выполняются соотношения (2.10). Покажем, что $\overline\lambda:=(\mu_0,\mu_1-\mu_2)$ является искомым. Поскольку $\mu_{1,j}\mu_{2,j}=0$ при $j=1,\dots,k$, то $|\overline\lambda|=|\mu|=1$. Поэтому из очевидного тождества
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial\mathscr L^\gamma}{\partial x}(0,\mu)[x,x] \equiv\frac{\partial\mathscr L}{\partial x}(0,\overline\lambda)[x,x]
\end{equation*}
\notag
$$
следует, что $\overline\lambda\in\Lambda(0)$. В силу (2.6) и (2.7) имеем также
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\partial^2\mathscr L}{\partial x^2}(0,\overline\lambda)[x,x] &\equiv\frac{\partial^2\mathscr L^\gamma}{\partial x^2} (0,\overline\lambda)[x,x] +\frac{\gamma[x,x]}{2} \biggl(\mu_0+\sum_{j=1}^k\mu_{1,j}+\sum_{j=1}^k\mu_{2,j}\biggr) \\ &\equiv\frac{\partial^2\mathscr L^\gamma}{\partial x^2} (0,\overline\lambda)[x,x]+\frac{\gamma[x,x]}{2}\,,\qquad x\in X. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, поскольку для подпространства $\Pi$ выполняются соотношения (2.10), имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^2\mathscr L}{\partial x^2} (0,\overline\lambda)[x,x] \geqslant\frac{\gamma[x,x]}{2}\qquad \forall\,x\in\Pi.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, $(\partial^2\mathscr L/\partial x^2)(0,\overline\lambda)[h,h]\geqslant 0$ в силу (2.11). Таким образом, шаг II весьма прост и заключается во введении $\overline\lambda$ по формуле $\overline\lambda=(\mu_0,\mu_1-\mu_2)$. Шаг III. Для фиксированного выше $h$ возьмем вектор $\overline\lambda\in\Lambda(0)$ и подпространство $\Pi\subset X$, для которых выполняется (2.23). В силу предположения (2.2) существует $\overline{\overline\lambda} =(\overline{\overline\lambda}_0,\dots,\overline{\overline\lambda}_k) \in\Lambda(0)$, для которого имеет место
$$
\begin{equation}
\frac{\partial^2\mathscr L}{\partial x^2}(0,\overline{\overline\lambda})[h,h] \geqslant\gamma[h,h].
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
В силу конечномерности пространства $X$ существует $c>0$ такое, что
$$
\begin{equation*}
f''_j(0)[x,x]\leqslant c\gamma[x,x]\qquad \forall\,x\in X,\quad \forall\,j=0,\dots,k.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что
$$
\begin{equation}
\frac{\partial^2\mathscr L}{\partial x^2}(0,\overline{\overline\lambda})[x,x] \geqslant -c\gamma[x,x]\qquad \forall\,x\in X.
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
Действительно, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\partial^2\mathscr L}{\partial x^2}(0,\overline{\overline\lambda})[x,x] &=\sum_{j=0}^k\overline{\overline\lambda}_jf''_j(0)[x,x] \geqslant-\biggl|\sum_{j=0}^k\overline{\overline\lambda}_jf''_j(0)[x,x]\biggr| \\ &\geqslant-\sum_{j=0}^k|\overline{\overline\lambda}_j|\,|f''_j(0)[x,x]| \geqslant-c\gamma[x,x]\sum_{j=0}^k|\overline{\overline\lambda}_j| =-c\gamma[x,x] \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $x\in X$. Здесь последнее равенство вытекает из того, что
$$
\begin{equation*}
|\overline{\overline\lambda}|=\sum_{j=0}^k|\overline{\overline\lambda}_j|=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, (2.25) доказано. Положим $\widehat\lambda:=(1-\delta)\overline\lambda +\delta\overline{\overline\lambda}$, где Поскольку $|\overline \lambda|=|\overline{\overline\lambda}|=1$ и в силу (2.26) имеет место $0<\delta<1$, то $|\widehat\lambda|\leqslant 1$.Имеем
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\mathscr L}{\partial x}(0,\widehat\lambda) =(1-\delta)\,\frac{\partial\mathscr L}{\partial x}(0,\overline\lambda) +\delta\,\frac{\partial\mathscr L}{\partial x}(0,\overline{\overline\lambda})=0,
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
поскольку $\overline\lambda,\overline{\overline\lambda}\in\Lambda(0)$. Значит, $\widehat\lambda$ – это тоже множитель Лагранжа в нуле. Кроме того, имеем
$$
\begin{equation}
\frac{\partial^2\mathscr L}{\partial x^2}(0,\widehat\lambda)[h,h] =(1-\delta)\,\frac{\partial^2\mathscr L}{\partial x^2}(0,\overline\lambda)[h,h] +\delta\,\frac{\partial^2\mathscr L}{\partial x^2}(0,\overline{\overline\lambda})[h,h] \overset{(2.23),\,(2.24)}{\geqslant}\delta\gamma[h,h].
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
Для каждого $x\in\Pi$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\partial^2\mathscr L}{\partial x^2}(0,\widehat\lambda)[x,x] &=(1-\delta)\,\frac{\partial^2\mathscr L}{\partial x^2}(0,\overline\lambda)[x,x] +\delta\,\frac{\partial^2\mathscr L}{\partial x^2}(0,\overline{\overline\lambda})[x,x] \nonumber \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\overset{(2.23),\,(2.25)}{\geqslant}(1-\delta) \frac{\gamma[x,x]}{2}-\delta c\gamma[x,x] \overset{(2.26)}{=}\frac{1}{4}\,\gamma[x,x]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.29}
$$
В силу (2.28) $\widehat\lambda\ne 0$. Положим Поскольку $|\widehat\lambda|\leqslant 1$, то в силу (2.27) и (2.29) имеем
$$
\begin{equation*}
\lambda=\widehat\lambda|\widehat\lambda|^{-1}\in\Lambda(0),\qquad \frac{\partial^2\mathscr L}{\partial x^2}(0,\lambda)[x,x] =\frac{\partial^2\mathscr L}{\partial x^2} (0,\widehat\lambda|\widehat\lambda|^{-1})[x,x] \geqslant\frac{1}{4}\,\gamma[x,x]\quad \forall\,x\in\Pi.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, в силу (2.23) $\operatorname{codim}\Pi\leqslant k$ и $\Pi\subset\operatorname{ker}f'_j(0)$ при всех $j=1,\dots,k$. Следовательно, $\lambda\in\Lambda_k(0,\gamma)$. Кроме того, в силу (2.28) и неравенства $|\widehat\lambda|\leqslant 1$ имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^2\mathscr L}{\partial x^2}(0,\lambda)[h,h] =\frac{\partial^2\mathscr L}{\partial x^2} (0,\widehat\lambda|\widehat\lambda|^{-1})[h,h] \geqslant\delta\gamma[h,h].
\end{equation*}
\notag
$$
В силу произвольности выбора $h$ соотношение (2.3) доказано, что и завершает доказательство леммы 1. Замечание 1. В соотношении (2.3) в утверждении леммы 1 максимум берется по множеству $\Lambda_k(x_*,\gamma)$. Отметим, что имеет место включение $\Lambda_k(x_*,\gamma)\subseteq\Lambda_k(x_*)$, а в теореме 2, доказанной в [11] другим методом, максимум берется по множеству $\Lambda_{k-1}(x_*)$. В то же время несложно привести примеры задач, в которых может выполняться строгое включение $\Lambda_k(x_*,\gamma)\subset\Lambda_{k-1}(x_*)$, причем обратное неверно. Поэтому лемма 1 не вытекает из теоремы 2. Кроме того, в [11] теорема 2 доказана в предположении аномальности точки $x_*$. Покажем, что от предположения конечномерности пространства $X$ в лемме 1 можно отказаться следующим образом. При этом наложим на функции $f_j$ более слабые предположения, чем это было сделано выше. А именно, предположим, что функции $f_j$, $j=0,\dots,k$, дважды непрерывно дифференцируемы относительно конечной топологии в окрестности точки $x_*$, т.е. для любого конечномерного подпространства $M$ сужения функций $f_j$, $j=0,\dots,k$, на $\{x_*\}+M$ дважды непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки $x_*$, зависящей от $M$ (см., например, [12]). Лемма 2. Пусть $\Lambda(x_*)\ne\varnothing$ и выполняется условие (1.3), т.е. имеет место Тогда $\Lambda_k(x_*,\gamma)\ne\varnothing$ и имеет место Доказательство. Снова будем считать, что $x_*=0$. Возьмем произвольное $h\in K(0)$, $h\ne 0$. Обозначим через $\mathscr M$ множество всех конечномерных подпространств $M$ пространства $X$ таких, что $h\in M$ и $F'(0)M=F'(0)X$. Здесь $F\colon X\to\mathbb R^k$ – это отображение, определяемое по формуле $F=(f_1,\dots,f_k)$. Возьмем произвольное $M\in\mathscr M$ и рассмотрим задачу, полученную из (2.1) заменой $X$ на $M$. Как доказано в лемме 1, для этой конечномерной задачи существуют такие множители Лагранжа $\lambda_M$ и число $\delta(M)>0$, что
$$
\begin{equation}
|\lambda_M|=1,\qquad \frac{\partial L}{\partial x}(0,\lambda_M)\in M^\perp,\qquad \frac{\partial^2 L}{\partial x^2}(0,\lambda_M)[h,h] \geqslant\delta(M)\gamma[h,h],
\end{equation}
\tag{2.30}
$$
и существует подпространство $\Pi_M\subset\operatorname{ker}F'(0)$, коразмерность которого относительно $M$ не превышает $k$ и для которого
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^2 L}{\partial x^2}(0,\lambda_M)[x,x] \geqslant\frac{1}{4}\,\gamma[x,x]\qquad \forall\,x\in\Pi_M.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим множество всех $\lambda_M$ через $\Lambda_k(M)$. В силу того, что каждое конечномерное пространство $M$ замкнуто и в (2.30) знак в неравенстве нестрогий, множество $\Lambda_k(M)$ замкнуто для любого $M\in\mathscr M$. Из того, что $\delta(M)>0$ и квадратичная форма $\gamma$ положительна, вытекает, что
Для произвольных $M_1,\dots,M_s\in\mathscr M$, очевидно,
$$
\begin{equation*}
\bigcap_{i=1}^s\Lambda_k(M_i) \supset\Lambda\biggl(\sum_{i=1}^sM_i\biggr)\ne\varnothing.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, система непустых замкнутых множеств $\Lambda_k(M)$, $M\in\mathscr M$, является центрированной. Поэтому в силу компактности единичной сферы в $\mathbb R^{k+1}$ множество $\bigcap_{M\in\mathscr M}\Lambda_k(M)$ непусто. Очевидно, что для произвольного вектора $\lambda$ из этого пересечения имеет место
$$
\begin{equation*}
\lambda\in\Lambda(0)\qquad \text{и}\qquad \frac{\partial^2L}{\partial x^2}(0,\lambda)[h,h]>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем, что $\lambda\in\Lambda_k(0,\gamma)$. Максимальная из размерностей, лежащих в $\operatorname{ker}F'(0)$ подпространств, на которых форма $(\partial^2 F/\partial x^2)(0,\lambda)-\gamma/4$ отрицательно определена, не превышает числа $k-\operatorname{dim}(\operatorname{Im}F'(0))$. Это утверждение вытекает из того, что $\lambda\in\Lambda_k(M)$ для любого $M\in\mathscr M$. Существование подпространства $\Pi$, на котором квадратичная форма $(\partial^2 F/\partial x^2)(0,\lambda)-\gamma/4$ неотрицательна, вытекает из [3; теорема 2.3]. Таким образом, доказано, что $\lambda\in\Lambda_k(0,\gamma)$. 3. Основные результатыРассмотрим вначале задачу с ограничениями только типа неравенств, т.е. при $k_1=k$ и $k_2=0$. Итак, рассмотрим задачу
$$
\begin{equation}
f_0(x)\to\min,\quad x\in X,\qquad f_1(x)\leqslant 0,\quad \dots,\quad f_k(x)\leqslant 0.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Для нее, как известно, конус критических направлений имеет вид
$$
\begin{equation*}
K(x_*)=\bigl\{h\in X\colon \langle f'_j(x_*),h\rangle\leqslant 0,\,j=0,\dots,k\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что $\gamma\colon X\to\mathbb R$ – это заданная непрерывная квадратичная форма, для которой имеет место (1.2). Теорема 1. Пусть $\Lambda(x_*)\ne\varnothing$ и выполняется условие (1.3), т.е. имеет место Тогда $\Lambda_k(x_*,\gamma)\ne\varnothing$ и выполнено Доказательство. Не теряя общности, будем считать, что $x_*=0$. Для заданной по условию функции $\gamma$ рассмотрим задачу с ограничениями типа неравенств
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \langle f'_0(0),x\rangle+\dfrac{1}{2}\,f''_0(0)[x,x] -\dfrac{1}{4}\,\gamma[x,x]\to\min, \qquad x\in X, \\ \langle f'_j(0),x\rangle+\dfrac{1}{2}\,f''_j(0)[x,x] -\dfrac{1}{4}\,\gamma[x,x]\leqslant 0, \qquad j=1,\dots,k. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Для нее обозначим функцию Лагранжа через $\mathscr L^\gamma$, т.е. положим Критический конус в нуле обозначим через $K^\gamma$, а множество нормированных множителей Лагранжа – через $\Lambda^\gamma$. Очевидно, что
Покажем, что точка $x_*=0$ – это строгий локальный минимум задачи (3.4). Очевидно, что нуль является допустимой точкой для рассматриваемой задачи. Далее, для любого $x\in X$ и $\lambda=(\lambda_0,\lambda_1,\dots,\lambda_k)\in\Lambda(0)$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{\partial^2\mathscr L}{\partial x^2}(0,\lambda)[x,x] =\lambda_0f''_0(0)[x,x]+\sum_{j=1}^k\lambda_jf''_j(0)[x,x] \nonumber \\ &\qquad=\lambda_0\biggl(f''_0(0)[x,x]-\frac{1}{2}\,\gamma[x,x]\biggr) +\sum_{i=1}^k\lambda_i\biggl(f''_i(0)[x,x]-\frac{1}{2}\,\gamma[x,x]\biggr) +\frac{1}{2}\,\gamma[x,x]\sum_{j=0}^k\lambda_j \nonumber \\ &\qquad=\frac{\partial^2\mathscr L^\gamma}{\partial x^2}(0,\lambda)[x,x] +\frac{1}{2}\,\gamma[x,x]\sum_{j=0}^k\lambda_j =\frac{\partial^2\mathscr L^\gamma}{\partial x^2}(0,\lambda)[x,x] +\frac{1}{2}\,\gamma[x,x]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Здесь последнее равенство вытекает из того, что $\sum_{j=0}^k\lambda_j=1$ (см. (1.1)).
Таким образом, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \max_{\lambda\in\Lambda^\gamma} \frac{\partial^2\mathscr L^\gamma}{\partial x^2}(0,\lambda)[h,h] &=\max_{\lambda\in\Lambda(0)} \frac{\partial^2\mathscr L^\gamma}{\partial x^2}(0,\lambda)[h,h] \overset{(3.5)}{=} \max_{\lambda\in\Lambda(0)} \frac{\partial^2\mathscr L}{\partial x^2}(0,\lambda)[h,h] -\frac{1}{2}\,\gamma[h,h] \nonumber \\ &\geqslant\gamma[h,h]-\frac{1}{2}\,\gamma[h,h] =\frac{1}{2}\,\gamma(0)[h,h]\qquad \forall\,h\in K^\gamma. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Здесь первое равенство следует из того, что $\Lambda^\gamma=\Lambda(0)$, а последнее неравенство выполняется в силу (3.2), поскольку $K(0)=K^\gamma$.
В силу (3.6) и поскольку $\Lambda^\gamma\ne\varnothing$, для задачи (3.4) выполнены предположения теоремы ($\mathbf M$). Из нее получаем, что нуль, т.е. $x_*=0$, является точкой строгого локального минимума в задаче (3.4). Применим к задаче (3.4) необходимые условия минимума в нуле [3; теорема 2.1]. По этой теореме
$$
\begin{equation}
\Lambda^\gamma_k\ne\varnothing\qquad \text{и}\qquad \max_{\lambda\in\Lambda^\gamma_k} \frac{\partial^2\mathscr L^\gamma}{\partial x^2}(0,\lambda)[h,h]\geqslant 0\quad \forall\,h\in K^\gamma.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Здесь $\Lambda^\gamma_k$ – это множество всех векторов $\lambda\in\Lambda^\gamma$, для которых существует (зависящее от $\lambda$) замкнутое линейное подпространство $\Pi\subset X$, для которого
$$
\begin{equation}
\operatorname{codim}\Pi\leqslant k,\qquad \Pi\subset\operatorname{ker}f'_j(0)\quad \forall\,j=1,\dots,k,\qquad \frac{\partial^2\mathscr L^\gamma}{\partial x^2}(0,\lambda)[x,x]\geqslant 0\quad \forall\,x\in\Pi.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Зафиксируем произвольный вектор $h\in K^\gamma=K(0)$. Из (3.7) следует, что существует $\lambda\in\Lambda^\gamma=\Lambda(0)$ и замкнутое линейное подпространство $\Pi\subseteq X$, для которых имеют место соотношения (3.8) и
$$
\begin{equation}
\frac{\partial^2\mathscr L^\gamma}{\partial x^2}(0,\lambda)[h,h]\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^2\mathscr L}{\partial x^2}(0,\lambda)[x,x] \overset{(3.5)}{=} \frac{\partial^2\mathscr L^\gamma}{\partial x^2}(0,\lambda)[x,x] +\frac{1}{2}\,\gamma[x,x] \overset{(3.8)}{\geqslant}\frac{1}{2}\,\gamma[x,x]\qquad \forall\,x\in\Pi.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, $\lambda\in\Lambda_k(0,\gamma)$ и поэтому $\Lambda_k(0,\gamma)\ne\varnothing$. Кроме того, имеет место
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^2\mathscr L}{\partial x^2}(x_*,\lambda)[h,h] \overset{(3.5)}{=} \frac{\partial^2\mathscr L^\gamma}{\partial x^2}(0,\lambda)[h,h] +\frac{1}{2}\,\gamma[h,h] \overset{(3.9)}{\geqslant}\frac{1}{2}\,\gamma[h,h].
\end{equation*}
\notag
$$
В силу произвольности выбора $h\in K(0)$ соотношение (3.3) доказано. Рассмотрим теперь задачу минимизации в полной общности – с ограничениями типа равенств и неравенств. Теорема 2. Предположим, что пространство $X$ конечномерно, $\Lambda(x_*)\ne\varnothing$ и выполняется условие (1.3), т.е. имеет место Тогда $\Lambda_k(x_*,\gamma)\ne\varnothing$ и существует $\delta>0$, для которого выполнено Доказательство проведем аналогично доказательству леммы 1, снова считая, что $x_*=0$. Рассматриваемая задача эквивалентна следующей:
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} f_0(x)\to\min, \qquad x\in X, \\ f_j(x)\leqslant 0, \qquad j=1,\dots,k_1, \\ f_j(x)\leqslant 0,\quad -f_j(x)\leqslant 0, \qquad j=k_1+1,\dots,k. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим аналогичную задачу, порожденную линейными и квадратичными членами разложения функций $f_j$ в ряд Тейлора, с возмущением $\gamma/4$, т.е.
$$
\begin{equation}
\begin{cases} g_0(x)-\dfrac{\gamma[x,x]}{4}\to\min, \qquad x\in X, \\ g_j(x)-\dfrac{\gamma[x,x]}{4}\leqslant 0, \qquad j=1,\dots,k_1, \\ g_j(x)-\dfrac{\gamma[x,x]}{4}\leqslant 0,\quad -g_j(x)-\dfrac{\gamma[x,x]}{4}\leqslant 0, \qquad j=k_1+1,\dots,k. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Здесь
$$
\begin{equation*}
g_j(x)=\langle f'_j(0),x\rangle+\frac{1}{2}\,f''_j(0)[x,x],\qquad j=0,\dots,k.
\end{equation*}
\notag
$$
Для задачи (3.11) обозначим ее функцию Лагранжа через $\mathscr L^\gamma$, т.е. положим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathscr L^\gamma(x,\mu) &=\sum_{j=0}^{k_1}\mu_{0,j} \biggl(g_j(x)-\frac{\gamma[x,x]}{4}\biggr) \nonumber \\ &\qquad{}+\sum_{j=k_1+1}^k\mu_{1,j} \biggl(g_j(x)-\frac{\gamma[x,x]}{4}\biggr) +\sum_{j=k_1+1}^k\mu_{2,j} \biggl(-g_j(x)-\frac{\gamma[x,x]}{4}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Здесь $\mu=(\mu_0,\mu_1,\mu_2)\in\mathbb R_+^{k_1+1} \times\mathbb R^{k_2}_+\times\mathbb R^{k_2}_+$ – это множители Лагранжа, Критический конус в нуле обозначим через $K^\gamma$, а множество нормированных множителей Лагранжа – через $\Lambda^\gamma$. Очевидно, что $K(0)=K^\gamma$.
Повторяя рассуждения, приведенные в доказательстве леммы 1, получаем, что для задачи (3.11) выполняется условие теоремы ($\mathbf M$) и, значит, по этой теореме точка $x_*=0$ является строгим локальным минимумом в задаче (3.11). По аналогии с леммой 1 выполним шаг I. Обозначим через $\Lambda^\gamma_k$ множество всех векторов $\mu\in\Lambda^\gamma$, для которых существует (зависящее от $\mu$) замкнутое линейное подпространство $\Pi\subset X$ такое, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{codim}\Pi\leqslant k,\qquad \Pi\subset\operatorname{ker}f'_j(0)\quad \forall\,j=1,\dots,k,\qquad \frac{\partial^2\mathscr L^\gamma}{\partial x^2}(0,\mu)[x,x]\geqslant 0\quad \forall\,x\in\Pi.
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Зафиксируем произвольное $h\in K(0)$, $h\ne 0$, и докажем, что
$$
\begin{equation}
\exists\,\mu\in\Lambda^\gamma_k\colon\qquad \frac{\partial^2\mathscr L}{\partial x^2}(0,(\mu_0,\mu_1-\mu_2))[h,h]\geqslant 0,\qquad \mu_{1,j}\mu_{2,j}=0\quad \forall\,j=k_1+1,\dots,k,
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
и, в частности, $\Lambda^\gamma_k\ne\varnothing$.
Рассмотрим два случая. Предположим, вначале, что существует $j\in\{1,\dots,k\}$, для которого $g''_j(0)[h,h]\ne 0$. Для определенности будем считать, что $g''_1(0)[h,h]\ne 0$. Функции $\chi$ и $g_i(x,\chi)$ определим как и при доказательстве леммы 1. При натуральном $i\geqslant 1$ рассмотрим задачу
$$
\begin{equation}
\begin{cases} g_i(x,\chi)\to\min, \qquad x\in X,\quad \|x\|^2\leqslant r^2,\quad \chi\geqslant 0, \\ (g_j(x)-\chi g_j(i^{-1} h))-\dfrac{\gamma[x,x]}{4}\leqslant 0, \qquad j=1,\dots,k_1, \\ (g_j(x)-\chi g_j(i^{-1} h))-\dfrac{\gamma[x,x]}{4}\leqslant 0, \qquad j=k_1+1,\dots,k, \\ -(g_j(x)-\chi g_j(i^{-1}h))-\dfrac{\gamma[x,x]}{4}\leqslant 0, \qquad j=k_1+1,\dots,k. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Здесь $r>0$ – это радиус той окрестности, в которой достигается строгий минимум в задаче (3.11).
Повторяя рассуждения, приведенные в шаге I доказательства леммы 1 при рассмотрении задачи (2.12), получаем, что среди решений $(x,\chi)$ задачи (3.15) существует решение $(x_i,\chi_i)$ такое, что $\chi_i>0$, и для последовательности этих решений последовательность $\{\chi_i\}$ ограниченна и $x_i\to 0$ при $i\to\infty$. Кроме того, применяя приведенные в шаге I доказательства леммы 1 рассуждения и предположение $g''_1(0)[h,h]\ne 0$, получаем, что при больших $i$ найдутся подпространство $\Pi_i\subset X$ коразмерности $k$ и вектор
$$
\begin{equation*}
\mu^i=(\mu_{0,0}^i,\dots,\mu_{0,k_1}^i,\mu_{1,{k_1+1}}^i,\dots,\mu_{1,k}^i, \mu_{2,k_1+1}^i,\dots,\mu_{2,k}^i)
\end{equation*}
\notag
$$
такие, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |\mu^i|=1,\qquad \mu^i\geqslant 0,\qquad \mu_{1,j}^i\mu_{2,j}^i=0\quad \forall\,j=k_1+1,\dots,k, \\ \frac{\partial\mathscr L^\gamma}{\partial x}(x_i,\mu^i) +4\mu_{0,0}^i\gamma[x_i,x_i]\gamma[x_i,\,\cdot\,]=0, \\ \sum_{j=0}^{k_1}\mu_{0,j}^ig_j(i^{-1}h) +\sum_{j=k_1+1}^k(\mu_{1,j}^i-\mu_{2,j}^i)g_j(i^{-1}h) +\mu_{0,0}^i(\gamma[i^{-1}h,i^{-1}h])^2\geqslant 0, \\ \begin{split} &\Pi_i\subset\Biggr\{x\in X\colon \begin{matrix} \langle g'_j(x_i),x\rangle-\dfrac{\gamma[x_i,x]}{2}=0\quad \forall\,j=1,\dots,k_1, \\ \biggl(\langle g'_j(x_i),x\rangle-\dfrac{\gamma[x_i,x]}{2}\biggr) \biggl(\langle-g'_j(x_i),x\rangle-\dfrac{\gamma[x_i,x]}{2}\biggr)=0 \end{matrix} \\ &\qquad\qquad \forall\,j=k_1+1,\dots,k\Biggr\}, \end{split} \\ \frac{\partial^2\mathscr L^\gamma}{\partial x^2}(x_i,\mu^i)[x,x] +\mu^i_{0,0}\bigl(4\gamma[x_i,x_i]\gamma[x,x]+8(\gamma[x_i,x])^2\bigr)\geqslant 0\qquad \forall\,x\in\Pi_i. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя вначале к подпоследовательности, а затем к пределу при $i\to+\infty$, повторяя рассуждения, приведенные в шаге I доказательства леммы 1, получаем, что существует $\mu\in\Lambda^\gamma_k$, для которого выполняются соотношения (3.14).
Итак, первый случай рассмотрен, т.е. в предположении, что $g''_j(0)[h,h]\ne 0$ для некоторого $j\in\{1,\dots,k\}$, доказано (3.14). Второй случай, когда $g''_j(0)[h,h]=0$ при всех $j\in\{1,\dots,k\}$, полностью аналогичен рассмотрениям леммы 1. Дословно повторяя рассуждения шага II доказательства леммы 1, получаем, что для $\overline\lambda:=(\mu_0,\mu_1-\mu_2)\in\Lambda(0)$ и подпространства $\Pi\subset X$ имеет место (2.23). Выбирая константы $c>0$ и $\delta>0$ и векторы $\overline{\overline\lambda}$ и $\widehat\lambda$, как в шаге III доказательства леммы 1 повторяя соответствующие построения, получаем, что
$$
\begin{equation*}
\lambda:=\widehat\lambda|\widehat\lambda|^{-1}\in\Lambda_k(x_*,\gamma)\qquad \text{и}\qquad \frac{\partial^2\mathscr L}{\partial x^2}(0,\lambda)[h,h]\geqslant\delta\gamma[h,h].
\end{equation*}
\notag
$$
В силу произвольности выбора $h$ соотношение (3.10) доказано. Покажем, что от предположения конечномерности пространства $X$ в теореме 2 можно отказаться следующим образом. Предположим, что все функции $f_j$, $j=0,\dots,k$, дважды непрерывно дифференцируемы относительно конечной топологии в окрестности точки $x_*$. Предложение 1. Пусть $X$ – банахово пространство, $\Lambda(x_*)\ne\varnothing$ и выполняется условие (1.3), т.е. имеет место Тогда $\Lambda_k(x_*,\gamma)\ne\varnothing$ и выполнено Доказательство дословно повторяет доказательство леммы 2. Единственное отличие состоит в том, что здесь мы применяем теорему 2 к задаче, полученной из задачи заменой $X$ на $M$. Замечание 2. Если пространство $X$ конечномерно, то (3.10) выполняется тогда и только тогда, когда выполняется (3.16). Поэтому в случае, когда пространство $X$ конечномерно, теорема 2 и предложение 1 эквивалентны. Таким образом, неравенство (3.16) является достаточным условием локального минимума, когда пространство $X$ конечномерно. Более того, из теоремы 2 следует, что для бесконечномерного пространства $X$ неравенство (3.16) является достаточным условием локального минимума относительно конечной топологии. При этом множество называется открытым в конечной топологии, если его пересечение с любым конечномерным подпространством $M\subset X$ открыто в единственной отделимой топологии пространства $M$ (см., например, [12]). Замечание 3. Без предположения о конечномерности пространства $X$ условие (3.16), вообще говоря, не является достаточным условием локального минимума (относительно сильной топологии). Поясним сказанное на примере бесконечномерной задачи без ограничений в гильбертовом пространстве $\ell_2$. Пусть
$$
\begin{equation*}
f_0(x)=\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{1}{i}\,x_i^2+\sum_{i=1}^{+\infty}x_i^3,\qquad x=(x_1,x_2,\dots)\in\ell_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что функция $f_0$ бесконечно дифференцируема и для нее условие (3.16) выполняется в точке $x^*=0$ при $k=0$, $\gamma(x)=\sum_{i=1}^{+\infty}x_i^2/i$, $K(x^*)=\ell_2$, $\Lambda_k(x_*,\gamma)=\{1\}$. Однако нуль не является точкой локального минимума функции $f_0$. Действительно, рассмотрим сходящуюся к нулю последовательность векторов $x_n=(x_{n,1},x_{n,2},\dots)$, $n=1,2,\dots$, у которых $n$-я координата $x_{n,n}$ равна $-2/n$, а остальные равны нулю. Для этой последовательности имеем Авторы благодарны рецензенту за внимание к работе и ценные замечания. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AruZhu24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|