| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) О порождении групп М. А. Всемирновa, Р. И. Гвоздевb, Я. Н. Нужинb, Т. Б. Шаиповаc a Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук b Сибирский федеральный университет, г. Красноярск c Красноярский научный центр СО РАН
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624030015 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеГруппу, порожденную тремя инволюциями, две из которых перестановочны, будем называть $(2\times2,2)$-порожденной. Класс таких групп замкнут относительно гомоморфных образов, если по определению единичную группу считаем таковой и не исключаем совпадения двух или всех трех инволюций. Тамбурини и Цукка [1] доказали $(2\times2,2)$-порожденность некоторых классических групп достаточно большой размерности $n$, зависящей от параметра $d$, над определенными $d$-порожденными областями целостности. В частности, они доказали $(2\times2,2)$-порожденность специальной линейной группы $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$ над кольцом целых гауссовых чисел $\mathbb{Z}+i\mathbb{Z}$ при $n\geqslant 14$. Левчук и Нужин [2], [3] установили $(2\times2,2)$-порожденность проективной специальной линейной группы $\mathrm{PSL}_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$ при $n\geqslant 7$. Доказательство в [2], [3] состояло в том, что порождающие тройки указывались в явном виде, более того, при $n\neq 4k+2$ они выбирались из группы $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$. Следовательно, для таких размерностей справедлив более сильный результат: при $n\geqslant 7$ и $n\neq 4k+2$ группа $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$ является $(2\times2,2)$-порожденной. Поэтому в силу работ [1]–[3] ответ на вопрос о $(2\times2,2)$-порожденности групп $\mathrm{SL}_n$ и $\mathrm{PSL}_n$ над кольцом $\mathbb{Z}+i\mathbb{Z}$ не был известен к 2010 г. только при $n=3,4,5,6,10$ для $\mathrm{SL}_n$ и только при $n=2,3,4,5,6$ для $\mathrm{PSL}_n$. В [4] доказано, что для любой области целостности $D$ характеристики, отличной от 2, группа $\mathrm{SL}_6(D)$ не является $(2\times2,2)$-порожденной, в частности, $\mathrm{SL}_6(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$ не является $(2\times2,2)$-порожденной, а в [5] установлено, что при $n\leqslant 4$ группы $\mathrm{PSL}_n(\mathbb{Z}+ i\mathbb{Z})$, а следовательно, и $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$ не являются $(2\times2,2)$-порожденными. Таким образом, оставались нерассмотренными только случаи $\mathrm{SL}_5$, $\mathrm{PSL}_6$ и $\mathrm{SL}_{10}$. Случай $\mathrm{PSL}_5$ выпал из списка, поскольку при нечетном $n$ группы $\mathrm{SL}_n$ и $\mathrm{PSL}_n$ над кольцом $\mathbb{Z}+i\mathbb{Z}$ совпадают. Основным результатом статьи является Теорема 1. Группы $\mathrm{SL}_5(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$, $\mathrm{PSL}_6(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$ и $\mathrm{SL}_{10}(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$ порождаются тремя инволюциями, две из которых перестановочны. Доказательство теоремы конструктивное, т.е. порождающие тройки инволюций указываются явно, и в установлении порождаемости данной тройкой инволюций мы существенно используем компьютерные вычисления. Объединяя теорему 1 с отмеченными выше результатами статей [1]–[5], получаем два следствия. Следствие 1. Группа $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$ тогда и только тогда порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, когда $n\geqslant 5$ и $n\neq 6$. Следствие 2. Группа $\mathrm{PSL}_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$ тогда и только тогда порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, когда $n\geqslant 5$. 2. Обозначения и предварительные результатыПусть $R$ – коммутативное кольцо с единицей 1, $E_n$ – единичная матрица степени $n$, а $e_{rs}$ – $(n\times n)$-матрица с единицей на позиции $(r,s)$ и нулями в остальных местах. Матрицы
$$
\begin{equation*}
t_{rs}(x)=E_n+xe_{rs}, \qquad r,s=1,2,\dots ,n, \quad r\neq s, \quad x\in R,
\end{equation*}
\notag
$$
называются элементарными трансвекциями. Положим также
$$
\begin{equation*}
t_{rs}(R)=\langle t_{rs}(x)\mid x\in R\rangle, \qquad r,s=1,2,\dots ,n, \quad r\neq s.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь и далее для любого непустого подмножества $M$ некоторой группы через $\langle M\rangle$ обозначаем подгруппу, порожденную множеством $M$. Следующая лемма хорошо известна (см., например, [6; c. 107]). Лемма 1. Группа $\mathrm{SL}_n(R)$ над евлидовым кольцом $R$ порождается подгруппами $t_{rs}(R)$, $r,s=1,\dots ,n$, $r\neq s$. Кольцо целых чисел $\mathbb{Z}$ и кольцо целых гауссовых чисел $\mathbb{Z}+i\mathbb{Z}$, где $i^2=-1$, евклидовы (см., например, [7; c. 439]), а поскольку $t_{rs}(\mathbb{Z})=\langle t_{rs}(1) \rangle$ и $t_{rs}(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})=\langle t_{rs}(1), t_{rs}(i) \rangle$, то следствием леммы 1 является Лемма 2. а) Группа $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Z})$ порождается трансвекциями $t_{rs}(1)$, $r,s=1,\dots ,n$, $ r\neq s$. б) Группа $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$ порождается трансвекциями $t_{rs}(1)$, $t_{rs}(i)$, $r,s=1,\dots ,n$, $r\neq s$. Лемма 3. а) При фиксированном $s$, $1\leqslant s\leqslant n$, группа $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Z})$ порождается трансвекциями $t_{rs}(1)$, $t_{sr}(1)$, $r=1,\dots ,n$, $r\neq s$. б) При фиксированном $s$, $1\leqslant s\leqslant n$, группа $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$ порождается трансвекциями $t_{rs}(1)$, $t_{sr}(1)$, $r=1,\dots ,n$, $r\neq s$, вместе с любой трансвекцией $t_{km}(i)$. В частности, группа $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$ порождается подгруппой $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Z})$ вместе с любой трансвекцией $t_{km}(i)$. Доказательство. а) Коммутируя между собой трансвекции из множества $t_{rs}(1)$, $t_{sr}(1)$, $r\neq s$, $r=1,\dots ,n$, получим все трансвекции $t_{pq}(1)$, $p,q=1,\dots ,n$, $p\neq q$. Особенно просто этот процесс выглядит при $s=1$. Остается применить лемму 2, a).
б) Для любого фиксированного числа $x$ мономиальная подгруппа из $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Z})$ действует сопряжением транзитивно на множестве трансвекций $t_{pq}(x)$, $p,q=1,\dots ,n$, $p\neq q$, при $n\geqslant 3$, а при $n=2$ переводит $t_{12}(x)$ в $t_{21}(-x)$. Поэтому, применяя лемму 3, a), затем лемму 2, б), получаем требуемое утверждение. Далее мы используем левое действие группы $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$ на $n$-мерном пространстве вектор-столбцов $V$ с компонентами из поля комплексных чисел. Пусть $v^t=(v_1,\dots,v_n)^t$, $u^t=(u_1,\dots,u_n)^t$ – некоторые ненулевые элементы из $V$. Если $g=E_n+v^t\times u$, то ранг матрицы $g-E_n$ равен единице. При этом линейная оболочка вектора $v^t$ является образом преобразования $g-E_n$ и называется его центром. Гиперплоскость, ортогональная вектору $u^t$, является ядром преобразования $g-E_n$ и называется его осью. Матрица называется трансвекцией, если векторы $v^t$ и $u^t$ ортогональны, т.е. $uv^t=0$ (центр лежит на оси). Известно, что всякая трансвекция из $\mathrm{SL}_n(F)$ над полем $F$ сопряжена с элементарной трансвекцией (см., например, [8; с. 65]).Наш метод доказательства порождаемости группы $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$ заданным набором инволюций состоит из следующих этапов.
Мы используем следующие сокращения: 3. Доказательство теоремы 1 для $\mathrm{SL}_5(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$Покажем, что группа $\mathrm{SL}_5(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$ порождается инволюциями
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \alpha=\begin{pmatrix} 0&1&0&0&0\\ 1&0&0&0&0\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&0&1 \end{pmatrix}, \qquad \beta=\begin{pmatrix} 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&1&0\\ 1&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&0\\ 0&0&0&0&1 \end{pmatrix}, \\ \gamma=\begin{pmatrix} 1&0&3+2i&0&0\\ 0&1&-1-i&2+i&-2-i\\ 0&0&-1&0&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&0&1&0 \end{pmatrix}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
первые две из которых перестановочны. Положим $M=\langle \alpha,\beta,\gamma \rangle$. Пусть
$$
\begin{equation*}
h_1=\beta^\gamma\gamma^\alpha\gamma\beta, \qquad h_2=\alpha h_1, \qquad h_3=(\gamma^\alpha\alpha^\gamma)^\beta.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, g_1=(\alpha\gamma)^6=t_{13}(i)t_{14}(i)t_{15}(-i)t_{23}(-i)t_{24}(-i)t_{25}(i), \\ g_2=g_1^{h_1}g_1^{h_2}=t_{13}(-1)t_{14}(1)t_{23}(1)t_{24}(-1), \\ g_3=g_1^{h_1}g_1^{h_3}=t_{13}(i-4)t_{14}(i-3)t_{15}(3-i)t_{23}(4-i)t_{24}(3-i)t_{25}(i-3), \\ g_4=g_2^{\gamma}=t_{13}(1)t_{15}(1)t_{23}(-1)t_{25}(-1), \\ g_5=g_2^{h_1}g_2^{h_2}=t_{13}(1-i)t_{14}(i-1)t_{23}(i-1)t_{24}(1-i), \\ g_6=g_5^{\gamma}=t_{13}(i-1)t_{15}(i-1)t_{23}(1-i)t_{25}(1-i), \\ g_7=g_2^{h_1}g_2^{h_3}=t_{13}(1-2i)t_{14}(2-i)t_{15}(i)t_{23}(2i-1)t_{24}(i-2)t_{25}(-i), \\ g_8=g_1^{-10}g_2^{14}g_3^{-3}g_4^6g_5^3g_6^{-3}g_7^{-10}=t_{13}(i)t_{23}(-i), \\ g_9=g_1^{-3}g_2^{4}g_3^{-1}g_4^2g_5^1g_6^{-1}g_7^{-3}=t_{13}(1)t_{23}(-1), \\ g_{10}=g_1^{-10}g_2^{15}g_3^{-3}g_4^6g_5^4g_6^{-3}g_7^{-10}=t_{14}(i)t_{24}(-i), \\ g_{11}=g_1^{-3}g_2^{5}g_3^{-1}g_4^2g_5^1g_6^{-1}g_7^{-3}=t_{14}(1)t_{24}(-1), \\ g_{12}=g_1^{10}g_2^{-14}g_3^{3}g_4^{-5}g_5^{-3}g_6^4g_7^{10}=t_{15}(i)t_{25}(-i), \\ g_{13}=g_1^3g_2^{-4}g_3^1g_4^{-1}g_5^{-1}g_6^1g_7^3=t_{15}(1)t_{25}(-1). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, пусть
$$
\begin{equation*}
h_4=\beta^{\alpha\gamma}\gamma, \qquad h_5=\beta(\alpha\gamma)^3\beta(\alpha\gamma)^4\alpha\beta(\gamma\alpha)^4\beta(\gamma\alpha)^3\beta= (\alpha\beta)^{\beta(\alpha\gamma)^3\beta(\alpha\gamma)^4}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, g_{14}=g_8^{h_4}=t_{13}(2-3i)t_{23}(-2+3i)t_{43}(-i)t_{53}(-i), \\ g_{15}=g_9^{h_4}=t_{13}(-3-2i)t_{23}(3+2i)t_{43}(-1)t_{53}(-1), \\ g_{16}=g_8^{h_5}=t_{13}(2-3i)t_{23}(-2+3i)t_{43}(1-i)t_{53}(-i), \\ g_{17}=g_9^{h_5}=t_{13}(-3-2i)t_{23}(3+2i)t_{43}(-1-i)t_{53}(-1), \\ g_{18}=g_{16}^{h_4}=t_{13}(3+8i)t_{23}(-4-8i)t_{43}(2+i)t_{53}(2+i), \\ g_{19}=g_{17}^{h_4}=t_{13}(8-3i)t_{23}(4i-8)t_{43}(1-2i)t_{53}(1-2i), \\ g_9^{-1}g_{14}^{-2}g_{15}g_{19}=t_{13}(i), \qquad g_8g_{14}^{-1}g_{15}^{-2}g_{18}^{-1}=t_{13}(1), \qquad g_8^{-1}g_9^{-1}g_{14}^{-2}g_{15}g_{19}=t_{23}(i), \\ g_8g_9^{-1}g_{14}^{-1}g_{15}^{-2}g_{18}^{-1}=t_{23}(1), \qquad g_{15}g_{17}^{-1}=t_{43}(i), \qquad g_{14}^{-1}g_{16}=t_{43}(1), \\ g_8^{-3}g_9^{2}g_{14}^{-1}g_{15}^{-1}g_{17}=t_{53}(i), \qquad g_8^{-2}g_9^{-3}g_{14}g_{15}^{-1}g_{16}^{-1}=t_{53}(1). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, мы установили, что все трансвекции вида $t_{k3}(x)$, $k=1,2,4,5$, $x= 1,i$, лежат в $M$. Пусть
$$
\begin{equation*}
h_6=\gamma^{\beta\alpha}, \qquad h_7=\beta\gamma\alpha\gamma\alpha\beta.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
t_{13}(x)^\beta=t_{31}(x), \qquad t_{31}(x)^{h_6}=t_{35}(x), \qquad t_{31}(x)^{h_7}=t_{32}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, трансвекции вида $t_{3j}(x)$, $j=1,2,5$, $x=1,i$, лежат в $M$. Пусть Тогда
$$
\begin{equation*}
t_{31}(-i)^{h_8}=t_{31}(-1-2i)t_{32}(2+i)t_{34}(1)t_{35}(-2-i).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда $t_{34}(1)\in M$. Итак, мы получили, что в $M$ лежат все трансвекции вида $t_{3k}(1)$, $t_{k3}(1)$, $k=1,2,4,5$, а также некоторые трансвекции $t_{jk}(i)$. Поэтому $M=\mathrm{SL}_5(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$ в силу леммы 3, б). Что и требовалось показать.
4. Доказательство теоремы 1 для $\mathrm{PSL}_6(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$Покажем, что группа $\mathrm{PSL}_6(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$ порождается инволюциями
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \alpha=\begin{pmatrix} -i&0&0&0&0&0\\ 1&i&0&0&0&0\\ 0&0&i&0&0&0\\ 0&0&0&0&i&0\\ 0&0&0&i&0&0\\ 0&0&1+i&0&0&-i \end{pmatrix}, \qquad \beta=\begin{pmatrix} 0&-1&0&0&0&0\\ 1&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&-1&0&0\\ 0&0&1&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&1\\ 0&0&0&0&-1&0 \end{pmatrix}, \\ \gamma=\begin{pmatrix} 0&0&0&0&0&-1\\ 0&0&0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1&0&0\\ 0&0&1&0&0&0\\ 0&1&0&0&0&0\\ 1&0&0&0&0&0 \end{pmatrix}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\beta\gamma=\gamma\beta$. Здесь для элементов группы $\mathrm{PSL}_6(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$ мы используем матричную запись, считая два элемента равными, если они различаются лишь скалярным множителем. Положим $M=\langle \alpha,\beta,\gamma \rangle$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, g_1=(\beta(\alpha\beta\gamma)^3\alpha)^4=I_6+\begin{pmatrix} 1\\ i\\ i\\ -1\\ 1\\ -i \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 1&i&0&0&1&-i \end{pmatrix}, \\ h_1=\beta\gamma, \qquad h_2=\alpha\beta\gamma\alpha, \qquad h_3=\beta\alpha\beta\gamma\alpha\beta, \qquad h_4=\gamma\alpha\beta\gamma\alpha\beta, \\ h_5=g_1^{\gamma\beta\alpha\gamma\alpha\beta\alpha\gamma\beta\alpha\beta\alpha\gamma\alpha\beta}, \qquad h_6=g_1^{\beta\alpha(\beta\gamma\alpha)^2(\gamma\alpha\beta\alpha)^2\beta\gamma\alpha\gamma\alpha}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, g_2=h_1^{-1}g_1h_1, \qquad g_3=h_2^{-1}g_1h_2, \qquad g_4=h_3^{-1}g_1h_3, \qquad g_5=h_4^{-1}g_1h_4, \\ g_6=h_4^{-1}g_3h_4, \qquad g_7=h_2^{-1}g_5h_2, \qquad g_8=h_4^{-1}g_7h_4, \qquad g_9=h_4^{-1}g_6h_4, \\ g_{10}=h_2^{-1}g_9h_2, \qquad g_{11}=h_4^{-1}g_{10}h_4, \qquad g_{12}=h_4^{-1}g_{11}h_4, \\ g_{13}=h_5^{-1}g_3h_5, \qquad g_{14}=h_6^{-1}g_2h_6, \\ \begin{split} g_{15} &=g_{1}^{-4}g_{2}^{4}g_{3}^{-3}g_{4}^{-4}g_{5}^{1} g_{6}^{2}g_{7}^{-2}g_{8}^{1}g_{9}^{-3}g_{10}^{0}g_{11}^{0} g_{12}^{-2}g_{13}^{0}g_{14}^{1} =I_6+\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ i\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 1&i&0&0&1&-i \end{pmatrix}, \end{split} \\ \begin{split} g_{16} &=g_{1}^{11}g_{2}^{0}g_{3}^{-8}g_{4}^{1}g_{5}^{6}g_{6}^{-3} g_{7}^{-5}g_{8}^{-5}g_{9}^{3}g_{10}^{3}g_{11}^{-1} g_{12}^{-2}g_{13}^{1}g_{14}^{-3} =I_6+\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 1&i&0&0&1&-i \end{pmatrix}, \end{split} \\ \begin{split} g_{17} &=g_{1}^{12}g_{2}^{-1}g_{3}^{-7}g_{4}^{2}g_{5}^{6} g_{6}^{-4}g_{7}^{-4}g_{8}^{-5}g_{9}^{3}g_{10}^{3}g_{11}^{-1} g_{12}^{-2}g_{13}^{1}g_{14}^{-3} \\ &=I_6+\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ i\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 1&i&0&0&1&-i \end{pmatrix}, \end{split} \\ \begin{split} g_{18} &=g_{1}^{3}g_{2}^{0}g_{3}^{1}g_{4}^{0}g_{5}^{-4}g_{6}^{-1} g_{7}^{2}g_{8}^{0}g_{9}^{3}g_{10}^{-1}g_{11}^{0} g_{12}^{2}g_{13}^{0}g_{14}^{-1} =I_6+\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 1&i&0&0&1&-i \end{pmatrix}, \end{split} \\ g_{19}=g_{18}g_{18}^{\alpha\gamma\alpha\gamma\beta\alpha\beta\alpha}=t_{43}(i-2)t_{46}(1), \qquad g_{20}=g_{17}g_{17}^{\alpha\gamma\alpha\gamma\beta\alpha\beta\alpha}=t_{43}(-1-2i)t_{46}(i), \\ (g_{20}^{-1})^{\gamma\alpha\gamma\beta\alpha\beta\alpha\gamma\beta} g_{20}^{\beta\alpha\beta\alpha\beta\gamma\alpha\beta\alpha\beta\alpha}=t_{54}(i-1), \\ (g_{19}^{-1})^{\gamma\alpha\gamma\beta\alpha\beta\alpha\gamma\beta} g_{19}^{\beta\alpha\beta\alpha\beta\gamma\alpha\beta\alpha\beta\alpha}=t_{54}(i+1). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
t_{54}(x)^{\beta\alpha\gamma\alpha\beta\alpha\gamma\beta\alpha\gamma\beta\alpha}=t_{56}(ix), \qquad t_{54}(x)^{\beta\alpha\gamma\beta\alpha\beta\alpha\beta\alpha\beta\alpha\gamma} =t_{52}(x+ix)t_{56}(ix),
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation*}
t_{56}(i-1),\, t_{56}(i+1),\,t_{52}(2)t_{56}(i+1),\, t_{52}(2i)t_{56}(i-1)\in M.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, g_{20}^{\beta\alpha\gamma\alpha\beta\alpha\gamma\alpha\gamma\beta\alpha\gamma\alpha} (g_{20}^{-1})^{\gamma\alpha\beta\alpha\beta\alpha\gamma\alpha\gamma\beta\alpha\gamma\alpha} =t_{52}(-1-2i)t_{54}(-1-3i), \\ \begin{split} &\bigl(t_{52}(-1-2i)t_{54}(-1-3i)\bigr)(t_{54}(i+1))^{2}t_{54}(i-1) \bigl(t_{52}(2i)t_{56}(i-1)\bigr)(t_{56}(i-1))^{-1} \\ &\qquad=t_{52}(-1), \end{split} \\ g_{19}^{\beta\alpha\gamma\alpha\beta\alpha\gamma\alpha\gamma\beta\alpha\gamma\alpha} (g_{19}^{-1})^{\gamma\alpha\beta\alpha\beta\alpha\gamma\alpha \gamma\beta\alpha\gamma\alpha}=t_{52}(i-2)t_{54}(i-3), \\ \bigl(t_{52}(i-2)t_{54}(i-3)\bigr)t_{54}(i+1)(t_{54}(i-1))^{-2}(t_{52}(1))^2=t_{52}(i). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $t_{52}(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\subset M$. Поскольку
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, t_{52}(x)^{\gamma\alpha\gamma\beta\alpha\beta}=t_{53}(x), \qquad t_{52}(x)^{\beta\alpha\gamma\beta\alpha\gamma}=t_{56}(-x), \\ t_{52}(x)^{\gamma(\beta\alpha)^3\gamma}=t_{51}(ix), \qquad t_{52}(-1)^{\alpha\gamma\beta\alpha}=t_{53}(i-1)t_{54}(-i)t_{56}(1), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
домножая последний элемент на $t_{53}(1-i)t_{56}(-1)$, получим включение $t_{54}(-i)\in M$. Элемент $t_{54}(i+1)$ уже был получен выше, поэтому $t_{54}(-i)t_{54}(i+1)=t_{54}(1)\in M$. Следовательно, $t_{5j}(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\subset M$, $j\neq5$. Так как
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, g_{19}^{\beta\alpha}=t_{64}(1)t_{65}(1), \qquad [g_{19}^{\beta\alpha},t_{5j}(x)]=t_{6j}(x), \quad j\neq5,6, \\ g_{20}^{\beta\alpha}=t_{64}(i)t_{65}(i), \qquad (t_{64}(x))^{-1}(t_{64}(x)t_{65}(x))=t_{65}(x), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
то $t_{6j}(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\subset M$, $j\neq6$ и в $M$ лежат трансвекции
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, t_{5j}(x)^\gamma=t_{2k}(-x), \qquad j=1,2,3, \quad k=7-j, \\ t_{5j}(x)^\gamma=t_{2k}(x), \qquad j=4,6, \quad k=7-j, \\ t_{6j}(x)^\gamma=t_{1k}(-x), \qquad j=1,2,3, \quad k=7-j, \\ t_{6j}(x)^\gamma=t_{1k}(x), \qquad j=4,5, \quad k=7-j. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $t_{1k}(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\subset M$, $k\neq1$, $t_{2l}(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\subset M$, $l\neq2$. Далее,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, [g_{17},t_{6j}(x)]=t_{4j}(x), \qquad j\neq4,6, \\ g_{17}t_{41}(-i)t_{42}(1)t_{45}(-i)=t_{46}(1), \qquad g_{18}t_{41}(-1)t_{42}(-i)t_{45}(-1)=t_{46}(-i). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда $t_{4j}(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\subset M$, $j\neq4$. Сопрягая последнюю подгруппу элементом $\gamma$, получим включение $t_{3j}(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\subset M$, $j\neq3$. Таким образом, мы, в частности, получили включения $t_{j5}(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\subset M$, $j\neq5$, которые вместе с уже полученными выше включениями $t_{5j}(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\subset M$, $j\neq5$, дают равенство $M=\mathrm{PSL}_6(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$ в силу леммы 3, б). Что и требовалось показать.
5. Доказательство теоремы 1 для $\mathrm{SL}_{10}(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$Покажем, что группа $\mathrm{SL}_{10}(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$ порождается инволюциями
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \alpha=\begin{pmatrix} 1&0&0&0&1&1&-1&0&1&-1\\ 0&1&0&0&0&1&0&0&-1&0\\ 0&0&1&0&i&0&0&0&i&-i\\ 0&0&0&1&1&0&0&0&1&-1\\ 0&0&0&0&-1&0&-1&1&-1&1\\ 0&0&0&0&0&-1&1&0&1&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0&1\\ 0&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&1&0&0 \end{pmatrix}, \\ \beta=\begin{pmatrix} 0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&0&0&0&0&0\\ 1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&1&0&0\\ 0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&1&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0&1 \end{pmatrix}, \\ \gamma=\begin{pmatrix} 0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&1&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&1&0&0\\ 1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0&1 \end{pmatrix}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
последние две из которых перестановочны. Положим $M=\langle \alpha,\beta,\gamma \rangle$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, g_1=(\alpha\beta)^{10}, \qquad h_1=((\alpha\beta)^5)^\gamma, \qquad h_2=((\alpha\beta)^5)^{\beta\alpha\gamma}, \\ h_3=((\alpha\beta)^5)^{\alpha\beta\alpha\gamma}, \qquad h_4=((\alpha\beta)^5)^{\alpha\beta\gamma}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае $g_1$ – произведение двух коммутирующих трансвекций, причем ранг $g_1-E_{10}$ равен 2. Более того, $g_1$ имеет вид а построенные далее элементы $g_2$,…$,g_{42}$ будут иметь вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{pmatrix} * & * \\ 0 & E_6 \end{pmatrix}. \\ g_2=h_1g_1h_1^{-1}, \qquad g_3=h_2g_1h_2^{-1}, \qquad g_4=h_3g_1h_3^{-1}, \qquad g_5=h_2g_2h_2^{-1}, \\ g_6=h_3g_2h_3^{-1}, \qquad g_7=h_1g_3h_1^{-1}, \qquad g_8=h_3g_3h_3^{-1}, \qquad g_9=h_1g_4h_1^{-1}, \\ g_{10}=h_2g_4h_2^{-1}, \qquad g_{11}=h_1g_5h_1^{-1}, \qquad g_{12}=h_2g_5h_2^{-1}, \qquad g_{13}=h_3g_5h_3^{-1}, \\ g_{14}=h_1g_6h_1^{-1}, \qquad g_{15}=h_2g_6h_2^{-1}, \qquad g_{16}=h_3g_6h_3^{-1}, \qquad g_{17}=h_1g_7h_1^{-1}, \\ g_{18}=h_2g_7h_2^{-1}, \qquad g_{19}=h_3g_7h_3^{-1}, \qquad g_{20}=h_1g_8h_1^{-1}, \qquad g_{21}=h_2g_8h_2^{-1}, \\ g_{22}=h_1g_9h_1^{-1}, \qquad g_{23}=h_2g_9h_2^{-1}, \qquad g_{24}=h_3g_9h_3^{-1}, \qquad g_{25}=h_1g_{10}h_1^{-1}, \\ g_{26}=h_2g_{10}h_2^{-1}, \qquad g_{27}=h_3g_{10}h_3^{-1}, \qquad g_{28}=h_1g_{11}h_1^{-1}, \qquad g_{29}=h_2g_{11}h_2^{-1}, \\ g_{30}=h_3g_{11}h_3^{-1}, \qquad g_{31}=h_1g_{12}h_1^{-1}, \qquad g_{32}=h_3g_{12}h_3^{-1}, \qquad g_{33}=h_1g_{13}h_1^{-1}, \\ g_{34}=h_2g_{13}h_2^{-1}, \qquad g_{35}=h_3g_{13}h_3^{-1}, \qquad g_{36}=h_1g_{14}h_1^{-1}, \qquad g_{37}=h_1g_{18}h_1^{-1}, \\ g_{38}=h_1g_{19}h_1^{-1}, \qquad g_{39}=h_4g_1h_4^{-1}, \qquad g_{40}=h_4g_2h_4^{-1}, \\ g_{41}=h_4g_4h_4^{-1}, \qquad g_{42}=h_4g_8h_4^{-1}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь в подгруппе $\langle g_1,g_2,\dots,g_{42}\rangle$ можно получить следующую трансвекцию:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g_{43} &=g_1^{-1161}g_2^{1463}g_3^{-1856}g_4^{1557}g_5^{271}g_6^{25}g_7^{1151}g_8^{-2141} g_9^{-491}g_{10}^{-291}g_{11}^{-954}g_{12}^{1001} g_{13}^{227}g_{14}^{-385}g_{15}^{623} g_{16}^{797} \\ &\quad\times g_{17}^{-32}g_{18}^{-23}g_{19}^{195}g_{20}^{-609}g_{21}^{-306} g_{22}^{-1523}g_{23}^{-147} g_{24}^{-545}g_{25}^{798}g_{26}^{-500}g_{27}^{-44}g_{28}^{559} g_{29}^{-146}g_{30}^{-24} g_{31}^{-254} g_{32}^{42} \\ &\quad\times g_{33}^{-29}g_{34}^{-77} g_{35}^{-264}g_{36}^{-2}g_{37}^{-68}g_{38}^{9}g_{39}^{-293}g_{40}^{475} g_{41}^{-46}g_{42}^{261}=t_{17}(1)t_{27}(2i)t_{37}(-1)t_{47}(-2i). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, сопряжением матрицы $g_{43}$ будет получено еще 40 трансвекций вида $E_{10}+v^t\times e_7$, где $e_7=(0,0,0,0,0,0,1,0,0,0)$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, h_5=\alpha\beta\gamma\alpha, \qquad h_6=g_2^{\alpha\beta\gamma\alpha\beta}, \qquad h_7=g_2^{\alpha\beta\gamma\alpha\beta\alpha\beta}, \qquad h_8=g_{43}^{\beta\gamma\alpha\beta\gamma\alpha\beta\alpha\beta\gamma\alpha\beta}, \\ g_{44}=h_5^{-1}g_{43}h_5, \qquad h_9=g_{44}^{\beta\alpha\beta\gamma\alpha\beta\alpha\beta\alpha\gamma}, \qquad h_{10}=g_{43}^{\beta\alpha\beta\alpha\gamma\alpha \beta\alpha\beta\alpha\gamma\alpha\beta\gamma}, \\ h_{11}=\alpha\gamma\alpha, \qquad h_{12}=\beta\alpha\beta\alpha\beta\alpha\beta, \qquad h_{13}=g_{43}^{\beta\gamma(\alpha\beta)^3(\gamma\alpha)^2 \beta\gamma(\alpha\beta)^2\alpha\gamma\alpha\beta\gamma\alpha\gamma}, \\ g_{45}=h_6^{-1}g_{43}h_6, \qquad g_{46}=h_7^{-1}g_{43}h_7, \qquad g_{47}=h_5^{-1}g_{45}h_5, \qquad g_{48}=h_5^{-1}g_{46}h_5, \\ g_{49}=h_6^{-1}g_{47}h_6, \qquad g_{50}=h_5^{-1}g_{49}h_5, \qquad g_{51}=h_8^{-1}g_{43}h_8, \qquad g_{52}=h_8^{-1}g_{44}h_8, \\ g_{53}=h_5^{-1}g_{51}h_5, \qquad g_{54}=h_5^{-1}g_{52}h_5, \qquad g_{55}=h_9^{-1}g_{43}h_9, \qquad g_{56}=h_9^{-1}g_{44}h_9, \\ g_{57}=h_5^{-1}g_{55}h_5, \qquad g_{58}=h_5^{-1}g_{56}h_5, \qquad g_{59}=h_{10}^{-1}g_{44}h_{10}, \qquad g_{60}=h_{10}^{-1}g_{45}h_{10}, \\ g_{61}=h_5^{-1}g_{59}h_5, \qquad g_{62}=h_5^{-1}g_{60}h_5, \qquad g_{63}=h_6^{-1}g_{48}h_6, \qquad g_{64}=h_6^{-1}g_{52}h_6, \\ g_{65}=h_6^{-1}g_{55}h_6, \qquad g_{66}=h_8^{-1}g_{45}h_8, \qquad g_{67}=h_8^{-1}g_{47}h_8, \qquad g_{68}=h_9^{-1}g_{45}h_9, \\ g_{69}=h_{10}^{-1}g_{46}h_{10}, \qquad g_{70}=h_5^{-1}g_{63}h_5, \qquad g_{71}=h_5^{-1}g_{65}h_5, \qquad g_{72}=h_5^{-1}g_{66}h_5, \\ g_{73}=h_9^{-1}g_{66}h_9, \qquad g_{74}=h_5^{-1}g_{73}h_5, \qquad g_{75}=h_{11}^{-1}g_{51}h_{11}, \qquad g_{76}=h_{11}^{-1}g_{52}h_{11}, \\ g_{77}=h_{11}^{-1}g_{53}h_{11}, \qquad g_{78}=h_{11}^{-1}g_{55}h_{11}, \qquad g_{79}=h_{12}^{-1}g_{51}h_{12}, \qquad g_{80}=h_{12}^{-1}g_{53}h_{12}, \\ g_{81}=h_{12}^{-1}g_{73}h_{12}, \qquad g_{82}=h_{11}^{-1}g_{81}h_{11}, \qquad g_{83}=h_{13}^{-1}g_{43}h_{13}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следующие элементы $g_{84},\dots,g_{101}$ – это все элементарные трансвекции $t_{k7}(i)$ и $t_{k7}(1)$, $k\neq7$, полученные в виде произведения степеней матриц $g_{43},\dots,g_{83}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g_{84} &=g_{43}^{13}g_{44}^{5}g_{45}^{66}g_{46}^{-32}g_{47}^{-4}g_{48}^{24} g_{49}^{-48}g_{50}^{-18}g_{51}^{6}g_{52}^{14}g_{53}^{-57} g_{54}^{18}g_{55}^{37}g_{56}^{-40} \\ &\qquad\times g_{57}^{82}g_{58}^{47}g_{59}^{97} g_{60}^{-25}g_{61}^{-143}g_{62}^{0}g_{63}^{-8} g_{64}^{12}g_{65}^{-25}g_{66}^{32}g_{67}^{66}g_{68}^{-4}g_{69}^{-32} \\ &\qquad\times g_{70}^{22}g_{71}^{-7}g_{72}^{0}g_{73}^{-1} g_{74}^{0}g_{75}^{55}g_{76}^{-35}g_{77}^{62}g_{78}^{10}g_{79}^{57}g_{80}^{3} g_{81}^{-1}g_{82}^{0}g_{83}^{0}=t_{17}(i), \\ g_{85} &=g_{43}^{-12}g_{44}^{4}g_{45}^{4}g_{46}^{18}g_{47}^{9}g_{48}^{-46} g_{49}^{-87}g_{50}^{-12}g_{51}^{-27}g_{52}^{-22}g_{53}^{67} g_{54}^{-26}g_{55}^{3}g_{56}^{41} \\ &\qquad\times g_{57}^{65}g_{58}^{52}g_{59}^{21}g_{60}^{-68} g_{61}^{5}g_{62}^{-2}g_{63}^{-18} g_{64}^{16}g_{65}^{-35}g_{66}^{-8}g_{67}^{-20}g_{68}^{2}g_{69}^{-85} \\ &\qquad\times g_{70}^{14}g_{71}^{-1}g_{72}^{-2}g_{73}^{-1} g_{74}^{0}g_{75}^{23}g_{76}^{-30}g_{77}^{-15}g_{78}^{42}g_{79}^{128} g_{80}^{16}g_{81}^{-1}g_{82}^{0}g_{83}^{0}=t_{17}(1), \\ g_{86} &=g_{43}^{-8}g_{44}^{-7}g_{45}^{45}g_{46}^{0}g_{47}^{16} g_{48}^{69}g_{49}^{-68}g_{50}^{-9}g_{51}^{-9}g_{52}^{2}g_{53}^{71} g_{54}^{-20}g_{55}^{9}g_{56}^{45} \\ &\qquad\times g_{57}^{-44}g_{58}^{-26}g_{59}^{64} g_{60}^{25}g_{61}^{49}g_{62}^{-1}g_{63}^{73} g_{64}^{15}g_{65}^{-51}g_{66}^{5}g_{67}^{12}g_{68}^{4} \\ &\qquad\times g_{69}^{33}g_{70}^{-11} g_{71}^{0}g_{72}^{-4}g_{73}^{1} g_{74}^{0}g_{75}^{132}g_{76}^{-25}g_{77}^{19}g_{78}^{32}g_{79}^{-72}g_{80}^{-3} g_{81}^{1}g_{82}^{1}g_{83}^{0}=t_{27}(i), \\ g_{87} &=g_{43}^{9}g_{44}^{1}g_{45}^{-13}g_{46}^{14}g_{47}^{10}g_{48}^{-24} g_{49}^{32}g_{50}^{47}g_{51}^{12}g_{52}^{10}g_{53}^{-53} g_{54}^{-30}g_{55}^{-77}g_{56}^{119} \\ &\qquad\times g_{57}^{-4}g_{58}^{56}g_{59}^{-23} g_{60}^{-57}g_{61}^{43}g_{62}^{-2}g_{63}^{-9} g_{64}^{2}g_{65}^{8}g_{66}^{11}g_{67}^{22}g_{68}^{11} g_{69}^{-72}g_{70}^{15} \\ &\qquad\times g_{71}^{21}g_{72}^{2}g_{73}^{-1} g_{74}^{0}g_{75}^{-36}g_{76}^{21}g_{77}^{-25}g_{78}^{-29}g_{79}^{65} g_{80}^{79}g_{81}^{-1}g_{82}^{-1}g_{83}^{0}=t_{27}(1), \\ g_{88} &=g_{43}^{-9}g_{44}^{-19}g_{45}^{-70}g_{46}^{27}g_{47}^{-7} g_{48}^{-63}g_{49}^{-132}g_{50}^{-54}g_{51}^{-18}g_{52}^{-11}g_{53}^{-16} g_{54}^{4}g_{55}^{67}g_{56}^{-40}g_{57}^{101} \\ &\qquad\times g_{58}^{47}g_{59}^{97} g_{60}^{-25}g_{61}^{-143}g_{62}^{0}g_{63}^{19} g_{64}^{14}g_{65}^{-55}g_{66}^{4}g_{67}^{6}g_{68}^{-4}g_{69}^{-32} \\ &\qquad\times g_{70}^{3}g_{71}^{-10}g_{72}^{0}g_{73}^{-1} g_{74}^{0}g_{75}^{14}g_{76}^{-21}g_{77}^{29}g_{78}^{-6}g_{79}^{57} g_{80}^{3}g_{81}^{-1}g_{82}^{0}g_{83}^{0}=t_{37}(i), \\ g_{89} &=g_{43}^{-16}g_{44}^{-20}g_{45}^{-24}g_{46}^{25}g_{47}^{7} g_{48}^{-43}g_{49}^{-83}g_{50}^{2}g_{51}^{-13}g_{52}^{-3}g_{53}^{25} g_{54}^{-25}g_{55}^{-1}g_{56}^{41}g_{57}^{51} \\ &\qquad\times g_{58}^{52}g_{59}^{21} g_{60}^{-68}g_{61}^{5}g_{62}^{-2}g_{63}^{-29} g_{64}^{17}g_{65}^{-31}g_{66}^{10}g_{67}^{18}g_{68}^{2}g_{69}^{-85} \\ &\qquad\times g_{70}^{17}g_{71}^{1}g_{72}^{-2}g_{73}^{-1} g_{74}^{0}g_{75}^{65}g_{76}^{-31}g_{77}^{-14}g_{78}^{54}g_{79}^{128} g_{80}^{16}g_{81}^{-1}g_{82}^{0}g_{83}^{0}=t_{37}(1), \\ g_{90} &=g_{43}^{32}g_{44}^{11}g_{45}^{44}g_{46}^{-31}g_{47}^{20}g_{48}^{44} g_{49}^{-80}g_{50}^{-16}g_{51}^{14}g_{52}^{2}g_{53}^{82} g_{54}^{-28}g_{55}^{11}g_{56}^{45}g_{57}^{-42}g_{58}^{-26}g_{59}^{64} \\ &\qquad\times g_{60}^{25}g_{61}^{49}g_{62}^{-1}g_{63}^{64} g_{64}^{15}g_{65}^{-53}g_{66}^{5}g_{67}^{12}g_{68}^{4}g_{69}^{33} g_{70}^{-33}g_{71}^{4}g_{72}^{-4}g_{73}^{1} \\ &\qquad\times g_{74}^{0}g_{75}^{121}g_{76}^{-17}g_{77}^{-4}g_{78}^{26}g_{79}^{-72} g_{80}^{-3}g_{81}^{1}g_{82}^{1}g_{83}^{0}=t_{47}(i), \\ g_{91} &=g_{43}^{-12}g_{44}^{12}g_{45}^{-11}g_{46}^{-7}g_{47}^{10} g_{48}^{-27}g_{49}^{34}g_{50}^{41}g_{51}^{-14}g_{52}^{-9}g_{53}^{-30} g_{54}^{-27}g_{55}^{-73}g_{56}^{119}g_{57}^{9}g_{58}^{56}g_{59}^{-23} \\ &\qquad\times g_{60}^{-57}g_{61}^{43}g_{62}^{-2}g_{63}^{11} g_{64}^{1}g_{65}^{4}g_{66}^{-7}g_{67}^{-16}g_{68}^{11}g_{69}^{-72} g_{70}^{31}g_{71}^{16}g_{72}^{2}g_{73}^{-1} \\ &\qquad\times g_{74}^{0}g_{75}^{-59}g_{76}^{18}g_{77}^{-14}g_{78}^{-37}g_{79}^{65} g_{80}^{79}g_{81}^{-1}g_{82}^{-1}g_{83}^{0}=t_{47}(1), \\ g_{92} &=g_{43}^{46}g_{44}^{-14}g_{45}^{-7}g_{46}^{8}g_{47}^{-21} g_{48}^{77}g_{49}^{79}g_{50}^{-7}g_{51}^{9}g_{52}^{3}g_{53}^{-9} g_{54}^{-116}g_{55}^{-52}g_{56}^{69}g_{57}^{-37}g_{58}^{-1}g_{59}^{-14} \\ &\qquad\times g_{60}^{53}g_{61}^{-12}g_{62}^{2}g_{63}^{45} g_{64}^{-15}g_{65}^{21}g_{66}^{-15}g_{67}^{-32}g_{68}^{11}g_{69}^{63} g_{70}^{5}g_{71}^{16}g_{72}^{2}g_{73}^{-1} \\ &\qquad\times g_{74}^{1}g_{75}^{27}g_{76}^{94}g_{77}^{32}g_{78}^{-104}g_{79}^{-46} g_{80}^{41}g_{81}^{-1}g_{82}^{-2}g_{83}^{0}=t_{57}(i), \\ g_{93} &=g_{43}^{8}g_{44}^{4}g_{45}^{-22}g_{46}^{3}g_{47}^{-20}g_{48}^{6} g_{49}^{-77}g_{50}^{-19}g_{51}^{-15}g_{52}^{-13}g_{53}^{86} g_{54}^{-41}g_{55}^{-63}g_{56}^{-95}g_{57}^{-60}g_{58}^{-23}g_{59}^{-29} \\ &\qquad\times g_{60}^{-61}g_{61}^{30}g_{62}^{-2}g_{63}^{82} g_{64}^{16}g_{65}^{-61}g_{66}^{-5}g_{67}^{-14}g_{68}^{-6}g_{69}^{-77} g_{70}^{23}g_{71}^{-1}g_{72}^{-4}g_{73}^{-1} \\ &\qquad\times g_{74}^{1}g_{75}^{67}g_{76}^{-38}g_{77}^{-5}g_{78}^{35}g_{79}^{116} g_{80}^{12}g_{81}^{-1}g_{82}^{0}g_{83}^{0}=t_{57}(1), \\ g_{94} &=g_{43}^{-2}g_{44}^{3}g_{45}^{23}g_{46}^{-26}g_{47}^{44} g_{48}^{88}g_{49}^{-29}g_{50}^{-55}g_{51}^{-28}g_{52}^{33}g_{53}^{-66} g_{54}^{-1}g_{55}^{-80}g_{56}^{0}g_{57}^{60}g_{58}^{-20}g_{59}^{-26} \\ &\qquad\times g_{60}^{37}g_{61}^{-96}g_{62}^{2}g_{63}^{46} g_{64}^{1}g_{65}^{-32}g_{66}^{12}g_{67}^{22}g_{68}^{5}g_{69}^{43} g_{70}^{-139}g_{71}^{25}g_{72}^{-2}g_{73}^{0} \\ &\qquad\times g_{74}^{1}g_{75}^{82}g_{76}^{-30}g_{77}^{98}g_{78}^{19}g_{79}^{18} g_{80}^{-62}g_{81}^{-1}g_{82}^{0}g_{83}^{0}=t_{67}(i), \\ g_{95} &=g_{43}^{-23}g_{44}^{22}g_{45}^{-28}g_{46}^{19}g_{47}^{-40} g_{48}^{7}g_{49}^{84}g_{50}^{41}g_{51}^{-12}g_{52}^{2}g_{53}^{-8} g_{54}^{-114}g_{55}^{-27}g_{56}^{-70}g_{57}^{-149}g_{58}^{-12} \\ &\qquad\times g_{59}^{-29}g_{60}^{1}g_{61}^{24}g_{62}^{0}g_{63}^{32} g_{64}^{-8}g_{65}^{23}g_{66}^{-4}g_{67}^{-10}g_{68}^{-4}g_{69}^{-1} g_{70}^{72}g_{71}^{12}g_{72}^{2}g_{73}^{-2} \\ &\qquad\times g_{74}^{1}g_{75}^{18}g_{76}^{89}g_{77}^{24}g_{78}^{-88}g_{79}^{-17} g_{80}^{91}g_{81}^{-1}g_{82}^{-2}g_{83}^{0}=t_{67}(1), \\ g_{96} &=g_{43}^{-15}g_{44}^{5}g_{45}^{-48}g_{46}^{40}g_{47}^{-37} g_{48}^{-58}g_{49}^{15}g_{50}^{14}g_{51}^{-36}g_{52}^{19}g_{53}^{45} g_{54}^{-28}g_{55}^{153}g_{56}^{16}g_{57}^{71}g_{58}^{41}g_{59}^{-57} \\ &\qquad\times g_{60}^{31}g_{61}^{3}g_{62}^{1}g_{63}^{7} g_{64}^{-6}g_{65}^{13}g_{66}^{-8}g_{67}^{-19}g_{68}^{-4}g_{69}^{39} g_{70}^{6}g_{71}^{-1}g_{72}^{1}g_{73}^{0} \\ &\qquad\times g_{74}^{-1}g_{75}^{39}g_{76}^{40}g_{77}^{-20}g_{78}^{-38}g_{79}^{-97} g_{80}^{4}g_{81}^{1}g_{82}^{0}g_{83}^{-1}=t_{87}(i), \\ g_{97} &=g_{43}^{-25}g_{44}^{-24}g_{45}^{-10}g_{46}^{-27}g_{47}^{0} g_{48}^{-12}g_{49}^{-47}g_{50}^{-5}g_{51}^{-8}g_{52}^{22}g_{53}^{12} g_{54}^{65}g_{55}^{-71}g_{56}^{-34}g_{57}^{53}g_{58}^{-52}g_{59}^{-66} \\ &\qquad\times g_{60}^{86}g_{61}^{66}g_{62}^{2}g_{63}^{76} g_{64}^{-1}g_{65}^{-32}g_{66}^{-32}g_{67}^{-68}g_{68}^{1}g_{69}^{110} g_{70}^{-72}g_{71}^{-3}g_{72}^{-1}g_{73}^{4} \\ &\qquad\times g_{74}^{-1}g_{75}^{33}g_{76}^{2}g_{77}^{34}g_{78}^{11}g_{79}^{-149} g_{80}^{-116}g_{81}^{3}g_{82}^{2}g_{83}^{-4}=t_{87}(1), \\ g_{98} &=g_{43}^{25}g_{44}^{-41}g_{45}^{51}g_{46}^{22}g_{47}^{1} g_{48}^{-2}g_{49}^{-100}g_{50}^{-9}g_{51}^{25}g_{52}^{-35}g_{53}^{33} g_{54}^{34}g_{55}^{-95}g_{56}^{-66}g_{57}^{55}g_{58}^{28}g_{59}^{9} \\ &\qquad\times g_{60}^{-34}g_{61}^{-16}g_{62}^{-1}g_{63}^{-22} g_{64}^{15}g_{65}^{-27}g_{66}^{-3}g_{67}^{0}g_{68}^{0}g_{69}^{-40} g_{70}^{150}g_{71}^{-50}g_{72}^{0}g_{73}^{2} \\ &\qquad\times g_{74}^{-1}g_{75}^{8}g_{76}^{-14}g_{77}^{-57}g_{78}^{25}g_{79}^{-3} g_{80}^{-6}g_{81}^{1}g_{82}^{1}g_{83}^{0}=t_{97}(i), \\ g_{99} &=g_{43}^{-42}g_{44}^{7}g_{45}^{-30}g_{46}^{-15}g_{47}^{22} g_{48}^{-26}g_{49}^{18}g_{50}^{27}g_{51}^{-45}g_{52}^{1}g_{53}^{-7} g_{54}^{67}g_{55}^{40}g_{56}^{-47}g_{57}^{36}g_{58}^{31}g_{59}^{45} \\ &\qquad\times g_{60}^{3}g_{61}^{84}g_{62}^{-2}g_{63}^{15} g_{64}^{2}g_{65}^{-3}g_{66}^{-5}g_{67}^{-12}g_{68}^{-10}g_{69}^{6} g_{70}^{-124}g_{71}^{34}g_{72}^{0}g_{73}^{0} \\ &\qquad\times g_{74}^{-1}g_{75}^{-79}g_{76}^{-42}g_{77}^{35}g_{78}^{28}g_{79}^{-70} g_{80}^{28}g_{81}^{1}g_{82}^{1}g_{83}^{0}=t_{97}(1), \\ g_{100} &=g_{43}^{-5}g_{44}^{10}g_{45}^{-27}g_{46}^{19}g_{47}^{-46} g_{48}^{-27}g_{49}^{69}g_{50}^{2}g_{51}^{4}g_{52}^{2}g_{53}^{-91} g_{54}^{-2}g_{55}^{70}g_{56}^{-92}g_{57}^{-61}g_{58}^{-8}g_{59}^{-148} \\ &\qquad\times g_{60}^{-1}g_{61}^{-18}g_{62}^{1}g_{63}^{-34} g_{64}^{-16}g_{65}^{44}g_{66}^{-11}g_{67}^{-24}g_{68}^{-10}g_{69}^{-3} g_{70}^{8}g_{71}^{2}g_{72}^{5}g_{73}^{-1} \\ &\qquad\times g_{74}^{0}g_{75}^{-128}g_{76}^{72}g_{77}^{-47}g_{78}^{-80}g_{79}^{-55} g_{80}^{41}g_{81}^{0}g_{82}^{-1}g_{83}^{0}=t_{10, 7}(i), \\ g_{101} &=g_{43}^{-24}g_{44}^{4}g_{45}^{4}g_{46}^{-12}g_{47}^{4}g_{48}^{-18} g_{49}^{-40}g_{50}^{-36}g_{51}^{-16}g_{52}^{-4}g_{53}^{-152} g_{54}^{-42}g_{55}^{116}g_{56}^{36}g_{57}^{77}g_{58}^{40}g_{59}^{6}g_{60}^{47} \\ &\qquad\times g_{61}^{69}g_{62}^{1}g_{63}^{-27} g_{64}^{-4}g_{65}^{-1}g_{66}^{-11}g_{67}^{-24}g_{68}^{1}g_{69}^{58}g_{70}^{-16} g_{71}^{5}g_{72}^{5}g_{73}^{-1} \\ &\qquad\times g_{74}^{0}g_{75}^{-97}g_{76}^{106}g_{77}^{18}g_{78}^{-65}g_{79}^{-41}g_{80}^{12} g_{81}^{0}g_{82}^{-1}g_{83}^{0}=t_{10, 7}(1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу леммы 3, б) после получения трансвекций $t_{k7}(i)$ и $t_{k7}(1)$, $k\neq7$, достаточно показать, что в $M$ лежат трансвекции $t_{7j}(1)$, $j\neq7$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, h_{14}=\gamma\alpha\gamma, \qquad h_{15}=\beta\gamma\alpha\gamma\beta, \qquad g_{102}=g_{92}^\beta=t_{75}(i), \qquad g_{103}=g_{93}^\beta=t_{75}(1), \\ h_{16}=g_{103}^{\alpha\gamma\alpha}, \qquad h_{17}=g_{103}^{\alpha\beta\gamma\alpha}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда сопряжением матриц $g_{102}$ и $g_{103}$ будет получено множество трансвекций вида $E_{10}+e_7^t\times u$. Действительно,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, g_{104}=g_{102}^{h_{14}}=t_{71}(i)t_{72}(i)t_{73}(-i)t_{75}(i)t_{79}(i)t_{7, 10}(-i), \\ g_{105}=g_{103}^{h_{14}}=t_{71}(1)t_{72}(1)t_{73}(-1)t_{75}(1)t_{79}(1)t_{7, 10}(-1), \\ g_{106}=g_{102}^{h_{15}}=t_{73}(-1)t_{75}(i)t_{79}(-1)t_{7, 10}(1), \qquad g_{107}=g_{103}^{h_{15}}=t_{73}(i)t_{75}(1)t_{79}(i)t_{7, 10}(-i), \\ g_{108}=g_{104}^{h_{15}}=t_{71}(2i)t_{72}(-2i)t_{73}(-1+i)t_{75}(i)t_{79}(-1+2i)t_{7, 10}(1), \\ g_{109}=g_{105}^{h_{15}}=t_{71}(2)t_{72}(-2)t_{73}(1+i)t_{75}(1)t_{79}(2+i)t_{7, 10}(-i), \\ g_{110}=g_{106}^{h_{14}}=t_{71}(i)t_{72}(i)t_{73}(-1-i)t_{74}(1)t_{75}(i)t_{79}(i-1)t_{7, 10}(-i), \\ g_{111}=g_{107}^{h_{14}}=t_{71}(1)t_{72}(1)t_{73}(-1+i)t_{74}(-i)t_{75}(1)t_{79}(1+i)t_{7, 10}(-1), \\ g_{112}=g_{108}^{h_{14}}=t_{71}(-i)t_{72}(3i)t_{73}(-1-3i)t_{74}(1+2i)t_{75}(i)t_{79}(-1-2i)t_{7, 10}(i), \\ g_{113}=g_{109}^{h_{14}}=t_{71}(-1)t_{72}(3)t_{73}(i-3)t_{74}(2-i)t_{75}(1)t_{79}(i-2)t_{7, 10}(1), \\ g_{114}=g_{110}^{h_{15}}=t_{71}(1+2i)t_{72}(-1-2i)t_{73}(i)t_{74}(-1)t_{75}(i)t_{79}(1+2i), \\ g_{115}=g_{111}^{h_{15}}=t_{71}(2-i)t_{72}(i-2)t_{73}(1)t_{74}(i)t_{75}(1)t_{79}(2-i), \\ g_{116}=g_{104}^{h_{16}}=t_{72}(i)t_{73}(-2i)t_{74}(i)t_{75}(1+i)t_{76} (-i)t_{78}(i)t_{79}(1+i)t_{7, 10}(-1-i), \\ g_{117}=g_{105}^{h_{16}}=t_{72}(1)t_{73}(-2)t_{74}(1)t_{75}(1-i)t_{76} (-1)t_{78}(1)t_{79}(1-i)t_{7, 10}(i-1), \\ g_{118}=g_{104}^{h_{17}}=t_{71}(1+2i)t_{72}(-1)t_{73}(1)t_{75}(3i)t_{78}(-1-i)t_{79}(1+4i)t_{7, 10}(-3i), \\ g_{119}=g_{105}^{h_{17}}=t_{71}(2-i)t_{72}(i)t_{73}(-i)t_{75}(3)t_{78}(i-1)t_{79}(4-i)t_{7, 10}(-3), \\ g_{120}=g_{114}^{h_{14}}=t_{71}(-1-i)t_{72}(1+3i)t_{73}(-1-3i)t_{74}(1+2i)t_{75}(i)t_{79}(-2-2i)t_{7, 10}(i), \\ g_{121}=g_{115}^{h_{14}}=t_{71}(i-1)t_{72}(3-i)t_{73}(i-3)t_{74}(2-i)t_{75}(1)t_{79}(2i-2)t_{7, 10}(1), \\ g_{122}=g_{118}^{h_{14}}=t_{71}(-2)t_{72}(1+3i)t_{73}(-1-i)t_{74}(1-i)t_{75} (3i)t_{78}(-1-i)t_{79}(-2)t_{7, 10}(2), \\ g_{123}=g_{112}^{h_{15}}=t_{71}(1+3i)t_{72}(-1-2i)t_{73}(3i)t_{74}(-1-2i)t_{75}(i)t_{79}(1+4i), \\ g_{124}=g_{106}^{h_{17}}=t_{71}(2-i)t_{72}(-2+i)t_{73}(1-i)t_{75}(3+2i)t_{78}(-2+i)t_{79}(4)t_{7, 10}(-2-i). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $t_{75}(1)=g_{103}$, остается получить элементарные трансвекции $t_{7j}(1)$, где $j\neq5$, $j\neq7$. Вычисления показывают, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g_{125} &=g_{102}^{-1}g_{103}^{2}g_{104}^{0}g_{105}^{0}g_{106}^{1}g_{107}^{-2} g_{108}^{-1}g_{109}^{-1}g_{110}^{0}g_{111}^{-1}g_{112}^{-1}g_{113}^{3} \\ &\qquad\times g_{114}^{0}g_{115}^{1}g_{116}^{0}g_{117}^{0}g_{118}^{1}g_{119}^{0} g_{120}^{1}g_{121}^{-2}g_{122}^{-1}g_{123}^{1}g_{124}^{0}=t_{71}(1), \\ g_{126} &=g_{102}^{0}g_{103}^{2}g_{104}^{1}g_{105}^{0}g_{106}^{0} g_{107}^{-1}g_{108}^{0}g_{109}^{-2}g_{110}^{-1}g_{111}^{-1}g_{112}^{1}g_{113}^{3} \\ &\qquad\times g_{114}^{-1}g_{115}^{1}g_{116}^{0}g_{117}^{0}g_{118}^{1}g_{119}^{0} g_{120}^{-1}g_{121}^{-2}g_{122}^{-1}g_{123}^{1}g_{124}^{0}=t_{72}(1), \\ g_{127} &=g_{102}^{0}g_{103}^{0}g_{104}^{0}g_{105}^{0}g_{106}^{0} g_{107}^{-1}g_{108}^{0}g_{109}^{1}g_{110}^{0}g_{111}^{0}g_{112}^{-2}g_{113}^{0} \\ &\qquad\times g_{114}^{0}g_{115}^{0}g_{116}^{0}g_{117}^{0}g_{118}^{0}g_{119}^{0} g_{120}^{2}g_{121}^{0}g_{122}^{0}g_{123}^{0}g_{124}^{0}=t_{73}(1), \\ g_{128} &=g_{102}^{1}g_{103}^{0}g_{104}^{0}g_{105}^{0}g_{106}^{-1} g_{107}^{0}g_{108}^{1}g_{109}^{0}g_{110}^{0}g_{111}^{0}g_{112}^{1}g_{113}^{0} \\ &\qquad\times g_{114}^{-1}g_{115}^{0}g_{116}^{0}g_{117}^{0}g_{118}^{0}g_{119}^{0} g_{120}^{-1}g_{121}^{0}g_{122}^{0}g_{123}^{0}g_{124}^{0}=t_{74}(1), \\ g_{129} &=g_{102}^{2}g_{103}^{-1}g_{104}^{-1}g_{105}^{0}g_{106}^{-1} g_{107}^{2}g_{108}^{-1}g_{109}^{1}g_{110}^{1}g_{111}^{0}g_{112}^{2}g_{113}^{-2} \\ &\qquad\times g_{114}^{2}g_{115}^{-1}g_{116}^{0}g_{117}^{-1}g_{118}^{-1}g_{119}^{1} g_{120}^{-2}g_{121}^{2}g_{122}^{1}g_{123}^{-1}g_{124}^{-1}=t_{76}(1), \\ g_{130} &=g_{102}^{2}g_{103}^{0}g_{104}^{0}g_{105}^{-1}g_{106}^{1} g_{107}^{1}g_{108}^{-1}g_{109}^{0}g_{110}^{0}g_{111}^{0}g_{112}^{1}g_{113}^{-2} \\ &\qquad\times g_{114}^{0}g_{115}^{0}g_{116}^{0}g_{117}^{0}g_{118}^{0}g_{119}^{1} g_{120}^{-1}g_{121}^{2}g_{122}^{0}g_{123}^{0}g_{124}^{-1}=t_{78}(1), \\ g_{131} &=g_{102}^{0}g_{103}^{0}g_{104}^{0}g_{105}^{0}g_{106}^{0} g_{107}^{0}g_{108}^{-2}g_{109}^{0}g_{110}^{0}g_{111}^{-1}g_{112}^{0}g_{113}^{1} \\ &\qquad\times g_{114}^{2}g_{115}^{0}g_{116}^{0}g_{117}^{0}g_{118}^{0}g_{119}^{0} g_{120}^{0}g_{121}^{0}g_{122}^{0}g_{123}^{0}g_{124}^{0}=t_{79}(1), \\ g_{132} &=g_{102}^{0}g_{103}^{0}g_{104}^{1}g_{105}^{0}g_{106}^{0} g_{107}^{0}g_{108}^{1}g_{109}^{0}g_{110}^{-1}g_{111}^{0}g_{112}^{1}g_{113}^{0} \\ &\qquad\times g_{114}^{-1}g_{115}^{0}g_{116}^{0}g_{117}^{0}g_{118}^{0}g_{119}^{0} g_{120}^{-1}g_{121}^{0}g_{122}^{0}g_{123}^{0}g_{124}^{0}= t_{7, 10}(1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, Что и требовалось показать.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{VseGvoNuz24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|