| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Об алгебраических свойствах интегралов от произведений некоторых гипергеометрических функций В. А. Горелов Национальный исследовательский университет «Московский энергетический институт»
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624010164 
Реферативные базы данных:
  ВведениеОбозначим $\mathbb A$ множество всех алгебраических чисел, ${\mathbb C}\langle v_1,\dots,v_n\rangle$ – дифференциальное поле, полученное присоединением к $\mathbb C$ дифференциальных переменных $v_1,\dots,v_n$, ${\mathbb L}\{\omega_1,\dots,\omega_n\}$ – линейное пространство над $\mathbb Q$, порожденное числами $\omega_1,\dots,\omega_n\in{\mathbb C}$, ${\mathbb C}[z^{\pm1}]$ – кольцо ${\mathbb C}[z,z^{-1}]$. Одним из основных методов в теории трансцендентных чисел является метод Зигеля–Шидловского (см. [1]–[3]), позволяющий устанавливать трансцендентность и алгебраическую независимость значений так называемых $E$-функций (дифференциального подкольца целых функций 1-го порядка, замкнутого относительно интегрирования и замены аргумента $z$ на $\alpha z$ при $\alpha \in {\mathbb A}$). Рассматриваемые $E$-функции должны удовлетворять линейным дифференциальным уравнениям с коэффициентами из ${\mathbb C}(z)$ и быть алгебраически независимыми над ${\mathbb C}(z)$. К этому классу, в частности, относятся гипергеометрические $E$-функции ${}_l\varphi_{q}(\vec \nu;\vec\lambda;\alpha z^{q-l})$, где
$$
\begin{equation*}
{}_l\varphi_{q}(\vec \nu;\vec\lambda;z)={}_{l+1}F_{q} \biggl(\begin{matrix}1,\nu_1,\dots,\nu_l\\ \lambda_1,\dots,\lambda_q\end{matrix}\biggr|z\biggr)= \sum_{n=0}^\infty\frac{(\nu_1)_n\dotsb(\nu_l)_n}{(\lambda_1)_n \dotsb(\lambda_{q})_n} z^n,
\end{equation*}
\notag
$$
$0\leqslant l < q$, $(\nu)_0=1$, $(\nu)_n=\nu(\nu+1)\dotsb(\nu+n-1)$, $\vec\nu=(\nu_1,\dots,\nu_l)\in {\mathbb Q}^l$, $\vec\lambda\in ({\mathbb Q}\setminus{\mathbb Z_{\leqslant0}})^q$, $\alpha \in {\mathbb A}$. С помощью метода Зигеля–Шидловского получено большое число результатов об алгебраической независимости значений гипергеометрических функций в алгебраических точках (библиографию см., например, в [3]– [5]). Зигель (см. [1]–[3]) предположил, что всякая $E$-функция, удовлетворяющая линейному дифференциальному уравнению с коэффициентами из ${\mathbb C}(z)$, является многочленом с алгебраическими коэффициентами от гипергеометрических $E$-функций. В 2000–2005 гг. автор [6]–[8] доказал гипотезу Зигеля для линейных однородных дифференциальных уравнений не выше 2-го порядка и некоторых видов линейных неоднородных уравнений 2-го порядка. В статье [9] автор доказал ослабленный вариант гипотезы Зигеля для всех линейных дифференциальных уравнений не выше 2-го порядка, в том числе неоднородных, и предположил, что в общем случае гипотеза Зигеля неверна. В качестве опровергающих примеров в [9] предлагалось рассмотреть $E$-функции
$$
\begin{equation}
V(z)=V_{\lambda,\alpha}(z)= e^{\alpha z}\int_0^ze^{-\alpha t}\varphi_\lambda(t)\,dt= z+\biggl(\frac{1}{\lambda+1}+\alpha\biggr)\frac{z^2}{2}+\cdots,
\end{equation}
\tag{1}
$$
$\alpha \in \mathbb A$, $\lambda\in \mathbb Q\setminus \mathbb Z_{<0}$, удовлетворяющие уравнениям
$$
\begin{equation}
y''+\biggl(-\alpha-1+\frac{\lambda}{z}\biggr)y'+ \biggl(\alpha-\frac{\lambda\alpha}{z}\biggr)y=\frac{\lambda}{z}\,.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Здесь $\varphi_\lambda(z)$ – функция, введенная Шидловским,
$$
\begin{equation*}
\varphi_\lambda (z)= 1+\sum_{n=1}^\infty\frac{z^n}{(\lambda+1)\cdots(\lambda+n)}= \lambda z^{-\lambda} e^z\int^z t^{\lambda-1}e^{-t}\,dt,
\end{equation*}
\notag
$$
нижняя граница интегрирования при $\lambda > 0$ равна нулю, а при $\lambda \leqslant 0$ интеграл обозначает ту первообразную функции $t^{\lambda-1}e^{-t}$, которая получается путем перемножения всех членов тейлоровского разложения $e^{-t}$ на $t^{\lambda-1}$ и почленного интегрирования с постоянной интегрирования, равной нулю (см. [3; гл. 5, § 2]). В 2021 г. Фрезан и Жоссен [10], основываясь на работах Андрэ [11], Каца [12], Ривоаля и Фишлера [13] и других математиков, построили более искусственный пример $E$-функции и строго доказали, что он не удовлетворяет гипотезе Зигеля. Полученное Фрезаном и Жоссеном опровержение гипотезы Зигеля делает актуальным рассмотрение $E$-функций, не являющихся многочленами от гипергеометрических $E$-функций (к числу которых, вероятно, относятся многие интегралы вида (1)) и разработку методов исследования алгебраических свойств таких функций. В статье [14] автором доказано, что $E$-функции $V_{\lambda,\alpha}(z)$ и $V'_{\lambda,\alpha}(z)$ алгебраически зависимы над ${\mathbb C}(z)$ тогда и только тогда, когда $\lambda=0$, $\alpha\in {\mathbb Q}$, либо $\lambda=1/2$, $\alpha=2$, либо $\lambda\in {\mathbb Z}_{\geqslant2}$, $\alpha=1$. Кроме того, были найдены все случаи выражения $V_{\lambda,\alpha}(z)$ в виде многочлена от показательных функций и функций вида $\varphi_{\lambda_j}(\alpha_j z)$ (см. ниже). Целью настоящей работы является получение необходимых и достаточных условий алгебраической зависимости и независимости над ${\mathbb C}(z)$ совокупности функций $V_{\lambda,\alpha}(\xi z)$, $V'_{\lambda,\alpha}(\xi z)$ при различных значениях параметров вместе с функциями вида $\varphi_{\mu_j}(\gamma_j z)$. Будет доказана Теорема 1. Пусть $\lambda_i\in {\mathbb C}\setminus{\mathbb Z_{<0}}$, $\alpha_i\in {\mathbb C}$, $\xi_i\in {\mathbb C}\setminus\{0\}$, $i=1,\dots,m$, $(\lambda_i,\alpha_i,\xi_i)\ne(\lambda_l,\alpha_l,\xi_l)$ при $i\ne l$; $\mu_k\in {\mathbb C}\setminus{\mathbb Z}$, $\gamma_k\in {\mathbb C}\setminus\{0\}$, $k=1,\dots,n$, $\mu_k-\mu_l \notin{\mathbb Z}$ при $\gamma_k=\gamma_l$, $k\ne l$; числа $\beta_1,\dots,\beta_p$, а также $\zeta_1,\dots,\zeta_q$ принадлежат ${\mathbb C}$ и линейно независимы над $\mathbb Q$, $\zeta_1\in {\mathbb Q}$, $m,q\in{\mathbb N}$, $n,p\in {\mathbb Z_{\geqslant0}}$. Тогда для алгебраической зависимости $2m+n+p+q$ функций Легко видеть, что при выполнении условия 6) имеет место $(1-\alpha_i)=(1-\alpha_l)^{-1}$, откуда следует его симметричность по индексам $i$ и $l$. 1. Вспомогательные утвержденияФункция $\varphi_\lambda (z)$ удовлетворяет уравнению
$$
\begin{equation}
y'=\biggl(1-\frac{\lambda}{z}\biggr)y+\frac{\lambda}{z}
\end{equation}
\tag{4}
$$
(см. [3; гл. 5]) и может пониматься как “неоднородный аналог” функции $e^z$. Имеют место тождества
$$
\begin{equation}
\varphi_0(z)=e^z, \qquad \varphi_\lambda(z)=\frac{z^l}{(\lambda+1)\cdots(\lambda+l)} \varphi_{\lambda+l}(z)+1+\sum_{n=1}^{l-1} \frac{z^n}{(\lambda+1)\cdots(\lambda+n)}\,,
\end{equation}
\tag{5}
$$
где $ l\in {\mathbb N}$ и
$$
\begin{equation}
V'_{\lambda,\alpha}(z)=\alpha V_{\lambda,\alpha}(z)+ \varphi_\lambda (z).
\end{equation}
\tag{6}
$$
Без ограничения общности далее считаем, что $\zeta_1=1/b$, $b\in{\mathbb N}$. Лемма 1 (см. [3; гл. 5, § 3], [15; лемма 4], [16; лемма 7]). При условиях теоремы 1 функции (3) алгебраически независимы над ${\mathbb C}$. С учетом тождеств (5) условия леммы 1 являются необходимыми и достаточными. Если функции (3) алгебраически независимы над $\mathbb C$, то все операции с ними удобно проводить формально, как с соответствующими им переменными
$$
\begin{equation}
u_1,\dots,u_n,\qquad x_1,\dots, x_p,\qquad z_1,\dots,z_q.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Операции дифференцирования по $z$ рациональных функций, зависящих соответственно от
$$
\begin{equation}
e^{\beta_1 z},\dots,e^{\beta_p z},\qquad z^{\zeta_1},\dots,z^{\zeta_q}
\end{equation}
\tag{8}
$$
и (3), будут отвечать операторы
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D&=\sum_{j=1}^p\beta_jx_j\,\frac{\partial}{\partial x_j}+ \sum_{j=1}^q\zeta_j\frac{z_j}{z_1^b}\, \frac{\partial}{\partial z_j}\,, \\ D_1&=D+\sum_{i=1}^n\biggl(\biggl(\gamma_i- \frac{\mu_i}{z_1^b}\biggr)u_i+\frac{\mu_i}{z_1^b}\biggr)\, \frac{\partial}{\partial u_i}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $P$ – многочлен от переменных (7), то, очевидно, $z_1^{b}D_1P$ есть многочлен от тех же переменных. Лемма 2 [16; лемма 5]. Пусть функции (8) алгебраически независимы над $\mathbb C$, а $P\not\equiv0$ – многочлен с коэффициентами из $\mathbb C$ от $p+q$ переменных $x_1,\dots,x_p$, $z_1,\dots,z_q$. Тогда многочлен $z_1^{b}DP$ делится на $P$ в том и только том случае, когда Лемма 3. Пусть функции (3) алгебраически независимы над $\mathbb C$, а $P\not\equiv0$ – многочлен с коэффициентами из $\mathbb C$ от $n+p+q$ переменных (7). Тогда многочлен $z_1^{b}x_1^{s_1}\dotsb x_p^{s_p}D_1Q$, где $s_i\in{\mathbb Z_{\geqslant0}}$, делится на $P$ в том и только том случае, когда $P$ имеет вид (9). Доказательство. Пусть многочлен $P$ зависит хотя бы от одной переменной $u_i$, $1\leqslant i\leqslant n$, т.е.
$$
\begin{equation*}
P=P_su_i^s+\dots+P_1u_i+P_0, \qquad P_s\not\equiv0, \quad s\geqslant1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $P_s,\dots,P_0$ – многочлены, не зависящие от $u_i$. Тогда
$$
\begin{equation*}
D_1P=\biggl(D_1P_s+s\biggl(\gamma_i- \frac{\mu_i}z\biggr)P_s\biggr)u_i^s+\cdots
\end{equation*}
\notag
$$
является многочленом от $u_i$ с коэффициентами из поля рациональных функций над ${\mathbb C}$ от всех переменных (3), кроме $u_i$. Так как степени многочленов $D_1P$ и $P$ по $u_i$ равны, то их частное не зависит от $u_i$ и совпадает с частным от деления коэффициентов при $u_i^s$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\frac{D_1P}{P}=\frac{D_1P_s}{P_s}+s\biggl(\gamma_i- \frac{\mu_i}{z}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда $P=\sigma P_se^{s\gamma_iz}z^{-s\mu_i}, \sigma\in {\mathbb C}\setminus\{0\}$. Следовательно, ввиду леммы 1 (как при $\gamma_i\in {\mathbb L}\{\beta_1,\dots,\beta_p\}$, $\mu_i\in {\mathbb L}\{\zeta_1,\dots,\zeta_q\}$, так и в противном случае) $P$ не зависит от переменных $u_1,\dots,u_n$ и согласно лемме 2 имеет вид (9). Лемма 4 [14; теорема 1]. Пусть $\alpha\in{\mathbb C}$, $\lambda\in {\mathbb C}\setminus{\mathbb Z_{<0}}$. Тогда Лемма 5. Пусть $\alpha\in{\mathbb C}\setminus\{1\}$, $\lambda\in {\mathbb C}\setminus{\mathbb Z_{\leqslant0}}$. Тогда где $l\in {\mathbb N}$, $c\in{\mathbb Q}(\lambda,\alpha)$, $P\in{\mathbb Q}(\lambda,\alpha)[z]$, $\deg P=l-1$, $\deg P_1=l-2$. Доказательство. Из тождества (5) при $l=1$ следует, что
$$
\begin{equation*}
V_{\lambda,\alpha}(z)= e^{\alpha z}\int_0^ze^{-\alpha t}\varphi_\lambda(t)\,dt= \frac{e^{\alpha z}}{\lambda+1} \int_0^ze^{-\alpha t}t\varphi_{\lambda+1}(t)\,dt+ e^{\alpha z}\int_0^ze^{-\alpha t}\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя формулу интегрирования по частям и (4), последовательно получаем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{split} &\int_0^ze^{-\alpha t}\varphi_\lambda(t)\,dt =te^{-\alpha t}\varphi_{\lambda}(t)|_0^z- \int_0^zte^{-\alpha t}\varphi_{\lambda}(t) \biggl(1-\alpha-\frac\lambda t\biggr)\,dt- \lambda\int_0^ze^{-\alpha t}\,dt \\ &\qquad=ze^{-\alpha z}\varphi_{\lambda}(z)+(\alpha-1) \int_0^zte^{-\alpha t}\varphi_{\lambda}(t)\,dt +\lambda\int_0^ze^{-\alpha t}\varphi_{\lambda}(t)\,dt- \lambda\int_0^ze^{-\alpha t}\,dt, \end{split} \nonumber \\ \int_0^zte^{-\alpha t}\varphi_{\lambda}(t)\,dt= \frac{\lambda-1}{1-\alpha}\int_0^ze^{-\alpha t} \varphi_{\lambda}(t)\,dt+\frac{z e^{-\alpha z}}{1-\alpha} \varphi_{\lambda}(z)-\frac{\lambda}{1-\alpha} \int_0^ze^{-\alpha t}\,dt, \nonumber \\ \begin{split} V_{\lambda,\alpha}(z) &=\frac{e^{\alpha z}}{\lambda+1} \biggl(\frac{\lambda}{1-\alpha}\int_0^z e^{-\alpha t}\varphi_{\lambda+1}(t)\,dt \\ &\qquad+\frac{z e^{-\alpha z}}{1-\alpha}\varphi_{\lambda+1}(z)- \frac{\lambda+1}{1-\alpha}\int_0^ze^{-\alpha t}\,dt\biggr) +e^{\alpha z}\int_0^ze^{-\alpha t}\,dt \\ &=\frac{\lambda}{(\lambda+1)(1-\alpha)}V_{\lambda+1,\alpha}(z)+ \frac{z}{(\lambda+1)(1-\alpha)}\varphi_{\lambda+1}(z) +\frac{1-e^{\alpha z}}{1-\alpha}\,, \end{split} \nonumber \\ V_{\lambda+1,\alpha}(z)= \frac{(\lambda+1)(1-\alpha)}{\lambda}V_{\lambda,\alpha}(z)- \frac{z}{\lambda}\varphi_{\lambda+1}(z)+ \frac{\lambda+1}{\lambda}(e^{\alpha z}-1). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{13}
$$
Из формулы (13) индукцией по $l$ легко выводится формула
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &V_{\lambda+l,\alpha}(z)=\frac{(\lambda+l)(1-\alpha)^l}{\lambda} V_{\lambda,\alpha}(z) \\ &\qquad+(\lambda+l)(1-\alpha)^{l-1}\biggl(\frac{1}\lambda+ \frac{(1-\alpha)^{-1}}{(\lambda+1)}+\cdots+ \frac{(1-\alpha)^{1-l}}{(\lambda+l-1)}\biggr)(e^{\alpha z}-1)+L, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $L$ – линейная комбинация с коэффициентами из ${\mathbb Q}(\lambda,\alpha)$ функций $z\varphi_{\lambda+1}(z),\dots, z\varphi_{\lambda+l}(z)$. Отсюда ввиду (5) получаем утверждение леммы 5. Замечание 1. В тождестве (12), как видно из доказательства, постоянная $c=0$ тогда и только тогда, когда Лемма 6. Пусть $\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb C\setminus\mathbb Z_{<0}$, $\lambda_1+\lambda_2=1$, $\alpha_1,\alpha_2\in {\mathbb C}$, $\xi_1,\xi_2\in {\mathbb C}\setminus\{0\}$, $ \xi_1+\xi_2=\xi_1\alpha_1=\xi_2\alpha_2$. Тогда Доказательство. Разделив обе части равенства (15) на $e^{(\xi_1+\xi_2)z}=e^{\xi_1\alpha_1 z}=e^{\xi_2\alpha_2 z}$, продифференцировав по $z$ и умножив на $e^{(\xi_1+\xi_2)z}$, с учетом (4) приходим к верному тождеству $\lambda_2\varphi_{\lambda_1}(\xi_1z)+ \lambda_1\varphi_{\lambda_2}(\xi_2z)= \lambda_2\varphi_{\lambda_1}(\xi_1z)+ \lambda_1\varphi_{\lambda_2}(\xi_2z)$. Проводя эти действия в обратном порядке, ввиду $V_{\lambda,\alpha}(0)=0$ получим (15). Лемма 7. Пусть $\lambda_1,\lambda_2\in {\mathbb C}\setminus{\mathbb Z}$, $\lambda_1+\lambda_2\in {\mathbb Z}\setminus\{1\}$, $\alpha_1,\alpha_2\in {\mathbb C}$, $\xi_1,\xi_2\in {\mathbb C}\setminus\{0\}$, $\xi_1+\xi_2=\xi_1\alpha_1=\xi_2\alpha_2$. Тогда Доказательство. Заметим, что коэффициенты линейной комбинации в левой части тождества (16) определены однозначно с точностью до постоянного множителя, так как иначе одна из функций $V_{\lambda,\alpha}(\xi z)$ в (16) является многочленом от показательных функций и функций $\varphi_{\lambda_j}(\xi_jz)$. Но это возможно только в случаях, перечисленных в лемме 4 (см. [14; теорема 2]), т.е. с учетом условий леммы 7, только в случае $\lambda=k+1/2$, $k\in{\mathbb Z}\setminus\{0\}$, когда лемма 7, очевидно, справедлива. Поэтому в силу леммы 1 можно считать, что вид правой части (16) также однозначен с точностью до постоянного множителя.
Положим $\lambda_0=1-\lambda_2$. Согласно (15)
$$
\begin{equation}
\frac{\lambda_2}{\xi_1}V_{\lambda_0, \alpha_1}(\xi_1z)+ \frac{\lambda_0}{\xi_2}V_{\lambda_2, \alpha_2}(\xi_2z)= z\varphi_{\lambda_0}(\xi_1z)\varphi_{\lambda_2}(\xi_2z).
\end{equation}
\tag{17}
$$
Если $\lambda_1+\lambda_2<1$, то $\lambda_0-\lambda_1= 1-\lambda_1-\lambda_2\in {\mathbb Z}_{\geqslant1}$ и из тождества (12) следует
$$
\begin{equation*}
V_{\lambda_0, \alpha_1}(\xi_1z)=\frac{\lambda_0}{\lambda_1} (1-\alpha_1)^{\lambda_0-\lambda_1}V_{\lambda_1, \alpha_1}(\xi_1z)+ z\xi_1P\varphi_{\lambda_0}(\xi_1z)+c(e^{\xi_1\alpha_1z}-1)+z\xi_1P_1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $P, P_1\in {\mathbb Q}(\lambda_1,\alpha_1,\xi_1)[z]$, $c\in {\mathbb Q}(\lambda_1,\alpha_1)$, причем $c=0$, если справедливо (14) при $\lambda=\lambda_1$, $\alpha=\alpha_1$, $l=1-\lambda_1-\lambda_2$. Отсюда ввиду (5) и (17) получаем (16).
Если $\lambda_1+\lambda_2>1$, то $\lambda_1-\lambda_0= \lambda_1+\lambda_2-1\in {\mathbb Z}_{\geqslant1}$ и из (12) теперь имеем
$$
\begin{equation*}
V_{\lambda_0,\alpha_1}(\xi_1z)= \frac{\lambda_0}{\lambda_1}(1-\alpha_1)^{\lambda_0-\lambda_1} \bigl(V_{\lambda_1,\alpha_1}(\xi_1z)- z\xi_1P\varphi_{\lambda_1}(\xi_1z)-c(e^{\xi_1\alpha_1z}-1)\bigr)+z\xi_1P_1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $P,P_1\in {\mathbb Q}(\lambda_1,\alpha_1,\xi_1)[z]$, $c\in {\mathbb Q}(\lambda_1,\alpha_1)$, причем $c=0$, если справедливо (14) при $\lambda=1-\lambda_2$, $\alpha=\alpha_1$, $l=\lambda_1+\lambda_2-1$. Отсюда ввиду (5), (17) снова получаем (16). Тождество (16) обобщает (11) и следующую за ним часть утверждения леммы 4. Лемма 8 (см. [17], [18]). Если ${\mathbb F}$ – дифференциальное поле мероморфных функций, содержащее поле ${\mathbb C}$, а $\psi_1,\dots,\psi_m$ – функции, производные которых принадлежат ${\mathbb F}$, то $\psi_1,\dots,\psi_m$ алгебраически зависимы над ${\mathbb F}$ тогда и только тогда, когда $\alpha_1\psi_1+\dots+\alpha_m\psi_m\in{\mathbb F}$ при некоторых $\alpha_1,\dots,\alpha_m\in{\mathbb C}$, $|\alpha_1|+\dots+|\alpha_m|\ne0$. 2. Доказательство теоремы 1Достаточность условий 1) и 2) теоремы следует из тождеств (5) и (6), условий 3) и 4) – из (4), (5), (6) и леммы 4, условий 5) и 6) – из лемм 6, 7 и тождества (6). Для доказательства необходимости условий теоремы ввиду (1) и (6) достаточно установить, при каких условиях $m$ интегралов
$$
\begin{equation}
\int_0^{\xi_iz}e^{-\alpha_i t}\varphi_{\lambda_i}(t)\,dt, \qquad i=1,\dots,m,
\end{equation}
\tag{18}
$$
алгебраически независимы над полем
$$
\begin{equation*}
{\mathbb F}={\mathbb C}\bigl\langle\varphi_{\mu_1}(\gamma_1 z), \dots,\varphi_{\mu_n}(\gamma_n z),e^{\beta_1 z},\dots, e^{\beta_p z},z^{\zeta_1},\dots,z^{\zeta_q}\bigr\rangle,
\end{equation*}
\notag
$$
где, изменяя при необходимости числа $p$, $q$, $n$, $\mu_k$, $\gamma_k$, $\beta_k$, $\zeta_k$ и нумерацию функций, теперь считаем, что $\mu_i=\lambda_i$, $\gamma_{i}=\xi_i$, $i=1,\dots,m$,
$$
\begin{equation*}
\xi_i\alpha_{i}=\sum_kc_{i,k} \beta_k, \quad \gamma_{j}=\sum_k\tilde c_{j,k} \beta_k, \quad \mu_j=\sum_k\bar c_{j,k} \zeta_k, \qquad c_{i,k},\tilde c_{j,k},\bar c_{j,k}\in{\mathbb Z}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если предположить, что интегралы (18) алгебраически зависимы над ${\mathbb F}$, то согласно лемме 8 при некоторых $a_{i}\in{\mathbb C}$, $\sum_{i}|a_{i}|\ne0$, выполнено
$$
\begin{equation}
\sum_{i=1}^ma_{i}\int_0^{\xi_iz}e^{-\alpha_i t} \varphi_{\lambda_i}(t)\,dt=\frac{P}{Q}\,,
\end{equation}
\tag{19}
$$
где $P$, $Q$ – многочлены над ${\mathbb C}$ от функций (3), $(P,Q)=1$. Дифференцируя равенство (19), получим
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^ma_{i}\xi_ie^{-\xi_i\alpha_iz}\varphi_{\lambda_i}(\xi_iz)= \biggl(\frac{P}{Q}\biggr)'.
\end{equation*}
\notag
$$
Заменяя в этом равенстве функции (3) на переменные (7), имеем
$$
\begin{equation}
a_{1}\xi_1x_1^{c_{1,1}}\cdots x_p^{c_{1,p}}u_1+\cdots+ a_{m}\xi_mx_1^{c_{m,1}}\cdots x_p^{c_{m,p}}u_m= \frac{QD_1P-PD_1Q}{Q^2}\,.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Отсюда следует, что многочлен $z_1^{b}x_1^{s_1}\cdots x_p^{s_p}D_1Q$ при некоторых $s_i\in{\mathbb Z_{\geqslant0}}$ делится на $Q$. Тогда согласно лемме 3 многочлен $Q$ имеет вид (9) и не зависит от переменных Выясним, когда многочлен $P$ является линейной функцией от переменных (21). Предположим, что
$$
\begin{equation*}
\frac PQ=P_1 u_k^{s}+P_2 u_k^{s-1}+\cdots+P_0, \qquad P_1\not\equiv0,\quad s\geqslant2,\quad 1\leqslant k\leqslant n,
\end{equation*}
\notag
$$
где $P_1,P_2,\dots,P_0$ – многочлены от переменных
$$
\begin{equation}
x_1^{\pm1},\dots,x_p^{\pm1},z_1^{\pm1},\dots,z_q^{\pm1}
\end{equation}
\tag{22}
$$
и (21), кроме $u_k$. Так как
$$
\begin{equation*}
D_1\biggl(\frac{P}{Q}\biggr)=\biggl(D_1P_1+ s\biggl(\gamma_k-\frac{\mu_k}{z}\biggr) P_1\biggr)u_k^{s}+\cdots,
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, D_1P_1+s\biggl(\gamma_k-\frac{\mu_k}{z}\biggr)P_1=0, \qquad P_1=c_1e^{-s\gamma_k z}z^{s\mu_k}, \quad c_1\in {\mathbb C}\setminus\{0\}, \nonumber \\ D_1P_2+(s-1)\biggl(\gamma_k-\frac{\mu_k}{z}\biggr)P_2+ c_1s\mu_ke^{-s\gamma_k z}z^{s\mu_k-1}= \delta a_{i}e^{-\xi_i\alpha_i z}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{23}
$$
где $1\leqslant i\leqslant m$, а $\delta\ne0$ только в случае $i=k\leqslant m$, $s=2$, $\gamma_k=\xi_k$, $\mu_k=\lambda_k$. Подставляя в (23) вместо переменных (7) функции (3), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P_2&=ce^{-(s-1)\gamma_kz}z^{(s-1)\mu_k}- c_1s\mu_ke^{-(s-1)\gamma_kz}z^{(s-1)\mu_k} \int z^{\mu_k-1}e^{-\gamma_kz}\,dz \\ &\qquad+\delta a_{k} e^{-\xi_kz}z^{\mu_k} \int z^{-\mu_k} e^{\xi_k(1-\alpha_k)z}\,dz, \qquad c\in\mathbb C. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $c_1s\mu_k\ne0$, то полученное равенство противоречит лемме 1 (а также лемме 7 из [16]), за исключением случая $\mu_k\in{\mathbb Z}_{\geqslant1}$ и случая $s=2$, $\gamma_k=\xi_k$, $\alpha_{k}=2$, $2\lambda_{k}=2\mu_k\in{\mathbb Z}$, оговоренных в условиях 3), 5) и 6) теоремы 1. Таким образом, можно считать, что степень многочлена $P$ в (19) по каждой из переменных (21) не превосходит 1. Допустим, что по совокупности переменных (21) многочлен $P$ имеет степень $s\geqslant 2$. Тогда, изменив при необходимости нумерацию переменных, можно считать, что в $P/Q$ входит одночлен по переменным (21) вида где $P_1$ – многочлен от переменных (22). Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, D_1A_1=\biggl(DP_1+\biggl(\gamma_1-\frac{\mu_1}{z}+\cdots+\gamma_s- \frac{\mu_s}{z}\biggr)P_1\biggr) u_1\cdots u_s+\cdots, \\ DP_1+\biggl(\gamma_1-\frac{\mu_1}{z}+\cdots+ \gamma_s-\frac{\mu_s}{z}\biggr)P_1=0, \\ P_1=c_1e^{-(\gamma_1+\dots+\gamma_s) z}z^{\mu_1+\cdots+\mu_s}, \qquad c_1\in {\mathbb C}\setminus\{0\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, если в $P/Q$ входят другие одночлены степени $s$, например,
$$
\begin{equation*}
A_{s+1}=P_{s+1}u_{2}\cdots u_su_{s+1},\quad\dots,\quad A_{n}=P_{n}u_2\cdots u_su_n,
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, P_{s+1}=c_{s+1}e^{-(\gamma_2+\dots+\gamma_s+ \gamma_{s+1})z}z^{\mu_2+\dots+\mu_s+\mu_{s+1}}, \\ \dots, \\ P_{n}=c_{n}e^{-(\gamma_2+\dots+\gamma_s+ \gamma_{n})z}z^{\mu_2+\dots+\mu_s+\mu_{n}}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_{s+1},\dots,c_{n}\in {\mathbb C}$. Рассмотрим также одночлен Приравняв в (20) коэффициенты при $u_2\dotsb u_s$, в случае $s>2$ получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &DP_0+\biggl(\gamma_2-\frac{\mu_2}{z}+\dots+\gamma_s-\frac{\mu_s}{z}\biggr)P_0 \nonumber \\ &\qquad +c_1\mu_1e^{-(\gamma_1+\dots+\gamma_s) z}z^{\mu_1+\dots +\mu_s-1}+c_{s+1}\mu_{s+1}e^{-(\gamma_2+\dots+ \gamma_s+\gamma_{s+1})z}z^{\mu_2+\dots+\mu_s+\mu_{s+1}-1} \nonumber \\ &\qquad +\dots+c_{n}\mu_ne^{-(\gamma_2+\dots+\gamma_s+ \gamma_{n})z}z^{\mu_2+\dots+\mu_s+\mu_{n}-1}=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{24}
$$
Общее решение уравнения (24) имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P_0&=ce^{-(\gamma_2+\dots+\gamma_s)z}z^{\mu_2+\dots+\mu_s}-c_1\mu_1 e^{-(\gamma_2+\dots+\gamma_s)z}z^{\mu_2+\dots+\mu_s} \int z^{\mu_1-1}e^{-\gamma_1z}\,dz \\ &\qquad-c_{s+1}\mu_{s+1}e^{-(\gamma_2+\dots+\gamma_s)z} z^{\mu_2+\dots+\mu_s}\int z^{\mu_{s+1}-1}e^{-\gamma_{s+1}z}\,dz \\ &\qquad-\dots-c_{n}\mu_ne^{-(\gamma_2+\dots+\gamma_s)z}z^{\mu_2+ \dots+\mu_s}\int z^{\mu_n-1}e^{-\gamma_nz}\,dz, \qquad c\in {\mathbb C}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $c_1\mu_1\ne0$, то это равенство противоречит лемме 1 (а также лемме 7 из [16]), за исключением уже рассмотренного случая $\mu_1\in{\mathbb Z}_{\geqslant1}$. Если же $s=2$, то, приравняв в (20) коэффициенты при $u_2$, вместо (24) получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &DP_0+\biggl(\gamma_2-\frac{\mu_2}{z}\biggr)P_0+ c_1\mu_1e^{-(\gamma_1+\gamma_{2}) z}z^{\mu_1+\mu_2-1} \nonumber +c_3\mu_{3}e^{-(\gamma_2+\gamma_{3})z} z^{\mu_2+\mu_{3}-1} \\ &\qquad\qquad +\dots+c_{n}\mu_n e^{-(\gamma_2+\gamma_{n})z}z^{\mu_2+\mu_{n}-1} =\delta a_{i} e^{-\xi_i\alpha_i z}, \qquad 1\leqslant i\leqslant m, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{25}
$$
причем $\delta\ne0$ только в случае $\gamma_2=\xi_i$, $\mu_2=\lambda_i$. Общее решение уравнения (25) имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P_0&=ce^{-\gamma_{2}z}z^{\mu_2}-c_1\mu_1e^{-\gamma_{2}z} z^{\mu_2}\int z^{\mu_1-1}e^{-\gamma_{1}z}\,dz -c_3\mu_{3}e^{-\gamma_{2}z}z^{\mu_2}\int z^{\mu_{3}-1} e^{-\gamma_{3}z}\,dz-\dotsb \\ &\qquad -c_{n}\mu_ne^{-\gamma_{2}z}z^{\mu_2} \int z^{\mu_n-1}e^{-\gamma_nz}\,dz +\delta a_{i}e^{-\gamma_{2}z}z^{\mu_2}\int z^{-\mu_2}e^{(\gamma_{2}-\xi_i\alpha_{i})z}\,dz, \qquad c\in {\mathbb C}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_1\mu_1\ne0$, что противоречит лемме 1, за исключением уже рассмотренного случая $\mu_1\in{\mathbb Z}_{\geqslant1}$ и случая $\gamma_2=\xi_i$, $\mu_2=\lambda_i$, $-\gamma_1=\xi_i(1-\alpha_{i})$, $\mu_1+\mu_2\in{\mathbb Z}$. Меняя местами $u_1$ и $u_2$ в проведенных рассуждениях, аналогично получим $\gamma_1=\xi_l$, $\mu_1=\lambda_l$, $-\gamma_2=\xi_l(1-\alpha_{l})$. Отсюда $\lambda_i+\lambda_l=\mu_1+\mu_2\in{\mathbb Z}$, $\xi_i+\xi_l=\xi_i\alpha_i=\xi_l\alpha_l$, что соответствует условиям 5) и 6) теоремы 1. Следовательно, остается рассмотреть случай где $B_1,\dots,B_n$, $B$ – многочлены от переменных (22). Тогда правая часть равенства (20) принимает вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl(B_1'+\biggl(\gamma_1-\frac{\mu_1}{z}\biggr)B_1\biggr)u_1+\dots+ \biggl(B_n'+\biggl(\gamma_n-\frac{\mu_n}{z}\biggr)B_n\biggr)u_n \\ &\qquad+\frac{\mu_1}{z}B_1+\dots+\frac{\mu_n}{z}B_n+B'. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Изменив при необходимости нумерацию переменных, можно считать, что $a_{1}\ne0$, $\lambda_i=\mu_i$, $\gamma_{i}=\xi_i$, $i=1,\dots,m$. Тогда
$$
\begin{equation*}
B_1'+\biggl(\gamma_1-\frac{\mu_1}{z}\biggr)B_1= a_{1}\xi_1 e^{-\xi_1\alpha_1 z},
\end{equation*}
\notag
$$
причем $\gamma_1=\xi_1$, $\lambda_1=\mu_1$. Это уравнение имеет решение
$$
\begin{equation*}
B_1=ce^{-\xi_1z}z^{\lambda_1}+a_{1}\xi_1e^{-\xi_1z}z^{\lambda_1} \int z^{-\lambda_1}e^{\xi_1(1-\alpha_1)z}\,dz, \qquad c\in {\mathbb C},
\end{equation*}
\notag
$$
что противоречит лемме 1, за исключением случаев $\lambda_1=0$ и $\alpha_1=1$. Теорема 1 доказана.
3. ЗаключениеТеорема 1 имеет теоретико-функциональный характер, но из нее с помощью теоремы Шидловского [3; гл. 3] легко следуют необходимые и достаточные условия алгебраической независимости значений рассматриваемых функций в алгебраических точках. Таким образом, возникают новые примеры трансцендентных и алгебраически независимых чисел. Используя теоремы гл. 11–13 книги [3] (или их более точные аналоги из [19]), можно также получать оценки снизу модулей многочленов от этих чисел.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Gor24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|