| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Массивные множества Хелсона А. В. Янина Department of Mathematics, University of Illinois at Urbana-Champaign, USA
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624050183 
Реферативные базы данных:
  1. Введение и формулировка результатаМы рассматриваем пространство $A(\mathbb{T}^d)$ непрерывных на торе $\mathbb T^d=\mathbb R^d/(2\pi\mathbb Z)^d$ функций, ряды Фурье которых
$$
\begin{equation*}
f(t)\sim\sum_{k\in\mathbb Z^d}\widehat f(k)e^{i(k,t)}
\end{equation*}
\notag
$$
сходятся абсолютно. Здесь $\mathbb Z$ – множество целых чисел, $\mathbb R$ – вещественная прямая, $(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$ – стандартное скалярное произведение в $\mathbb R^d$, а $\widehat f(k)$ – коэффициенты Фурье функции $f$, определяемые соотношением
$$
\begin{equation*}
\widehat f(k)=\frac{1}{(2\pi)^d}\int_{\mathbb T^d}f(t)e^{-i(k,t)}\,dt,\qquad k\in\mathbb Z^d.
\end{equation*}
\notag
$$
Пространство $A(\mathbb T^d)$ является банаховой алгеброй относительно естественной нормы
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{A(\mathbb T^d)}=\sum_{k\in\mathbb Z^d}|\widehat f(k)|
\end{equation*}
\notag
$$
и поточечного умножения функций. Часто $A(\mathbb T^d)$ называют алгеброй Винера. Компактное подмножество $E$ тора $\mathbb T^d$ называется множеством Хелсона, если произвольную непрерывную на $E$ функцию можно продолжить на $\mathbb T^d$ до функции из алгебры Винера, иначе говоря, для всякой непрерывной на $E$ функции $f$ существует функция $\widetilde f\in A(\mathbb T^d)$ такая, что ее сужение $\widetilde f|_E$ на $E$ совпадает с $f$. Основные результаты, связанные с множествами Хелсона, обсуждаются в [1], [2]. Хорошо известно, что множества Хелсона на окружности $\mathbb T$ не могут содержать сколь угодно длинных арифметических прогрессий (см., например, [2; гл. 3]) и, как следствие, имеют нулевую лебегову меру. Этот результат без труда переносится на многомерный случай. В связи с этим множества Хелсона естественно считать “тонкими”. Вместе с тем, как показал Вик [3], для произвольной функции $h$ такой, что $h(t)/t\to\infty$ при $t\to +0$, на окружности существуют множества Хелсона положительной $h$-меры Хаусдорфа и, следовательно, хаусдорфовой размерности единица. Отметим, что в действительности результат Вика сильнее, а именно, им построено множество Кронекера положительной $h$-меры (см. § 3 настоящей работы, замечание 2). Будем называть определяющей функцией произвольную неотрицательную возрастающую функцию $h$, непрерывную на $[0, +\infty)$ и такую, что $h(0)=0$. Напомним, что $h$-мерой Хаусдорфа $\mu_h$ ограниченного множества $E\subset\mathbb R^d$ называется
$$
\begin{equation*}
\mu_h(E)=\lim_{\xi\to 0} \biggl[\inf\sum_{\nu=1}^\infty h(\operatorname{diam}(U_\nu))\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь точная нижняя грань берется по всевозможным покрытиям множества $E$ не более чем счетным семейством открытых шаров $\{U_\nu\}$, диаметры $\operatorname{diam}(U_\nu)$ которых не превосходят $\xi$. Для $\alpha>0$ будем обозначать через $h_\alpha$ функцию $h(t)=t^\alpha$ и писать $\mu_\alpha$ вместо $\mu_{h_\alpha}$. Хаусдорфова размерность множества $E$ определяется следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\dim_H(E)=\sup\bigl\{\alpha\colon \mu_\alpha(E)>0\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В настоящей работе рассматривается вопрос о справедливости многомерного аналога теоремы Вика. Отметим, что естественная на первый взгляд попытка построить массивное многомерное множество Хелсона, взяв декартово произведение массивных одномерных множеств, к результату не приводит: несложно показать, что множество Хелсона не может содержать декартово произведение двух бесконечных множеств (см. § 3 настоящей работы, замечание 1). Мы показываем, что справедлива следующая Теорема 1. Для произвольной определяющей функции $h$ такой, что на $\mathbb T^d$ существует множество Хелсона положительной $h$-меры Хаусдорфа. В частности, существует множество Хелсона $E\subset\mathbb T^d$ такое, что $\dim_H(E)=d$. Множество Хелсона, которое мы построим далее, является множеством канторовского типа, т.е. вполне несвязным, совершенным множеством. Вместе с тем, из одного результата Ж.-П. Кахана (см., например, [2; гл. 7, § 9]) следует, что на $\mathbb T^2$ существуют множества Хелсона, являющиеся непрерывными кривыми (детали см. в [4]). Дальнейшее развитие это направление получило в работах [5] и [6]. Во всех известных примерах непрерывные кривые, являющиеся множествами Хелсона, имеют хаусдорфову размерность, равную единице. Естественным образом возникает вопрос о существовании массивного множества Хелсона, являющегося непрерывной кривой на $\mathbb T^2$, непрерывной поверхностью на $\mathbb T^3$ и так далее. Мы обсудим этот вопрос в другой работе. Вопросы о существовании массивных многомерных множеств Хелсона были поставлены В. В. Лебедевым (в частной беседе). 2. Доказательство теоремыВсюду далее мы используем следующие стандартные обозначения: $C(E)$ – пространство непрерывных на компакте $E$ функций со стандартной нормой, $M(E)$ – пространство мер, сосредоточенных на $E$, с нормой
$$
\begin{equation*}
\|\mu\|_{M(E)}=\sup_{f\in C(E),\,\|f\|\leqslant 1} \biggl|\int_Ef(t)\,d\mu(t)\biggr|.
\end{equation*}
\notag
$$
Коэффициенты Фурье меры $\mu$ определяются соотношением
$$
\begin{equation*}
\widehat\mu(k)=\int_{\mathbb T^d}e^{-i (k,t)}\,d\mu(t),\qquad k\in\mathbb Z^d.
\end{equation*}
\notag
$$
Хорошо известно (см., например, [7]), что компакт $E$ является множеством Хелсона тогда и только тогда, когда для произвольной меры $\mu\in M(E)$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\|\mu\|_{M(E)}\leqslant C\sup_{k\in\mathbb Z^d}|\widehat\mu(k)|,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где константа $C>0$ не зависит от $\mu$. Заметим, что это условие достаточно проверять для вещественных мер. Мы отождествляем тор $\mathbb T^d$ с $d$-мерным кубом $[0,2\pi]^d$, а непрерывные на $\mathbb T^d$ функции – с непрерывными $2\pi$-периодическими (по каждой переменной) функциями на $\mathbb R^d$. Всюду далее под кубом мы понимаем замкнутый $d$-мерный куб в $[0,2\pi]^d$ со сторонами, параллельными координатным осям. Доказательство теоремы состоит из трех частей. В первых двух частях мы, модифицируя идею Вика [3], построим на $\mathbb T^d$ совершенное, нигде не плотное множество, являющееся множеством Хелсона. В третьей части мы покажем, что построенное множество имеет положительную $h$-меру Хаусдорфа. 2.1. ПостроениеЗафиксируем положительное $\varepsilon<1/4$ и возрастающую последовательность натуральных чисел $\{p_i\}_{i=1}^\infty$, которую мы подберем позднее. Будем строить множество $E$ по индукции так, что $E=\bigcap_{i=0}^\infty E_i$, где для любого $i=0,1,\dots$ имеем $E_{i+1}\subset E_i$ и $E_i$ является объединением $N_i$ замкнутых непересекающихся кубов $E_i^k$, $k=1,\dots,N_i$ с одинаковыми сторонами, равными $l_i$. Обозначим через $\rho_i$ минимальное из попарных расстояний между $E_i^k$, $k=1,\dots,N_i$. Положим $E_0=[0,2\pi]^d$ и предположим, что множество $E_i$ построено. Будем строить $E_{i+1}$ так, что $E_{i+1}=\bigcap_{j=1}^{2^{N_i}}E_{i,j}$. Здесь для любого $j=1,2,\dots$ имеем $E_{i,j+1}\subset E_{i,j}$ и $E_{i,j}$ является объединением $N_{i,j}$ замкнутых непересекающихся кубов $E_{i,j}^k$, $k=1,\dots,N_{i,j}$ с одинаковыми сторонами, равными $l_{i,j}$. Обозначим через $F(E_i)$ семейство непрерывных на $E_i$ функций, принимающих значения $\pm 1$. Ясно, что $F(E_i)$ состоит из $2^{N_i}$ функций. Мы будем обозначать их $f_i^j$, $j=1,\dots,2^{N_i}$. Построим множество $E_{i,1}$. Положим $p_{i,1}=p_r$, где и рассмотрим множество
$$
\begin{equation}
E_{i, 1}^*=\bigcap_{s=1}^d\bigl\{x\in E_i\colon |f_i^1(x)-g_{i,1}^s(x)|\leqslant\varepsilon\bigr\},
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где $g_{i,1}^s(x_1,\dots,x_d)=\cos(p_{i,1}x_s)$. Мы требуем, чтобы $p_{i,1}$ было велико настолько, что период функции $\cos(p_{i,1}x_s)$ по крайней мере в три раза меньше $l_i$. В этом случае легко видеть, что $E_{i,1}^*$ представляет собой объединений замкнутых кубов (и, возможно, их частей, пересекающихся с границей $E_i$) стороны которых равны $l_{i,1}=C(\varepsilon)/p_{i,1}$, где Действительно, в случае $d=2$, ясно, что для любого $k=1,\dots,N_i$, множества $\bigl\{x\in E_i^k\colon |f_i^1(x)-g_{i,1}^1(x)|\leqslant\varepsilon\bigr\}$ и $\bigl\{x\in E_i^k\colon |f_i^1(x)-g_{i,1}^2(x)|\leqslant\varepsilon\bigr\}$ являются объединениями полос, параллельных осям $x_2$ и $x_1$, соответственно. Ширина каждой из этих полос (если они не пересекают границу $E_i^k$) равна разности между двумя ближайшими решениями уравнения $\cos(p_{i,1}x_s)=1-\varepsilon$. В случае $d>2$ рассуждения аналогичны. Как мы отметили выше, множество $E_{i,1}^*$ является объединением некоторого числа замкнутых кубов со стороной $l_{i,1}$ и, возможно, их частей, которые мы не будем рассматривать в дальнейшем. Обозначим через $n_{i,1}^k$ число кубов, образовавшихся в каждом из $E_i^k$, $k=1,\dots,N_i$, и положим $n_{i,1}=\min_kn_{i,1}^k$. Для каждого $k=1,\dots,N_i$ выберем произвольно $n_{i,1}$ кубов, образующих $E_{i,1}^*$ и содержащихся в $E_i^k$. Объединение всех выбранных кубов обозначим $E_{i,1}$. Таким образом, $E_{i,1}=\bigcup_{k=1}^{N_{i,1}}E_{i,1}^k$, где $N_{i,1}=N_i\cdot n_{i,1}$. Для построения $E_{i,2}$ мы сперва образуем множество $E_{i,2}^*$ приближая (аналогично (2.3)) функцию $f_i^2\in F(E_i)$ функциями $g_{i,2}^s(x_1,\dots,x_d)=\cos(p_{i,2}x_s)$, $s=1,\dots,d$, где $p_{i,2}:=p_{r+1}$, а $r=r(i)$ было определено в (2.2). А именно, положим
$$
\begin{equation*}
E_{i,2}^*=\bigcap_{s=1}^d \bigl\{x\in E_{i,1}\colon |f_i^2(x)-g_{i,2}^s(x)|\leqslant\varepsilon\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь мы снова считаем, что $p_{i,2}$ велико настолько, что период функции $\cos(p_{i,2}x_s)$ по крайней мере в три раза меньше $l_{i,1}$. Для каждого $k=1,\dots,N_{i,1}$ выберем произвольно $n_{i,2}$ кубов, образующих $E_{i,2}^*$ и содержащихся в $E_{i,1}^k$. Здесь $n_{i,2}=\min_kn_{i,2}^k$ и $n_{i,2}^k$ – число кубов, возникающих в каждом из множеств $E_{i,1}^k$, $k=1,\dots,N_{i,1}$. Пусть теперь $E_{i,2}$ – объединение всех выбранных кубов. Тогда $E_{i,2}$ состоит из $N_{i,2}=N_{i,1}\cdot n_{i,2}$ кубов со стороной $l_{i,2}=C/p_{i,2}$, где $C$ было определено в (2.4). Аналогично, приближая (в смысле (2.3)) каждую из функций $f_i^k$, $k=3,\dots,2^{N_i}$, получим множества $E_{i,j}$, $j=3,\dots,2^{N_i}$ и положим $E_{i+1}=\bigcap_{j=1}^{2^{N_i}}E_{i,j}$. Тогда $E_{i+1}$ является объединением $N_{i+1}=N_{i,2^{N_i}}$ кубов и, согласно построению, обладает следующим свойством: каждая функция из семейства $F(E_i)$ приближается на $E_{i+1}$ с точностью $\varepsilon$ по крайней мере одной из функций вида $g_{i,j}^s(x_1,\dots,x_d)=\cos(p_{i,j}x_s)$, где $s\in\{1,\dots,d\}$, $j\in\{1,\dots,2^{N_i}\}$. Это завершает шаг индукции. 2.2. $E$ – множество ХелсонаЧтобы показать, что $E$ является множеством Хелсона, достаточно проверить, что справедливо неравенство (2.1). Пусть $\mu\in M(E)$ – вещественная мера. Зафиксируем $\delta>0$. Ясно, что существует непрерывная на $\mathbb T^d$ функция $\phi$ такая, что $\sup_{x\in\mathbb T^d}|\phi(x)|\leqslant 1$ и
$$
\begin{equation*}
\|\mu\|_{M(E)}\leqslant\biggl|\int_{\mathbb T^d}\phi(x)\,d\mu(x)\biggr|+\delta.
\end{equation*}
\notag
$$
Выберем достаточно большие целые $i$ и $j(i)$ так, что для любого фиксированного $k$ неравенство $|\phi(x)-\phi(y)|\leqslant\varepsilon$ справедливо для всех $x,y\in E_{i,j(i)}^k$ (это возможно, поскольку стороны кубов $E_{i,j(i)}^k$ равны $l_{i,j(i)}=C/p_{i,j(i)}$ и потому стремятся к нулю при $i\to\infty$). Легко видеть, что найдется непрерывная на $E_{i,j(i)}$ функция $f$, принимающая значения $\pm 1,0$, и такая, что
$$
\begin{equation*}
|f(x)-\phi(x)|\leqslant\frac{1}{2}+\varepsilon\qquad \text{для всех}\quad x\in E.
\end{equation*}
\notag
$$
Действительно, рассмотрим три возможных случая. Если $k$ таково, что
Ясно, что существуют функции $f_1,f_2\in F(E_{i,j(i)})$ такие, что $f=(f_1+f_2)/2$. Мы будем считать, что функции $f_1$ и $f_2$ определены на всем $\mathbb T^d$ и равны нулю вне $E_{i,j(i)}$. Заметим, что по построению множества $E$, найдутся натуральные $q_1$, $q_2$ и $s_1, s_2 \in \{1, \dots, d\}$ такие, что
$$
\begin{equation*}
|f_\nu(x)-g_\nu(x)|\leqslant\varepsilon\qquad \text{для всех}\quad x\in E,\quad \nu=1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $g_\nu(x)=g_\nu(x_1,\dots,x_d)=\cos(q_\nu x_{s_\nu})$, $\nu=1,2$. Положим $g=(g_1+g_2)/2$, тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\mu\|_{M(E)} &\leqslant\biggl|\int_{\mathbb T^d}(\phi(x)+f(x)-f(x)+g(x)-g(x))\,d\mu(x)\biggr| +\delta \\ &\leqslant\int_E|\phi(x)-f(x)|\,|d\mu(x)|+\int_E|f(x)-g(x)|\,|d\mu(x)| +\biggl|\int_{\mathbb T^d}g(x)\,d\mu(x)\biggr|+\delta \\ &\leqslant\biggl(\frac{1}{2}+2\varepsilon\biggr)\|\mu\|_{M(E)} +\biggl|\int_{\mathbb T^d}g(x)\,d\mu(x)\biggr|+\delta \\ &\leqslant\biggl(\frac{1}{2}+2\varepsilon\biggr)\|\mu\|_{M(E)} +\sup_{k\in\mathbb Z^d}|\widehat\mu(k)|+\delta. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{1}{2}-2\varepsilon\biggr)\|\mu\|_{M(E)} \leqslant\sup_{k\in\mathbb Z^d}|\widehat\mu(k)|+\delta.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\delta>0$ было выбрано произвольно, а $\varepsilon\in(0;1/4)$, то неравенство (2.1) выполнено и, следовательно, $E$ – множество Хелсона. 2.3. Оценка $h$-меры ХаусдорфаВ этой части доказательства нам будет удобно нумеровать множества $E_{i,j}$ одним индексом вместо двух, поэтому перенумеруем их в соответствии с тем порядком, в котором они возникали при построении множества $E$. Будем обозначать эти множества $E_i$, несмотря на некоторый перегруз обозначений (в параграфе 2.1 обозначение $E_i$ было использовано для других множеств). Итак, $E=\bigcap_{i=1}^\infty E_i$, для любого $i$ множество $E_i$ является объединением $N_i$ кубов $E_i^k$, $k=1,\dots,N_i$, которые мы будем называть кубами $i$-го ранга. Для всех $k=1,\dots,N_{i-1}$ куб $E_{i-1}^k$ содержит $n_i$ кубов $i$-го ранга, т.е. $N_i=N_{i-1}\cdot n_i=\prod_{j=1}^in_j$. Стороны этих кубов равны $l_i=C/p_i$, где константа $C$ определена в (2.4). Кроме того, из построения ясно, что существует константа $C_1=C_1(\varepsilon)$ такая, что попарные расстояния между кубами $E_i^k$ не меньше $\rho_i=C_1/p_i$. Покажем теперь, что для любой определяющей функции $h$ последовательность $\{p_i\}_{i=1}^\infty$ может быть выбрана так, что $\mu_h(E)>0$. Заменяя при необходимости функцию $h$ на
$$
\begin{equation*}
\widetilde h(t)=t^d\inf_{\tau\leqslant t}\frac{h(\tau)}{\tau^d}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
не ограничивая общности, можем считать, что $h(t)/t^d$ монотонно убывает. Напомним, что при построении множества $E$ мы требовали, чтобы $p_i$ было велико настолько, что период функции $\cos(p_ix_s)$ был по крайней мере в три раза меньше $l_{i-1}$. Иначе говоря, необходимо, чтобы
$$
\begin{equation*}
\frac{l_{i-1}}{2\pi/p_i}=\frac{C/p_{i-1}}{2\pi/p_i}\geqslant 3,\qquad i\geqslant 2
\end{equation*}
\notag
$$
или, что то же самое
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \dfrac{p_i}{p_{i-1}}\geqslant\dfrac{6\pi}{C}\,, &i\geqslant 2, \\ p_1\geqslant 3. & \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Несложно показать, что в каждом из кубов $E_{i-1}^k$ $(i\geqslant 2)$ на $i$-ом шаге построения будет получено $\lfloor C_2p_i^d/p_{i-1}^d\rfloor$ кубов (и их частей), где $C_2=C_2(\varepsilon,d)=(C/(2\pi))^d<1$ (здесь $\lfloor u\rfloor$ обозначает целую часть $u$). Действительно, в случае $d=2$, количество полос, параллельных осям $x_1$ и $x_2$, которые возникли при построении множества $E_i^*$ (см. абзац ниже (2.4)), не меньше $l_{i-1}/(2\pi/p_i)$. Так как $l_{i-1}=C/p_{i-1}$, то в каждом из кубов $(i-1)$-го ранга получено $\lfloor C_2p_i^2/p_{i-1}^2\rfloor$ кубов $i$-го ранга. В случае $d>2$ рассуждения аналогичны. Образуя множество $E_i$, мы не включали в него части кубов, которые могли возникнуть при пересечении с границей множества $E_{i-1}$ (т.е. с $(d-1)$-мерными гранями кубов $E_{i-1}^k$). Рассуждения предыдущего абзаца позволяют понять, что в каждом из кубов $E_{i-1}^k$ таких частей не больше $C_3p_i^{d-1}/p_{i-1}^{d-1}$, $(i\geqslant 2)$, где $C_3=C_3(\varepsilon,d)=2d(C/(2\pi))^{d-1}$ (константа $2d$ соответствует количеству $(d-1)$-мерных граней $d$-мерного куба). Тогда имеет место неравенство
$$
\begin{equation*}
n_i\geqslant C_2\biggl(\frac{p_i}{p_{i-1}}\biggr)^d -C_3\biggl(\frac{p_i}{p_{i-1}}\biggr)^{d-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что существует константа $0<C_4<1$ такая, что
$$
\begin{equation}
\begin{cases} C_4\biggl(\dfrac{p_i}{p_{i-1}}\biggr)^d\leqslant n_i \leqslant C_2\biggl(\dfrac{p_i}{p_{i-1}}\biggr)^d, &i\geqslant 2, \\ C_4p_1^d\leqslant n_1\leqslant C_2p_1^d. & \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Построим теперь внешнюю меру $\mu$ с носителем на $E$ следующим образом: положим $\mu(E_0)=1$; для любого $i$ и всех $k=1,\dots,N_i$ положим $\mu(E_i^k)=1/N_i$. Легко видеть, что это мера на кольце, порожденном множествами $E_i^k$, где $i=1,2,\dots$, а $k=1,\dots,N_i$. По теореме Каратеодори она продолжается до внешней меры $\mu$ на сигма-алгебре, порожденной этим кольцом. Кроме того, из построения понятно, что $\mu$ сосредоточена на $E$ и $\mu(E)=1$. Зафиксируем $\delta>0$ и рассмотрим покрытие множества $E$ открытыми шарами $U_\nu$, $\nu=1,\dots,\nu_0$, диаметры которых $\operatorname{diam}(U_\nu)\leqslant\delta$ (достаточно рассматривать конечные покрытия в силу компактности множества $E$). Пусть некоторый такой шар $U$ фиксирован, тогда найдется номер $i$ такой, что $\rho_i\leqslant\operatorname{diam}(U)<\rho_{i-1}$. Несложно понять, что $U$ пересекается не более чем с $(\operatorname{diam}(U)/\rho_i+1)^d$ кубами $E_i^k$. Действительно, в случае $d=2$, поскольку $\operatorname{diam}(U)<\rho_{i-1}$, то $U$ пересекает не более одного куба $(i-1)$-го ранга и, следовательно, не более $n_i$ кубов $i$-го ранга. Зафиксируем теперь диаметр шара $U$, параллельный оси $x_1$, и спроецируем на него кубы $i$-го ранга, пересекающиеся с $U$. Полученные проекции представляют собой непересекающиеся отрезки. Обозначим число этих отрезков через $m$. Тогда $\operatorname{diam}(U) \geqslant (m - 1)\rho_i$, так как $U$ захватит $m-1$ интервал между проекциями, а длина каждого интервала не меньше $\rho_i$. Ясно, что $U$ пересекается не более, чем с $m^2$ кубами $i$-го ранга, откуда следует требуемая оценка. В случае $d>2$ рассуждения аналогичны. Таким образом, $U$ пересекает не более
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{\operatorname{diam}(U)}{\rho_i}+1\biggr)^d \leqslant\biggl(\frac{2\operatorname{diam}(U)}{\rho_i}\biggr)^d
\end{equation*}
\notag
$$
кубов $E_i^k$. Поскольку $\mu(E_i^k)=1/N_i=1/(n_1\dotsb n_i)$, используя полученную выше оценку, имеем
$$
\begin{equation*}
\mu(U)\leqslant\frac{1}{n_1\dotsb n_i} \biggl(\frac{2\operatorname{diam}(U)}{\rho_i}\biggr)^d.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, применяя (2.6), получаем, что
$$
\begin{equation*}
\mu(U)\leqslant\frac{2^d}{(C_4)^ip_i^d} \biggl(\frac{\operatorname{diam}(U)}{\rho_i}\biggr)^d.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $h(t)/t^d$ монотонно убывает, то
$$
\begin{equation*}
\frac{h(\rho_{i-1})}{\rho_{i-1}^d} \leqslant\frac{h(\operatorname{diam}(U))}{\operatorname{diam}(U)^d}
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{\operatorname{diam}(U)}{\rho_i}\biggr)^d \leqslant\biggl(\frac{\rho_{i-1}}{\rho_i}\biggr)^d \frac{h(\operatorname{diam}(U))}{h(\rho_{i-1})}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, так как $\rho_i=C_1/p_i$, получаем
$$
\begin{equation}
\mu(U)\leqslant\frac{2^d}{(C_4)^ip_i^d} \biggl(\frac{\rho_{i-1}}{\rho_i}\biggr)^d \frac{h(\operatorname{diam}(U))}{h(\rho_{i-1})} =\frac{2^d}{(C_4)^i}\,\frac{h(\operatorname{diam}(U))}{p_{i-1}^dh(C_1/p_{i-1})}\,.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Поскольку $h(t)/t^d\to\infty$ при $t\to 0$, последовательность $\{p_i\}_{i=1}^\infty$ может быть выбрана так, что неравенство
$$
\begin{equation}
\frac{2^d}{(C_4)^ip_{i-1}^dh(C_1/p_{i-1})}\leqslant 1
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
выполнено для всех натуральных $i$. Выбирая последовательность $\{p_i\}_{i=1}^\infty$ так, что выполнены (2.5) и (2.8), получим (см. (2.7)) для любого шара $U$, диаметр которого не превосходит $\delta$. Тогда
$$
\begin{equation*}
1=\mu(E)\leqslant\mu\biggl(\bigcup_{\nu=1}^{\nu_0}U_\nu\biggr) \leqslant\sum_{\nu=1}^{\nu_0}\mu(U_\nu) \leqslant\sum_{\nu=1}^{\nu_0}h(\operatorname{diam}(U_\nu))
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, $\mu_h(E)>0$.
3. Замечания1. Как мы отметили во введении, множество Хелсона на $\mathbb T^d$ не может содержать декартово произведение двух бесконечных множеств. Это, по-видимому, известно. Приведем простое и короткое доказательство, ограничиваясь случаем $d=2$ (в случае $d>2$ доказательство аналогично). Пусть $E\subset\mathbb T^2$, $X_1=\{x^1_1,\dots,x^N_1\}\subset\mathbb T$, $X_2=\{x_2^1,\dots,x^N_2\}\subset\mathbb T$ и $X_1\times X_2\subset E$. Определим меру $\mu$ следующим образом: Здесь $\delta_{j,k}$ – дельта-функция Дирака, сосредоточенная в точке $(x^j_1,x^k_2)$, а
$$
\begin{equation*}
u_{j,k}=\frac{1}{\sqrt{N}}\exp\biggl(\frac{2\pi i}{N}\,jk\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Несложно проверить, что матрица $U=\{u_{j,k}\}_{j,k=1}^N$ унитарна. Рассмотрим векторы $a_{\lambda_1}=(e^{-i\lambda_1x_1^1},\dots,e^{-i \lambda_1x_1^N})$ и $a_{\lambda_2}=(e^{-i\lambda_2x_2^1},\dots,e^{-i\lambda_2x_2^N})$, где $\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb Z$. Легко видеть, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sup_{\lambda\in\mathbb Z^2}|\widehat\mu(\lambda)| &=\sup_{\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb Z} \biggl|\sum_{j,k=1}^Nu_{j,k}e^{-i\lambda_1x^j_1}e^{-i\lambda_2x^k_2}\biggr| =\sup_{\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb Z}|(Ua_{\lambda_1},a_{\lambda_2})| \\ &\leqslant\|U\|\,\|a_{\lambda_1}\|_2\,\|a_{\lambda_2}\|_2 \leqslant\|U\|N=N, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\|\cdot\|_2$ – стандартная норма в $\mathbb C^N$, а $\|\cdot\|$ – норма матрицы, как линейного оператора, действующего из $\mathbb C^N$ в $\mathbb C^N$. Предположим, что $E$ – множество Хелсона; тогда в соответствии с (2.1), получим, что
$$
\begin{equation*}
N^{3/2}=\|\mu\|_{M(E)}\leqslant C\sup_{\lambda\in\mathbb Z^2}|\widehat\mu(\lambda)|\leqslant CN,
\end{equation*}
\notag
$$
где $C>0$ не зависит от $N$, что невозможно, если $N$ достаточно велико. 2. Компакт $E\subset\mathbb T^d$ называется множеством Кронекера, если множество $\{e^{i(n,t)}, n\in\mathbb Z^d\}$ плотно (относительно метрики пространства непрерывных функций) в множестве непрерывных на $E$ комплекснозначных функций, равных по модулю единице. Хорошо известно, что всякое множество Кронекера является множеством Хелсона (см., например, [2; гл. 7, § 7]). Теорема Вика, сформулированная нами во введении, в действительности была доказана в более сильной форме. А именно, она гарантирует существование на $\mathbb T$ множеств Кронекера положительной $h$-меры Хаусдорфа для произвольной определяющей функции $h$ такой, что $h(0)=0$ и $h(t)/t\to\infty$ при $t\to 0$. Вопрос о существовании массивных многомерных множеств Кронекера остается открытым. Во введении мы сформулировали вопрос о существовании массивных множеств Хелсона, являющихся непрерывными кривыми в $\mathbb T^2$ (поверхностями в $\mathbb T^3$ и т.д.). Отметим, что множество Кронекера непрерывной кривой являться не может, так как всякое множество Кронекера вполне несвязно (см., например, теоремы 5.2.9 и 5.1.4 в [8]). 4. БлагодарностиАвтор благодарит В. В. Лебедева за помощь и внимание к работе. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ian24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|