| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) К вопросу Шеметкова об В. И. Мурашко Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины, Беларусь
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624050134 
Реферативные базы данных:
  ВведениеРассматриваются только конечные группы. Пусть $\mathfrak{F}$ – класс групп. Напомним [1; с. 127–128], что главный фактор $H/K$ группы $G$ называется $\mathfrak{F}$-центральным, если $\mathfrak{F}$-гиперцентром группы $G$ называется наибольшая нормальная подгруппа $G$, все $G$-главные факторы ниже которой $\mathfrak{F}$-центральны в $G$. Обозначается $\mathrm{Z}_\mathfrak{F}(G)$. Напомним [2; III, определение 3.1], что подгруппа $U$ группы $G$ называется $\mathfrak{F}$-максимальной в $G$, если(a) $U\in\mathfrak{F}$, (b) из $U\leqslant V \leqslant G$ и $V\in\mathfrak{F}$ следует, что $U = V$. Известно, что пересечение максимальных абелевых подгрупп совпадает с центром группы. Бэр [3] доказал, что пересечение максимальных нильпотентных подгрупп совпадает с гиперцентром группы. В 1995 г. на Гомельском алгебраическом семинаре Шеметков поставил следующую проблему: Проблема 1. Для каких нормально наследственных (насыщенных, композиционных) формаций $\mathfrak{F}$ в любой группе пересечение всех $\mathfrak{F}$-максимальных подгрупп совпадает с $\mathfrak{F}$-гиперцентром? Определение 1. Будем говорить, что формация $\mathfrak{F}$ является формацией Бэра–Шеметкова в классе групп $\mathfrak{X}$, если в любой $\mathfrak{X}$-группе пересечение всех $\mathfrak{F}$-максимальных подгрупп совпадает с $\mathfrak{F}$-гиперцентром. Если $\mathfrak{X}$ совпадает с классом всех групп, то будем говорить, что формация $\mathfrak{F}$ является формацией Бэра–Шеметкова. Пересечение максимальных $\mathfrak{F}$-подгрупп, где $\mathfrak{F}$ – наследственная насыщенная формация разрешимых групп изучалось Бейдлеманом и Хайнекеном [4]. Скиба [5] решил проблему Шеметкова для наследственных насыщенных формаций с помощью максимального внутреннего локального экрана. Автор [6] установил, что имеются ненасыщенные ненаследственные формации Бэра–Шеметкова. В частности, класс всех квазинильпотентных групп является такой формацией. Отметим, что все примеры формаций Бэра–Шеметкова, построенные автором, отличные от таких формаций, описанных Скибой, содержат неразрешимые группы. Естественным является вопрос: найдутся ли наследственные формации Бэра–Шеметкова разрешимых групп, не описанные Скибой? В этой работе мы дадим положительный ответ на этот вопрос. Напомним [7], что $(p, q)$-группой Шмидта называется $\{p, q\}$-группа Шмидта с нормальной силовской $p$-подгруппой. $N$-критическим графом $\Gamma_{Nc}(G)$ группы $G$ [7; определение 1.3] называется ориентированный граф, множеством вершин которого является множество $\pi(G)$ всех простых делителей $|G|$ и $(p, q)$ является ребром $\Gamma_{Nc}(G)$ тогда и только тогда, когда в $G$ имеется $(p, q)$-подгруппа Шмидта. $N$-критическим графом $\Gamma_{Nc}(\mathfrak{X})$ класса групп $\mathfrak{X}$ [7; определение 3.1] называется ориентированный граф на множестве вершин $\pi(\mathfrak{X})=\cup_{G\in\mathfrak{X}}\pi(G)$ такой, что
$$
\begin{equation*}
\Gamma_{Nc}(\mathfrak{X})=\bigcup_{G\in\mathfrak{X}}\Gamma_{Nc}(G).
\end{equation*}
\notag
$$
Формация $\mathfrak{F}$ называется центрально насыщенной (кратко $Z$-насыщенной) [8], если $\mathfrak{F}=(G\mid G=\mathrm{Z}_\mathfrak{F}(G))$. Примерами таких формаций являются локальные (насыщенные) и композиционные (Бэр-локальные, разрешимо насыщенные) формации. Описанию данных формаций посвящен вопрос Шеметкова из [9]. Решение этого вопроса начато в работах [8], [10]. Основным результатом работы является. Теорема 1. Пусть $\mathfrak{F}\neq(1)$ – наследственная формация. Следующие условия эквивалентны. 1. Формация $\mathfrak{F}$ является формацией Бэра–Шеметкова. 2. Выполняются следующие условия:
Следствие 1. Пусть $\mathfrak{F}\neq(1)$ – наследственная формация Бэра–Шеметкова $\varphi$-дисперсивных групп для некоторого порядка $\varphi$ на $\mathbb{P}$. Тогда $\mathfrak{F}$ – формация всех нильпотентных групп. Замечание 1. Из того, что наследственная формация $\mathfrak{F}\neq(1)$ разрешимых групп обладает свойствами 2.1 и 2.2 теоремы 1, в общем случае не следует, что $\mathfrak{F}$ является формацией Бэра–Шеметкова (см. доказательство замечания 1). Серию ответов на приведенную выше проблему дает: Теорема 2. Пусть $\mathfrak{F}\neq(1)$ – наследственная формация метанильпотентных групп. Тогда и только тогда $\mathfrak{F}$ является формацией Бэра–Шеметкова, когда формация $\mathfrak{F}$ $Z$-насыщена и существует разбиение $\sigma=\{\pi_i\mid i\in I\}$ множества всех простых чисел $\mathbb{P}$ такое, что $\Gamma_{Nc}(\mathfrak{F})$ – объединение полных ориентированных графов на множествах вершин $\pi_i$, $i\in I$. Сидоров [11] доказал, что формации $\mathfrak{N}^r$ всех групп, нильпотентная длина которых не превосходит $r$, $r\geqslant 2$, являются формациями Бэра–Шеметкова в классе всех разрешимых групп. Легко построить пример (полупрямое произведение знакопеременной группы степени 5 и ее точного неприводимого модуля над полем $\mathbb{F}_p$) показывающий, что $\mathfrak{N}^r$, $r\geqslant 3$, не являются формациями Бэра–Шеметкова. Замечание 2. Имеется несчетное множество наследственных ненасыщенных $Z$-насыщенных формаций $\mathfrak{F}$ метанильпотентных групп таких, что $\Gamma_{Nc}(\mathfrak{F})$ – полный ориентированный граф на $\mathbb{P}$. 1. Предварительные результатыНапомним некоторые определение и обозначения, существенные в данной работе: $\Phi(G)$ – подгруппа Фраттини группы $G$; $\mathrm{O}^\pi(G)$ – наименьшая нормальная подгруппа $G$ такая, что $G/\mathrm{O}^\pi(G)$ – $\pi$-группа; $\mathbb{P}$ – множество всех простых чисел; $\pi'=\mathbb{P}\setminus\pi$ для $\pi\subseteq\mathbb{P}$. $\mathrm{Soc}_\mathfrak{A}(G)$ – произведение всех минимальных нормальных абелевых подгрупп $G$; $\mathbb{F}_p$ – поле из $p$-элементов. Пусть $\mathfrak{F}$ – формация; группа $G\not\in\mathfrak{F}$ называется минимальной не $\mathfrak{F}$-группой, если все ее собственные подгруппы принадлежат $\mathfrak{F}$. Теорема 3 (Шода и Накаяма [2; B, теорема 10.2]). Пусть $G$ – группа и $K$ – поле. Следующие утверждения эквивалентны: Теорема 4 (Барнс и Кегель [12; cледствие 2.2.5]). Пусть $\mathfrak{F}$ – формация, $M$ и $N$ – нормальные подгруппы $G\in\mathfrak{F}$. Предположим, что $M \leqslant C_G(N)$ и пусть $H =N\rtimes G/M$, где $G/M$ действует на $N$ сопряжением. Тогда $H\in\mathfrak{F}$. Пересечение всех $\mathfrak{F}$-максимальных подгрупп группы $G$ обозначается через $\mathrm{Int}_\mathfrak{F}(G)$ (см. [5]) для класс групп $\mathfrak{F}$. Лемма 1. Пусть $\mathfrak{F}$ – наследственная формация и $H$ – подгруппа группы $G$. Тогда (1) [13; лемма 2.4, (iii)] $\mathrm{Z}_\mathfrak{F}(G)\cap H\leqslant\mathrm{Z}_\mathfrak{F}(H)$; (2) если $\mathfrak{F}$ $Z$-насыщена и $H\in\mathfrak{F}$, то $H\mathrm{Z}_\mathfrak{F}(G)\in\mathfrak{F}$; (3) едсли $\mathfrak{F}$ $Z$-насыщена, то $\mathrm{Z}_\mathfrak{F}(G)\leqslant\mathrm{Int}_\mathfrak{F}(G)$. Доказательство. (2) Пусть $\mathfrak{F}$ – наследственная $Z$-насыщенная формация, $H$ – $\mathfrak{F}$-подгруппа группы $G$ и $T=H\mathrm{Z}_\mathfrak{F}(G)$. Тогда $\mathrm{Z}_\mathfrak{F}(G)\leqslant \mathrm{Z}_\mathfrak{F}(T) $ по п. (1), т.е. всякий главный фактор $T$ ниже $\mathrm{Z}_\mathfrak{F}(G)$ $\mathfrak{F}$-централен. Из $T/\mathrm{Z}_\mathfrak{F}(G)\simeq H/(H\cap \mathrm{Z}_\mathfrak{F}(G))\in\mathfrak{F}$ следует, что всякий главный фактор $T$ выше $\mathrm{Z}_\mathfrak{F}(G)$ $\mathfrak{F}$-централен. Итак, $\mathrm{Z}_\mathfrak{F}(T)=T\in\mathfrak{F}$.
(3) Пусть $M$ – $\mathfrak{F}$-максимальная подгруппа группы $G$. Тогда $M\mathrm{Z}_\mathfrak{F}(G)\in\mathfrak{F}$ по п. (2). Итак, $\mathrm{Z}_\mathfrak{F}(G)\leqslant M\mathrm{Z}_\mathfrak{F}(G)=M$. Следовательно, $\mathrm{Z}_\mathfrak{F}(G)\leqslant\mathrm{Int}_\mathfrak{F}(G)$. Напомним, что для формации $\mathfrak{F}$ класс групп $\mathfrak{N}_p\mathfrak{F}=(G\mid G/\mathrm{O}_p(G)\in\mathfrak{F})$ является формацией. Лемма 2 [14; лемма 1]. Пусть $\mathfrak{F}$ – формация, $H/K$ – главный фактор группы $G$, $p\in\pi(H/K)$ и $H\leqslant M\leqslant G$. Если $H/K$ абелев и $M/C_M(U/V)\in\mathfrak{F}$ для любого $M$-композиционного фактора $U/V$ между $K$ и $H$, то $M/C_M(H/K)\in\mathfrak{N}_p\mathfrak{F}$. 2. ДоказательстваНапомним [1; п. 24.1], что $\mathfrak{F}^S$ обозначает класс групп, все подгруппы которых принадлежат формации $\mathfrak{F}$. Следующая теорема устанавливает связь между $Z$-насыщенными формациями и формациями Бэра–Шеметкова а также описывает $N$-критический граф таких формаций в наследственном случае. Теорема 5. Пусть $\mathfrak{F}\neq(1)$ – формация Бэра–Шеметкова в классе всех $\pi$-групп, состоящая из $\pi$-групп. Тогда $\mathfrak{F}$ – $Z$-насыщенная формация, содержащая все нильпотентные $\pi$-группы, и существует такое разбиение $\sigma=\{\pi_i\mid i\in I\}$ множества $\pi$, что $\Gamma_{Nc}(\mathfrak{F}^S)$ – объединение полных графов на $\pi_i$ для всех $i\in I$. Замечание 3. (1) Согласно [7; теорема 5.4], если существует такое разбиение $\sigma=\{\pi_i\mid i\in I\}$ множества $\pi$, что $\Gamma_{Nc}(\mathfrak{F})$ – объединение графов на $\pi_i$ для всех $i\in I$, то всякая $\mathfrak{F}$-группа $G$ есть прямое произведение своих холловых $\pi_k$-подгрупп, где $\pi_k\cap\pi(G)\neq\emptyset$ и $k\in I$. (2) Частный случай теоремы 5, когда $\mathfrak{F}$ – формация с условием Шеметкова, был доказан в [15]. Напомним [16; теорема 26.2], что подгруппа Фраттини группы Шмидта совпадает с ее гиперцентром. Поэтому, если $Z$-насыщенная формация содержит некоторую $(p, q)$-группу Шмидта и все ее подгруппы, то она содержит и все $(p, q)$-группы Шмидта. Доказательство. (1) Формация $\mathfrak{F}$ $Z$-насыщена.
Предположим, что $G=\mathrm{Z}_\mathfrak{F}(G)$. Очевидно, что $G$ – $\pi$-группа. Тогда $G=\mathrm{Int}_\mathfrak{F}(G)$. Следовательно, $G$ является $\mathfrak{F}$-максимальной в $G$ подгруппой. Итак, $G\in\mathfrak{F}$. Следовательно, формация $\mathfrak{F}$ $Z$-насыщена. (2) $\mathfrak{F}^S\neq (1)$. Так как $\mathfrak{F}\neq (1)$, $\pi$ непусто. Докажем, что $\mathfrak{F}^S\neq (1)$. Предположим противное. Значит, всякая простая абелева группа не принадлежит $\mathfrak{F}$. Заметим, что фактор группа любой группы по ее максимальной нормальной подгруппе – простая группа. Так как $\mathfrak{F}\neq(1)$ – формация, некоторая простая неабелева группа $G$ принадлежит $\mathfrak{F}$. Пусть $p\in\pi$, $H=G\wr Z_p$ – регулярное сплетение группы $G$ с циклической группой $Z_p$ порядка $p$ и $N$ – база сплетения $H$. Так как $G$ – простая неабелева группа, можно заметить, что $N$ – минимальная нормальная подгруппа группы $H$. Пусть $K$ – $\mathfrak{F}$-максимальная подгруппа группы $H$. Тогда – подгруппа группы $H/N\simeq Z_p\not\in\mathfrak{F}$. Следовательно, $K/(K\cap N)\simeq 1$. Значит, $K\leqslant N$. Таким образом, $N$ – единственная $\mathfrak{F}$-максимальная подгруппа группы $H$. Итак, $N=\mathrm{Z}_\mathfrak{F}(H)$, откуда Значит, $H\in\mathfrak{F}$. То есть $H/N\simeq Z_p\in\mathfrak{F}$, противоречие. Итак, $\mathfrak{F}^S\neq (1)$.(3) $\pi(\mathfrak{F}^S)=\pi$ и $\mathfrak{F}$ содержит все нильпотентные $\pi$-группы. Предположим, что найдется простое число $q\in\pi\setminus\pi(\mathfrak{F}^S)$. Значит, $Z_q\not\in\mathfrak{F}$. Так как $\mathfrak{F}^S\neq (1)$, найдется простое число $p$ такое, что $Z_p\in\mathfrak{F}^S\subseteq\mathfrak{F}$. Тогда для $Z_q$ найдется точный неприводимый модуль $V$ над $\mathbb{F}_p$ по теореме Шода–Накаяма. Пусть $G=G(p, q)=V \rtimes Z_q$. Заметим, что $V$ – нормальная силовская $p$-подгруппа группы $G$. Значит, $V$ – единственная $\mathfrak{F}$-максимальная подгруппа группы $G$. Тогда $V=\mathrm{Z}_{\mathfrak{F}}(G)$ по нашему предположению. Так как $V$ – главный фактор группы $G$, Из того, что $\mathfrak{F}$ – формация, следует, что $G/V\simeq Z_q\in\mathfrak{F}$, противоречие.Так как $Z_p\in\mathfrak{F}$ для всех $p\in\pi$ и формация $\mathfrak{F}$ $Z$-насыщена, нетрудно видеть, что $\mathfrak{F}$ содержит все нильпотентные $\pi$-группы. (4) Пусть $r\neq p\neq q$ – простые числа и $(r, p)\in\Gamma_{Nc}(\mathfrak{F}^S)$. Если $(r, q)\in\Gamma_{Nc}(\mathfrak{F}^S)$ или $r=q$, то $(p, q)\in\Gamma_{Nc}(\mathfrak{F}^S)$. Предположим, что $r\neq p\neq q$ – простые числа, $(r, p)\in\Gamma_{Nc}(\mathfrak{F}^S)$, $(p, q)\not\in\Gamma_{Nc}(\mathfrak{F}^S)$ и $(r, q)\in\Gamma_{Nc}(\mathfrak{F}^S)$ или $r=q$. Тогда $G(p, q)$ – минимальная не-$\mathfrak{F}^S$-группа согласно $\mathfrak{N}_\pi\subseteq\mathfrak{F}$ и нашему предположению. Итак, $G(p, q)\not\in \mathfrak{F}$. Для $G(p, q)$ существует точный неприводимый модуль $T$ над $\mathbb{F}_r$ по теореме Шода–Накаяма. Пусть $H=H(r, p, q)=T\rtimes G(p, q)$. Из $G(p, q)\not\in \mathfrak{F}$ следует, что если $K$ – $\mathfrak{F}$-максимальная подгруппа группы $H$, то $KT<H$. Покажем, что любая максимальная подгруппа $M$ группы $H$, содержащая $T$, принадлежит $\mathfrak{F}$. Заметим, что $T$ – нормальная $r$-подгруппа группы $M$ и $M/T$ изоморфна максимальной подгруппе группы $G(p, q)$, что, в свою очередь, является или прямым произведением $V$ групп порядка $p$, или группой $Z_q$ порядка $q$. Тогда во всех этих случаях в $M$ имеется нормальная силовская $r$-подгруппа. Следовательно, $ (A/B)\rtimes M/C_M(A/B)$ может быть изоморфна $Z_n$ для $n\in\{r, p, q\}$ или $(r, n)$-группе Шмидта с единичной подгруппой Фраттини для $n\in\{p, q\}$ для любого главного фактор $A/B$ группы $M$. Все указанные подгруппы принадлежат $\mathfrak{F}$. Значит, $ \mathrm{Z}_\mathfrak{F}(M)=M\in\mathfrak{F}$ в виду $Z$-насыщенности $\mathfrak{F}$. Следовательно, множества всех $\mathfrak{F}$-максимальных подгрупп и всех максимальных подгрупп, содержащих $T$, совпадают. Итак, $T\leqslant \mathrm{Int}_\mathfrak{F}(H)$. Из равенства $\mathrm{Z}_\mathfrak{F}(H)=\mathrm{Int}_\mathfrak{F}(H)$ следует, что $T\leqslant \mathrm{Z}_\mathfrak{F}(H)$. Заметим, что $T$ – главный фактор группы $H$. Итак,
$$
\begin{equation*}
T\rtimes (H/C_H(T))\simeq T\rtimes G(p, q)\in\mathfrak{F}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $G(p, q)\in\mathfrak{F}$. Так как $G(p, q)$ – $(p, q)$-группа Шмидта, все собственные подгруппы которой принадлежат $\mathfrak{F}^S$, $G(p, q)\in\mathfrak{F}^S$ и $(p, q)\in\Gamma_{Nc}(\mathfrak{F}^S)$, противоречие.
(5) Существует такое разбиение $\sigma=\{\pi_i\mid i\in I\}$ множества $\pi$, что $\Gamma_{Nc}(\mathfrak{F}^S)$ – объединение полных графов на $\pi_i$ для всех $i\in I$. Пусть $\sim$ – отношение на множестве всех простых чисел $\mathbb{P}$ такое, что $p\sim p$ и $p\sim q$ если $(p, q)\in\Gamma_{Nc}(\mathfrak{F}^S)$ для $p\neq q$. Ясно, что отношение $\sim$ рефлексивно. Из утверждение (4) для $r=q$ следует, что, если $(q, p)\in\Gamma_{Nc}(\mathfrak{F}^S)$, то $(p, q)\in\Gamma_{Nc}(\mathfrak{F}^S)$. Итак, отношение $\sim$ симметрично. Из симметричности отношения $\sim$ и утверждения (4) следует, что, если $(p, r), (r, q) \in\Gamma_{Nc}(\mathfrak{F}^S)$, то $(p, q)\in\Gamma_{Nc}(\mathfrak{F}^S)$. Тогда отношение $\sim$ транзитивно. Значит, отношение $\sim$ – отношение эквивалентности. Пусть $\pi_i$ – $i$-й класс эквивалентности отношения $\sim$. Тогда $\sigma=\{\pi_i\mid i\in I\}$ – разбиение множества $\mathbb{P}$. Пусть $\Gamma_i$ – порожденный подграф графа $\Gamma_{Nc}(\mathfrak{F}^S)$ на множестве вершин $\pi_i$. Ясно, что $\Gamma_i$ – полный граф на $\pi_i$. Итак, мы доказали, что существует такое разбиение $\sigma=\{\pi_i\mid i\in I\}$ множества $\pi$, что $\Gamma_{Nc}(\mathfrak{F}^S)$ – объединение полных графов на $\pi_i$ для всех $i\in I$. Пусть $\sigma=\{\pi_i \mid i\in I\}$ – разбиение $\mathbb{P}$. Напомним [17], что группа $G$ называется $\sigma$-нильпотентной, если она имеет нормальную холлову $\pi_i$-подгруппу для любого $i\in I$. Пересечение нормализаторов всех $\mathfrak{X}$-максимальных подгрупп группы $G$ обозначается через $\mathrm{NI}_\mathfrak{X}(G)$. Следующая теорема является существенным развитием результата автора, полученного в [18]. Теорема 6. Пусть $\sigma=\{\pi_i \mid i\in I\}$ – разбиение $\mathbb{P}$ и $\mathfrak{F}$ – наследственная формация $\sigma$-нильпотентных групп. Следующие утверждения эквивалентны: Следствие 3. Пусть $\mathfrak{F}\neq(1)$ – наследственная формация Бэра–Шеметкова и $\sigma$ – разбиение множества $\mathbb{P}$. Тогда класс всех $\sigma$-нильпотентных $\mathfrak{F}$-групп является формацией Бэра–Шеметкова. Предложение 1. Пусть $\sigma=\{\pi_i \mid i\in I\}$ – разбиение $\mathbb{P}$, $\mathfrak{F}$ – наследственная формация $\sigma$-нильпотентных групп и формация $\mathfrak{F}_{\pi_i}$ всех $\pi_i$-групп, принадлежащих $\mathfrak{F}$, $Z$-насыщенна для любого $i\in I$. Тогда формация $\mathfrak{F}$ $Z$-насыщена. Доказательство. Предположим, что $G=\mathrm{Z}_{\mathfrak{F}}(G)$. Так как класс всех $\sigma$-нильпотентных групп является насыщенной формацией и содержит $\mathfrak{F}$, мы видим, что $G$ – $\sigma$-нильпотентная группа. Пусть $H_{\pi_i}$ – холлова $\pi_i$-подгруппа группы $G$. Итак,
$$
\begin{equation*}
H_{\pi_i}=G\cap H_{\pi_i}=\mathrm{Z}_{\mathfrak{F}}(G)\cap H_{\pi_i}\leqslant\mathrm{Z}_{\mathfrak{F}}(H_{\pi_i})=\mathrm{Z}_{\mathfrak{F}_{\pi_i}}(H_{\pi_i})\leqslant H_{\pi_i}
\end{equation*}
\notag
$$
по п. (1) леммы 1. Итак, $H_{\pi_i}=\mathrm{Z}_{\mathfrak{F}}(H_{\pi_i})\in\mathfrak{F}_{\pi_i}\subseteq\mathfrak{F}$. Значит, $G$ является прямым произведением $\mathfrak{F}$-групп. Так как $\mathfrak{F}$ – формация, $G\in\mathfrak{F}$. Итак, $\mathfrak{F}$ – $Z$-насыщенная формация. Пусть $\mathfrak{F}$ – класс групп. Напомним [2; III, определение 3.2], что $\mathfrak{F}$-проектором группы $G$ называется такая подгруппа $M$, что $MN/N$ – $\mathfrak{F}$-максимальная подгруппа группы $G/N$ для любой $N\trianglelefteq G$. Как следует из [2; III, теорема 3.10], если $\mathfrak{F}$ – формация, то $\mathfrak{F}$-проекторы существуют в любой группе тогда и только тогда, когда $\mathfrak{F}$ насыщена. Предложение 2. Пусть $\mathfrak{F}$ – $Z$-насыщенная формация и группа $G=AB$ – произведение нормальных $\mathfrak{F}$-подгрупп $A$ и $B$. Если $A$ – прямое произведение изоморфных простых групп, то $G\in\mathfrak{F}$. Доказательство. Пусть $G=AB$ – контрпример наименьшего порядка. Так как условия предложения сохраняются при гомоморфизмах и $\mathfrak{F}$ – формация, то в $G$ имеется единственная минимальная нормальная подгруппа $N$ и $G/N\in\mathfrak{F}$. Тогда $N\leqslant A\cap B$. Пусть $N_1$ – минимальная нормальная подгруппа $B$, содержащаяся в $N$. Если $A$ абелева, то очевидно, что $N_1\trianglelefteq A$. Если $A$ неабелева, то $N_1\trianglelefteq A=N_1\times N_2$ для некоторой $N_2\leqslant A$ по [19; лемма 13.16, (a)]. Значит, $N_1\trianglelefteq G$. Тогда $N_1=N$. Заметим, что $B/C_B(N)\simeq G/C_G(N)$. Тогда $N\rtimes G/C_G(N)\simeq N\rtimes B/C_B(N)\in\mathfrak{F}$ по теореме Барнса–Кегеля. Так как $\mathfrak{F}$ $Z$-насыщена, то $G\in\mathfrak{F}$, противоречие. 2.1. Доказательство теоремы 6(1) $\Rightarrow$ (2). Так как $\mathfrak{F}$ – формация Бэра–Шеметкова, то, очевидно, что $\mathfrak{F}$ – формация Бэра–Шеметкова в классе всех $\pi_i$-групп для любого $i\in I$. (2) $\Rightarrow$ (3). Предположим, что $\mathfrak{F}$ – формация Бэра–Шеметкова в классе всех $\pi_i$-групп для любого $i\in I$. Из этого следует, что формация $\mathfrak{F}_{\pi_i}$ всех $\pi_i$-групп, принадлежащих $\mathfrak{F}$, является формацией Бэра–Шеметкова в классе всех $\pi_i$-групп для любого $i\in I$. Значит, $\mathfrak{F}_{\pi_i}$ – $Z$-насыщенная формация и $\mathfrak{N}_{\pi_i}\subseteq\mathfrak{F}_{\pi_i}$ для любого $i\in I$ по теореме 5 для любого $i\in I$. По предложению 1 $\mathfrak{F}$ – $Z$-насыщенная формация. Покажем, что $\bigcap_{i\in I}\mathrm{NI}_{\mathfrak{F}_{\pi_i}}(G)=\mathrm{Z}_\mathfrak{F}(G)$ верно для любой группы $G$. (a) $\mathrm{O}^{\pi_i'}(\mathrm{NI}_{\mathfrak{F}_{\pi_i}}(G))\in\mathfrak{F}_{\pi_i}$ для любого $i\in I$. Так как класс всех нильпотентных $\pi_i$-групп является насыщенной формацией, в $\mathrm{NI}_{\mathfrak{F}_{\pi_i}}(G)$ имеется $\mathfrak{N}_{\pi_i}$-проектор $K$. Из $K\in\mathfrak{F}_{\pi_i}$ следует, что $K$ содержится в некоторой $\mathfrak{F}_{\pi_i}$-максимальной подгруппе $L$ группы $\mathrm{NI}_{\mathfrak{F}_{\pi_i}}(G)$. Заметим, что $L$ содержится в $\mathfrak{F}_{\pi_i}$-максимальной подгруппе $M$ группы $G$. Тогда $M\cap \mathrm{NI}_{\mathfrak{F}_{\pi_i}}(G)\in\mathfrak{F}_{\pi_i}$ ввиду того, что $\mathfrak{F}_{\pi_i}$ – наследственная формация. Из $L\leqslant M\cap \mathrm{NI}_{\mathfrak{F}_{\pi_i}}(G)\leqslant \mathrm{NI}_{\mathfrak{F}_{\pi_i}}(G)$ следует, что $L= M\cap \mathrm{NI}_{\mathfrak{F}_{\pi_i}}(G)$. Пусть $x\in \mathrm{NI}_{\mathfrak{F}_{\pi_i}}(G)$. Тогда $M^x=M$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
L^x=M^x\cap \mathrm{NI}_{\mathfrak{F}_{\pi_i}}(G)^x=M\cap \mathrm{NI}_{\mathfrak{F}_{\pi_i}}(G)=L.
\end{equation*}
\notag
$$
То есть $L\trianglelefteq \mathrm{NI}_{\mathfrak{F}_{\pi_i}}(G)$. Из того, что в $L$ содержится $\mathfrak{N}_{\pi_i}$-проектор следует, что $\mathrm{NI}_{\mathfrak{F}_{\pi_i}}(G)/L$ является $\pi_i'$-группой. Так как $L$ – $\pi_i$-группа, $\mathrm{O}^{\pi_i'}(\mathrm{NI}_{\mathfrak{F}_{\pi_i}}(G))=L\in\mathfrak{F}_{\pi_i}$. (b) $D=\bigcap_{i\in I}\mathrm{NI}_{\mathfrak{F}_{\pi_i}}(G)\in\mathfrak{F}$. Пусть $D=\bigcap_{i\in I}\mathrm{NI}_{\mathfrak{F}_{\pi_i}}(G)$. Согласно (a), $\mathrm{O}^{\pi_i'}(\mathrm{NI}_{\mathfrak{F}_{\pi_i}}(G)) $ является $\pi_i$-группой. Значит, $\mathrm{NI}_{\mathfrak{F}_{\pi_i}}(G)$ имеет принадлежащую $\mathfrak{F}_{\pi_i}$ нормальную холлову $\pi_i$-подгруппу. Следовательно, эта подгруппа характеристична в $\mathrm{NI}_{\mathfrak{F}_{\pi_i}}(G)$ и, значит, нормальна в $G$. Тогда $D$ имеет нормальные холловы $\pi_i$-подгруппы, принадлежащие $\mathfrak{F}_{\pi_i}$, для всех $i\in I$. Итак, $D\in\mathfrak{F}$. (c) Предположение индукции. Предположим, что мы доказали, что $K\leqslant \mathrm{Z}_\mathfrak{F}(G)$, где $K\trianglelefteq G$ и $K\leqslant D$ (это очевидно доказано для $K=1$). Пусть $H/K$ – главный фактор $G$ ниже $D$. Тогда $\pi(H/K)\subseteq\pi_n$ для некоторого $n\in I$ согласно (b). Докажем, что $H\leqslant \mathrm{Z}_\mathfrak{F}(G)$. (d) $\mathrm{O}^{\pi_n}(G)\leqslant C_G(H/K)$. Напомним, что $\mathfrak{N}_{\pi_i}\subseteq\mathfrak{F}_{\pi_i}$ для любого $i\in I$. Тогда для любого $\mathfrak{N}_{\pi_i}$-проектора $N_{\pi_i}$ группы $G$ найдется $\mathfrak{F}_{\pi_i}$-максимальная подгруппа $M(N_{\pi_i})$ группы $G$, его содержащая. Заметим, что $M(N_{\pi_i})K/K\cap H/K=K/K$ и $M(N_{\pi_i})K/K\trianglelefteq M(N_{\pi_i})H/K$ при $i\neq n$. Тогда $M(N_{\pi_i})H/K=(M(N_{\pi_i})K/K)\times (H/K)$. Следовательно, $C_G(H/K)$ содержит все $\mathfrak{N}_{\pi_i}$-проекторы для любого $i\neq n$. Из $C_G(H/K)\trianglelefteq G$ следует, что $\mathrm{O}^{\pi_n}(G)\leqslant C_G(H/K)$. (e) $H/K\leqslant\mathrm{Int}_\mathfrak{F}(G/K)$. Пусть $M/K$ – $\mathfrak{F}$-максимальная подгруппа $G$. Так как $K\leqslant \mathrm{Z}_\mathfrak{F}(G)\cap M$, то $K\leqslant \mathrm{Z}_\mathfrak{F}(M)$ по п. (1) леммы 1. Тогда $M\in\mathfrak{F}$ в силу $Z$-насыщенности формации $\mathfrak{F}$. Значит, $M$ – $ \mathfrak{F}$-максимальная подгруппа $G$. Из $H\leqslant D$ следует, что $H$ нормализует $M$. Тогда $H/K$ нормализует $M/K$. Заметим, что $H/K\in\mathfrak{F}$ – прямое произведение изоморфных простых групп. Тогда $(M/K)(H/K)\in\mathfrak{F}$ по предложению 2. В силу $\mathfrak{F}$-максимальности $M/K$ получаем, что $(M/K)(H/K)=M/K$ и $H/K\leqslant M/K$. Итак, $H/K\leqslant\mathrm{Int}_\mathfrak{F}(G/K)$. (f) $H/K\leqslant \mathrm{Z}_{\mathfrak{F}_{\pi_n}}(R/K)$ для $\mathfrak{G}_{\pi_n}$-проектора $R/K$ группы $G/K$. Пусть $R/K$ – $\mathfrak{G}_{\pi_n}$-проектор $G/K$. Тогда Из $\pi_n((R/K)(H/K))\subseteq\pi_n$ следует, что $(R/K)(H/K)=R/K$ и $H/K\leqslant R/K$. Заметим, что множества $\mathfrak{F}$-максимальных и $\mathfrak{F}_{\pi_n}$-максимальных подгрупп $R/K$ совпадают и для любой $\mathfrak{F}$-максимальной подгруппы $M_1/K$ группы $R/K$ найдется $\mathfrak{F}$-максимальная в $G$ подгруппа $M/K$, ее содержащая. Тогда $H/K\leqslant (G/K)\cap (M/K)=M_1/K$ в силу наследственности $\mathfrak{F}$. Следовательно, $H/K\leqslant \mathrm{Int}_{\mathfrak{F}_{\pi_n}}(R/K)$. Итак, $H/K\leqslant \mathrm{Z}_{\mathfrak{F}_{\pi_n}}(R/K)$ согласно (2).(g) $H/K$ – главный фактор $R/K$. Напомним, что $\mathrm{O}^{\pi_n}(G)K/K=\mathrm{O}^{\pi_n}(G/K)$. Тогда $\mathrm{O}^{\pi_n}(G/K)\leqslant C_{G/K}(H/K)$ по (d). Предположим, что $N/K$ – минимальная нормальная подгруппа $R/K$ такая, что $K/K\neq N/K<H/K$. Так как $(R/K)\mathrm{O}^{\pi_n}(G/K)=G/K$, то $N/K\trianglelefteq G/K$. Значит, $H/K$ – не главный фактор $G$, противоречие. Итак, $H/K$ – главный фактор $R/K$. (h) $H/K$ – $\mathfrak{F}$-центральный главный фактор $G$. Из $(R/K)\mathrm{O}^{\pi_n}(G/K)=G/K$ следует, что $G/C_G(H/K)\simeq (R/K)/C_{R/K}(H/K)$. Значит, так как $H/K\leqslant \mathrm{Z}_{\mathfrak{F}_{\pi_n}}(R/K)$, то
$$
\begin{equation*}
H/K\rtimes G/C_G(H/K) \simeq H/K\rtimes (R/K)/C_{R/K}(H/K)\in\mathfrak{F}_{\pi_n}\subseteq\mathfrak{F}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $H/K$ – $\mathfrak{F}$-центральный главный фактор $G$. (i) $D= \mathrm{Z}_{\mathfrak{F}}(G)$. В силу индукции $D\leqslant \mathrm{Z}_\mathfrak{F}(G)$. Докажем обратное включение. Пусть $H$ – $\mathfrak{F}_{\pi_i}$-максимальная подгруппа группы $G$ для некоторого $i\in I$. Тогда $H\mathrm{Z}_{\mathfrak{F}}(G)\in \mathfrak{F}$ по п. (2) леммы 1. Так как $H$ – $\mathfrak{F}_{\pi_i}$-максимальная подгруппа группы $G$, то $H$ – $\mathfrak{F}_{\pi_i}$-максимальная подгруппа $H\mathrm{Z}_{\mathfrak{F}}(G)$. Итак, $H\trianglelefteq H\mathrm{Z}_{\mathfrak{F}}(G)$. Тогда $\mathrm{Z}_{\mathfrak{F}}(G)\leqslant D$. Значит, $D= \mathrm{Z}_{\mathfrak{F}}(G)$. (3) $\Rightarrow$ (1). Предположим, что $\bigcap_{i\in I}\mathrm{NI}_{\mathfrak{F}_i}(G)=\mathrm{Z}_\mathfrak{F}(G)$ верно для любой группы $G$ и $\mathfrak{F}$ – $Z$-насыщенная формация. Пусть $H$ – $\mathfrak{F}_{\pi_i}$–максимальная подгруппа группы $G$ для некоторого $i\in I$. Заметим, что $H\mathrm{Int}_\mathfrak{F}(G)\in\mathfrak{F}$ и $H$ – $\mathfrak{F}_{\pi_i}$–максимальная подгруппа группы $H\mathrm{Int}_\mathfrak{F}(G)$. Тогда $H\trianglelefteq H\mathrm{Int}_\mathfrak{F}(G)$. Значит, $\mathrm{Int}_\mathfrak{F}(G)\leqslant N_G(H)$ для любой $\mathfrak{F}_{\pi_i}$–максимальной подгруппы $H$ группы $G$ и любого $i\in I$. Из $\bigcap_{i\in I}\mathrm{NI}_{\mathfrak{F}_i}(G)=\mathrm{Z}_\mathfrak{F}(G)$ следует, что $\mathrm{Int}_\mathfrak{F}(G)\leqslant\mathrm{Z}_\mathfrak{F}(G)$. Из п. (3) леммы 1 следует, что $\mathrm{Z}_\mathfrak{F}(G)\leqslant\mathrm{Int}_\mathfrak{F}(G)$. Итак, $\mathrm{Int}_\mathfrak{F}(G)=\mathrm{Z}_\mathfrak{F}(G)$. 2.2. Доказательство теоремы 11 $\Rightarrow$ 2 напрямую следует из теоремы 5. Из [7; теорема 5.4] следует, что если выполняется условие 2.2, то $\mathfrak{F}$ состоит из $\sigma$-нильпотентных групп. Тогда 2 $\Rightarrow$ 1 напрямую следует из теоремы 6 и условия 2.3. 2.3. Доказательство следствия 1Так как всякая группа из $\mathfrak{F}$ $\varphi$-дисперсивна, то из того, что $(p,q)$-группа Шмидта принадлежит $\mathfrak{F}$ следует, что все $(q,p)$-группы Шмидта не принадлежат $\mathfrak{F}$. Следовательно, все полные ориентированные подграфы из $\Gamma_{Nc}(\mathfrak{F})$ имеют одну вершину. Тогда $\Gamma_{Nc}(\mathfrak{F})$ не имеет ребер по теореме 1. Значит, $\mathfrak{F}$ – формация нильпотентных групп. Из $\pi(\mathfrak{F})=\mathbb{P}$ и $Z$-насыщенности формации $\mathfrak{F}$ следует, что $\mathfrak{F}$ совпадает с классом всех нильпотентных групп, который является формацией Бэра–Шеметкова согласно результата Бэра. Лемма 3. Пусть $\mathfrak{F}$ – наследственная $Z$-насыщенная формация, и пусть $\pi=\pi(\mathfrak{F})$, $\Gamma_{Nc}(\mathfrak{F})$ – полный граф на $\pi$ и $G$ – $\pi$-группа. Если $G/\Phi(G)$ является группой Шмидта, то $G\in\mathfrak{F}$. Доказательство. Пусть $G/\Phi(G)$ – $(p, q)$-группа Шмидта. Хорошо известно, что все $(p, q)$-группы Шмидта с единичной подгруппой Фраттини изоморфны. Из того, что $\Gamma_{Nc}(\mathfrak{F})$ – полный граф на $\pi$ и $G$ – $\pi$-группа следует, что $G/\Phi(G)\in \mathfrak{F}$. Так как $G/\Phi(G)$ $p$-замкнута, то и $G$ $p$-замкнута, т.е. силовская $P$ $p$-подгруппа нормальна в группе $G$. Пусть $H/K$ – главный фактор группы $G$, лежащий ниже $\Phi(G)$. Если $H/K$ – $q$-группа, то $P\leqslant C_G(H/K)$ и $G/C_G(H/K)$ не содержит нормальных $q$-подгрупп. То есть $C_G(H/K)=G$ и $(H/K)\rtimes (G/C_G(H/K))\simeq Z_q\in\mathfrak{F}$. Если $H/K$ – $p$-группа, то $\mathrm{O}_q(\Phi(G))\leqslant C_G(H/K)$ и $G/C_G(H/K)$ не содержит нормальных $p$-подгрупп. Итак, $G/C_G(H/K)\in\{1, Z_q\}$. Следовательно, $(H/K)\rtimes (G/C_G(H/K))$ изоморфна или $Z_p$, или $(p, q)$-группе Шмидта с единичной подгруппой Фраттини. Обе эти группы принадлежат $\mathfrak{F}$. Итак, все главные факторы группы $G$, лежащие ниже $\Phi(G)$, $\mathfrak{F}$-центральны. Тогда $G=\mathrm{Z}_\mathfrak{F}(G)\in\mathfrak{F}$ в силу $Z$-насыщенности $\mathfrak{F}$. 2.4. Доказательство теоремы 2Пусть $\mathfrak{F}$ – наследственная $Z$-насыщенная формация метанильпотентных групп. Предположим, что $\mathfrak{F}$ – формация Бэра–Шеметкова. Тогда существует разбиение $\sigma=\{\pi_i\mid i\in I\}$ множества $\mathbb{P}$ такое, что $\Gamma_{Nc}(\mathfrak{F})$ – объединение полных ориентированных графов на множествах вершин $\pi_i$, $i\in I$, по теореме 1. Предположим теперь, что существует разбиение $\sigma=\{\pi_i\mid i\in I\}$ множества $\mathbb{P}$ такое, что $\Gamma_{Nc}(\mathfrak{F})$ – объединение полных ориентированных графов на множествах вершин $\pi_i$, $i\in I$. Пусть $\pi=\pi_i$ для некоторого $i\in I$. Докажем, что $\mathfrak{F}$ – формация Бэра–Шеметкова в классе всех $\pi$-групп. Заметим, что $\Gamma_{Nc}(\mathfrak{F}\cap\mathfrak{G}_\pi)$ – полный граф на $\pi$. Пусть $G$ – $\pi$-группа и $H/K$ – главный фактор группы $G$, лежащий ниже $\mathrm{Int}_\mathfrak{F}(G)$. Очевидно, что $H/K$ абелев. Тогда $H/K$ – $p$-группа для некоторого простого $p$. (a) $MC_G(H/K)/C_G(H/K)\simeq M/C_M(H/K)\in \mathfrak{N}_p\mathfrak{N}$, в частности $p$-замкнута, для любой $\mathfrak{F}$-максимальной подгруппы $M$ группы $G$. Пусть $U/V$ – главный фактор $M$ и $K\leqslant V\leqslant U\leqslant H$. Тогда $\overline{T}=(U/V)\rtimes M/C_M(U/V)\in\mathfrak{F}$ и $\mathrm{F}(\overline{T})=U/V$. Так как всякая группа из $\mathfrak{F}$ метанильпотентна, $M/C_M(U/V)\in\mathfrak{N}$. Значит, по лемме 2 $M/C_M(H/K)\in\mathfrak{N}_p\mathfrak{N}$. Из $p$-замкнутости всех нильпотентных групп следует $p$-замкнутость всех групп из $ \mathfrak{N}_p\mathfrak{N}$. (b) $G/C_G(H/K)$ не содержит $(r, q)$-подгрупп Шмидта при $r\neq p$. Предположим, что в $G/C_G(H/K)$ найдется $(r, q)$-подгруппа Шмидта $Q/C_G(H/K)$ при $r\neq p$. Тогда $Q/C_G(H/K)$ $r$-замкнута. Пусть $R$ – минимальное добавление к $C_G(H/K)$ в $Q$. Тогда $R\cap C_G(H/K)\leqslant \Phi(R)$ по [19; лемма 11.1] и $R/\Phi(R)$ – $(r, q)$-группа Шмидта. Значит, $R\in\mathfrak{F}$ по лемме 3. Следовательно $R\leqslant M$ для некоторой $\mathfrak{F}$-максимальной подгруппы $M$. Значит,
$$
\begin{equation*}
Q/C_G(H/K)=RC_G(H/K)/C_G(H/K)\in\mathfrak{N}_p\mathfrak{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $q=p$, то $Q/C_G(H/K)$ $p$-замкнута и, следовательно, нильпотентна. Итак, $r, q\neq p$. Из разрешимости группы $MC_G(H/K)/C_G(H/K)$ следует, что $Q/C_G(H/K)$ содержится в ее нильпотентной холловой $p'$-подгруппе. Итак, $Q/C_G(H/K)$ нильпотентна, противоречие. Следовательно, $G/C_G(H/K)$ не содержит $(r, q)$-подгрупп Шмидта при $r\neq p$. (c) $G/C_G(H/K)$ – нильпотентная группа. Согласно (b)
$$
\begin{equation*}
\Gamma_{Nc}(G/C_G(H/K))\subseteq\bigl\{(p, q)\mid q\in\pi(G/C_G(H/K))\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. не содержит циклов. Значит, по [7; теорема 6.2, (b)] $G/C_G(H/K)$ – дисперсивная группа с нормальной силовской $p$-подгруппой. Так как $H/K$ – главный $p$-фактор группы $G$, $\mathrm{O}_p(G/C_G(H/K))\simeq 1$. Итак, $G/C_G(H/K)$ – $p'$-группа. Согласно (b) $\Gamma_{Nc}(G/C_G(H/K))$ не содержит ребер в этом случае. Итак, $G/C_G(H/K)$ нильпотентна по определениям $N$-критического графа и группы Шмидта. (d) $H/K$ – $\mathfrak{F}$-центральный главный фактор $G$. Пусть $R$ – минимальное добавление к $C_G(H/K)$ в $G$. Тогда $R\cap C_G(H/K)\leqslant \Phi(R)$ по [19; лемма 11.1] и $R/\Phi(R)$ нильпотентна по (c). Значит, и $R$ нильпотентна. Тогда найдется $\mathfrak{F}$-максимальная подгруппа $M$, содержащая и $H$, и $R$. Следовательно, $G=MC_G(H/K)$. Итак,
$$
\begin{equation*}
(H/K)\rtimes (G/C_G(H/K))\simeq (H/K)\rtimes (M/C_M(H/K))\in\mathfrak{F}
\end{equation*}
\notag
$$
по теореме Барнса–Кегеля. Значит, $H/K$ – $\mathfrak{F}$-центральный главный фактор $G$. (e) $\mathrm{Int}_\mathfrak{F}(G)=\mathrm{Z}_\mathfrak{F}(G)$. Из (a)–(d) следует, что $\mathrm{Int}_\mathfrak{F}(G)\leqslant \mathrm{Z}_\mathfrak{F}(G)$. Заметим, что $\mathrm{Z}_\mathfrak{F}(G)\leqslant\mathrm{Int}_\mathfrak{F}(G)$ по п. (3) леммы 1. Итак, $\mathrm{Int}_\mathfrak{F}(G)=\mathrm{Z}_\mathfrak{F}(G)$. Мы доказали, что $\mathfrak{F}$ – формация Бэра–Шеметкова в классе всех $\pi_i$-групп для всех $i\in I$. Из того, что $\Gamma_{Nc}(\mathfrak{F})$ – объединение полных ориентированных графов на множествах вершин $\pi_i$, $i\in I$, следует, что $\mathfrak{F}$ состоит из $\sigma$-нильпотентных групп по [7; теорема 5.4]. Тогда $\mathfrak{F}$ – формация Бэра–Шеметкова по теореме 6. 2.5. Доказательство замечания 1Пусть $\mathfrak{F}$ – локальная формация $\{2, 3\}$-групп, заданная $f$: $f(2)=\mathfrak{N}_3$ и $f(3)=\mathfrak{N}_3\mathfrak{N}_2\mathfrak{N}_3$. В частности, $\mathfrak{F}$ является $Z$-насыщенной формацией. Прямой проверкой можно убедится, что $f(2), f(3)\subseteq \mathfrak{F}$. Заметим, что симметрическая группа $S_4$ степени 4 не принадлежит $\mathfrak{F}$: Напомним, что с точностью до изоморфизма максимальными подгруппами $S_4$ являются: силовская 2-подгруппа, симметрическая группа степени 3 и знакопеременная группа степени 4. Заметим, что все эти подгруппы принадлежат $f(3)\subseteq \mathfrak{F}$. Значит, $\Gamma_{Nc}(\mathfrak{F})$ – полный граф.По теореме Шода–Накаяма для $S_4$ существует точный неприводимый модуль $V$ над $\mathbb{F}_3$. Пусть $G=V\rtimes S_4$. Тогда $V$ – единственная минимальная нормальная подгруппа $G$. Ввиду того, что $V$ абелева, для любой максимальной подгруппы $M$ группы $G$ выполняется $V\cap M\in\{1, V\}$. В частности, все максимальные подгруппы $M$ группы $G$, не содержащие $V$, изоморфны $S_4\not\in\mathfrak{F}$. Если $M$ – максимальная подгруппа $G$, содержащая $V$, то $MV/V$ изоморфна максимальной подгруппе $S_4$, т.е. принадлежит $f(3)$. Тогда $M\in\mathfrak{N}_3f(3)=f(3)\subseteq\mathfrak{F}$. Итак, множества $\mathfrak{F}$-максимальных подгрупп и максимальных подгрупп, содержащих $V$, группы $G$ совпадают. То есть $V\leqslant\mathrm{Int}_\mathfrak{F}(G)$. Так как $V\rtimes G/C_G(V)\simeq G\not\in\mathfrak{F} $, $V\not\leqslant\mathrm{Z}_\mathfrak{F}(G)$. То есть $\mathfrak{F}$ не является формацией Бэра–Шеметкова в классе $\{2, 3\}$-групп. Заметим, что класс групп, представляющих прямые произведения $\mathfrak{F}$-групп на $\{2, 3\}'$-группы, является формацией и обладает условиями 2.1 и 2.2 теоремы 1, но не является формацией Бэра–Шеметкова. 2.6. Доказательство замечания 2Напомним, что $E(n|p)$ – группа, имеющая единственную самоцентрализуемую минимальную нормальную $p$-подгруппу, факторгруппа по которой изоморфна циклической группе $Z_n$ порядка $n$, где $ (n, p)=1$ (эта группа существует и единственна с точностью до изоморфизма по [2; B, теорема 12.4]). Пусть $\pi\subset\mathbb{P}$ и $|\pi|>1$,
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{X}(\pi)=(Z_p\mid p\in\mathbb{P}) \cup\bigl(E(q|p)\mid p,\, q\in \mathbb{P}, \,p\neq q\bigr) \cup \bigl(E(qr| p)\mid q,\, r \in \pi,\, p\neq q\neq r\neq p\in \mathbb{P}\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
и $\mathfrak{F}=\mathfrak{F}(\pi)$ – класс групп, у которых все главные факторы $\mathfrak{X}(\pi)$-центральны. Тогда $\mathfrak{F}$ – $Z$-насыщенная формация, по [8; теорема 1]. Ввиду того, что $E(q|p)$ – $(p, q)$-группа Шмидта для любых $p, q\in \mathbb{P}$, $p\neq q$, $\Gamma_{Nc}(\mathfrak{F})$ – полный граф. Пусть $G$ – $\mathfrak{F}$-группа. Так как $(H/K)\rtimes (G/C_G(H/K))\in\mathfrak{X}(\pi)$, то $G/C_G(H/K)$ абелева для любого главного фактора $H/K$ группы $G$. То есть
$$
\begin{equation*}
G/(\cap_{H/K\ -\text{ главный фактор } G}C_G(H/K))=G/\mathrm{F}(G)
\end{equation*}
\notag
$$
абелева. Значит, все группы из $\mathfrak{F}$ имеют нильпотентный коммутант, в частности, метанильпотентны. Докажем, что $\mathfrak{F}$ – наследственная формация. Пусть $H$ – подгруппа $\mathfrak{F}$-группы $G$ и $1=G_0\trianglelefteq\dots\trianglelefteq G_n=G$ – главный ряд группы $G$. Тогда $1=H\cap G_0\trianglelefteq\dots\trianglelefteq H\cap G_n=H$ – нормальный ряд группы $H$. Пусть $T/K$ – главный фактор $H$, лежащий между $G_{i-1}\cap H$ и $G_i\cap H$. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
G/C_G(G_i/G_{i-1})\in (1)\cup (Z_p\mid p\in\mathbb{P})\cup (Z_{pq}\mid p,\, q\in\pi,\, p\neq q)=\mathfrak{H}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда и
$$
\begin{equation*}
HC_G(G_i/G_{i-1})/C_G(G_i/G_{i-1})\simeq H/C_H(G_i/G_{i-1})\in\mathfrak{H}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
C_H(G_i/G_{i-1})\leqslant C_H((G_i\cap H)/(G_{i-1}\cap H))\leqslant C_H(T/K).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $H/C_H(T/K)\in\mathfrak{H}$. Следовательно, $(T/K)\rtimes (H/C_H(T/K))\in\mathfrak{X}(\pi)$ ввиду однозначности определения группы $E(n|p)$. Итак, $H$ имеет главный ряд с $\mathfrak{X}(\pi)$-центральными главными факторами. Следовательно, $H\in\mathfrak{F}$. Значит, $\mathfrak{F}$ – наследственная формация. Итак, $\mathfrak{F}$ – формация Бэра–Шеметкова по теореме 2. Пусть простые числа $p\neq r\neq q\neq p$ такие, что $r\in \pi$, $q\not\in \pi$. Если формация $\mathfrak{F}$ была бы насыщена, то по теореме Гашюца, Любизедер и Шмида она бы была локальна. В частности, из $E(q|p), E(r|p)\in\mathfrak{F}$ следовало бы, что $E(qr|p)\in\mathfrak{F}$, противоречие. Итак, формация $\mathfrak{F}$ не насыщена. Отметим, что выбрать $\pi$ такое, что $\pi\subset\mathbb{P}$ и $|\pi|>1$ можно несчетным числом способов. Автор благодарит профессора Александра Федоровича Васильева за полезные обсуждения и комментарии по данной работе. Также автор выражает признательность рецензенту за полезные замечания по работе. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Mur24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|