| Математические заметки |
|
|
|
|
|
О сумме отрицательных собственных значений трехмерного оператора Шрёдингера А. Р. Алиевab, Э. Х. Эйвазовcb a Азербайджанский государственный университет нефти и промышленности, г. Баку b Институт математики и механики Министерства науки и образования Азербайджанской Республики, г. Баку c Бакинский государственный университет
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624010139 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеВ работе [1] при определенных условиях на потенциал $V(x)$ (см. [1; условия (2), (3) при $d=4$ и (4) при $d\geqslant 5$]) доказано, что в $L^2(\mathbb R^d)$ справедливо неравенство где $\mathbb R^d$ – $d$-мерное евклидово пространство, $\sigma^-(H)$ – отрицательная часть спектра оператора Шрёдингера $H=-\Delta +V(x)$, $x=(x_1,x_2,\dots,x_d)\in\mathbb R^d$ и $\Delta=\sum_{k=1}^d(\partial^2/\partial x_k^2)$ – оператор Лапласа. Там же, в частности, доказано следующееПредложение 1 [1; следствие 2]. Если $d\geqslant 4$, $V(x)$ является потенциалом Като и $\min(V(x),0)=V_-(x)\in L^1(\mathbb R^d)$, то справедливо неравенство (1.1). Отметим, что функция $V(x)$ называется потенциалом Като, если $V_-(x)\in K(\mathbb R^d)$ и $\max(V(x),0)=V_+(x)\in K^{\mathrm{loc}}(\mathbb R^d)$. Определение 1 [2; с. 16]. Пусть $Q(x)$ – вещественнозначная измеримая функция на $\mathbb R^d$. Мы говорим, что $Q(x)$ принадлежит классу $K(\mathbb R^d)$, если Отметим, что, хотя предложение 1 не следует из неравенства Цвиккеля–Либа–Розенблюма (см., например, [3]–[5])
$$
\begin{equation}
\sum_{\lambda_k\in\sigma^-(H)}|\lambda_k|\leqslant C_{d,\gamma} \int_{\mathbb R^d}|V_-(x)|^{d/2+\gamma}\,dx,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
которое верно для $\gamma\geqslant 1/2$ при $d=1$, для $\gamma>0$ при $d=2$, для $\gamma\geqslant 0$ при $d\geqslant 3$, но благодаря неравенству (1.2) оно справедливо и при $d=1$. Здесь следует отметить, что неравенство (1.2) относится к семейству неравенств Либа–Тирринга [6] о собственных значениях оператора Шрёдингера, позволяющих получить также, в свою очередь, некоторые $L_p$-условия на потенциал $V(x)$, из которых следует (1.1) (см. [7] и литературу в ней). В работе [1] отмечено, что остается открытым ответ на вопрос: верно ли утверждение предложения 1 при $d=2$ и $d=3$? В этой работе, используя метод работы [1], мы покажем, что неравенство (1.1) верно и при $d=3$. 2. О трехмерном операторе ШрёдингераПусть вещественнозначная измеримая функция $V(x)=V_+(x)+V_-(x)$ удовлетворяет следующим условиям:
В пространстве $L^2(\mathbb R^3)$ введем в рассмотрение следующие операторы:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, Au=-\Delta u, \qquad D(A)=W_2^2(\mathbb R^3); \\ Bu=-\Delta u+V_-(x)u, \\ D(B)=\bigl\{u\in L^2(\mathbb R^3)\colon V_-(x)u\in L^{1,\mathrm{loc}}(\mathbb R^3),\, -\Delta u+V_-(x)u\in L^2(\mathbb R^3)\bigr\}; \\ Cu=-\Delta u+V(x)u, \\ D(C) =\bigl\{u\in L^2(\mathbb R^3)\colon V(x)u\in L^{1,\mathrm{loc}}(\mathbb R^3),\, -\Delta u+V(x)u\in L^2(\mathbb R^3)\bigr\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Все эти три оператора являются самосопряженными. Самосопряженность оператора $A$ очевидна. Самосопряженность операторов $B$ и $C$ с учетом замечания 1 следует из теоремы Като [8]. Отметим, что условие (ii) в работе [1] отсутствует. Хотя при доказательстве самосопряженности максимального оператора (см. [8]) и существенно самосопряженности минимального оператора (см. [9], когда $V(x)\in L^{2,\mathrm{loc}}$; [10] и [11], когда $V(x)\in L^{1,\mathrm{loc}}$), порожденных дифференциальным выражением типа $-\Delta+V(x)$, условие (ii) играет существенную роль. Самосопряженность операторов $A$ и $B$ использована в работе [1] при исследовании оператора $D_t=e^{-tB}-e^{-tA}$ при некотором $t>0$, а самосопряженность операторов $B$ и $C$ – при доказательстве следующей полезной леммы, которая непосредственно вытекает из принципа минимакса (см., например, [12]). Лемма 1. Для самосопряженных операторов $B$ и $C$ справедливо неравенство где $\sigma^-(B)$ и $\sigma^-(C)$ – отрицательные части спектра операторов $B$ и $C$ соответственно. Теперь сформулируем основную теорему нашей статьи. Теорема 1. Пусть выполняются условия (i)–(iv). Тогда справедливо неравенство где $\sigma^-(C)$ – отрицательная часть спектра оператора $C$. Доказательство. Из леммы 1 следует, что для доказательства теоремы достаточно доказать сходимость ряда
Тщательный анализ показывает, что в условиях теоремы все утверждения работы [1] остаются в силе вплоть до неравенства где обозначает регуляризованный определитель, определенный для возмущения Гильберта–Шмидта единичного оператора (см., например, [13]), – операторнозначная аналитическая функция в единичном круге $B_1(0)=\{z\in \mathbb C\!: |z|<1\}$, $C_1$ и $C_2$ – положительные числа,
$$
\begin{equation*}
M(z)=|z|\biggl\{\int_{\mathbb R^3} \frac{e^{-2|\xi|^2}}{|1-ze^{-|\xi|^2}|^2}\,d\xi\biggr\}^{1/2}
\end{equation*}
\notag
$$
(формула (19) в [1] при $t=1$).
Из неравенства (см. [14; теорему 6])
$$
\begin{equation}
\sum_{\lambda_k\in\sigma^-(B)}|\lambda_k|\leqslant\varlimsup_{r\to 1-} \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\ln|h(re^{i\theta})|\,d\theta
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
следует, что для доказательства теоремы достаточно показать конечность правой стороны этой формулы.
Рассмотрим интеграл
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb R^3}\frac{e^{-2|\xi|^2}}{|1-ze^{-|\xi|^2}|^2}\,d\xi,
\end{equation*}
\notag
$$
где $z=re^{i\theta}$ $(r<1)$. Пользуясь неравенством $|z|\geqslant r\cos\theta $ и переходя к сферическим координатам, получим
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb R^3}\frac{e^{-2|\xi|^2}}{|1-ze^{-|\xi|^2}|^2}\,d\xi \leqslant 4\pi\int_0^{+\infty} \frac{e^{-2\rho^2}}{(1-r\cos\theta e^{-\rho^2})^2}\,\rho^2\,d\rho.
\end{equation*}
\notag
$$
Если перейти к переменной $x=\rho^2$, получим
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb R^3}\frac{e^{-2|\xi|^2}}{|1-ze^{-|\xi|^2}|^2}\,d\xi \leqslant 2\pi\int_0^{+\infty}\frac{x^{1/2}e^{-2x}}{(1-ae^{-x})^2}\,dx,
\end{equation*}
\notag
$$
где $a=r\cos\theta <1$.
Так как при $a<1$
$$
\begin{equation*}
\int_0^{+\infty}\frac{x^{1/2}e^{-2x}}{(1-ae^{-x})^2}\,dx =\Gamma\biggl(\frac{3}{2}\biggr) \biggl[\Phi\biggl(a;\frac{1}{2}\,;1\biggr) -\Phi\biggl(a;\frac{3}{2}\,;1\biggr)\biggr]
\end{equation*}
\notag
$$
(см. [15; с. 358, 3.423 (4)]), то, учитывая, что $\Gamma(3/2)=\sqrt{\pi}/2$, получаем
$$
\begin{equation}
\int_0^{+\infty}\frac{x^{1/2}e^{-2x}}{(1-ae^{-x})^2}\,dx =\frac{\sqrt{\pi}}{2} \biggl[\Phi\biggl(a;\frac{1}{2}\,;1\biggr) -\Phi\biggl(a;\frac{3}{2}\,;1\biggr)\biggr],
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
где $\Phi(a;1/2;1)$ и $\Phi(a;3/2;1)$ – значения вырожденной гипергеометрической функции [15; с. 1023, 9.210 (1)]
$$
\begin{equation}
\Phi(\alpha;\gamma;\zeta)=1+\frac{\alpha}{\gamma}\,\frac{\zeta}{1!} +\frac{\alpha(\alpha+1)}{\gamma(\gamma+1)}\, \frac{\zeta^2}{2!} +\frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)}{\gamma(\gamma+1)(\gamma+2)}\, \frac{\zeta^3}{3!}+\dotsb
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
в точках $(a;1/2;1)$ и $(a;3/2;1)$ соответственно.
Из формулы (2.5) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Phi\biggl(a;\frac{1}{2}\,;1\biggr)-\Phi\biggl(a;\frac{3}{2}\,;1\biggr) &=\frac{4}{3}\,a +\sum_{n=1}^\infty\frac{a(a+1)\dotsb(a+n)}{(n+1)!} \biggl[\frac{1}{(1/2)(1/2+1)\dotsb(1/2+n)} \\ &\qquad -\frac{1}{(3/2)(3/2+1)\dotsb(3/2+n)}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Замечая, что
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{(1/2)(1/2+1)\dotsb(1/2+n)} -\frac{1}{(3/2)(3/2+1)\dotsb(3/2+n)} =\frac{2^{n+2}(n+1)}{3\cdot 5\cdot 7\dotsb(2n+3)}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
получим
$$
\begin{equation}
\Phi\biggl(a;\frac{1}{2}\,;1\biggr)-\Phi\biggl(a;\frac{3}{2}\,;1\biggr) =\frac{4}{3}\,a +\sum_{n=1}^\infty \frac{a(a+1)\dotsb(a+n)}{n!}\cdot\frac{2^{n+2}}{(2n+3)!!}\,,
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
где $(2n+3)!!=3\cdot 5\cdot 7\dotsb(2n+3)$.
Полагая теперь в (2.6) $a=r\cos\theta $, найдем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\Phi\biggl(a;\frac{1}{2}\,;1\biggr)-\Phi\biggl(a;\frac{3}{2}\,;1\biggr) \nonumber \\ &\qquad=\sum_{n=0}^\infty \frac{r\cos\theta(r\cos\theta+1)\dotsb(r\cos\theta+n)}{n!} \cdot\frac{2^{n+2}}{(2n+3)!!}\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Из формул (2.4) и (2.7), получим
$$
\begin{equation}
\int_0^{+\infty}\frac{x^{1/2}e^{-2x}}{(1-ae^{-x})^2}\,dx =\frac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\sum_{n=0}^\infty \frac{r\cos\theta(r\cos\theta+1)\dotsb(r\cos\theta+n)}{n!} \cdot\frac{2^{n+2}}{(2n+3)!!}\,.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Из неравенства
$$
\begin{equation*}
\frac{r\cos\theta(r\cos\theta+1)\dotsb(r\cos\theta+n)}{n!} \cdot\frac{2^{n+2}}{(2n+3)!!} \leqslant\frac{(n+1)\cdot 2^{n+2}}{(2n+3)!!}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
которое справедливо для $0<r<1$ и $|\theta|\leqslant 2\pi$, заключаем, что ряд справа в формуле (2.8) равномерно сходится относительно $r$ и $|\theta|$ при $0<r<1$ и $|\theta|\leqslant 2\pi$.
Согласно предыдущим рассуждениям имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\lim_{r\to 1-}\int_0^{2\pi} \biggl\{\int_0^{+\infty} \frac{x^{1/2}e^{-2x}}{(1-r\cos\theta e^{-x})^2}\,dx\biggr\}\,d\theta \nonumber \\ &\qquad=\frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{n+2}}{n!(2n+3)!!} \int_0^{2\pi}\cos\theta(\cos\theta+1)\dotsb(\cos\theta+n)\,d\theta<+\infty. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Неравенство (2.1) с учетом неравенств (2.2) и (2.3) получается из (2.9). Теорема доказана. 3. О двумерном операторе ШрёдингераТеперь несколько слов о двумерном операторе Шрёдингера. Количество и моменты отрицательных собственных значений двумерного оператора Шрёдингера при различных условиях на магнитные и электрические потенциалы исследованы во многих работах (см., например, [16], [17] и ссылки в них). В условиях (i)–(iv) заменим $\mathbb R^3$ на $\mathbb R^2$, а в условиях (i) и (iii) – $|x-y|^{-1}$ на $\ln|x-y|^{-1}$ и полученные условия обозначим через $(\mathrm{i})'$–$(\mathrm{iv})'$. Остается нерешенной следующая Задача. При условиях $(\mathrm{i})'$–$(\mathrm{iv})'$ будет ли сходиться ряд $\sum_{\lambda_k\in\sigma^-(B)}|\lambda_k|$? Эта задача поставлена в работе [1; с. 3] без условия $(\mathrm{ii})'$. Анализ показывает, что и в этих условиях все утверждения работы [1] остаются в силе вплоть до неравенства (2.2). Но в дальнейшем методы работы [1] не срабатывают. Действительно, из легко доказываемого неравенства
$$
\begin{equation*}
M(z)\leqslant\sqrt{\frac{\pi}{1-r\cos\theta}}\,,\qquad 0<r<1,\quad |\theta|\leqslant 2\pi,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
M(z)=|z|\biggl\{\int_{R^2} \frac{e^{-2|\xi|^2}}{|1-ze^{-|\xi|^2}|^2}\,d\xi\biggr\}^{1/2},\qquad z=re^{i\theta},
\end{equation*}
\notag
$$
и равенства
$$
\begin{equation*}
\int_0^{2\pi}\,\frac{d\theta}{1-r\cos\theta} =\frac{2\pi}{\sqrt{1-r^2}}\,,\qquad 0<r<1,
\end{equation*}
\notag
$$
можно утверждать только справедливость неравенства
$$
\begin{equation}
\varlimsup_{r\to 1-}\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi}\ln|h(re^{i\theta})|\,d\theta\leqslant +\infty,
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
т.е. конечность верхнего предела в неравенстве (3.1) остается под вопросом.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AliEiv24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|