| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Об экстремальных функциях в неравенствах для целых функций экспоненциального типа В. П. Заставный Донецкий государственный университет
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624070058 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеОбозначим через $B_{\sigma}$, $\sigma>0$, класс целых функций экспоненциального типа $\leqslant\sigma$, ограниченных на вещественной оси (класс Бернштейна). Для $f\in B_{\sigma}$ полагаем $\|f\|_{\infty}:=\sup\{|f(t)|,\,t\in\mathbb{R}\}$. Для последовательности комплексных чисел $\{c_k\}_{k\in\mathbb{Z}}$ с условием $\sum_{k\in\mathbb{Z}}|c_k|<+\infty$ и числа $\tau\in\mathbb{R}$ рассмотрим оператор $H$, заданный на $B_{\sigma}$ по формуле
$$
\begin{equation}
H(f)(x)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}c_k f\biggl(x-\tau+\frac{k\pi}{\sigma}\biggr).
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Хорошо известно, что для любой функции $f\in B_{\sigma}$ и для произвольного $z\in\mathbb{C}$ выполняется неравенство $|f(z)|\leqslant e^{\sigma|\operatorname{Im} z|}\|f\|_{\infty}$. Отсюда следует, что $H(f)\in B_{\sigma}$ для любой $f\in B_{\sigma}$ и выполняется неравенство
$$
\begin{equation}
|H(f)(x)|\leqslant \varkappa \|f\|_{\infty}, \qquad x\in\mathbb{R}, \quad \varkappa=\sum_{k\in\mathbb{Z}} |c_k|.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Функцию $f\in B_{\sigma}$ будем называть экстремальной для неравенства (1.2), если для некоторой точки $\xi\in\mathbb{R}$ выполняется равенство $|H(f)(\xi)|=\varkappa \|f\|_{\infty}$. Оператором вида (1.1) является оператор $H(f)(x)=f'(x)$, для которого $\tau=-\pi/(2\sigma)$, $c_k=(-1)^k\sigma/(\pi/2+k\pi)^2$, $\varkappa=\sigma$, а неравенство (1.2) в этом случае это хорошо известное неравенство Бернштейна $|f'(x)|\leqslant \sigma \|f\|_{\infty}$, $x\in\mathbb{R}$, $f\in B_{\sigma}$. Экстремальными функциями в неравенстве Бернштейна являются только функции вида $f(x)=\mu e^{i\sigma x}+\nu e^{-i\sigma x}$, $\mu,\nu\in\mathbb{C}$. Точным неравенствам для различных классов целых функций из $B_{\sigma}$ (в том числе и для тригонометрических полиномов) посвящено много работ. Отметим несколько работ, в которых достаточно полно изложена история таких неравенств и приведена обширная библиография: Виноградов [1], [2], Арестов, Глазырина [3] и Горбачев [4], [5]. Как правило, точность соответствующих неравенств проверяется сравнительно легко – указывается конкретная экстремальная функция или семейство таких функций. Описание всех экстремальных функций – это более тонкая задача. Для некоторого класса операторов множество экстремальных полиномов в неравенстве типа Бернштейна описал Арестов [6]. Основная цель данной работы это описание всех экстремальных функций в неравенстве (1.2). Одним из основных результатов работы является следующая теорема. Теорема 1. Пусть для оператора $H\colon B_{\sigma}\to B_{\sigma}$ вида (1.1) выполняется условие Если выполняется условие (1.4), но не выполняется условие (1.3), то (см. замечание 2) кроме функций вида $f(t)=\mu e^{i\sigma t}+\nu e^{-i\sigma t}$, $\mu,\nu\in\mathbb{C}$, экстремальными в неравенстве (1.2) могут быть и другие функции. В доказательстве теоремы 1 существенно используется теорема 2: если $f\in B_{\sigma}$ и для некоторой точки $\xi\in\mathbb{R}$ выполняются равенства $|f(\xi)|=\|f\|_{\infty}$ и $f(\xi+\pi/\sigma)=-f(\xi)$, то $f(t)=\mu e^{i\sigma t}+\nu e^{-i\sigma t}$, $\mu,\nu\in\mathbb{C}$. В теореме 3 приведены примеры операторов, для которых выполнены оба условия (1.3) и (1.4). Условиям теоремы 3 удовлетворяет, например, оператор дробной производной $H(f)(x)=f^{(r,\beta)}(x)$ при $r\geqslant1$, $\beta\in\mathbb{R}$ (см. следствие 1). В теореме 4 рассмотрен более общий случай операторов, чем в теореме 3, для которых выполняется условие (1.4). Эти примеры связаны с непрерывными положительно определенными функциями на $\mathbb{R}$, носитель которых содержится в $[-\sigma,\sigma]$. Отметим, что аналогичные результаты для тригонометрических полиномов получены в работе автора [7]. 2. Характеристическое свойство экспонентыТеорема 2. Пусть для функции $f\in B_{\sigma}$, $\sigma>0$, и для некоторых $\eta,\delta\in\mathbb{R}$ равенство $(-1)^{s}f(\eta+{\pi s}/{\sigma})=e^{i\delta}\|f\|_{\infty}$ выполняется для некоторых двух соседних целых $s$. Тогда $f(t)=\mu e^{i\sigma t}+\nu e^{-i\sigma t}$, $\mu,\nu\in\mathbb{C}$. Замечание 1. В теореме 2 два соседних целых числа нельзя заменить на два не соседних целых числа, так как для любого $\sigma>0$ и для произвольного целого $k\geqslant2$ существует функция $f\in B_{\sigma}$, которая удовлетворяет условиям теоремы при $s=0$ и $s=k$, но $f(t)\not\equiv\mu e^{i\sigma t}+\nu e^{-i\sigma t}$. При четном $k$ можно взять $f(t)\equiv1$, а при нечетном $k$ можно взять $f(t)=\cos(\sigma t/k)$. Доказательство теоремы 2. Пусть указанное в теореме равенство выполняется при $s=p$ и $s=p+1$. Рассмотрим функцию $g(t):=(-1)^pf(t+\eta+{\pi p}/{\sigma})e^{-i\delta}$, $t\in\mathbb{R}$. Очевидно, $g\in B_{\sigma}$, $\|g\|_{\infty}=\|f\|_{\infty}=:M$ и $(-1)^{s}g({\pi s}/{\sigma})=\|g\|_{\infty}$ для $s\in \{0,1\}$. Функции $r(t):=\operatorname{Re} g(t)$ и $w(t):=\operatorname{Im} g(t)$, $t\in\mathbb{R}$, являются вещественными на вещественной оси и принадлежат классу $B_{\sigma}$. Очевидно, $(-1)^{s}r({\pi s}/{\sigma})=\|g\|_{\infty}$ для $s\in \{0,1\}$ и $|r(t)|\leqslant |g(t)|\leqslant \|g\|_{\infty}$ для всех $t\in\mathbb{R}$. Поэтому $\|r\|_{\infty}=\|g\|_{\infty}$. Таким образом, $(-1)^{s}r({\pi s}/{\sigma})=\|r\|_{\infty}=M$ для $s\in \{0,1\}$. Так как $r(t)$ – вещественна на $\mathbb{R}$, то $r'({\pi s}/{\sigma})=0$ для $s\in \{0,1\}$. Функция $Q(t):=M\cos(\sigma t)-r(t)$ вещественна на вещественной оси и принадлежит классу $B_{\sigma}$. Кроме того, $(-1)^sQ({\pi s}/{\sigma})\geqslant0$ для всех $s\in\mathbb{Z}$ и $Q({\pi s}/{\sigma})=Q'({\pi s}/{\sigma})=0$ для $s\in \{0,1\}$. Если $Q(t)\not\equiv0$, то (см. [8; теорема 1]) число $0$ является нулем функции $Q$ кратности $2$, а число ${\pi}/{\sigma}$ может быть только простым нулем, но в нашем случае его кратность не меньше $2$. Поэтому $Q(t)\equiv0$ и, значит, $r(t)\equiv M\cos(\sigma t)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
|w(t)|\equiv \sqrt{|g(t)|^2-r^2(t)}\leqslant \sqrt{M^2-M^2\cos^2 (\sigma t)} = M|\sin \sigma t|, \qquad t\in\mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из последнего неравенства вытекает, что $w(k\pi/\sigma)=0$ для всех $k\in\mathbb{Z}$. А из интерполяционной формулы для функций $w\in B_{\sigma}$ (см. [9; § 84, (I)])
$$
\begin{equation*}
\sin(\sigma t)w'(t)-{\sigma}\cos(\sigma t)w(t)={\sigma} \sum_{k=-\infty}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{\sin^2(\sigma t)}{({\sigma t}-k\pi)^2}w\biggl(\frac{k\pi}{\sigma}\biggr), \qquad t\in\mathbb{R},
\end{equation*}
\notag
$$
следует, что $w(t)\equiv \gamma \sin(\sigma t)$, где $\gamma$ – некоторая постоянная (в нашем случае вещественная и $|\gamma|\leqslant M$). Таким образом, $g(t)\equiv M\cos(\sigma t)+i\gamma\sin(\sigma t)$. Окончательно получаем, что
$$
\begin{equation*}
f(t)=(-1)^pe^{i\delta}g\biggl(t-\eta-\frac{\pi p}{\sigma}\biggr)= \mu e^{i\sigma t}+\nu e^{-i\sigma t}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2 доказана. 3. Доказательство теоремы 1Пусть $\varepsilon_k$, $k\in\mathbb{Z}$, такие комплексные числа, что $|\varepsilon_k|=1$ и $c_k=\varepsilon_k|c_k|$, $k\in\mathbb{Z}$, а $U(H)$ – множество всех $k\in\mathbb{Z}$, для которых $c_k\ne0$. Тогда функция $f\in B_{\sigma}$ является экстремальной для неравенства (1.2) $\iff$ для некоторых $\eta,\delta\in\mathbb{R}$ равенство $\varepsilon_k f(\eta+k\pi/n)=e^{i\delta}\|f\|_{\infty}$ выполняется для всех целых $k\in U(H)$. Предложение 1. Для оператора $H$ вида (1.1) следующие три условия эквивалентны: Доказательство. Докажем импликацию (1) $\Longrightarrow$ (2). Для функции вида $f(t)=\mu e^{i\sigma t}+\nu e^{-i\sigma t}$, $\mu,\nu\in\mathbb{C}$, выполняется тождество Кроме того, для некоторой точки $\xi\in\mathbb{R}$ выполняется равенство $|H(f)(\xi)|=\varkappa \|f\|_{\infty}$. Учитывая, что $|H(f)(\xi)|=|\varkappa_1|\, |f(\xi-\tau)|\leqslant|\varkappa_1|\, \|f\|_{\infty}\leqslant \varkappa \|f\|_{\infty}$ и $\|f\|_{\infty}>0$, получаем равенство $\varkappa=|\varkappa_1|$. Импликация (1) $\Longrightarrow$ (2) доказана.
Эквивалентность условий (2) и (3) и импликация (3) $\Longrightarrow$ (1) очевидны. Доказательство теоремы 1. Пусть для некоторого целого $s\in\mathbb{Z}$ выполняется неравенство $\overline{c_{s}}c_{s+1}<0$. Тогда $\overline{\varepsilon_{s}}\varepsilon_{s+1}=-1$. Если функция $f\in B_{\sigma}$ является экстремальной для неравенства (1.2), то для некоторых $\eta,\delta\in\mathbb{R}$ равенство $\varepsilon_k f(\eta+k\pi/\sigma)=e^{i\delta}\|f\|_{\infty}$ выполняется для всех целых $k\in U(H)$, в частности для $k=s$ и $k=s+1$. Умножая оба этих равенства на $(-1)^s\overline{\varepsilon_{s}}$, получаем два равенства, в которых $\delta_0=\arg((-1)^s\overline{\varepsilon_{s}})$:
$$
\begin{equation*}
(-1)^s f\biggl(\eta+\frac{s\pi}{\sigma}\biggr)= e^{i(\delta_0+\delta)}\|f\|_{\infty}, \qquad (-1)^{s+1} f\biggl(\eta+\frac{(s+1)\pi}{\sigma}\biggr) =e^{i(\delta_0+\delta)}\|f\|_{\infty}.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя теорему 2, получаем, что $f(t)=\mu e^{i\sigma t}+\nu e^{-i\sigma t}$, $\mu,\nu\in\mathbb{C}$.
Докажем импликацию (1) $\Longrightarrow$ (2). Пусть ненулевая функция $f\in B_{\sigma}$ является экстремальной для неравенства (1.2). По доказанному выше $f(t)=\mu e^{i\sigma t}+\nu e^{-i\sigma t}$, $\mu,\nu\in\mathbb{C}$, и можно применить предложение 1. Импликация (1) $\Longrightarrow$ (2) доказана. Эквивалентность условий (2) и (3) и импликация (3) $\Longrightarrow$ (1) доказаны в предложении 1 и без предположения выполнения условия (1.3). Таким образом, эквивалентность условий (1)–(3) в теореме доказана. Если выполняется одно из условий (1)–(3), то из условия (1.4) вытекает, что в неравенстве (1.2) любая функция вида $f(t)=\mu e^{i\sigma t}+\nu e^{-i\sigma t}$, $\mu,\nu\in\mathbb{C}$ является экстремальной, а других экстремальных функций нет (см. начало доказательства теоремы). Теорема 1 доказана. Замечание 2. Если выполняется условие (1.4), но не выполняется условие (1.3), то $\overline{c_{s}}c_{s+1}=0$ для всех $s\in\mathbb{Z}$. В этом случае кроме функций вида $f(t)=\mu e^{i\sigma t}+\nu e^{-i\sigma t}$, $\mu,\nu\in\mathbb{C}$, экстремальными в неравенстве (1.2) могут быть и другие функции. Пусть $\tau=0$, $c_0=c_2=c_{-2}=1$, а остальные $c_k$ равны нулю. Тогда $H(f)(x)=f(x)+f(x+2\pi/\sigma)+f(x-2\pi/\sigma)$, $f\in B_{\sigma}$, $\varkappa=3$. Для неравенства $|H(f)(x)|\leqslant3\|f\|_{\infty}$, $x\in\mathbb{R}$, $f\in B_{\sigma}$, экстремальными будут например функции вида $f(t)=\alpha+\mu e^{i\sigma t}+\nu e^{-i\sigma t}$, $\alpha,\mu,\nu\in\mathbb{C}$, так как для таких функций выполняется равенство $H(f)(x)=3f(x)$. Замечание 3. Пример оператора $H\colon B_{\sigma}\to B_{\sigma}$, заданного по формуле (1.1), для которого оба условия (1.3) и (1.4) не выполняются, но неравенство (1.2) является точным. Пусть $\tau=0$, $c_0=1$, $c_2=c_{-2}=-1$, а остальные $c_k$ равны нулю. Тогда $H(f)(x)=f(x)-f(x+2\pi/\sigma)-f(x-2\pi/\sigma)$, $f\in B_{\sigma}$, $\varkappa=3$. Экстремальной для неравенства $|H(f)(x)|\leqslant3\|f\|_{\infty}$, $x\in\mathbb{R}$, $f\in B_{\sigma}$, будет например функция $f(x)=\cos(\sigma x/2)\in B_{\sigma}$ (при $x=0$ это неравенство обращается в равенство). Для функций вида $f(t)=\alpha+\mu e^{i\sigma t}+\nu e^{-i\sigma t}$, $\alpha,\mu,\nu\in\mathbb{C}$, выполняется равенство $H(f)(x)=-f(x)$ и поэтому среди таких функций нет ненулевой экстремальной. 4. Примеры операторов, удовлетворяющих условиям (1.3) и (1.4)Обозначим через $V_{\sigma}$, $\sigma>0$, класс целых функций экспоненциального типа $\leqslant\sigma$, представимых в виде где $\mu_f$ – конечный борелевский заряд на отрезке $[-\sigma,\sigma]$. Очевидно $V_{\sigma}\subset B_{\sigma}$, а если $n\in\mathbb{N}$ и $n\leqslant\sigma$, то $\mathscr{F}_n\subset V_{\sigma}$, где $\mathscr{F}_n$ – множество тригонометрических полиномов степени не выше $n$. Любая функция $\lambda(t)\in C[-\sigma,\sigma]$ задает оператор $H\colon V_{\sigma}\to V_{\sigma}$ по формуле
$$
\begin{equation}
H(f)(x)=\int_{-\sigma}^{\sigma}\lambda(t)e^{itx}\,d\mu_f(t).
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Замечание 4. Следуя методу Боаса–Сайвина [10], [11], будем предполагать, что при некотором $\tau\in\mathbb{R}$ функция $\lambda(t)e^{i\tau t}$ раскладывается на отрезке $[-\sigma,\sigma]$ в абсолютно сходящийся ряд Фурье (это условие будем называть условием Боаса–Сайвина): Замечание 5. Если функция $\lambda\in C[-\sigma,\sigma]$ и для некоторого $\tau\in\mathbb{R}$ выполняется равенство $\lambda(\sigma)e^{i\tau \sigma}=\lambda(-\sigma)e^{-i\tau \sigma}$, а для чисел $c_k=c_k(\tau)$, $k\in\mathbb{Z}$, вычисленных по формуле (4.2), выполняется условие (1.4), то функция $\psi(t)=\lambda(t)e^{i\tau t}$ раскладывается на отрезке $[-\sigma,\sigma]$ в абсолютно сходящийся ряд Фурье. Действительно, в этом случае функция $\psi$ допускает $2\sigma$-периодическое непрерывное продолжение на $\mathbb{R}$ (так как $\psi(\sigma)=\psi(-\sigma)$), а коэффициенты Фурье функции $\varepsilon\psi(t+\sigma)$ равны $\varepsilon (-1)^k c_k$, $k\in\mathbb{Z}$, и все они неотрицательны. Поэтому (см., например, [12; § II.1]) функция $\varepsilon\psi(t+\sigma)$, а значит и функция $\psi(t)$ раскладывается в абсолютно сходящийся ряд Фурье и В следующей теореме приведены примеры операторов, для которых выполнены оба условия (1.3) и (1.4). Теорема 3. Пусть оператор $H\colon V_{\sigma}\to V_{\sigma}$ задан формулой (4.1) с функцией $\lambda(t)=g(|t|)e^{i\beta\operatorname{sign} t}$, $t\in[-\sigma,\sigma]$, $\sigma>0$, $\beta\in\mathbb{R}$, где функция $g$ непрерывна, не убывает, выпукла вниз и $g(t)\not\equiv 0$ на отрезке $[0,\sigma]$, $g(0)=0$. Тогда при $\tau=-\beta/\sigma$ функция $\lambda(t)e^{i\tau t}$ раскладывается на отрезке $[-\sigma,\sigma]$ в абсолютно сходящийся ряд Фурье и оператор $H$ продолжается по формуле (1.1) до оператора $H\colon B_{\sigma}\to B_{\sigma}$, а множество всех экстремальных функций в неравенстве $|H(f)(x)|\leqslant \varkappa \|f\|_{\infty}$, $x\in\mathbb{R}$, $f\in B_{\sigma}$, $\varkappa=|\lambda(\sigma)|=g(\sigma)>0$, совпадает со множеством функций вида $f(t)=\mu e^{i\sigma t}+\nu e^{-i\sigma t}$, $\mu,\nu\in\mathbb{C}$. Доказательство. Функция $\lambda\in C[-\sigma,\sigma]$ и равенство $\lambda(\sigma)e^{i\tau \sigma}=\lambda(-\sigma)e^{-i\tau \sigma}$ выполняется при $\tau=-\beta/\sigma$. В силу замечаний 4 и 5 достаточно проверить, что в нашем случае при $\tau=-\beta/\sigma$ для чисел $c_k=c_k(\tau)$, $k\in\mathbb{Z}$, вычисленных по формуле (4.2), выполняются условия (1.4) и (1.3) теоремы 1. Тогда $\varkappa=|\lambda(\sigma)|=g(\sigma)>0$ и теорема 3 будет доказана.
Не сложно проверить, что
$$
\begin{equation*}
\widehat{\lambda}(x)=\int_{-\sigma}^{\sigma}\lambda(t)e^{-ixt}\,dt= 2\int_{0}^{\sigma}g(t)\cos(xt-\beta)\,dt, \qquad x\in\mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользуемся следующими результатами из работы [8; лемма 2, следствие 4].
Пусть функция $g\in L(0,\sigma)$, не убывает, выпукла вниз и $g(t)\not\equiv0$ на $(0,\sigma)$, $\sigma>0$, $g(+0)=0$, $0\leqslant\alpha<\pi$, а
$$
\begin{equation*}
h_{\alpha}(x):=\int_{0}^{\sigma}g(t)\cos(xt+\alpha)\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда для всех $k\in\mathbb{Z}$ выполняются неравенства $(-1)^kh_{\alpha}((k\pi-\alpha)/\sigma)\geqslant 0$. Кроме того, $h_{\alpha}((k\pi-\alpha)/\sigma)\ne0$ при $k=-1,0,1$, а если $0<\alpha<\pi$, то и при $k=2$. При остальных целых $k$, если выполняется равенство $h_{\alpha}((k\pi-\alpha)/\sigma)=0$, то при некотором $x_0\in[0,\sigma)$ функция $g$ является на интервале $(x_0,\sigma)$ кусочно-линейной с равностоящими узлами и $g(t)\equiv0$ на $(0,x_0)$, если $x_0>0$.
Представим число $\beta$ в виде $-\beta=\alpha+q\pi$, где $0\leqslant\alpha<\pi$, $q\in\mathbb{Z}$. Тогда $\widehat{\lambda}(x)=2(-1)^q h_{\alpha}(x)$ и при $\tau=-\beta/\sigma$ получаем
$$
\begin{equation*}
\widehat{\lambda}\biggl(\frac{k\pi-\tau \sigma}{\sigma}\biggr)= \widehat{\lambda}\biggl(\frac{(k-q)\pi-\alpha}{\sigma}\biggr)= 2(-1)^q h_{\alpha}\biggl(\frac{(k-q)\pi-\alpha}{\sigma}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Из этого равенства следует, что условие (1.4) выполняется при $\varepsilon=1$, а условие (1.3) выполняется при двух значениях $s$: $s=q-1$ и $s=q$, а если $0<\alpha<\pi$, то и при $s=q+1$. Теорема 3 доказана. Если в теореме 3 взять $g(t)=t^r$, $r\geqslant1$, то для оператора дробной производной
$$
\begin{equation*}
H(f)(x)=f^{(r,\beta)}(x)= \int_{-\sigma}^{\sigma}|t|^re^{i\beta\operatorname{sign} t}e^{itx}\,d\mu_f(t), \qquad \beta\in\mathbb{R}, \quad f\in V_{\sigma}
\end{equation*}
\notag
$$
получим следующее следствие. Следствие 1. Для любых $\beta\in\mathbb{R}$, $r\geqslant1$, $f\in V_{\sigma}$, выполняется неравенство $|f^{(r,\beta)}(x)|\leqslant\sigma^r\|f\|_{\infty}$, $x\in\mathbb{R}$, а множество всех экстремальных функций в этом неравенстве совпадает со множеством функций вида $f(t)=\mu e^{i\sigma t}+\nu e^{-i\sigma t}$, $\mu,\nu\in\mathbb{C}$. Неравенства Бернштейна–Сегё в следствии 1 при $r\geqslant1$, $\beta=-r\pi/2$ и $\beta=0$ получены в работе Лизоркина (1965) [13; теоремы 2, $2^{\prime}$]. Для полиномов $f\in\mathscr{F}_n$ эти неравенства при $r=1$, $\beta\in\mathbb{R}$, доказаны в работе Сегё (1928) [14], а при $r\geqslant1$, $\beta\in\mathbb{R}$, в работе Соколова (1935) [15; неравенства (6),(10)] (задача Бернштейна). Константы в неравенстве Бернштейна–Сегё при $0<r<1$ изучены в работе Леонтьевой (2023) [16], а при $r\geqslant1$ для весовых интегральных норм в работе Виноградова (2023) [2; § 4.1]. 5. Примеры операторов, удовлетворяющих условию (1.4)Комплекснозначная функция $\varphi\colon \mathbb{R}\to\mathbb{C}$ называется положительно определенной на $\mathbb{R}$ $(\varphi\in\Phi(\mathbb{R}))$, если при любом $m\in\mathbb{N}$, для любого набора точек $\{x_k\}_{k=1}^m\subset\mathbb{R}$ и любых комплексных чисел $\{c_k\}_{k=1}^m\subset\mathbb{C}$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
\sum_{k,j=1}^{m}c_k\overline{c_j}\varphi(x_k-x_j)\geqslant0.
\end{equation*}
\notag
$$
Известная теорема Бохнера–Хинчина утверждает, что функция $\varphi\in\Phi(\mathbb{R})\cap C(\mathbb{R})$ тогда и только тогда, когда существует конечная неотрицательная борелевская мера $\mu$ на $\mathbb{R}$ такая, что
$$
\begin{equation*}
\varphi(x)=\int_{\mathbb{R}}e^{ixt}\,d\mu(t), \qquad x\in\mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получается следующий критерий положительной определенности в терминах неотрицательности преобразования Фурье: если $\varphi\in C(\mathbb{R})\cap L_1(\mathbb{R})$, то $\varphi\in\Phi(\mathbb{R})$ $\iff$ $\widehat \varphi(t)\geqslant 0$, $t\in\mathbb{R}$, где
$$
\begin{equation*}
\widehat \varphi(t):=\int_{\mathbb{R}}e^{-itx}\varphi(x)\,dx, \qquad t\in\mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
В следующей теореме рассмотрен более общий случай операторов, чем в теореме 3, для которых выполняется условие (1.4). Теорема 4. Пусть оператор $H\colon V_{\sigma}\to V_{\sigma}$, $\sigma>0$, задан формулой (4.1) с функцией $\lambda(t)=g(t)e^{i\beta\operatorname{sign} t}$, $t\in[-\sigma,\sigma]$, $\beta\in\mathbb{R}$, где $g(t)=G(t-\sigma)$ при $0\leqslant t\leqslant \sigma$ и $\overline{g(t)}=g(-t)$, $|t|\leqslant \sigma$, а функция $G$ является непрерывной и положительно определенной на $\mathbb{R}$, с носителем $\operatorname{supp} G\subset[-\sigma,\sigma]$ и $G(0)>0$. Тогда при $\tau=-\beta/\sigma$ функция $\lambda(t)e^{i\tau t}$ раскладывается на отрезке $[-\sigma,\sigma]$ в абсолютно сходящийся ряд Фурье и оператор $H$ продолжается по формуле (1.1) до оператора $H\colon B_{\sigma}\to B_{\sigma}$, а в неравенстве $|H(f)(x)|\leqslant \varkappa \|f\|_{\infty}$, $x\in\mathbb{R}$, $f\in B_{\sigma}$, $\varkappa=|\lambda(\sigma)|=G(0)>0$, экстремальными являются функции вида $f(t)=\mu e^{i\sigma t}+\nu e^{-i\sigma t}$, $\mu,\nu\in\mathbb{C}$. Если дополнительно выполняется условие то в указанном выше неравенстве других экстремальных функций нет. Доказательство. Рассмотрим функцию $\lambda_0(t)=e^{i\beta t/\sigma}\psi(t-\sigma)$, $t\in[-\sigma,\sigma]$, где функция $\psi(t)$ является $2\sigma$-периодической и совпадает на $[-\sigma,\sigma]$ с $G(t)e^{-i\beta t/\sigma}$. Так как $G(\pm \sigma)=0$, функция $\psi$ непрерывна на $\mathbb{R}$. Тогда функция $\lambda_0\in C[-\sigma,\sigma]$ и равенство $\lambda_0(\sigma)e^{i\tau \sigma}=\lambda_0(-\sigma)e^{-i\tau \sigma}$ выполняется при $\tau=-\beta/\sigma$. Так как $\widehat{G}(x)\geqslant0$ для всех $x\in\mathbb{R}$, для $\tau=-\beta/\sigma$ из равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\widehat{\lambda_0}\biggl(\frac{k\pi-\tau \sigma}{\sigma}\biggr)= \widehat{\lambda_0}\biggl(\frac{k\pi+\beta}{\sigma}\biggr)= \int_{-\sigma}^{\sigma}\psi(t-\sigma)e^{-ik\pi t/\sigma}\,dt \\ &\qquad =(-1)^k\int_{-\sigma}^{\sigma}\psi(t)e^{-ik\pi t/\sigma}\,dt= (-1)^k \widehat{G}\biggl(\frac{k\pi+\beta}{\sigma}\biggr), \qquad k\in\mathbb{Z}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
следует, что для функции $\lambda_0(t)$ и $\tau=-\beta/\sigma$ для чисел $c_k=c_k(\tau)$, $k\in\mathbb{Z}$, вычисленных по формуле (4.2), условие (1.4) выполняется при $\varepsilon=1$, а условие (1.3) эквивалентно условию (5.1). Равенство $\lambda_0(t)=\lambda(t)$ при $|t|\leqslant \sigma$ проверяется непосредственно. Осталось воспользоваться замечаниями 4, 5 и применить теорему 1, если дополнительно выполняется условие (5.1). Теорема 4 доказана. Приведем пример к теореме 4. Пример. Пусть $n\in\mathbb{N}$ и $\{a_r\}_{r=1}^{n}$ – такие вещественные числа, что функция $S(t):=\sum_{r=1}^{n}a_r(1-|t|)^r_{+}$ является положительно определенной на $\mathbb{R}$ и $S(0)>0$. Тогда функция $G(t):=S(t/\sigma)$, $t\in\mathbb{R}$, является непрерывной и положительно определенной на $\mathbb{R}$, с носителем $\operatorname{supp} G\subset[-\sigma,\sigma]$ и $G(0)>0$. В качестве $g$ в теореме 4 берем четную на $[-\sigma,\sigma]$ функцию, которая на $[0,\sigma]$ совпадает с функцией $G(t-\sigma)$. Тогда В заключении отметим, что для оператора (1.1), аналогично случаю периодических функций (см., например, [7], [18], [19]), получаются интегральные неравенства вида
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}}J\bigl(|H(f)(t)|\bigr)\,dt \leqslant \int_{\mathbb{R}}J\bigl(\varkappa|f(t)|\bigr)\,dt,
\end{equation*}
\notag
$$
где функция $J$ выпукла вниз и не убывает на $[0,+\infty)$, а величина $\varkappa$ вычислена по формуле (1.2). Естественно рассматривать только те функции $f\in B_{\sigma}$, для которых интеграл в правой части последнего неравенства конечен. Доказательство точности соответствующих неравенств по крайней мере для $J(t)=t^p$, $p\geqslant1$, и при выполнении условия (1.4) см., например, в [13; теорема 1] и в [1; лемма 7], а единственной экстремальной функцией в этих неравенствах является только нулевая [20; теорема 1].
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Zas24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|