| Математические заметки |
|
|
|
|
|
К продолжению ростков решений Н. А. Шананин Государственный университет управления, г. Москва
Английская версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624030350 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеВ пространстве ${\mathbb R}^3$ с координатами $x=(x_1,x_2,x_3)$ рассмотрим дифференциальный оператор в определении которого $a, b\in {\mathbb R}$, $c\in {\mathbb R}($ или ${\mathbb C})$, коэффициент $d(x)$ в зависимости от случая является либо вещественно аналитической функцией, либо $C^{\infty}$-функцией,
$$
\begin{equation*}
D_j=\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial x_j}, \qquad j=1,2,3, \quad i^2=-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Ниже используются общепринятые обозначения (см. Хёрмандер [1]). В каждой точке $x\in{\mathbb R}^3$ старший символ оператора определяет симметрическую билинейную форму
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag {\mathcal P}_x(\eta^1,\eta^2) &=\frac{1}{2} \sum_{j_1,j_2=1}^3\frac{\partial^2 p_2}{\partial\xi_{j_1}\partial\xi_{j_2}}(x, \xi)\eta^1_{j_1}\eta^2_{j_2} \\ &=(\eta^1_1-ax_2\eta^1_3)(\eta^2_1-ax_2\eta^2_3)+ (\eta^1_2-bx_1\eta^1_3)(\eta^2_2-bx_1\eta^2_3) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
на кокасательном пространстве $T^{\ast}_x{\mathbb R}^3$. Ядро формы $K_{x}(P)$ – линейное пространство, натянутое на ковектор $ax_2dx_1+bx_1dx_2+dx_3$. Отметим, что объединение точек $\bigcup_{x\in{\mathbb R}^3}(x, K_{x}(P)\setminus\{0\})$ совпадает с характеристическим множеством $\operatorname{Char}(P_{a,b})=\{(x,\xi)\mid p_2(x, \xi)=0,\,\xi\not=0\}$ оператора (1.1). Билинейную форму (1.2) можно представить в виде
$$
\begin{equation}
{\mathcal P}_x(\eta^1,\eta^2)=v^1_x(\eta^1)(\eta^2_1-ax_2\eta^2_3)+ v^2_x(\eta^1)(\eta^2_2-bx_2\eta^2_3),
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
где $v^1=\partial_1-ax_2\partial_3$ и $v^2=\partial_2-bx_1\partial_3$ – векторные поля на ${\mathbb R}^3$. Дифференциальную систему $\operatorname{span}(v^1,v^2)$, порожденную векторными полями $v^1$ и $v^2$, обозначим через ${\mathcal H}^1$. Нетрудно проверить, что коммутатор векторных полей $[v^1,v^2]=(a-b)\partial_3$. Если $a=b$, то $[v^1,v^2]=0\in {\mathcal H}^1$ и система ${\mathcal H}^1$ является голономной (или инволютивной). В этом случае через каждую точку $x^0=(x^0_1,x^0_2,x^0_3)$ пространства ${\mathbb R}^3$ проходит двумерное интегральное подмногообразие ${\mathcal M}_{x^0}$ системы ${\mathcal H}^1$:
$$
\begin{equation}
{\mathcal M}_{x^0}=\{x\mid x_3+ax_1x_2=x_3^0+ax_1^0x_2^0\}.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Если $a\not=b$, то векторное поле $[v^1,v^2]=(a-b)\partial_3\notin {\mathcal H}^1$ и дифференциальная система $ \operatorname{span}(v^1,v^2,[v^1,v^2])={\mathcal H}^2$, порожденная векторными полями $v^1$, $v^2$ и $[v^1,v^2]$, совпадет с модулем ${\mathcal T}{\mathbb R}^3$ всех гладких сечений касательного расслоения $T{\mathbb R}^3$ к многообразию ${\mathbb R}^3$
$$
\begin{equation}
{\mathcal H}^1=\operatorname{span}(v^1,v^2)\subsetneqq {\mathcal H}^2=\operatorname{span}(v^1,v^2,[v^1,v^2])={\mathcal T}{\mathbb R}^3.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Система ${\mathcal H}^1$ является вполне неголономной. Специфика этого случая состоит в том, что в силу теоремы Рашевского–Чжоу [2], [3] для любых двух точек пространства ${\mathbb R}^3$ существует соединяющий путь, составленный из гладких отрезков интегральных кривых дифференциальной системы ${\mathcal H}^1$. Говорят, что ростки обобщенных функций $u^1(x)$ и $u^2(x)\in {\mathcal D}'({\mathbb R}^3)$ равны в точке $x^0$, и пишут $u_{x^0}^1\cong u_{x^0}^2$, если существует открытая окрестность $V\subset {\mathbb R}^3$ точки $x^0$, в которой $u^1(x)=u^2(x)$, т.е. для любой основной функции $\varphi(x)\in {\mathcal D}({\mathbb R}^3)$ с носителем $\operatorname{supp}\varphi(x)\subset V$ выполняется равенство $\langle u^1,\varphi \rangle= \langle u^2,\varphi \rangle$. Заметим, что из равенства ростков $u_{x^0}^1\cong u_{x^0}^2$ следует равенство ростков образов $(Pu^1)_{x^0}\cong (Pu^2)_{x^0}$. 2. Теорема о неоднозначном продолженииПредположим, что в операторе $P_{a,b}$ вида (1.1) коэффициенты $a$ и $b$ не равны и коэффициент $d(x)$ является вещественно аналитической функцией: $d(x)\in {\mathcal A}({\mathbb R}^3)$. Тогда из теоремы 4 статьи [4] вытекает, что росток решения уравнения $P_{a,b}u=f(\in {\mathcal D}'({\mathbb R}^3))$ в любой точке однозначно определяет решение уравнения во всех точках пространства, т.е. для любых $u^1(x)$ и $u^2(x)\in {\mathcal D}'({\mathbb R}^3)$ из равенств $u_{x^0}^1\cong u_{x^0}^2$ в некоторой точке $x^0\in {\mathbb R}^3$ и $P_{a,b}u^(x)=P_{a,b}u^2(x)$ следует, что $u^1(x)=u^2(x)$ в ${\mathbb R}^3$. Ситуация резко меняется, если коэффициент $d(x)$ является бесконечно дифференцируемой, но не аналитической функцией. Теорема 1. Пусть $P_{a,b}$ – оператор вида (1.1), в котором $a\not=b$. Тогда существуют коэффициенты числовой $c$ и функциональный $d(x)\in C^{\infty}({\mathbb R}^3)$ такие, что уравнение $P_{a,b}u=0$ имеет нетривиальное решение $u(x)\in C^{\infty}({\mathbb R}^3)$, равное нулю при $x_1\leqslant 0$, носитель которого содержит гиперплоскость $x_1=0$. Доказательство. Обратимой в ${\mathbb R}^3$ заменой координат $x_1=x_1'$, $x_2=x_2'$ и $x_3=(1/(b-a))(x_3'+ax_1'x_2')$ оператор
$$
\begin{equation*}
L_{a,b,c}=(D_{x_1'}-ax_2'D_{x_3'})^2+(D_{x_2'}-bx_1'D_{x_3'})^2+cD_{x_3'}
\end{equation*}
\notag
$$
приводится к простому виду
$$
\begin{equation*}
L_{a,b,c}=D_{x_1}^2+(D_{x_2}-x_1D_{x_3})^2+\frac{c}{b-a}D_{x_3}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положив в последнем $c=a-b$, получим Однородное уравнение $ Lu=0 $ имеет семейство решений в котором $\phi(x)=x_2\xi_2+x_3\xi_3$ и $s(x_1)=\xi_3x_1-\xi_2$, зависящее от двух числовых параметров $\xi_2\in{\mathbb R}$ и $\xi_3\in({\mathbb R}\setminus\{0\})$. Если теперь функция $\nu(x_1)\in C^{\infty}({\mathbb R})$, то
Для каждого натурального числа $k\in{\mathbb N}$ определим решение $u_k(x)$ уравнения $Lu=0$, положив
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag u_k(x) &=e^{-9\cdot 2^{k-5}}u(x;\xi_2,\xi_3) |_{\xi_2=3\cdot2^{2k-1},\,\xi_3=2^{3k}} \\ &=\exp\bigl(i(3\cdot 2^{-1}y_2+y_3)-2^k(9\cdot 2^{-5}+2^{-1}(y_1-3\cdot 2^{-1})^2 )\bigr)\big|_{y=(2^kx_1,2^{2k}x_2,2^{3k}x_3)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Пусть $\chi(t)$ и $\widetilde{\chi}(t)\in C^{\infty}({\mathbb R})$ – вещественнозначные функции такие, что $0\leqslant\chi(t)\leqslant 1$ и $0\leqslant\widetilde{\chi}(t)\leqslant 1$ при всех $t\in{\mathbb R}$, причем
$$
\begin{equation*}
\chi(t)= \begin{cases} 0,& t\notin \biggl(-\dfrac{6}{7}, 2\biggr), \\ 1,& t\in \biggl[-\dfrac{4}{7}, \dfrac{3}{2}\biggr], \end{cases} \qquad \widetilde{\chi}(t)= \begin{cases} \chi(t),& t\in \biggl(-\infty, \dfrac{3}{2}\biggr), \\ 1,& t\in \biggl[\dfrac{3}{2}, +\infty\biggr). \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждого $k\in {\mathbb N}$ определим два вида срезающих функций
$$
\begin{equation*}
\chi_k(x_1)=\chi(2^{k+1}x_1-2) \qquad\text{и}\qquad \widetilde{\chi}_k(x_1)=\widetilde{\chi}(2^{k+1}x_1-2).
\end{equation*}
\notag
$$
По построению их носители удовлетворяют включениям $ \operatorname{supp}\chi_k(x_1)\subset2^{-k}[4/7, 2]$ и $ \operatorname{supp}\widetilde{\chi}_k(x_1)\subset2^{-k}[4/7, +\infty)$. Функция $\chi_k(x_1)=1$ при $x_1\in 2^{-k}[5/7,7/4]$, а функция $\widetilde{\chi}_k(x_1)=1$ при $x_1\in 2^{-k}[7/4,+\infty)$. Далее, паре натуральных чисел $l$ и $k_0$, связанных неравенством $l>k_0$, поставим в соответствие бесконечно дифференцируемую функцию
$$
\begin{equation*}
w_{k_0,l}(x)=u_{k_0}(x)\widetilde{\chi}_{k_0}(x_1)+ \sum_{k=k_0+1}^lu_{k}(x)\chi_k(x_1), \qquad x=(x_1,x_2,x_3)\in{\mathbb R}^3.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку пересечение носителей $\operatorname{supp}\widetilde{\chi}_{k_0}(x_1) \cap\operatorname{supp}\chi_k(x_1)$ не пусто, если и только если $k=k_0+1$, а пересечение $\operatorname{supp}\chi_k(x_1)\cap\operatorname{supp}\chi_m(x_1)$ не пусто, если и только если $|k-m|\leqslant 1$, то в каждой точке пространства ${\mathbb R}^3$ не более двух функций, входящих в сумму, отличны от нуля. Воспользовавшись представлением функции $u_k(x)$, указанном в правой части равенства (2.2), представлением функции $\chi_k(x_1)=\chi(2y_1-2)|_{y_1=2^kx_1}$ и представлением функции $\widetilde{\chi}_k(x_1)=\widetilde{\chi}(2y_1-2)|_{y_1=2^kx_1}$, а также тем, что для любых чисел $s>0$ и $\delta>0$ существует константа $C(s,\delta)$, с которой для всех $r\geqslant 0$ выполняется оценка $r^s\exp(-\delta r)\leqslant C(s,\delta)$, нетрудно доказать, что для любого мультииндекса $\alpha\in{\mathbb Z}_+^3$ найдется константа $C(\alpha)$ такая, что
$$
\begin{equation}
\sup_{{\mathbb R}^3}\bigl|\partial_x^{\alpha}(u_k(x)\chi_k(x_1))\bigr|+ \sup_{{\mathbb R}^3}\bigl|\partial_x^{\alpha}(u_k(x)\widetilde{\chi}_k(x_1))\bigr| \leqslant C(\alpha)e^{-2^{k-5}}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
для всех $k\in{\mathbb N}$. Из этих оценок и того, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{supp}(u_k(x)\chi_k(x_1))\subset \biggl\{(x_1,x_2,x_3)\biggm| x_1\in 2^{-k}\biggl[\frac{4}{7},2\biggr]\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
вытекает, что последовательность функций $\{w_{k_0,l}(x)\}_{l=k_0+1}^{\infty}$ сходится при $l\to+\infty$ в пространстве $C^{\infty}({\mathbb R}^3)$ к некоторой бесконечно дифференцируемой функции $w_{k_0}(x)$:
$$
\begin{equation*}
w_{k_0}(x)=u_{k_0}(x)\widetilde{\chi}_{k_0}(x_1)+ \sum_{k=k_0+1}^{+\infty}u_{k}(x)\chi_k(x_1).
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что $w_{k_0}(x)=0$ в полупространстве $x_1\leqslant 0$ и гиперплоскость $x_1=0$ принадлежит носителю $\operatorname{supp}w_{k_0}(x)$.
Вследствие (2.1) имеем
$$
\begin{equation*}
L(u_k\chi_k)(x)=u_k(x)(Q_k\chi_k)(x_1) \qquad\text{и}\qquad L(u_k\widetilde{\chi}_k)(x)=u_k(x)(Q_k\widetilde{\chi}_k)(x_1),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
Q_k=2^{3k+1}\frac{\partial}{\partial x_1}-\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Носитель $\operatorname{supp}Q_k\widetilde{\chi}_k(x_1)$ функции $Q_k\widetilde{\chi}_k(x_1)$ одной переменной $x_1$ содержится в объединении двух интервалов $I_{k,k+1}=2^{-k}[4/7,5/7]$ и $I_{k,k-1}=2^{-k}[7/4,2]$, на первом из которых $\chi_{k+1}(x_1)=1$, $\chi_{k-1}(x_1)=0$ и $\widetilde{\chi}_{k-1}(x_1)=0$, а на втором $\chi_{k+1}(x_1)=0$, $\chi_{k-1}(x_1)=1$ и $\widetilde{\chi}_{k-1}(x_1)=1$. Отсюда следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, L(u_k\chi_k)(x) &=u_k(x) (Q_k\chi_k )(x_1)\chi_{k+1}(x_1)+u_k(x) (Q_k\chi_k )(x_1)\chi_{k-1}(x_1) \\ &=u_k(x) (Q_k\chi_k )(x_1)\chi_{k+1}(x_1) +u_k(x) (Q_k\chi_k )(x_1)\widetilde{\chi}_{k-1}(x_1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, имеем $L(u_k\widetilde{\chi}_k)(x)= u_k(x) (Q_k\widetilde{\chi}_k )(x_1)\chi_{k+1}(x_1)$.
Если $x_1\in I_{k,k+1}$ и $k\geqslant k_0$, то
$$
\begin{equation*}
w_{k_0}=u_{k_0+1}\biggl(\frac{u_{k_0}}{u_{k_0+1}}\widetilde{\chi}_{k_0}+1\biggr) \quad\text{при}\ \ k=k_0, \qquad w_{k_0}=u_{k+1}\biggl(\frac{u_{k}}{u_{k+1}}\chi_{k}+1\biggr) \quad\text{при}\ \ k>k_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку при $x_1\in I_{k,k+1}$
$$
\begin{equation*}
\ln\biggl|\frac{u_{k}}{u_{k+1}}\biggr| =2^k\bigl(9\cdot 2^{-5}-2^{-1} (y_1-3\cdot 2^{-1})^2+4 (y_1-3\cdot 2^{-2} )^2\bigr)\big|_{y_1=2^kx_1}\leqslant -31\cdot 7^{-2}2^{k-5},
\end{equation*}
\notag
$$
то число $k_0$ можно выбрать так, что $ |{u_{k}}/{u_{k+1}} |\leqslant 2^{-1}$ при всех $k\geqslant k_0$ и $x_1\in I_{k,k+1}$. При таком выборе при $k\geqslant k_0$ и $x_1\in I_{k,k+1}$ выполняются оценки
$$
\begin{equation*}
\frac{3}{2}\geqslant\biggl|\frac{u_{k_0}}{u_{k_0+1}}\widetilde{\chi}_{k_0}+1\biggr|\geqslant\frac{1}{2}, \qquad \frac{3}{2}\geqslant\biggl|\frac{u_{k}}{u_{k+1}}\chi_{k}+1\biggr|\geqslant\frac{1}{2}, \quad\text{если}\ \ k>k_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда в силу этих оценок имеем
$$
\begin{equation*}
u_{k_0} (Q_{k_0}\widetilde{\chi}_{k_0} )\chi_{k_0+1}=f_{k_0}w_{k_0} \quad\text{и} \quad u_{k} (Q_{k}\chi_{k} )\chi_{k+1}=f_{k}w_{k_0} \quad\text{при}\ \ k>k_0,
\end{equation*}
\notag
$$
в которых
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f_{k_0}=\frac{u_{k_0}}{u_{k_0+1}}\biggl(\frac{u_{k_0}}{u_{k_0+1}} \widetilde{\chi}_{k_0}+1\biggr)^{-1}\chi_{k_0+1} (Q_{k_0}\widetilde{\chi}_{k_0} ), \\ f_{k}=\frac{u_{k}}{u_{k+1}}\biggl(\frac{u_{k}}{u_{k+1}}\chi_{k}+1\biggr)^{-1}\chi_{k+1} (Q_{k}\chi_{k} ) \quad\text{при}\ \ k>k_0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Носители функций $f_k$ содержатся в множествах $I_{k,k+1}\times{\mathbb R}^2_{x_2,x_3}$, не пересекаются и для их производных выполняются оценки, аналогичные оценкам (2.3). Существует число $\delta_1>0$ такое, что для любого мультииндекса $\alpha\in{\mathbb Z}_+^3$ найдется константа $C(\alpha)$, с которой выполняется оценка
$$
\begin{equation}
\sup_{{\mathbb R}^3} |\partial_x^{\alpha}f_k(x) |\leqslant C(\alpha)e^{-\delta_1 2^{k}}, \qquad k\geqslant k_0.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Если $x_1\in I_{k,k-1}$ и $k\geqslant k_0+1$, то
$$
\begin{equation*}
w_{k_0}=u_{k-1}\biggl(\frac{u_{k}}{u_{k-1}}\chi_{k}+1\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку при $x_1\in I_{k,k-1}$
$$
\begin{equation*}
\ln\biggl|\frac{u_{k}}{u_{k-1}}\biggl|= 2^k\bigl(-9\cdot 2^{-6}-2^{-1} (y_1-3\cdot 2^{-1})^2+2^{-4} (y_1-3 )^2\bigr)\big|_{y_1=2^kx_1}\leqslant -19\cdot 2^{k-8},
\end{equation*}
\notag
$$
то ранее выбранное число $k_0$ можно при необходимости увеличить так, чтобы при всех $k\geqslant k_0+1$ и $x_1\in I_{k,k-1}$ выполнялось неравенство $ |{u_{k}}/{u_{k=1}} |\leqslant 2^{-1}$.
При таком выборе $k_0$ при всех $k\geqslant k_0+1$ и $x_1\in I_{k,k-1}$ выполняются оценки
$$
\begin{equation*}
\frac{3}{2}\geqslant \biggl|\frac{u_{k}}{u_{k-1}}\chi_{k}+1\biggr|\geqslant\frac{1}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из этих оценок следует, что при $k\geqslant k_0$ выполняются равенства в которых функция
$$
\begin{equation*}
g_{k_0+1}=\frac{u_{k_0+1}}{u_{k_0}} \biggl(\frac{u_{k_0+1}}{u_{k_0}}\chi_{k_0+1}+1\biggr)^{-1}\widetilde{\chi}_{k_0} (Q_{k_0+1}\chi_{k_0+1} )
\end{equation*}
\notag
$$
и при $k>k_0+1$ функции
$$
\begin{equation*}
g_{k}=\frac{u_{k}}{u_{k-1}}\biggl(\frac{u_{k}}{u_{k-1}}\chi_{k}+1\biggr)^{-1}\chi_{k-1} (Q_{k}\chi_{k} ).
\end{equation*}
\notag
$$
Носители построенных функций $g_k$ содержатся в множествах $I_{k,k-1}\times{\mathbb R}^2_{x_2,x_3}$, не пересекаются и для их производных выполняются оценки, аналогичные оценкам (2.3) и (2.4). Существует число $\delta_2>0$ такое, что для любого мультииндекса $\alpha\in{\mathbb Z}_+^3$ найдется константа $C(\alpha)$, с которой выполняется оценка
$$
\begin{equation}
\sup_{{\mathbb R}^3} |\partial_x^{\alpha}g_k(x) | \leqslant C(\alpha)e^{-\delta_2 2^{k}}, \qquad k\geqslant k_0+1.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
сходятся в пространстве $C^{\infty}({\mathbb R}^3)$, определяя при этом две бесконечно дифференцируемые функции $f(x)$ и $g(x)$, носители которых содержатся в полупространстве $x_1\geqslant 0$. Теперь вследствие равенства $Lw_{k_0,l}= (\sum_{k=k_0}^lf_k+ \sum_{k=k_0+1}^lg_k )w_{k_0}$ для любой пробной функции $\phi(x)\in {\mathcal D}({\mathbb R}^3)$ имеем равенство где $L^{\ast}$ – оператор, сопряженный к оператору $L$, $\overline{w}_{k_0}$ – функция комплексно сопряженная к функции $w_{k_0}$. Предельным переходом при $l\to+\infty$ отсюда получаем, что $Lw_{k_0}+d(x)w_{k_0}=0$, где $d(x)=-f(x)-g(x)$. Теорема доказана. Таким образом, в случае вполне неголономной дифференциальной системы, порожденной главным символом для дифференциального уравнения $Pu=0$ с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами из равенства ростка решения нулю в некоторой точке, вообще говоря, не следует тривиальность решения однородного уравнения и из равенства ростков двух решений уравнения $P_{a,b}u=f$ в точке, вообще говоря, не следует равенство решений. 3. Замечания о голономном случаеВ голономном случае $a=b$. Если при этом коэффициент $d(x)\in {\mathcal A}({\mathbb R}^3)$, то из теоремы 3 статьи [4], условия применимости которой выполнены, следует, что для любых $u^1(x)$ и $u^2(x)\in {\mathcal D}'({\mathbb R}^3)$ из равенств $u_{x^0}^1\cong u_{x^0}^2$ в некоторой точке $x^0\in {\mathbb R}^3$ и $(P_{a,a}u^1)_x\cong (P_{a,a}u^2)_x$ в точках интегрального многообразия ${\mathcal M}_{x^0}=\{x\mid x_3+ax_1x_2=x_3^0+ax_1^0x_2^0\}$ следует, что $u_{x}^1\cong u_{x}^2$ в точках $x\in {\mathcal M}_{x^0}$. Росток решения уравнения однозначно определяет ростки этого решения во всех точках интегрального многообразия дифференциальной системы, порожденной главным символом уравнения. Аналогичным свойством обладают уравнения с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами $d(x)\in C^{\infty}({\mathbb R}^3)$, если $c\in {\mathbb C}\setminus{\mathbb R}$. Такое уравнение
$$
\begin{equation*}
\bigl((D_{x_1'}-ax_2'D_{x_3'})^2+(D_{x_2'}-ax_1'D_{x_3'})^2+cD_{x_3'} +d(x')\bigr) u=f(x')
\end{equation*}
\notag
$$
заменой координат $x_1=x_1'$, $x_2=x_2'$ и $x_3=x_3'+ax_1'x_2'$ приводится к более простому виду
$$
\begin{equation}
(Lu=)\bigl(D_{x_1}^2+D_{x_2}^2+cD_{x_3}+d(x)\bigr)u=f(x).
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Операциям дифференцирования по переменным $x_1$ и $x_2$ припишем веса равные $1$, а операции дифференцирования по переменной $x_3$ вес $-1$. Тогда взвешенный главный символ (см. § 1 [5]) имеет вид: $p_2=\xi_1^2+\xi_2^2+c\xi_3$. Поскольку $c\in {\mathbb C}\setminus{\mathbb R}$, то уравнение (3.1), рассматриваемое как уравнение со взвешенными производными, является квазиэллиптическим. Поэтому любая функция, удовлетворяющая однородному уравнению $Lu=0$, является бесконечно дифференцируемой. Далее, нетрудно проверить, что взвешенный главный символ $p_2(\xi)$ удовлетворяет условиям $(\mathrm{P}.1)$, $(\mathrm{P}.2)$ и $(\mathrm{P}.3)$ из [5; § 4]. Из теоремы 4.4 указанной статьи вытекает, что из равенств ростков $u_{x^0}^1\cong u_{x^0}^2$ в точке $x^0\in {\mathbb R}^3$ и $(P_{a,a}u^1)_x\cong (P_{a,a}u^2)_x$ в точках многообразия ${\mathcal M}_{x^0}=\{x\mid x_3=x_3^0\}$ следует, что $u_{x}^1\cong u_{x}^2$ во всех точках $x\in {\mathcal M}_{x^0}$. Таким образом, если $d(x)\in C^{\infty}({\mathbb R}^3)$ и $c\in {\mathbb C}\setminus{\mathbb R}$, то росток решения уравнения также однозначно определяет ростки этого решения во всех точках интегрального многообразия дифференциальной системы, порожденной главным символом уравнения.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sha24} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|