| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Приближение периодических функций высокой обобщенной гладкости суммами Фурье Н. В. Лактионова, К. В. Руновский Филиал Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова в г. Севастополе
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624010267 
Реферативные базы данных:
  Необходимые и достаточные условия на генератор обобщенной производной, при которых наилучшее приближение на классе соответствующих гладких функций обеспечивается суммами Фурье, т.е.
$$
\begin{equation}
\mathcal E_n(W^{(\lambda, \beta)}_p)\asymp \mathcal S_n(W^{(\lambda, \beta)}_p), \quad n \in \mathbb{N}, \qquad W_p^{(\lambda, \beta)} =\{g\colon g^{(\lambda, \beta)} \in \mathrm L_p\} ,
\end{equation}
\tag{1}
$$
найдены в пространствах $\mathrm L$ и $\mathrm C$ суммируемых по Лебегу и, соответственно, непрерывных $2\pi$-периодических функций, снабженных интегральной нормой и нормой Чебышева, которые в полной шкале $\mathrm L_p$ отвечают случаям $p=1$ и $p=+\infty$. В (1)
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal E_n(W^{(\lambda, \beta)}_p) \equiv \sup \bigl\{E_{n-1}(f)_p\colon \|f^{(\lambda, \beta)}\|_p \leqslant 1\bigr\}, \\ E_{n-1}(f)_p=\inf_{T \in \mathcal T_n} \|f - T\|_p, \qquad \mathcal T_n = \biggl\{T(x)=\sum_{k=-(n-1)}^{n-1} c_ke^{ikx}\colon c_{-k}=\overline{c}_k,\,|k| \leqslant n \biggr\}, \quad n \in \mathbb{N}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
– наилучшее приближение функции $f \in \mathrm L_p$ тригонометрическими полиномами порядка не выше $n-1$,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal S_n(W^{(\lambda, \beta)}_p) \equiv \sup\{\|f-S_{n-1}(f)\|_p\colon \|f^{(\lambda, \beta)}\|_p \leqslant 1\}, \\ S_{n-1}(f; x) =\sum_{k=-(n-1)}^{n-1} f^\wedge(k)e^{ikx}, \qquad n \in \mathbb{N}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
– частичные суммы ряда Фурье, $f^{\wedge}(k)$, $k \in \mathbb{Z}$, – коэффициенты Фурье функции $f$,
$$
\begin{equation*}
(\cdot)^{(\lambda, \beta)}\colon e^{ikx}\longrightarrow\lambda_ke^{\operatorname{sgn}k(i\pi\beta)/2} e^{ikx}, \qquad k \in \mathbb{Z},
\end{equation*}
\notag
$$
– линейный оператор $(\lambda, \beta)$-производной, определенный на $W_p^{(\lambda, \beta)}$, где $\beta \in \mathbb{R}$, $\lambda_k=\lambda(|k|)$, а $\lambda$ – вещественная непрерывная монотонно возрастающая на $[0, +\infty)$ к $+\infty$ функция, такая, что $\lambda(0)=0$. Нередко его называют также $(\psi,\beta)$-производной (см., например, [1]), где $\psi=1/\lambda$. Здесь и в дальнейшем, $\mathbb{N}$, $\mathbb{N}_0$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ – множества натуральных, целых неотрицательных, целых, вещественных и комплексных чисел соответственно, $\overline{c}$ – комплексное сопряжение к $c \in \mathbb{C}$. Cимвол “$a_n \asymp b_n$”, где $a_n,b_n >0$, означает эквивалентность, т.е. выполнение неравенств $c_1 a_n \leqslant b_n \leqslant c_2 a_n$ с не зависящими от $n$ положительными константами.
Хорошо известно (см., например, [2; гл. 4]), что для $1<p<+\infty$
$$
\begin{equation*}
E_{n-1}(f)_p\asymp\|f-S_{n-1}\|_p, \qquad f \in \mathrm L_p, \quad n \in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, в этом случае соотношение (1) автоматически справедливо для любого генератора гладкости. В случаях $p=1,+\infty$ было известно следующее. В [1; гл. 6] справедливость (1) в шкале $\mathcal E$, состоящей из генераторов $\lambda(t)=e^{at^r}$, $a>0$, $r>0$, $t\geqslant t_0>0$, была установлена только для $r\geqslant 1$. В дальнейшем также выяснилось, что в случае $0<r<1$, отвечающем классам бесконечно дифференцируемых, но не аналитических функций, не только частичные суммы ряда Фурье, но даже и средние Валле Пусссена не обеспечивают наилучшего порядка приближения (см., например, [3]). Результаты, полученные в шкале $\mathcal E$, явлются прямыми следствиями следующего общего критерия.
Символом $\mathrm C^2[a, +\infty)$, $a \geqslant 0$, обозначим класс непрерывных на $\mathbb{R}$ и равных $0$ при $x \leqslant a$ функций с абсолютно непрерывной на каждом конечном замкнутом интервале из $[a, +\infty)$ производной. Класс ${\mathfrak N}$ состоит, по определению, из строго монотонно возрастающих вместе со своей производной на $[t_0 , +\infty)$, $t_0 \geqslant 0$, функций $\lambda \in \mathrm C^2[0, +\infty)$ таких, что $\lambda'/\lambda$ и $\lambda'/\lambda^2$ монотонны на $[t_0 , +\infty)$; при этом если $\eta \equiv \lambda'/\lambda$ убывает, то существует $\lim_{t \to +\infty}\eta(2t)/\eta(t)$. Теорема 1. Пусть $p =1,+\infty$, $\beta \in \mathbb{R}$ и $\lambda \in {\mathfrak N}$. Тогда если и только если функция $\lambda/\lambda'$ ограничена. Доказательство. В [4] было показано, что при условиях теоремы 1 $\mathcal E_n(W^{(\lambda, \beta)}_p)\asymp\lambda_n^{-1}$; при этом
$$
\begin{equation}
E_{n-1}(f)_p\leqslant c \lambda_n^{-1} E_{n-1}(f^{(\lambda, \beta)})_p
\end{equation}
\tag{2}
$$
для $f \in W_p^{(\lambda, \beta)}$ и $n \in \mathbb{N}$, где положительная постоянная $c$ не зависит от $f$, $n$ и $\beta$. Если функция $\lambda/\lambda'$ ограничена, то комбинируя известную оценку [5]
$$
\begin{equation*}
\|f -S_{n-1}(f)\|_p \leqslant c\sum_{k=0}^n\frac{E_{n+k-1}(f)_p}{k+1} , \qquad f \in \mathrm L_p, \quad n \in \mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
с (2), имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|f -S_{n-1}(f)\|_p & \leqslant c E_{n-1}(f^{(\lambda, \beta)})_p \sum_{k=0}^n \frac{1}{(k+1)\lambda_{n+k}} \leqslant c_1E_{n-1}(f^{(\lambda, \beta)})_p\int_n^{2n} \frac{dt}{\lambda(t)} \\ & \leqslant c_2E_{n-1}(f^{(\lambda, \beta)})_p\int_n^{2n} \frac{\lambda'(t)}{\lambda^2(t)}\,dt \leqslant c_2\lambda_n^{-1} E_{n-1}(f^{(\lambda, \beta)})_p, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что влечет верхнюю оценку для погрешности приближения суммами Фурье на классе $W^{(\lambda,\beta)}$, при этом нижняя оценка очевидна.
Обратно, пусть теперь функция $\lambda/\lambda'$ неограничена. Так как функция Хевисайда, равная $1$ при $t>0$ и равная $0$ при $t \leqslant 0$, не является мультипликатором в пространствах $\mathrm L_1$ и $\mathrm C$ (см., например, [6]), то при $p=1, +\infty$ для каждого натурального $n$ существует полином $T_n$ порядка не выше $n$ с коэффициентами $c_k \in \mathbb{C}$, $|k| \leqslant n$, такой, что
$$
\begin{equation*}
\alpha_n\equiv \|\mathcal X(T_n)\|_p\stackrel{n\to+\infty}\longrightarrow+\infty, \quad\|T_n\|_p=1, \qquad \mathcal X\biggl(\sum_{k=-n}^n c_k e^{ik\cdot}\biggr) =\sum_{k=1}^n c_k e^{ik\cdot}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, учитывая, что для $m>n$
$$
\begin{equation}
Q_{n,m}(x)\equiv(I-S_m)(e^{im\cdot}T_n(\cdot);x)=e^{imx}\mathcal X(T_n)(x)=\sum_{k=1}^n c_k e^{i(k+m)x},
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $I$ – тождественный оператор, имеем
$$
\begin{equation}
\inf_{m>n} \|Q_{n,m}\|_p=\alpha_n \stackrel{n\to+\infty}\longrightarrow+\infty.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Замечая, что
$$
\begin{equation*}
\|c_k e^{i(k+m)\cdot}\|_p =|T_n^{\wedge}(k)|\, \|e^{i(m+k)\cdot}\|_p \leqslant \|T_n\|_p=1, \qquad k=1,\dots , n,
\end{equation*}
\notag
$$
получаем для $m>n$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag J_{n,m} &\equiv \|Q_{n,m} - \lambda_{m+1}e^{(i\pi\beta)/2}(Q_{n,m})_{(\lambda,\beta)}\|_p \leqslant n\max_{1\leqslant k\leqslant n} \biggl(1-\frac{\lambda_{m+1}}{\lambda_{m+k}}\biggr) \\ &\leqslant n\biggl(1-\frac{\lambda_{m+1}}{\lambda_{m+n}}\biggr) = \frac{n(\lambda_{m+n}-\lambda_{m+1})}{\lambda_{m+n}} \leqslant \frac{n^2\lambda'_{m+n}}{\lambda_{m+n}} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5}
$$
в силу (3) с учетом возрастания функций $\lambda$ и $\lambda'$.
Так как $\lambda/\lambda'$ неограничена, то $\lim_{t\to+\infty} \lambda'(t)/\lambda(t)=0$. Следовательно, для каждого $n \in \mathbb{N}$ существует натуральное $m_n > n$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\lambda'_{m_n+n}}{\lambda_{m_n+n}} \leqslant\frac{\alpha_n}{2n^2},
\end{equation*}
\notag
$$
что в силу (4) влечет Положив где $(\cdot)_{(\lambda, \beta)}$ – обратный $(\lambda, \beta)$-производной оператор, определенный на функциях из $\mathrm L_p$ с нулевым средним, на основании (3)–(6) имеем
$$
\begin{equation}
\hspace{-2mm}\lambda_{m_n+1} \|(I-S_{m_n})g_n\|_p = \lambda_{m_n+1} \|(Q_{n,m_n})_{(\lambda,\beta)}\|_p \geqslant \|Q_{n,m_n}\|_p -J_{n,m_n} \geqslant \frac{\alpha_n}{2}.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Теперь выберем из чисел $\|(I-S_{m_n})\operatorname{Re} g_n\|_p$ и $\|(I-S_{m_n})\operatorname{Im} g_n\|_p$ наибольшее и обозначим соответствующую действительную или мнимую часть функции $g_n$ символом $h_n$. Тогда, учитывая, что $\|g_n^{(\lambda,\beta)}\|_p=\|T_n\|_p=1$, получаем
$$
\begin{equation}
\lambda_{m_n+1} \|(I-S_{m_n})h_n\|_p \geqslant2^{-1/2}\lambda_{m_n+1} \|(I-S_{m_n})g_n\|_p \geqslant2^{-3/2}\alpha_n \|h_n^{(\lambda,\beta)}\|_p.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Ясно, что $h_n \not\equiv 0$, иначе в силу первого неравенства в (8), что противоречит (7). Положив $f_n = h_n/\|h_n^{(\lambda,\beta)}\|_p$, на основании (8) имеем
$$
\begin{equation*}
\lambda_{m_n+1}\|(I-S_{m_n})f_n\|_p\geqslant 2^{-3/2}\alpha_n, \qquad \lambda_{m_n+1} \mathcal S_{m_n+1}(W^{(\lambda, \beta)})_p \geqslant2^{-3/2}\alpha_n \stackrel{n\to+\infty}\longrightarrow+\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. последовательность $\lambda_n \mathcal S_n(W^{(\lambda, \beta)})_p$ неограничена. Тем самым, доказательство теоремы 1 завершено. Теорема 1 позволяет делать выводы о качестве приближения частичными суммами ряда Фурье не только в шкале $\mathcal E$, но и, например, в более “мелкой” шкале, состоящей из генераторов $\exp(at^r\ln^q t)$, $t \geqslant t_0 >0$, $a>0$, $r \geqslant 0$, $q \in \mathbb{R}$ при $r>0$ и $q >0$ при $r =0$. Непосредственным вычислением несложно убедиться в том, что условие ограниченности $\lambda/\lambda'$ выполняется только в двух случаях: $r > 1$, $q \in \mathbb{R}$ и $r =1$, $q \geqslant 0$. Следует также отметить более общий факт о том, что экспонента $e^{at}$, $a >0$, является “пограничной функцией”, разделяющей генераторы, для которых суммы Фурье реализуют или не реализуют наилучшие приближения на соответствующих классах гладких функций. Более точно, при условии монотонности функции $\varphi$ вместе с ее производной ограниченность $\lambda/\lambda'$, где $\lambda(t)=\varphi(t)e^{at}$, $t\geqslant t_0>0$, имеет место тогда и только тогда, когда функция $\varphi$ не убывает на бесконечности к нулю. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{LakRun24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|