| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Задача С. Р. Насырова о приближении наипростейшими дробями на отрезке П. А. Бородинab, А. М. Ершовa a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624030234 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеРабота посвящена приближению наипростейшими дробями, т.е. дробями вида
$$
\begin{equation*}
r(z)=\sum_{k=1}^n\frac{1}{z-a_k}, \qquad a_k\in {\mathbb C},
\end{equation*}
\notag
$$
на внутренней хорде области $D$ комплексной плоскости ${\mathbb C}$ при условии, что полюсы $a_k$ приближающих дробей лежат на границе $\partial D$ этой области. Обозначим через $\mathrm{SF}(E)$ совокупность всех наипростейших дробей с полюсами на множестве $E\subset {\mathbb C}$. В настоящее время теория приближения наипростейшими дробями вполне развита [1]. Следующее утверждение является основным в этой теории. Теорема A (Кореваар [2]). Для всякой ограниченной односвязной области $D$ множество $\mathrm{SF}(\partial D)$ плотно в пространстве $A(D)$ функций, голоморфных в области $D$ (с топологией равномерной сходимости на компактах $K\subset D$). Имеются обобщения теоремы A [3]. Выделены классы неограниченных областей, для которых верен аналог теоремы A [4], [5]. Однако во всех этих результатах речь идет о приближении наипростейшими дробями из $\mathrm{SF}(E)$ на компакте, не пересекающемся с $E$. В 2014 г. на VII Петрозаводской конференции “Комплексный анализ и приложения” С. Р. Насыров поставил следующую задачу. Задача 1. Плотны ли наипростейшие дроби с полюсами на единичной окружности в комплексном пространстве $L_2[-1,1]$? Эта задача была зафиксирована в [3] и решена отрицательно Комаровым в [6], который затем существенно обобщил и уточнил свой результат [7]. Теорема B (Комаров [7]). Наипростейшие дроби $\mathrm{SF}(C)$ с полюсами на единичной окружности $C$ не плотны в комплексном пространстве $L_p[-1,1]$ при $p\geqslant 1$. Более точно, для всякого $p\geqslant 1$ существует такая константа $C(p)$, что для всякой дроби $r\in \mathrm{SF}(C)$ степени $n$ выполнено неравенство Степень $1-1/p$ в неравенстве (1.1) точна, как показывает дробь Приведем простое доказательство первого утверждения теоремы B и заодно решение задачи 1. Пусть $1\leqslant p <\infty$. Функционал $F\in (L_p[-1,1])^*$ определяется равенством Для всякого $a\in {\mathbb C}\setminus [-1,1]$ имеем
$$
\begin{equation*}
F\biggl(\frac{1}{x-a}\biggr)=\int_{-1}^1 \frac{1}{x-a}\, dx=\ln \frac{a-1}{a+1},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\ln z$ – ветвь логарифма, голоморфная в ${\mathbb C}\setminus \{x\colon x\leqslant 0\}$ и определяемая значением $\ln 1=0$. При $|a|=1$ дробь $(a-1)/(a+1)$ чисто мнимая, поэтому
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Im} F\biggl(\frac{1}{x-a}\biggr)=\pm \frac\pi2.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, для всякой дроби $r\in \mathrm{SF}(C)\cap L_p[-1,1]$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Im} F(r)\in \biggl\{\frac{\pi k}{2}\colon k\in {\mathbb Z}\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
так что $\mathrm{SF}(C)$ не плотно в $L_p[-1,1]$. Это нехитрое рассуждение нисколько не умаляет трудную теорему B. В нем подмечается другое свойство дробей из $\mathrm{SF}(C)$, позволяющее ответить на вопрос Насырова. Впрочем, оно показывает, что в $L_p[-1,1]$ при $p\geqslant 1$ не плотно более широкое множество
$$
\begin{equation}
\mathrm{SF}_{\pm}(C)=\biggl\{\sum_{k=1}^n \pm \frac{1}{x-a_k}\colon a_k\in C, \,n\in {\mathbb N}\biggr\}
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
логарифмических производных рациональных функций с нулями и полюсами на окружности $C$. Задача 1 естественно обобщается в двух направлениях. Задача 2. Для каких борелевских мер $\mu$ c носителем на $[-1,1]$ и показателей $p\in [1,\infty)$ наипростейшие дроби $\mathrm{SF}(C)$ с полюсами на единичной окружности $C$ плотны в комплексном пространстве $L_p([-1,1], d\mu)$? Комаров уже получил следующий результат в русле этой задачи. Теорема C (Комаров [8]). Пусть $0< p<\infty$, $-1<\alpha<\infty$. Дроби из $\mathrm{SF}(C)$ плотны в комплексном пространстве $L_p([-1,1], (1-x^2)^\alpha\,dx)$ тогда и только тогда, когда $\alpha>p-1$. Задача 3. Для каких ограниченных жордановых областей $D\subset {\mathbb C}$, для которых отрезок $[-1,1]$ является внутренней хордой, и для каких показателей $p\in [1,\infty)$ наипростейшие дроби $\mathrm{SF}(\partial D)$ с полюсами на границе $D$ плотны в комплексном пространстве $L_p[-1,1]$? Цель настоящей работы – выявить нетривиальные условия на меру $\mu$ и область $D$, достаточные для положительного или отрицательного решения задач 2 и 3 соответственно. 2. Весовые пространства на отрезкеВ этом пункте мы исследуем задачу 2. Для начала обобщим приведенное во введении простое решение задачи Насырова на весовые пространства. Замечание 1. Пусть $1<p<\infty$, и пусть неотрицательный вес $\omega(x)$ на отрезке $[-1,1]$ таков, что функция $1/(\omega(x))^{1/(p-1)}$ суммируема относительно меры Лебега на отрезке $[-1,1]$. Тогда определенное в (1.2) множество $\mathrm{SF}_{\pm}(C)$ не плотно в $L_p([-1,1], \omega(x)\,dx)$. Доказательство. Условие на $\omega$ означает, что $1/\omega\in L_q([-1,1], \omega(x)\,dx)$, где $1/p+1/q=1$.
Следовательно, определен функционал $F\in (L_p([-1,1], \omega(x)\,dx))^*$, действующий так:
$$
\begin{equation*}
F(f)=\int_{-1}^1 \frac{1}{\omega(x)} f(x) \omega(x)\, dx=\int_{-1}^1 f(x)\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, это означает, что $1/(x\pm 1)\notin L_p([-1,1], \omega(x)\,dx)$.
Для всякого $a\in {\mathbb C}\setminus [-1,1]$ имеем
$$
\begin{equation*}
F\biggl(\frac{1}{x-a}\biggr)=\int_{-1}^1 \frac{1}{x-a}\, dx=\ln \frac{a-1}{a+1},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\ln z$ – ветвь логарифма, голоморфная в ${\mathbb C}\setminus \{x\colon x\leqslant 0\}$ и определяемая значением $\ln 1=0$. При $|a|=1$ дробь $(a-1)/(a+1)$ чисто мнимая, поэтому
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Im} F\biggl(\frac{1}{x-a}\biggr)=\pm \frac\pi2.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, для всякой дроби $r\in \mathrm{SF}_{\pm}(C)\cap L_p([-1,1], \omega(x)\,dx)$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Im} F(r)\in \biggl\{\frac{\pi k}{2}\colon k\in {\mathbb Z}\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
так что $\mathrm{SF}_{\pm}(C)$ не плотно в $L_p([-1,1], \omega(x)\,dx)$.
Замечание доказано. Из замечания 1 следует неплотность $\mathrm{SF}(C)$ в $L_p([-1,1], (1- x^2)^\alpha\,dx)$ при $\alpha<p-1$. Это чуть не дотягивает до полного доказательства необходимости в теореме C: вне рассмотрения остается случай $\alpha=p-1$. Следующая теорема содержит утверждение достаточности в теореме C при $1<p<\infty$ как частный случай. Теорема 1. Пусть $1<p<\infty$, и пусть борелевская мера $\mu$ на $[-1,1]$ такова, что Тогда множество $\mathrm{SF}(C)$ плотно в $L_p([-1, 1], d\mu)$. Доказательство. 1. Сначала покажем, что замыкание множества $\mathrm{SF}(C)$ в пространстве $L_p([-1, 1],d\mu)$ содержит $0$.
Логарифмическая производная многочлена $x^{2n}+1$ принадлежит $\mathrm{SF}(C)$. Покажем, что $\|r_n\|\to 0$ при $n \to \infty$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\|r_n\|^p \leqslant 2^p n^p \int_{-1}^{1} |x|^{(2n-1)p} \,d\mu(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Разобьем этот интеграл на два: по отрезкам $[-1, 0]$ и $[0, 1]$. Докажем стремление к нулю интеграла
$$
\begin{equation*}
I_n :=\int_{0}^{1} 2^pn^px^{(2n-1)p} \,d\mu(x)= \int_{0}^{1} \frac{2^pn^px^{(2n-1)p}(1-x)^p}{(1-x)^p}\,d\mu(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Выражение $x^{(2n-1)p}(1-x)^p$ на $[0,1]$ достигает максимума в точке $1-1/(2n)$, поэтому
$$
\begin{equation*}
\frac{2^pn^px^{(2n-1)p}(1-x)^p}{(1-x)^p}\leqslant \frac{2^pn^p(1-1/(2n))^{(2n-1)p}(1/(2n))^p}{(1-x)^p}\leqslant \frac{1}{(1-x)^p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, подынтегральные выражения в $I_n$ ограничены интегрируемой функцией и поточечно на $[0,1)$ сходятся к нулевой функции. Значит, $I_n \to 0$ по теореме Лебега о мажорируемой сходимости. Аналогично можно показать, что интегралы по отрезкам $[-1, 0]$ также стремятся к нулю. 2. Покажем, что $\overline{\mathrm{SF}(C)}$ является замкнутой аддитивной подгруппой в пространстве $L_p([-1, 1], d\mu)$. Пусть $a$ – произвольная точка на единичной окружности. Для каждого $n$ выберем корень $z_n$ многочлена $z^{2n}+1$, являющийся ближайшим к $a$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, r_n(x)-\frac{1}{x-z_n} \in \mathrm{SF}(C), \\ \biggl\| -\frac{1}{x-a}-\biggl( r_n(x)-\frac{1}{x-z_n}\biggr)\biggr\| \leqslant \biggl\| \frac{1}{x-z_n}-\frac{1}{x-a}\biggr\|+\|r_n\| \to 0 \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
при $n \to \infty$, так что $-1/(x-a) \in \overline{\mathrm{SF}(C)}$. Отсюда $-\mathrm{SF}(C) \subset \overline{\mathrm{SF}(C)}$, так что $\overline{\mathrm{SF}(C)}$ – действительно замкнутая аддитивная подгруппа.
3. Наша цель – показать, что замыкание $\overline{\mathrm{SF}(C)}$ совпадает с $L_p([-1, 1],d\mu)$. Нам понадобится Теорема D [9]. Пусть $X$ – равномерно гладкое банахово пространство, $G$ – замкнутая аддитивная подгруппа в $X$. Пусть $\varphi \colon \Delta \to G$ – липшицево отображение отрезка $\Delta$ в $G$. Тогда $G$ содержит замкнутое $\mathbb{R}$-линейное подпространство $L$, порожденное элементами вида $a-b$, где $a, b \in \varphi(\Delta)$. Пространство $L_p([-1, 1], d\mu)$ является равномерно гладким [10; гл. 3]. Для произвольного $\sigma \in (0, \pi/2)$ определим отображение
$$
\begin{equation*}
\varphi \colon [\sigma, \pi-\sigma] \to \mathrm{SF}(C), \qquad \varphi(t)=\frac{1}{x-e^{it}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем липшицевость этого отображения. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\varphi(t_1)-\varphi(t_2)\|^p &=\int_{-1}^{1} \biggl| \frac{1}{x-e^{it_1}}-\frac{1}{x-e^{it_2}} \biggr|^p\,d\mu(x) =\int_{-1}^{1} \biggl| \frac{e^{it_1}-e^{it_2}}{(x-e^{it_1})(x-e^{it_2})} \biggr|^p\,d\mu(x) \\ &\leqslant |t_1-t_2|^p \int_{-1}^{1} \frac{d\mu(x)}{|(x-e^{it_1})(x-e^{it_2})|^p} \leqslant C(\sigma) |t_1-t_2|^p . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, условия теоремы D выполнены, и для всякого $\sigma>0$ множество $\overline{\mathrm{SF}(C)}$ содержит $\mathbb{R}$-линейную оболочку разностей
$$
\begin{equation*}
(x-e^{i\theta_1})^{-1}- (x-e^{i\theta_2})^{-1}, \qquad \theta_1, \theta_2 \in [\sigma, \pi- \sigma].
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, при $\theta_1=\pi/2$ получим $\mathbb{R}$-линейную оболочку функций $(x-i)^{-1}-(x- e^{it})^{-1}$, $t \in (0, \pi)$. Проводя аналогичные рассуждения для отрезка $[\pi+\sigma, 2\pi-\sigma]$, получим $\mathbb{R}$-линейную оболочку функций $(x+i)^{-1}-(x-e^{it})^{-1}$, $t \in (\pi, 2\pi)$. Рассмотрим теперь множества
$$
\begin{equation*}
E_1 =\operatorname*{span}_{\mathbb{R}}\biggl\{ \frac{1}{x-i}-\frac{1}{x-e^{it}} \colon t \in (0, \pi)\biggr\}, \qquad E_2 =\operatorname*{span}_{\mathbb{R}}\biggl\{ \frac{1}{x+i}-\frac{1}{x-e^{it}} \colon t \in (\pi, 2\pi) \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
По доказанному $E_1$, $E_2$, а значит, и $\overline{E_1+E_2}$ лежат в $\overline{\mathrm{SF}(C)}$. 4. Покажем, что $\overline{E_1+E_2}$ совпадает с $L_p([-1, 1], d\mu)$. Пусть для некоторой функции $f \in L_q([-1, 1], d\mu)$, $1/p+1/q=1$, вещественная часть интеграла $\int_{-1}^{1}\overline{f(x)}\cdot h (x)\,d\mu(x)$ равна нулю для всякого $h \in E_1+E_2$. Рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
u(a)=\operatorname{Re}\int_{-1}^{1}\frac{\overline{f(x)}}{x-a}\,d\mu(x),
\end{equation*}
\notag
$$
гармоническую вне отрезка $[-1, 1]$. Имеем $u(a)=u(i)$ для всех $a$ таких, что $|a|= 1$, $\operatorname{Im}a>0$ и $u(a)=u(-i)$ для всех $a $ таких, что $|a|=1$, $\operatorname{Im} a<0$. Докажем непрерывность $u$ в замкнутой области $|a| \geqslant 1$. Поскольку $f\in L_q([-1, 1], d\mu)$ и $1/(x \pm 1)\in L_p([-1, 1], d\mu)$, значения $u(\pm 1)$ определены. При $|a| \geqslant 1$ оценим выражение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \lim_{a\to 1}|u(1)-u(a)| &\leqslant \lim_{a\to 1} \int_{-1}^{1}|f(x)|\cdot \biggl|\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x-a}\biggr|\,d\mu(x) \\ & =\lim_{a\to 1}\int_{-1}^{1}\frac{|f(x)|}{1-x}\cdot\frac{|1-a|}{|x-a|}\,d\mu(x). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Оценим сверху отношение При $\operatorname{Re} a>1$ имеем $|a-1| \leqslant |a-x|$, т.е. $\rho \leqslant 1$. Теперь рассмотрим случай $0<\operatorname{Re} a \leqslant 1$. При фиксированном положении точки $a$ наибольшее значение $\rho$ равно $1/\sin \beta$, где $\beta$ – угол между отрезком $[1, a]$ и вещественной прямой. Поскольку $a$ лежит вне окружности, величина угла $\beta$ не меньше ${\pi}/{4}$, а значит, $\rho \leqslant \sqrt{2}$.Таким образом, функция $2|f(x)|/(x-1)$ является интегрируемой мажорантой для подынтегрального выражения в (2.1), которое при $a \to 1$ поточечно сходится к нулевой функции. Значит, по теореме Лебега предел в (2.1) существует и равен нулю. Аналогично доказывается непрерывность функции $u$ в точке $-1$. Поскольку $u$ постоянна на верхней и нижней полуокружностях и непрерывна, она постоянна на всей окружности $C$. С другой стороны, поскольку $u(\infty)=0$, к функции $u$ применим принцип максимума, согласно которому $u$ достигает на $C$ своего максимума и минимума в замкнутой области $|a| \geqslant 1$. Следовательно, $u$ постоянна в этой области. Поскольку $u(\infty)=0$, имеем $u(a)=0$ при $a \notin [-1, 1]$. Рассмотрим теперь функцию
$$
\begin{equation*}
F(a)=\int_{-1}^{1}\frac{\overline{f(x)}}{x-a}\,d\mu(x),
\end{equation*}
\notag
$$
голоморфную вне $[-1, 1]$. Функция $u(a)$ является ее вещественной частью, поэтому $F$ постоянна вне отрезка $[-1,1]$. Поскольку $F(\infty)=0$, получаем $F=0$ вне отрезка. Таким образом, преобразование Коши меры $\overline{f(x)}\,d\mu(x)$ равно нулю вне отрезка $[-1,1]$. Отсюда следует, что эта мера нулевая [11; следствие 8.3], а значит, определяемый функцией $f$ функционал на $L_p([-1, 1],d\mu)$ нулевой. Теорема доказана. 3. Другие областиСледующее утверждение обыгрывает идею приведенного во введении решения задачи 1 и позволяет получать примеры областей, для которых задача 3 решается отрицательно. Замечание 2. Пусть $q\in (1,\infty]$ и $g\in L_q[-1,1]$. Пусть функция принимает на множестве $E\subset {\mathbb C}$ значения, кратные какому-то числу $\delta$. Тогда множество не плотно в пространстве $L_p[-1,1]$, где $p$ таково, что $1/p+1/q=1$. Доказательство. Функционал принадлежащий $(L_p[-1,1])^*$, на всех дробях из $\mathrm{SF}_{\pm}(E)$ принимает значения, мнимая часть которых кратна $\delta$. Следовательно, $\mathrm{SF}_{\pm}(E)$ не плотно в $L_p[-1,1]$.
Замечание доказано. Пример 1. Для области $D$, ограниченной двумя дугами окружностей, соединяющих точки $1$ и $-1$, проходящих по разные стороны от отрезка $[-1,1]$ и образующих с этим отрезком соизмеримые углы, дроби $\mathrm{SF}_{\pm}(\partial D)$ не плотны в $L_p[-1,1]$ при любом $p\in[1,\infty)$. Действительно, функция
$$
\begin{equation*}
a\to \int_{-1}^1 \frac{1}{x-a}\, dx=\ln \frac{a-1}{a+1},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\ln z$ – ветвь логарифма, голоморфная в ${\mathbb C}\setminus \{x\colon x\leqslant 0\}$ и определяемая значением $\ln 1=0$, переводит указанные дуги в горизонтальные прямые с соизмеримыми ординатами, и остается применить замечание 2. Пример 2. Пусть $\sqrt{1-z^2}$ обозначает ветвь соответствующей двузначной функции, голоморфной вне отрезка $[-1,1]$ и имеющей положительные предельные значения при стремлении к точкам интервала $(-1,1)$ сверху. Пусть действительные числа $a,b\in (-1,1)$ имеют разные знаки и соизмеримы. Тогда кривые ограничивают область $D$, для которой отрезок $[-1,1]$ является внутренней хордой, и дроби $\mathrm{SF}_{\pm}(\partial D)$ не плотны в $L_p[-1,1]$ при любом $p\in(2,\infty)$. Действительно, функция $1/\sqrt{1-z^2}$ (в знаменателе указанная в условии ветвь) конформно отображает верхнюю полуплоскость на правую полуплоскость без горизонтального луча $[1,\infty)$, а нижнюю полуплоскость – на симметричную область. Из геометрии этих отображений нетрудно понять, что указанные в условии кривые действительно ограничивают нужную область $D$. Далее, с помощью контурного интегрирования можно доказать формулу
$$
\begin{equation*}
\int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\frac{1}{x-z}\,dx=\frac{\pi i}{\sqrt{1-z^2}}, \qquad z\in {\mathbb C}\setminus [-1,1],
\end{equation*}
\notag
$$
и остается применить замечание 2 к функции $g(x)=1/\sqrt{1-x^2}$. Любопытно, что граница области $D$ из примера 2 подходит к точке $1$ (соответственно $-1$), касаясь действительной оси справа от 1 (соответственно слева от $-1$). Было бы интересно выяснить вопрос о плотности $\mathrm{SF}_{\pm}(\partial D)$ в $L_2[-1,1]$. Теорема 2. Существует такая жорданова область $D$ со спрямляемой границей, что $D$ симметрична относительно действительной оси, отрезок $[-1,1]$ является ее внутренней хордой и $\mathrm{SF}(\partial D)$ плотно в пространствах $C[-1,1]$ и $L_p[-1,1]$, $p \in [1, \infty)$. Доказательство. Положим $\Delta=[-1,1]$.
Пусть $\gamma$ – жорданова спрямляемая кривая с концевыми точками $2+i$ и $-2+i$, которая является множеством единственности гармонических функций (т.е. любые две функции, гармонические в некоторой области $D \supset \gamma$ и совпадающие на $\gamma$, совпадают на $D$) и целиком лежит в полуплоскости $\{\operatorname{Im} z \geqslant 1 \}$. Например, в качестве $\gamma$ можно взять двузвенную ломаную, соединяющую $2+i$ и $-2+i$, с углом между звеньями, несоизмеримым с $\pi$. Положим
$$
\begin{equation*}
C_1=\gamma \cup (-\gamma) \cup [2-i, 2+i] \cup [-2-i, -2+i].
\end{equation*}
\notag
$$
По теореме A существует такая наипростейшая дробь $r_1$ с полюсами на $C_1$, что $\|r_1\|_{C(\Delta)}<1/2$. В [2] показано, что если последовательность наипростейших дробей $f_n$ с полюсами на границе ограниченной односвязной области $D$ сходятся к нулю равномерно внутри этой области, то для всякого $\varepsilon>0$ для всех достаточно больших $n$ полюсы $f_n$ образуют $\varepsilon$-сеть на $\partial D$. Поэтому можно считать, что полюсы $r_1$ образуют $1$-сеть на $C_1$. Кроме того, можно считать, что точки $\pm 2$ не являются полюсами $r_1$ (в противном случае чуть пошевелим эти полюсы). Тогда найдется такой невырожденный отрезок $I_1=[c_1,b_1] \subset [2-i, 2+i]$ длины меньше $1/2$ с серединой в 2, что на $I_1\cup (-I_1)$ нет ни одного полюса $r_1$. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, C_2 &=(C_1 \setminus (I_1 \cup (-I_1))) \cup \biggl[c_1, c_1-\frac{1}{2}\biggr] \cup \biggl[b_1, b_1-\frac{1}{2}\biggr]\cup \biggl[c_1-\frac{1}{2},b_1-\frac{1}{2}\biggr] \\ &\qquad \cup \biggl[-c_1, -c_1+\frac{1}{2}\biggr] \cup \biggl[-b_1, -b_1+\frac{1}{2}\biggr]\cup \biggl[-c_1+\frac{1}{2},-b_1+\frac{1}{2}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, существует такая наипростейшая дробь $r_2$ с полюсами на $C_2$, что $\|r_2\|_{C(\Delta)}<1/4$, полюсы $r_2$ образуют $1/2$-сеть на $C_2$ и для некоторого вертикального отрезка $I_2$ длины меньше $1/4$ с серединой в точке $3/2$, входящего в $C_2$, на $I_2\cup (-I_2)$ нет ни одного полюса $r_2$. Продолжая таким образом, для всякого натурального $n$ последовательно строим такие контуры $C_n$ и наипростейшие дроби $r_n$ с полюсами на $C_n$, что $\|r_n\|_{C(\Delta)}<1/2^n$, полюсы $r_n$ образуют $1/n$-сеть на $C_n$ и для некоторого вертикального отрезка $I_n$ длины меньше $1/2^n$ с серединой в точке $1+1/2^{n-1}$, входящего в $C_n$, на $I_n\cup (-I_n)$ нет ни одного полюса $r_n$. При этом контур $C_n$ получается из контура $C_{n-1}$ заменой отрезков $\pm I_{n-1}$ трехзвенными ломаными, дополняющими эти отрезки до прямоугольников ширины $1/2^{n-1}$, расположенных соответственно слева от $I_{n-1}$ и справа от $-I_{n-1}$. Положим
$$
\begin{equation*}
\Gamma=\biggl(\bigcup_{n=1}^\infty (C_n\setminus (I_n \cup (-I_n))\biggr) \cup \{\pm 1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Спрямляемый жорданов контур $\Gamma$ симметричен относительно действительной оси и содержит кривые $\pm \gamma$. Отрезок $\Delta$ является внутренней хордой этого контура. Для каждого $n$ дробь $r_n$ имеет все полюсы на $\Gamma$, причем эти полюсы образуют $(1/n+1/2^n+1/2^{n-1})$-сеть на $\Gamma$. Поскольку $\|r_n\|_{C(\Delta)} \to 0$ при $n \to\infty$, для произвольного $a \in \Gamma$ дробь $-1/(x-a)$ с любой точностью равномерно на $\Delta$ приближается дробями из $\mathrm{SF}(\Gamma)$.
Воспользуемся следующим утверждением. Теорема E [9]. Пусть $K \subset \mathbb{C}$ – компакт со связным дополнением, ненулевая функция $f(z)$ голоморфна вне другого компакта $F$, $f(\infty)=0$ и третий связный компакт $E$ лежит в неограниченной компоненте связности множества Если $E$ является множеством единственности для гармонических функций, то конечные суммы функций $\pm f(z-a)$, $a \in E$, плотны в пространстве $AC(K)$ функций, непрерывных на $K$ и аналитических во внутренних точках $K$, с равномерной нормой. В нашем случае $K=\Delta$, $f(z)=1/{z}$, $F=\{0\}$, $E=\gamma$. Поскольку $\gamma$ не пересекает $\Delta$, все условия теоремы E выполнены, откуда
$$
\begin{equation*}
\overline{\mathrm{SF}(\Gamma)} \supset \overline{\biggl\{ \sum_{k=1}^{n}\pm \frac{1}{x-a_k} \colon a_k \in \gamma \biggr\}}=C(\Delta).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку норма в пространствах $L_p(\Delta)$ оценивается сверху равномерной, $\mathrm{SF}(\Gamma)$ плотно и в пространствах $ L_p(\Delta)$, $1\leqslant p<\infty$. Теорема доказана. По-видимому, ответ в задаче 3 может быть сформулирован в терминах поведения границы области $D$ вблизи точек $\pm 1$. Задачу 3 можно ставить и для неограниченных областей. Например, было бы интересно выяснить, плотны ли наипростейшие дроби с полюсами на границе полосы $\{-1<\operatorname{Re} z<1\}$ в комплексном пространстве $L_2[-1,1]$. Авторы признательны рецензенту за полезные замечания. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BorErs24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|