| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Смешанная задача для двухскоростного волнового уравнения с характеристической косой производной на конце полуограниченной струны Ф. Е. Ломовцевa, Е. В. Устилкоb a Белорусский государственный университет, г. Минск b Белорусский государственный технологический университет, г. Минск
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624090098 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеСогласно работе [1] в случае полуограниченной струны смешанная задача для односкоростного при $a_1=a_2=a>0$ волнового уравнения с нехарактеристической или характеристической косой производной в граничном условии имеет различные классические решения. В статье [2] показано, что для такой смешанной задачи с характеристической косой производной в граничном условии на левом и граничном условии первого рода на правом конце ограниченной струны гладкость решений неограниченно увеличивается с ростом времени колебаний. Сначала для односкоростного при $a_1=a_2=a>0$ уравнения колебаний полуограниченной струны Точко (Шлапакова) провела полное исследование корректности по Адамару и нашла явное решение нашей характеристической смешанной задачи во множестве гладких решений в [3]. Критерий корректности по Адамару смешанных задач – это необходимые и достаточные требования гладкости и условия согласования правых частей волновых уравнений с граничным и начальными данными этих задач, которые обеспечивают существование, единственность и устойчивость (непрерывность) их гладких решений по этим данным в соответствующих банаховых пространствах. Эти банаховы пространства настоящей работы указаны нами в разделах “устойчивость в $G_-$” и “устойчивость в $G_+$” доказательства теоремы 4.1. В настоящей работе полностью исследована корректность по Адамару смешанной задачи для двухскоростного при $a_1\ne a_2$ уравнения колебаний полуограниченной струны c характеристической косой производной в нестационарном граничном режиме для гладких решений всех целых высших порядков гладкости. Нестационарность режима означает зависимость коэффициентов граничного условия от времени. Указано в явном виде ее единственное и устойчивое $m\geqslant 2$ раз непрерывно дифференцируемое решение в первой четверти плоскости. Выведен критерий корректности этой характеристической смешанной задачи для полуограниченной струны во множестве гладких решений, т.е. необходимые и достаточные требования гладкости и условия согласования на правую часть уравнения, граничное и начальные данные. Настоящая работа обобщает ранее полученные результаты для гладких решений четных целых высших порядков гладкости $m\geqslant 2$ смешанной задачи для двухскоростного уравнения колебаний полуограниченной струны [4]. Ее результаты будут применены к выводу явных формул единственного и устойчивого классического решения и критерия корректности по Адамару при $m=2$ аналогичной характеристической смешанной задачи, но уже для ограниченной струны. Важно отметить, что в настоящей работе Е. В. Устилко предложила эквивалентные, но более простого вида условия согласования граничного режима с начальными условиями и волновым уравнением для существования единственного и устойчивого $m\geqslant 2$ раз непрерывно дифференцируемого решения характеристической смешанной задачи. Недостаток этих более простых условий согласования настоящей работы состоит в том, что критериальные значения начальных данных и правой части волнового уравнения содержат их производные даже тех порядков, которые существуют и в случае нехарактеристической первой косой производной. Преимущество других критериальных значений начальных данных и правой части волнового уравнения из условий согласования более сложного вида статьи [3] заключается в том, что в ней критериальные значения в условиях согласования содержат производные от начальных данных и правой части волнового уравнения только тех порядков, существование которых вызвано характеристичностью косой производной. В статье Спесивцевой [5] найдено классическое решение и критерий корректности по Адамару при $m=2$ аналогичной смешанной задачи для двухскоростного волнового уравнения колебаний полуограниченной струны c характеристическими вторыми производными в нестационарном граничном режиме. Нет работ других авторов с критериями корректности на все исходные данные таких смешанных задач для двухскоростного волнового уравнения с нестационарными характеристическими первыми или вторыми частными производными на конце полуограниченной струны. 2. Постановка характеристической смешанной задачиВ первой четверти плоскости $\dot{G}_\infty=(0,+\infty) \times (0,+\infty)$ решить и вывести критерий корректности по Адамару характеристической смешанной задачи:
$$
\begin{equation}
u_{tt}(x,t)+(a_1-a_2)u_{xt}(x,t)-a_1a_2u_{xx}(x,t)=f(x,t), \qquad (x,t) \in \dot{G}_{\infty},
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
$$
\begin{equation}
u(x,t)|_{t=0}=\varphi(x), \quad u_t(x,t)|_{t=0}=\psi(x), \qquad x > 0,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
$$
\begin{equation}
\bigl\{\alpha(t)[u_t(x, t)+a_1 u_x(x,t)]+\gamma(t)u(x,t)\bigr\}|_{x=0}= \mu(t),\qquad t > 0,
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где $\alpha ,\gamma$ – $m$ раз непрерывно дифференцируемые функции переменной $t$, исходные данные смешанной задачи $f$, $\varphi,\psi,\mu$ – заданные функции своих переменных $x$, $t$ и постоянные скорости волн $a_1>0$, $a_2>0$. В граничном режиме (2.3) косая производная направлена вдоль характеристики $x=a_1t$ уравнения (2.1) для $t > 0$. Частные производные соответствующих порядков от искомой функции $u$ обозначаем нижними индексами по указанным переменным, а символом $C^{k} (\Omega)$ – множество всех $k$ раз непрерывно дифференцируемых функций на подмножестве $\Omega\subset \mathbb{R}^2$. Определение 2.1. Гладким решением из класса функций $C^m(G_\infty)$ смешанной задачи (2.1)–(2.3) на $\dot{G}_\infty$ будем называть функцию Требуется найти в явном виде гладкие решения $u\in C^{m}(G_{\infty})$ и установить критерий корректности по Адпмару, т.е. необходимые и достаточные условия на исходные данные $f$, $\varphi$, $\psi$, $\mu$ для того, чтобы характеристическая смешанная задача (2.1)–(2.3) на $\dot{G}_\infty$ имела единственное и непрерывное по $f$, $\varphi$, $\psi$, $\mu$ гладкое решение. 3. Условия согласования характеристической смешанной задачиСледующие необходимые требования гладкости непосредственно вытекают из самой постановки задачи (2.1)–(2.3) и определения 2.1:
$$
\begin{equation}
\varphi \in C^{m}(\mathbb{R}_{+}),\qquad \psi \in C^{m-1}(\mathbb{R}_{+}),\qquad f\in C^{m-2}(G_{\infty}), \qquad \mu \in C^{m-1}(\mathbb{R}_{+}).
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Для исходных данных из (3.1) в режиме (2.3) полагаем $t=0$, вычисляем значения слагаемых их левых частей с помощью начальных условий (2.2) при $x=0$ и получаем первое условие согласования граничного режима с начальными условиями
$$
\begin{equation}
J_{1} \equiv \alpha(0)\bigl[\psi(0)+a_{1}\varphi'(0)\bigr]+ \gamma(0)\varphi(0)=\mu(0).
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Для вывода второго условия согласования возьмем первую производную по $t$ от граничного режима (2.3) при $t=0$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, J_2&\equiv\alpha'(0)\bigl[u_t(0,0)+a_1 u_x(0,0)\bigr]+ \alpha(0)\bigl\{u_{tt}(0, 0)+a_1 u_{xt}(0,0)\bigr\} \nonumber \\ &\qquad+\gamma'(0)u(0,0)+\gamma(0)u_t(0,0)=\mu'(0). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Выражаем вторую частную производную $u_{tt}$ из уравнения (2.1)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_{tt}(x,t)&=(a_2-a_1) u_{xt}(x,t)+a_1a_2u_{xx}(x,t)+f(x,t) \nonumber \\ &=a_2\bigl[u_{xt}(x,t)+a_1u_{xx}(x,t)\bigr]-a_1 u_{xt}(x,t)+f(x,t). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Подставляем эту вторую производную в (3.3) и упрощаем полученное выражение:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\alpha'(0)\bigl[u_t(0,0)+a_1 u_x(0,0)\bigr] +\alpha(0)\bigl\{a_2[u_{xt}(0,0)+a_1u_{xx}(0,0)] \\ &\qquad\qquad-a_1 u_{xt}(0,0)+f(0,0) +a_1 u_{xt}(0,0)\bigr\}+\gamma'(0)u(0,0)+\gamma(0)u_t(0,0) \\ &\qquad= \alpha'(0)\bigl[u_t(0,0)+a_1 u_x(0,0)\bigr] \\ &\qquad\qquad+\alpha(0)\bigl\{a_2 [u_{xt}(0,0)+a_1u_{xx}(0,0)]+ f(0,0)\bigr\}+\gamma'(0)u(0,0)+\gamma(t)u_t(0,0). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя начальные условия (2.2) и уравнение (2.1), отсюда имеем второе условие согласования граничного режима (2.3) с начальными условиями и уравнением
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, J_{2} &\equiv \alpha'(t)\bigl[\psi(0)+a_1 \varphi'(0)\bigr]+ \alpha(0)\bigl\{a_2[\psi'(0)+a_1\varphi''(0)]+f(0,0)\bigr\} \nonumber \\ &\qquad+\gamma'(0)\varphi(0)+\gamma(0)\psi(0)=\mu'(0). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Для вывода третьего и остальных условий согласования мы также будем дифференцировать граничный режим (2.3) соответствующее число раз по переменной $t$ и полагать $t=0$. Основная сложность заключается в том, как выражаются производные $\partial^q u(0,t)/\partial t^q$, $q =2,3,\dots,m$, считая что они существуют, через значения исходных данных $\varphi(x)$, $\psi(x)$ и $f(x,t)$. В статье [6] подробно изложен способ вычисления таких производных для $q \geqslant 2$. Проиллюстрируем этот способ на примере вывода четвертого условия согласования характеристической смешанной задачи (2.1)–(2.3). Берем третью производную по $t$ от граничного режима (2.3) при $t=0$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, J_4&\equiv\alpha'''(0)\bigl[u^{(0;1)}(0,0)+a_1 u^{(1;0)}(0,0)\bigr]+ 3\alpha''(0)\bigl[u^{(0;2)}(0,0)+a_1 u^{(1;1)}(0,0)\bigr] \nonumber \\ &\qquad+3\alpha'(0)\bigl[u^{(0;3)}(0,0)+a_1 u^{(1;2)}(0,0)\bigr]+ \alpha(0)\bigl[u^{(0;4)}(0,0)+a_1 u^{(1;3)}(0,0)\bigr] \nonumber \\ &\qquad+\gamma'''(0)u(0,0)+3\gamma''(0)u^{(0;1)}(0,0)+ 3\gamma'(0)u^{(0;2)}(0,0)+\gamma(0)u^{(0;3)}(0,0) \nonumber \\ &=\sum_{i=0}^{3}C^i_3\bigl\langle \alpha^{(3-i)}(0) [u^{(0,i+1)}(0,0)+a_1 u^{(1,i)}(0,0)]+ \gamma^{(3-i)}(0)u^{(0,i)}(0,0)\bigr\rangle. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Из (3.6) выпишем отдельно слагаемые для $i=0$ и $i=1$. Для этого воспользуемся нашими предыдущими рассуждениями вывода двух условий согласования (3.2) и (3.5), применяя начальные условия (2.2) и производную (3.4),
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bigl\langle\alpha'''(0)[\psi(0)+a_{1}\varphi'(0)]+ \gamma'''(0)\varphi(0)\bigr\rangle \nonumber \\ &\qquad+3\bigl\langle\alpha''(0)[a_2 (\psi'(0)+a_1\varphi''(0))+ f(0,0)]+\gamma''(0)\psi(0)\bigr\rangle \nonumber \\ &\qquad+\sum_{i=2}^{3}C^i_3\bigl\langle\alpha^{(3-i)}(0)[u^{(0;i+1)}(0,0) +a_1 u^{(1;i)}(0,0)]+\gamma^{(3-i)}(0)u^{(0;i)}(0,0)\bigr\rangle. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Чтобы выразить производные третьего и четвертого порядков от функции $u(x,t)$ через начальные данные, возьмем от (3.4) производную $k$ раз по $x$ при $k=0,1,2$, и $l-2$ раза по переменной $t$ при $l=3,4$, где $3 \leqslant k+l \leqslant 4$,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u^{(k;l)}(x,t)&=a_2\bigl[u^{(k+1;l-1)}(x,t)+a_1 u^{(k+2;l-2)}(x,t)\bigr] \nonumber \\ &\qquad-a_1 u^{(k+1;l-1)}(x,t)+f^{(k;l-2)}(x,t). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Тогда c помощью (3.8) при $k=0$ и $l=i+1$ преобразуем сумму производных из (3.7):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &u^{(0;i+1)}(0,0)+a_1 u^{(1;i)}(0,0)=a_2\bigl[u^{(1;i)}(0,0)+ a_1 u^{(2;i-1)}(0,0)\bigr]-a_1 u^{(1;i)}(0,0) \\ &\qquad+ f^{(0;i-1)}(0,0)+a_1 u^{(1;i)}(0,0)=a_2[u^{(1;i)}(0,0)+ a_1 u^{(2;i-1)}(0,0)]+f^{(0;i-1)}(0,0). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь после применения (3.8) порядок производных по $t$ снизился на единицу. К полученному выражению применяем (3.8) еще раз уже при $k=1$ и $l=i$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &a_2\bigl[u^{(1;i)}(x,t)+a_1 u^{(2;i-1)}(x,t)\bigr]+f^{(0;i-1)}(x,t)= a_2\bigl(a_2[u^{(2;i-1)}(x,t)+a_1 u^{(3;i-2)}(x,t)] \nonumber \\ &\qquad\qquad- a_1 u^{(2;i-1)}(x,t)+f^{(1;i-2)}(x,t)+ a_1 u^{(2;i-1)}(x,t)\bigr)+f^{(0;i-1)} \nonumber \\ &\qquad= a_2^2\bigl[u^{(2;i-1)}(x,t)+a_1 u^{(3;i-2)}(x,t)\bigr]+ a_2 f^{(1;i-2)}(x,t)+ f^{(0;i-1)}(0,0) \nonumber \\ &\qquad= a_2^2\bigl[u^{(2;i-1)}(0,0)+a_1 u^{(3;i-2)}(0,0)\bigr]+ \sum_{j=0}^{1} a_2^j f^{(j;i-j-1)}(x,t). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Для $i=2$ мы используем начальные условия (2.2), чтобы выразить производные третьего порядка от функции $u(x,t)$ через значения $\varphi$, $\psi$ и $f$ в начале координат:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u^{(0;3)}(0,0)+a_1 u^{(1;2)}(0,0)&=a_2^2\bigl[u^{(2;1)}(0,0)+ a_1 u^{(3;0)}(0,0)\bigr]+\sum_{j=0}^{1} a_2^j f^{(j;1-j)}(0,0) \nonumber \\ &= a_2^2[\psi''(0)+a_1\varphi'''(0)]+ \sum_{j=0}^{1} a_2^j f^{(j;1-j)}(0,0). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Чтобы выразить производные четвертого порядка от функции $u(x,t)$ при $i=3$ через начальные данные, мы применяем (3.8) к (3.9) при $k=2$ и $l=i-1=2$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &a_2^2\bigl[u^{(2;i-1)}(0,0)+a_1 u^{(3;i-2)}(0,0)\bigr]+ \sum_{j=0}^{1} a_2^j f^{(j;i-j-1)}(0,0) \\ &\qquad= a_2^2\bigl[u^{(2;2)}(0,0)+a_1 u^{(3,1)}(0,0)\bigr]+ \sum_{j=0}^{1} a_2^j f^{(j;2-j)}(0,0) \\ &\qquad= a_2^2\bigl(a_2[u^{(3;1)}(0,0)+a_1 u^{(4;0)}(0,0)]- a_1 u^{(3;1)}(0,0)+f^{(2,0)}(0,0)+ a_1 u^{(3;1)}(0,0)\bigr) \\ &\qquad\qquad+ \sum_{j=0}^{1} a_2^j f^{(j;2-j)}(0,0)= a_2^3\bigl[u^{(3;1)}(0,0)+a_1 u^{(4,0)}(0,0)\bigr]+ \sum_{j=0}^{2} a_2 f^{(j;2-j)}(0,0). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом (2.2) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u^{(0;4)}(0,0)+a_1 u^{(1;3)}(0,0) &=a_2^3\bigl[u^{(3;1)}(0,0)+ a_1 u^{(4,0)}(0,0)\bigr]+\sum_{j=0}^{2} a_2^j f^{(j;2-j)}(0,0) \nonumber \\ &= a_2^3\bigl[\psi^{(3)}(0)+a_1 \varphi^{(4)}(0)\bigr]+ \sum_{j=0}^{2} a_2^j f^{(j;2-j)}(0,0). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
В выражении (3.7) осталось преобразовать слагаемое $u^{(0;i)}(0,0)$. Для $i=2$ достаточно воспользоваться равенством (3.4), а затем начальными условиями (2.2)
$$
\begin{equation}
u^{(0;2)}(0,0)=(a_2-a_1)\psi'(0)+a_1 a_2 \varphi''(0)+f(0,0).
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Преобразуем производную $u^{(0;3)}(x,t)$. Очевидно имеет место следующее равенство:
$$
\begin{equation}
u^{(0;3)}(0,0)=\bigl[u^{(0;3)}(0,0)+a_1 u^{(1;2)}(0,0)\bigr]- a_1 u^{(1;2)}(0,0).
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
В равенстве (3.13) мы применяем ранее полученные формулы (3.10) для $[u^{(0;3)}(0,0)+a_1 u^{(1;2)}(0,0)]$ и (3.8) для $u^{(1;2)}(0,0)$ при $k=1$ и $l=2$ и получаем равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u^{(0;3)}(0,0)&= a_2^2[\psi''(0)+a_1\varphi'''(0)] \\ &\qquad+\sum_{j=0}^{1} a_2^j f^{(j;1-j)}(0,0)-a_1 \bigl(a_2[u^{(2;1)}(0,0) +a_1 u^{(3;0)}(0,0)] \\ &\qquad\qquad- a_1 u^{(2;1)}(0,0)+f^{(1;0)}(0,0)\bigr) \\ &=a_2^2[\psi''(0)+a_1\varphi'''(0)]+f^{(0;1)}(0,0)+ a_2 f^{(1;0)}(0,0) \\ &\qquad-a_1 \bigl\{a_2[\psi''(0)+a_1 \varphi'''(0)]-a_1\psi''(0)+ f^{(1;0)}(0,0)\bigr\} \\ &=(a_2^2-a_1 a_2+a_1^2)\psi''(0)+a_1 a_2 (a_2-a_1)\varphi'''(0) \\ &\qquad+f^{(0;1)}(0,0)+ (a_2-a_1) f^{(1;0)}(0,0) \\ &=\frac{a_1^3+a_2^3}{a_1+a_2}\psi''(0)+ a_1 a_2\frac{a_1^2-a_2^2}{a_1+a_2}\varphi'''(0) +\sum_{j=0}^{1}\frac{a_1^{j+1}- (-a_2)^{j+1}}{a_1+a_2}f^{(j;1-j)}(0,0). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, используя равенства (3.10), (3.11), (3.12) и это равенство в формуле (3.7), получаем четвертое условие согласования (2.3) с (2.2) и (2.1):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_4 &\equiv \bigl\langle\alpha''' (0)[\psi (0)+a_{1} \varphi'(0)]+ \gamma''' (0)\varphi (0)\bigr\rangle \\ &\qquad+3\bigl\langle\alpha''(0)[a_2 (\psi'(0)+a_1\varphi''(0))+f(0,0)]+ \gamma''(0)\psi(0)\bigr\rangle \\ &\qquad+\sum_{i=2}^{3}C^i_3\biggl\langle \alpha^{(3-i)}(t) \biggl\{a_2^i[\psi^{(i)}(0)+a_1 \varphi^{(i+1)}(0)]+ \sum_{j=0}^{i-2} a_2^j f^{(j;i-j-1)}(0,0)\biggr\} \\ &\qquad+ \gamma^{(3-i)}(0) \biggl\{\frac{a_1^i-(-a_2)^i}{a_1+a_2}\psi^{(i-1)}(0)+ a_1 a_2\frac{a_1^{i-1}-(-a_2)^{i-1}}{a_1+a_2}\varphi^{(i)}(0) \\ &\qquad+\sum_{j=0}^{i-2}\frac{a_1^{j+1}-(-a_2)^{j+1}}{a_1+a_2} f^{(j;i-j-2)}(0,0)\biggr\}\biggr\rangle=\mu^{(3)}(0). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Остальные условия согласования выводятся аналогично. Таким образом, условия согласования для $q=2,3,\dots,m-1$, имеют следующий вид [6]:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, J_{q+1} &\equiv \langle\alpha^{(q)}(0)[\psi(0)+a_{1} \varphi'(0)]+ \gamma^{(q)} (0)\varphi (0)\rangle \nonumber \\ &\qquad+q \langle\alpha^{(q-1)}(0)\{a_{2}[\psi'(0)+ a_{1}\varphi''(0)]+f(0,0)\}+\gamma^{(q-1)}(0)\psi(0)\rangle \nonumber \\ &\qquad+\sum_{i=2}^{q}C_{q}^{i} \biggl\langle\alpha^{(q-i)}(0)\biggl\{a_{2}^{i}[\psi^{(i)}(0)+ a_{1} \varphi^{(i+1)} (0)]+ \sum_{j=0}^{i-1}a_{2}^{j}f^{(j;i-j-1)}(0,0)\biggr\} \nonumber \\ &\qquad+\gamma^{(q-i)}(0) \biggl\{\frac{a_{2}^{i}-(-a_{1})^{i}}{a_{1}+a_{2}}\psi^{(i-1)}(0)+ a_{1} a_{2}\frac{a_{2}^{i-1}-(-a_{1})^{i-1} }{a_{1}+a_{2}} \varphi^{(i)}(0) \nonumber \\ &\qquad+\sum_{j=0}^{i-2} \frac{a_{2}^{j+1}-(-a_{1} )^{j+1} }{a_{1}+a_{2}} f^{(j;i-j-2)}(0,0)\biggr\}\biggr\rangle=\mu^{(q)}(0),\qquad 2\leqslant q\leqslant m-1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Чтобы получить формулу (3.14), в выражении (7) из [6] сделаны преобразования
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &a_{2}\frac{a_{2}^{i-1}-(-a_{1} )^{i-1}}{a_{1}+a_{2}} [\psi^{(i-1)} (0)+a_1 \varphi^{(i)}]+(-a_1)^{i-1}\psi^{(i-1)} \\ &\qquad=\biggl(\frac{a_{2}^{i}-(-a_{1})^{i-1}a_2 }{a_{1}+a_{2}}+ (-a_1)^{i-1}\biggr)\psi^{(i-1)} (0)+ a_1 a_{2}\frac{a_{2}^{i-1}-(-a_{1})^{i-1}}{a_{1}+a_{2}}\varphi^{(i)} \\ &\qquad=\frac{a_{2}^{i}-(-a_{1})^{i-1}a_2-(-a_1)^{i}+(-a_1)^{i-1}a_2} {a_{1}+a_{2} }\psi^{(i-1)} (0)+a_1 a_{2} \frac{a_{2}^{i-1}-(-a_{1})^{i-1} }{a_{1}+a_{2}}\varphi^{(i)} \\ &\qquad=\frac{a_{2}^{i}-(-a_{1})^{i}}{a_{1}+a_{2}}\psi^{(i-1)}(0)+ a_{1}a_{2}\frac{a_{2}^{i-1}-(-a_{1})^{i-1}}{a_{1}+a_{2}} \varphi^{(i)}(0). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Формула условия согласования (3.14) при $q=m$ имеет такой же вид для более гладких, чем в требованиях гладкости (3.1), исходных данных:
$$
\begin{equation}
\varphi \in C^{m+1}(\mathbb{R}_{+}),\qquad \psi \in C^{m}(\mathbb{R}_{+}),\qquad f\in C^{m}(G_{\infty}),\qquad \mu \in C^{m}(\mathbb{R}_{+}).
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Те слагаемые, которые требуют более высокий порядок гладкости исходных данных искомой смешанной задачи, очевидно находятся в последней строке выражения:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, J_{m+1} &\equiv\bigl \langle \alpha^{(m)} (0)[\psi(0)+a_1 \varphi'(0)]+ \gamma^{(m)} (0)\varphi (0)\bigr\rangle \nonumber \\ &\quad+m\bigl\langle\alpha^{(m-1)}(0)\{a_{2}[\psi'(0)+a_{1}\varphi''(0)] +f(0,0)\} +\gamma^{(m-1)}(0)\psi(0)\bigr\rangle \nonumber \\ &\quad+\sum_{i=2}^{m-1}C_{m}^{i} \alpha^{(m-i)} (0) \biggl\{ a_{2}^{i}[\psi^{(i)} (0)+a_{1} \varphi^{(i+1)} (0)]+ \sum_{j=0}^{i-1}a_{2}^{j} f^{(j;i-j-1)}(0,0)\biggr\} \nonumber \\ &\quad+\sum_{i=2}^{m}C_{m}^{i}\gamma^{(m-i)} (0) \biggl\{\frac{a_{2}^{i}-(-a_{1})^{i}}{a_{1}+a_{2}}\psi^{(i-1)}(0)+ a_{1}a_{2}\frac{a_{2}^{i-1}-(-a_{1})^{i-1}}{a_{1}+a_{2}} \varphi^{(i)}(0) \nonumber \\ &\quad+\sum_{j=0}^{i-2} \frac{a_{2}^{j+1}-(-a_{1})^{j+1}}{a_{1}+a_{2}} f^{(j;i-j-2)} (0,0)\biggr\} \nonumber \\ &\quad+a_{2}^{m}\bigl[\alpha(0)\psi^{(m)}(0)+ a_{1}\alpha(0)\varphi^{(m+1)}(0)\bigr] +\alpha (0)\sum_{j=0}^{m-1}a_{2}^{j} f^{(j;m-j-1)}(0,0)= \mu^{(m)} (0). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Введем обозначения следующих функций:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Phi(t)\equiv\alpha(t)\varphi'(a_{2}t),\qquad \Psi(t)\equiv\alpha(t)\psi(a_{2}t), \\ \mathfrak{F}(t)\equiv\alpha(t)\int_0^t{f}(a_2(t-\tau),\tau)\,d\tau. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Найдем производные порядка $m$ по $t$ от введенных выше функций при $t=0$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Phi^{(m)}(0)&=\sum_{i=0}^{m}C_{m}^{i}a_2^i\alpha^{(m-i)}(0) \varphi^{(i+1)}(0),\qquad \Psi^{(m)}(0)= \sum_{i=0}^{m}C_{m}^{i}a_2^i\alpha^{(m-i)}(0)\psi^{(i)}(0), \\ \mathfrak{F}^{(m)}(0)&=\sum_{i=1}^{m}C_{m}^{i}\alpha^{(m-i)}(0) \biggl[\int^{t}_0 f^{(i;\;0)}(a_2 (t-\tau);\tau)\,d\tau)+ \sum_{j=0}^{i-1}a_2^j f^{(j;\;i-j-1)}(0,t)\biggr]\bigg|_{t=0} \\ &=\sum_{i=1}^{m}C_{m}^{i}\alpha^{(m-i)}(0) \sum_{j=0}^{i-1}a_2^j f^{(j;\;i-j-1)}(0,0). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда условие согласования (3.16) можно записать в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, J_{m+1} &\equiv a_1 \Phi^{(m)}(0)+\Psi^{(m)}(0)+ \mathfrak{F}^{(m)}(0)+\gamma^{(m)}(0)\varphi(0)+ m\gamma^{(m-1)}(0)\psi(0) \nonumber \\ &\qquad+\sum_{i=2}^{m}C_{m}^{i}\gamma^{(m-i)} \biggl\langle\frac{a_{2}^{i}-(-a_{1})^{i}}{a_{1}+a_{2}} \psi^{(i-1)}(0)+ a_{1} a_{2}\frac{a_{2}^{i-1}-(-a_{1} )^{i-1}}{a_{1}+a_{2}} \varphi^{(i)}(0) \nonumber \\ &\qquad+\sum_{j=0}^{i-2} \frac{a_{2}^{j+1}-(-a_{1} )^{j+1}}{a_{1}+a_{2}} f^{(j;i-j-2)}(0,0)\biggr\rangle=\mu^{(m)}(0). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
В дальнейшем с помощью предельного перехода по $\varphi$, $\psi$, $f$ полученное равенство (3.17) распространяется нами с более гладких функций из (3.15) на функции $\varphi$, $\psi$, $f$ из (3.1) с дополнительными требованиями гладкости
$$
\begin{equation}
\Phi(t),\Psi(t),\mathfrak{F}(t),\mu(t)\in C^m({\mathbb{R}_+}),
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
необходимость и достаточность которых будет доказана нами в следующем разделе. Таким образом, из постановки задачи (2.1)–(2.3) необходимо вытекают условия согласования (3.2), (3.5), (3.14) и (3.17). Условия согласования (3.14), (3.17) записываются одной формулой:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, J_{q+1}&\equiv a_1\Phi^{(q)}(0)+\Psi^{(q)}(0)+\mathfrak{F}^{(q)}(0) +\gamma^{(q)}(0)\varphi(0)+q\gamma^{(q-1)}(0)\psi(0) \nonumber \\ &\qquad+\sum_{i=2}^{q}C_{q}^{i}\gamma^{(q-i)} \biggl\langle\frac{a_{2}^{i}-(-a_{1})^{i}}{a_{1}+a_{2}} \psi^{(i-1)}(0)+a_{1} a_{2} \frac{a_{2}^{i-1}-(-a_{1})^{i-1}}{a_{1}+a_{2}}\varphi^{(i)}(0) \nonumber \\ &\qquad+\sum_{j=0}^{i-2} \frac{a_{2}^{j+1}-(-a_{1})^{j+1}}{a_{1}+a_{2}} f^{(j;i-j-2)}(0,0)\biggr\rangle=\mu^{(q)}(0),\qquad q=2,3,\dots,m. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
Определение 3.1. Конечные вещественные числа $\Phi^{(m)}(0),\Psi^{(m)}(0),\mathfrak{F}^{(m)}(0)\,{\in}\, {R_+}$ из (3.19) при $q=m$ называются критериальными значениями характеристической смешанной задачи (2.1)–(2.3) на $\dot{G}_\infty$ соответственно для начальных данных $\varphi$, $\psi$ и правой части $f$ волнового уравнения в первой четверти плоскости. К сожалению, эти критериальные значения $\Phi^{(m)}(0)$, $\Psi^{(m)}(0)$, $\mathfrak{F}^{(m)}(0)$ содержат часть слагаемых со значениями в начале координат $O(0,0)$ производных соответственно от $\varphi$, $\psi$, $f$, которые существуют даже при очевидных необходимых требованиях гладкости (3.1) и $\mu\in C^m(\mathbb{R}_+)$ смешанной задачи (2.1)–(2.3) на $\dot{G}_{\infty}$. В статье [3] с характеристической смешанной задачей для односкоростного волнового уравнения (2.1) при коэффициентах $a_1=a_2=a>0$ такие слагаемые отсутствуют в соответствующих критериальных значениях других видов $\Phi_{m}'(0)-\beta'(0)\varphi^{(m)}(0)$, $\Psi_{m-1}'(0)-\beta'(0)\psi^{(m-1)}(0)$, $K_m(0)$ начальных данных и правой части уравнения. В ней эти критериальные значения существуют только благодаря дополнительным требованиям гладкости, вызванных характеристической косой производной. Замечание 3.1. Для четной гладкости $m\geqslant 2$ сумма всех частных производных порядка $m-1$ от функции $f$ из критериального значения $\mathfrak{F}^{(m)}(0)$ и критериальное значение $K_m(0)$ из статьи [4] равны значению в $O(0,0)$ производной по вектору $\vec{\nu}_{2}=\{a_{2},1\}$ от указанной ниже суммы частных производных порядка $m-2$ 4. Критерий корректности характеристической смешанной задачиУравнение (2.1) в плоскости $\mathbb{R}^{2}$ переменных $x$, $t$ имеет два различных семейства характеристик:
$$
\begin{equation*}
x-a_{1} t=C_{1}, \quad x+a_{2} t=C_{2}, \qquad C_{1},C_{2} \in \mathbb{R}=(-\infty ,+\infty).
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 4.1. Характеристика $x={{a}_{1}}t$, где ${{a}_{1}}>0$, называется критической для уравнения (2.1) в первой четверти плоскости. Множество ${G}_{\infty}$ разбивается критической характеристикой $x=a_1 t$ на два множества:
$$
\begin{equation*}
G_-=\bigl\{(x,t)\in G_\infty\colon x>a_1t>0\bigr\}, \qquad G_+=\bigl\{(x,t)\in G_\infty\colon 0\leqslant x\leqslant a_1t\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для решения неоднородного уравнения (2.1) на $\dot{G}_{\infty}$ мы будем использовать частное классическое решение $F$ на ${G}_{\infty}$ из работы [7], задаваемое формулами
$$
\begin{equation}
F_{1}(x,t) =\frac{1}{a_{1}+a_{2}}\biggl[\int_{0}^{x/a_{1}-t} \int_{(a_{2}/a_{1}+2)(x-a_{1}t)-a_{2}\tau}^{x+a_{2} (t-\tau)}f(s,\tau)\,ds\,d\tau \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad+\int_{x/a_{1}-t}^{t}\int_{x-a_{1}(t-\tau)}^{x+a_{2} (t-\tau)}f(s,\tau)\,ds\,d\tau\biggr],\qquad (x,t)\in G_{-},
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
$$
\begin{equation}
F_{2}(x,t) =\frac{1}{a_{1}+a_{2}}\biggl[\int_{0}^{t-x/a_{1}} \int_{a_{2}(t-\tau)-(a_{2} /a_{1})x}^{x+a_{2}(t-\tau)} f(s,\tau)\,ds\,d\tau \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad+\int_{t-x/a_{1}}^{t}\int_{x-a_{1} (t-\tau)}^{x+a_{2}(t-\tau)}f(s,\tau)\,ds\,d\tau\biggr],\qquad (x,t)\in G_{+}.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
С помощью метода характеристик из учебника [8], модифицированного Ф. Е. Ломовцевым в статье [9], доказывается Теорема 4.1. Пусть коэффициенты $\alpha,\gamma\in C^{m}(R_{+})$, $\gamma(t)\ne 0$, $t\in \mathbb{R}_{+}=[0,+\infty)$, $m=2,3,4,\dots$ . Для существования единственного и устойчивого по $\varphi$, $\psi$, $\mu$, $f$ гладкого решения $u\in C^{m} (G_{\infty})$ характеристической смешанной задачи (2.1)–(2.3) в $\dot{G}_{\infty}$ необходимо и достаточно выполнения требований гладкости (3.1), (3.18), условий согласования (3.2), (3.5), (3.19), интегральных требований гладкости Доказательство. Данный критерий для положительных четных целых $m\geqslant2$ был доказан в [4]. Идея доказательства остается такой же и для нечетных целых чисел $m=3,5,7,\dots$ за исключением рассуждений о непрерывности решения и его частных производных до порядка $m$ включительно на характеристике $x=a_1 t$.
Общий интеграл неоднородного уравнения (2.1) в первой четверти плоскости ${G}_{\infty}$ для гладких решений $u\in C^{m}(G_{\infty})$ представляет собой множество функций
$$
\begin{equation}
u(x,t)=\widehat{g}(x+a_{2} t)+\widehat{h}(x-a_{1} t)+F(x,t),
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
где $\widehat{g}=\widehat{g}(\xi )$ и $\widehat{h}=\widehat{h}(\eta )$ – любые $m$ раз непрерывно дифференцируемые функции переменных $\xi,\eta \in R$ и $F$ – $m$ раз непрерывно дифференцируемая функция, задаваемая формулой (4.1) на $G_{-}$ и формулой (4.2) на $G_{+}$. Непрерывность всех частных производных от $F$ до порядка $m$ включительно в $G_{\infty}$ следует из требований гладкости (4.3)–(4.5) функций $H_{1}$, $H_{2}$ и $H_{3}$ в теореме 4.1 и того, что все частные производные от $H_{2}$ и $H_{3}$ до порядка $m-1$ включительно непрерывны на $x=a_{1}t$. Ниже мы увидим, что функции $H_{1}$, $H_{2}$ и $H_{3}$ являются производными вдоль одного из двух семейств характеристик уравнения (2.1) от функции $F_{1}$ или $F_{2}$.
По методу погружения в решения с фиксированными значениями из [10] множество решений (4.8) уравнения (2.1) в ${G}_{\infty}$ совпадает со множеством где $g=g(y)$ и $h=h(z)$ – любые $m$ раз непрерывно дифференцируемые функции от $y,z\in \mathbb{R}$ вида $g(y)=\widehat{g}(y)+\widehat{h}(0)$ и $h(z)=\widehat{h}(z)-\widehat{h}(0)$. В дальнейшем будем использовать общий интеграл вида (4.9), так как он упрощает решение систем уравнений.Достаточность в $G_{-}$. Чтобы найти решения на множестве $G_{-}$, мы решаем задачу Коши (2.1), (2.2). Для этого подставляем общий интеграл (4.9) в начальные условия (2.2) и находим следующее решение соответствующей системы из двух уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_{-}(x,t)&=\frac{1}{a_{1}+a_{2}}\biggl[a_{1}\varphi(x+a_{2}t)+ a_{2}\varphi(x-a_{1}t)+\int_{x-a_{1}t}^{x+a_{2}t}\psi(s)\,ds+ F_{1}(x,t) \nonumber \\ &\qquad-\int_{0}^{(x/a_{1})-t}\int_{((a_{2}/a_{1})+2)(x-a_{1}t)- a_{2}\tau}^{x-a_{1}(t-\tau)}f(s,\tau)\,ds\,d\tau\biggr],\qquad (x,t)\in G_{-}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Подробный вывод формулы этого решения на $G_{-}$ приведен в [4], [11]. Легко заметить, что функция (4.10) после объединения интегралов в двух последних слагаемых преобразуется в функцию (4.6).
Очевидно, что условий (3.1) на $\varphi$ и $\psi$ достаточно для того, чтобы первые три слагаемые в функции (4.6) принадлежали множеству $C^{m}(G_{-})$. Чтобы доказать достаточность условий (4.3) и (4.4) для нужной гладкости последнего слагаемого в (4.6), находим первые частные производные от $F_{1}$ по $x$ и $t$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\partial F_{1}(x,t)}{\partial x}&= \frac{(H_1(x,t)-H_2(x,t))}{(a_1 +a_2)}\in C^{m-1}(G_{-}), \\ \frac{\partial F_{1}(x,t)}{\partial t}&= \frac{(a_2 H_1(x,t)+a_1 H_2(x,t))}{(a_1 +a_2)}\in C^{m-1}(G_{-}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из этих равенств и включений следует, что функция $F_{1}\in C^{m} (G_{-} )$. Из доказательства теоремы 3 в [7] при параметре $k=(a_2/a_1)+2$ следует, что функции
$$
\begin{equation}
F_{0}(x,t)=\frac{1}{a_{1}+a_{2}}\int_{0}^{t}\,\int_{x-a_{1} (t-\tau)}^{x+a_{2}(t-\tau)}f(s,\tau)\,ds\,d\tau
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
и $F_{1}$ одновременно не только дважды, но и $m$ раз непрерывно дифференцируемые в $G_{-}$. Поэтому требования (4.3) и (4.4) на $f$ достаточны для того, чтобы последнее слагаемое $F_{0}$ в функции (4.6) было $m$ раз непрерывно дифференцируемым в $G_{-}$.
Необходимость в $G_{-}$. Необходимость требований гладкости (3.1) обоснована нами выше перед формулировкой теоремы 4.1. Необходимость (обязательность) требований гладкости (4.3), (4.4) на $f$ для $m$ раз непрерывной дифференцируемости функции $F_{1}$ в $G_{-}$ вытекает из следующих формул:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_1(x,t)&=a_{1}\biggl(\frac{\partial F_{1}(x,t)}{\partial x}\biggr)+ \frac{\partial F_{1}(x,t)}{\partial t}\in C^{m-1}(G_{-}), \\ H_{2}(x,t)&=\frac{\partial F_{1}(x,t)}{\partial t}- a_{2}\biggl(\frac{\partial F_{1}(x,t)}{\partial x}\biggr)\in C^{m-1}(G_{-}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Устойчивость в $G_{-}$. Из формулы (4.6) при любом $T>0$ легко выводится непрерывная зависимость решения $u_{-}$ в банаховом пространстве $C^{m}(G_{T}^{-})$ от исходных данных $\varphi$, $\psi$, $f$ в декартовом произведении банаховых пространств $C^{m}[0,+\infty )\times C^{m-1}[0,+\infty) \times\widehat{C}^{m-2}(G_{T}^{-})$ этих исходных данных, где множества $G_{T}^{-}=G_{T} \cap G_{-} $, $G_{T}=\{(x,t)\in G_{\infty}\colon 0\leqslant x<+\infty$, $0\leqslant t\leqslant T\}$, с нормами
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|u_{-}\|_{C^{m}(G_{T}^{-})}=\sup_{(x,t)\in G_{T}^{-}}\, \sum_{0\leqslant k+l\leqslant m}|\partial_{x}^{k}\,\partial_{t}^{l} u(x,t)|,\qquad \partial_{x}^{k}\,\partial_{t}^{l}= \frac{\partial^{k+l}}{\partial_{x}^{k}\,\partial_{t}^{l}}, \\ \|\varphi\|_{C^{m}[0,+\infty)}=\sup_{0\leqslant x<+\infty} \biggl(\,\sum_{k=0}^{m}|\varphi^{(k)}(x)|\biggr), \\ \|\psi\|_{C^{m-1}[0,+\infty)}=\sup_{0\leqslant x<+\infty} \biggl(\,\sum_{k=0}^{m-1}|\psi^{(k)}(x)|\biggr), \\ \|f\|_{\widehat{C}^{m-2}(G_{T}^{-})}=\sup_{(x,t)\in G_{T}^{-}} \biggl(\,\sum_{0\leqslant k+l\leqslant m-2}|\partial_{x}^{k}\, \partial_{t}^{l} f(x,t)|+\sum_{i=1}^{2}\, \sum_{0\leqslant k+l\leqslant m-1}|\partial_{x}^{k}\, \partial_{t}^{l} H_{i}(x,t)|\biggr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для оценивания частных производных до порядка $m$ включительно от последнего слагаемого $F_{0}$ вида (4.11) на $G_{-}$ с указанной выше нормой $\|f\|_{\widehat{C}^{m-2}(G_{T}^{-})}$ надо воспользоваться необходимой гладкостью
$$
\begin{equation}
f\in C^{m-2}(G_{\infty}),\quad \int_{0}^{t}f\bigl(x+(-1)^{i} a_{i}(t-\tau),\tau\bigr)\,d\tau \in C^{m-1}(G_{-}),\qquad i=1,2,
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
для того, чтобы функция $F_{1} \in C^{m} (G_{-})$, $m\geqslant 2$. Это следует из аналога теоремы 3 при $m=2$ в [7], согласно которой требования (4.12) при $m=2$ необходимы для функции $F_{1} \in C^{2}(G_{-})$ при $k=(a_{2}/a_{1})+2$ вида (34) из теоремы 3 в [7]. Более того, также как при доказательстве этой теоремы 3 устанавливается достаточность требований (4.12) для того, чтобы в $G_{-}$ функция $F_{1}$ при $k=(a_{2}/a_{1})+2$ из теоремы 3 была $m$ раз непрерывно дифференцируемой.
Достаточность на $G_{+}$. Решения характеристической смешанной задачи (2.1)–(2.3) на множестве $G_{+}$ ищутся как решения задачи Пикара для уравнения (2.1) на $G_{+}$ с равенством $u_{+}(x,t)=u_{-}(x,t)$ на критической характеристике $x=a_{1} t$ и граничным режимом (2.3). На множестве $G_{+}$ формула (2.7) была выведена в [11]. Гладкость начальных данных $\varphi \in C^{m}(\mathbb{R}_{+})$, $\psi \in C^{m-1}(\mathbb{R}_{+})$ из (3.1), очевидно, обеспечивает $m$ раз непрерывную дифференцируемость на $G_{+}$ первого слагаемого в формуле (4.7). Условие $f\in C^{m-2}(G_{\infty})$ гарантирует существование и непрерывность частных производных до порядка $m-1$ включительно от первых частных производных функции $F_{2}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\partial F_{2}(x,t)}{\partial x}&= \frac{(H_{1}(x,t)-H_{3}(x,t))}{(a_{1} +a_{2})}\in C^{m-1}(G_{+}), \\ \frac{\partial F_{2}(x,t)}{\partial t}&= \frac{(a_{2}H_{1}(x,t)+a_{1} H_{3}(x,t))}{(a_{1}+a_{2})} \in C^{m-1}(G_{+}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, учитывая требования гладкости для функций $H_{1}$ и $H_{3}$ из (4.3) и (4.5), вытекает, что функция $F_{2} \in C^{m} (G_{+})$. Непрерывность частных производных до порядка $m$ включительно от всех оставшихся слагаемых выражения (4.7) следует из требований (3.18) благодаря гладкости коэффициентов $\alpha,\gamma \in C^{m}(\mathbb{R}_{+})$, $\gamma(t)\ne 0$, $t\in \mathbb{R}_{+}$. В частности, при коэффициенте $\alpha \in C^{m}(\mathbb{R}_{+})$ непрерывность частных производных порядка $m$ от произведения
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{F}\biggl(t-\frac{x}{a_1}\biggr)= \alpha\biggl(t-\frac{x}{a_1}\biggr)\int_{0}^{t-x/a_{1}} f\biggl(a_2\biggl(t-\frac{x}{a_1}-\tau\biggr), \tau\biggr)\,d\tau=\alpha(\widetilde{t})H_{1}(0,\widetilde{t})
\end{equation*}
\notag
$$
следует из требования (4.3) при $x=0$, линейности замены $\widetilde{t}=t-x/a_{1} $ и (3.18).
Необходимость в $G_{+}$. Из самой постановки смешанной задачи (2.1)–(2.3) на $\dot{G}_\infty$ для гладких решений $u\in C^{m}(G_{\infty})$ следуют требования гладкости (3.1). Необходимая гладкость функции $F_{2}$ в $G_{+}$ доказывается по аналогии с методом корректировки пробных решений (см. теорему 2 в [7]). Обращаем внимание на то, что в теоремах 1 и 2 из [7] неравенства между $a_1$ и $a_2$ не являются принципиальными. Поэтому если функция $F_{2} \in C^{m}(G_{+})$ является гладким решением неоднородного уравнения (2.1) в $G_{+}$, то его частные производные $\partial F_{2} /\partial x$, $\partial F_{2}/\partial t\in C^{m-1}(G_{+})$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_{1}(x,t)&= a_{1}\biggl(\frac{\partial F_{2}(x,t)}{\partial x}\biggr)+ \frac{\partial F_{2}(x,t)}{\partial t}\in C^{m-1}(G_{+}), \\ H_{3}(x,t)&=\frac{\partial F_{2}(x,t)}{\partial t}- a_{2} \biggl(\frac{\partial F_{2}(x,t)}{\partial x}\biggr)\in C^{m-1}(G_{+}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Общие интегралы (4.9) уравнения (2.1) должны сохранять свою гладкость при подстановке не только в уравнение (2.1), но и в граничный режим (2.3) и, в частности, при функциях $g=0$, $f=0$ и любой $h\in C^{m}(\mathbb{R}_{+})$. Поэтому решение $u_{1}(x,t)=h(a_{1}t-x)$ однородного уравнения (2.1) должно сохранять гладкость в граничном режиме (2.3):
$$
\begin{equation*}
\bigl[\alpha(t)a_{1}h'(a_{1}t-x)-a_{1}\alpha(t)h'(a_{1}t-x)+ \gamma(t)h(a_{1}t-x)\bigr]\big|_{x=0}=\gamma(t)h(a_{1}t)=\mu(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что функция $\mu \in C^{m}(\mathbb{R}_{+})$, так как функции $\gamma,h\in C^{m}(\mathbb{R}_{+})$.
Если частное решение $F_{2} \in C^{m}(G_{+})$ неоднородного уравнения (2.1) подставить в граничный режим (2.3), то будем иметь
$$
\begin{equation*}
\biggl[\alpha(t)\biggl(\frac{\partial F_{2}(x,t)}{\partial t}+ a_{1}\frac{\partial F_{2}(x,t)}{\partial x}\biggr)+ \gamma (t)F_{2}(x,t)\biggr]\bigg|_{x=0} =\alpha (t)H_{1}(0,t)=\mu(t).
\end{equation*}
\notag
$$
При упрощении данного выражения мы использовали ранее указанное равенство $H_{1}(x,t)=a_{1}(\partial F_{2}(x,t)/\partial x)+ \partial F_{2}(x,t)/\partial t$ и тот факт, что $F_2(0,t)=0$. Также отметим, что $\mathfrak{F}(t)=\alpha(t)H_{1}(0,t)$. Отсюда для функции критериального значения правой части $f$ уравнения (2.1) мы имеем необходимость требования $\mathfrak{F}(t) \in C^{m}(\mathbb{R}_{+})$, так как по выше доказанному функция $\mu (t)\in C^{m}(\mathbb{R}_{+})$. Далее подставляем в граничный режим (2.3) решения $u_{2}(x,t)=\varphi(x+a_{2}t)$, которые получаются из (4.9) при функциях $g=\varphi$, $h=0$, $f=0$, так как $\varphi \in C^{m}(\mathbb{R}_{+} )$ согласно необходимым условиям (3.1). В результате мы получаем равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &a_{2}\alpha(t)\varphi'(a_{2}t)+a_{1}\alpha(t)\varphi'(a_{2}t)+ \gamma(t)\varphi(a_{2} t) =\alpha(t)(a_{1}+a_{2})\varphi'(a_{2}t)+ \gamma(t)\varphi(a_{2} t)=\mu(t). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда верна гладкость $\alpha (t)\varphi'(a_{2}t)= [1/(a_{1} +a_{2})]\{\mu(t)-\gamma(t)\varphi(a_{2}t)\}\in C^{m}(\mathbb{R}_{+})$, так как коэффициент $\gamma \in C^{m}(\mathbb{R}_{+})$ и по уже доказанному исходные данные $\varphi,\mu \in C^{m}(R_{+})$. Отсюда мы заключаем, что функция критериального значения начального смещения $\Phi(t)=\alpha (t)\varphi'(a_{2}t)\in C^{m}(\mathbb{R}_{+})$.
Положив
$$
\begin{equation*}
g(y)=\int_{0}^{y}\psi(s)\,ds, \qquad h(z)=\int_{-(a_{2}/a_{1})z}^{0}\psi(s)\,ds, \qquad f=0
\end{equation*}
\notag
$$
в общем интеграле (4.9), ввиду (3.1) находим частные гладкие решения однородного уравнения (2.1)
$$
\begin{equation*}
u_{3}(x,t)=\int_{a_{2}t-(a_{2}/a_{1})x}^{x+a_{2} t} \psi(s)\,ds \in C^{m}(G_{+})\quad \forall\,\psi \in C^{m-1}(\mathbb{R}_{+}),
\end{equation*}
\notag
$$
и подставляем их в граничный режим (2.3)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl\{\alpha(t)\biggl[a_{2}\psi(x+a_{2}t)- a_{2}\psi\biggl(a_{2}t-\frac{a_{2}}{a_{1}}x\biggr)\biggr] +a_{1}\alpha(t)\biggl[\psi(x+a_{2}t)+\frac{a_{2}}{a_{1}}\psi \biggl(a_{2}t-\frac{a_{2}}{a_{1}}x\biggr)\biggr] \\ &\qquad+\gamma(t)\int_{a_{2}t-(a_{2}/a_{1})x}^{x+a_{2} t}\psi (s)\,ds\biggr\}\biggr|_{x=0}=(a_{1}+a_{2})\alpha(t)\psi(a_{2}t)= \mu (t)\in C^{m} (\mathbb{R}_{+}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит также, как и в предыдущих рассмотренных случаях, заключаем, что функция критериального значения начальной скорости $\Psi(t)=\alpha (t)\psi(a_{2}t)\in C^{m}(\mathbb{R}_{+})$.
Устойчивость в $G_{+}$. При любом $T>0$ из формулы (4.7) выводится непрерывная зависимость найденного решения $u_{+}$ в банаховом пространстве $C^{m}(G_{T}^{+})$ от исходных данных $\varphi$, $\psi$, $\mu$, $f$ в декартовом произведении банаховых пространств $\widehat{C}^{m}[0,T_{a}]\times\widehat{C}^{m-1}[0,T_{a}] \times C^{m}[0,T]\times\widehat{C}^{m-2}(G^{T})$ этих данных, где множества $G_{T}^{+}=G^{T} \cap G_{+}$, $G^{T}=\{(x,t)\in G_{\infty}\colon 0\leqslant x+a_{2}t\leqslant T_{a},\,0\leqslant t\leqslant T\}$ и постоянная $T_{a}=(a_{1}+a_{2})T$, соответственно с нормами
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|u_{+}\|_{C^{m}(G_{T}^{+})}&=\max_{(x,t)\in G_{T}^{+} }\, \sum_{0\leqslant k+l\leqslant m}|\partial_{x}^{k}\, \partial_{t}^{l} u(x,t)|, \\ \|\varphi\|_{{\widehat{C}}^{m} [0,T_{a}]}&= \max_{0\leqslant x\leqslant T_{a}}\biggl(\,\sum_{k=0}^{m} |\varphi^{(k)}(x)|+\sum_{k=0}^{m}|\Phi^{(k)}(x)|\biggr), \\ \|\psi\|_{\widehat{C}^{m-1}[0,T_{a}]}&= \max_{0\leqslant x\leqslant T_{a}}\biggl(\,\sum_{k=0}^{m-1} |\psi^{(k)}(x)|+\sum_{k=0}^{m}|\Psi^{(k)}(x)|\biggr), \\ \|\mu\|_{C^{m}[0,T]}&=\max_{0\leqslant t\leqslant T} \biggl(\,\sum_{k=0}^{m}|\mu^{(k)}(x)|\biggr), \\ \|f\|_{\widehat{C}^{m-2}(G^{T})}&=\max_{(x,t)\in G^{T}} \biggl(\,\sum_{0\leqslant k+l\leqslant m-2} |\partial_{x}^{k}\,\partial_{t}^{l}f(x,t)| \\ &\qquad+\sum_{i=1,3}\,\sum_{0\leqslant k+l\leqslant m-1} |\partial_{x}^{k}\,\partial_{t}^{l}H_{i}(x,t)|+ \sum_{k=0}^{m}|\mathfrak{F}^{(k)}(x)|\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Достаточность в $G_{\infty}$. Функции $u_{-}$ и $u_{+}$ должны быть $m$ раз непрерывно дифференцируемыми не только соответственно на $G_{-}$ и $G_{+}$, в чем мы убедились выше, но и на критической характеристике $x=a_{1} t$. Для их гладкости на характеристике $x=a_{1}t$ мы будем использовать условия согласования (3.2), (3.5), (3.19), в которых присутствуют значения входных данных $f$, $\varphi$, $\psi$, $\mu$ и их производных в начале координат $O(0,0)$. Для доказательства достаточности условий согласования (3.2), (3.5) и (3.19) для $m$ раз непрерывной дифференцируемости решения, задаваемого формулами (4.6) и (4.7), на критической характеристике $x=a_{1} t$ докажем лемму. Лемма 4.1. В предположениях теоремы 4.1 частные производные до порядка $m$ включительно от разности функций $u_{+}$ и $u_{-}$ на характеристике $x=a_{1}t$ равны где вспомогательная функция $g(t)=1/\gamma (t)$; $k,l=0,1,2,\dots,m$; $0 \leqslant k+l \leqslant m$. Доказательство. Равенства (4.13) при $0 \leqslant k+l \leqslant 2$ доказаны в [6], [11]. Выведем равенства (4.13) при $k+l=3,4,\dots,m$. Найдем разность решений $u_+$ и $u_-$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &u_+(x,t)-u_-(x,t) \\ &\qquad=\frac{1}{a_1+a_2} \biggl\{a_1\varphi\biggl(a_2\biggl(t-\frac{x}{a_1}\biggr)\biggr)+ a_2\varphi(x-a_1 t)+\int_{a_2(t-x/a_1)}^{x-a_1 t}\psi(s)\,ds \\ &\qquad\qquad+\int^{t-x/a_1}_0\, \int^{a_2(t-x/a_1)-a_2\tau}_{x-a_1(t-\tau)} f(s,\tau)\,ds\,d\tau\biggr\} \\ &\qquad\qquad+g\biggl(t-\frac{x}{a_1}\biggr) \biggl\{\mu\biggl(t-\frac{x}{a_1}\biggr)-a_1\Phi\biggl(t-\frac{x}{a_1}\biggr)- \Psi\biggl(t-\frac{x}{a_1}\biggr)- \mathfrak{F}\biggl(t-\frac{x}{a_1}\biggr)\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Найдем производные порядка $k$ по $x$ и порядка $l$ по $t$ от разности $u_{+}$ и $u_{-}$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{\partial^{k+l}}{\partial x^{k}\,\partial t^{l}}(u_+(x,t)- u_-(x,t))=\frac{1}{a_{1}+a_{2}} \biggl\{a_2(-a_1)^l\varphi^{(k+l)}(x-a_1 t) \nonumber \\ &\qquad-a_2^{k+l}(-a_1)^{-k+1}\varphi^{(k+l)} \biggl(a_2\biggl(t-\frac{x}{a_1}\biggr)\biggr)- (-a_1)^{-k}a_2^{k+l}\psi^{(k+l-1)} \biggl(a_2\biggl(t-\frac{x}{a_1}\biggr)\biggr) \nonumber \\ &\qquad+(-a_2)^l\psi^{(k+l-1)}(x-a_1 t)+\int^{t-x/a_1}_0 \biggl\langle(-a_1^l)f^{(k+l-1;0)}(x-a_1(t-\tau);\tau) \nonumber \\ &\qquad-(-a_1)^{-k}a_2^{k+1}f^{(k+l-1;0)} \biggl(a_2\biggl(t-\frac{x}{a_1}\biggr)- a_2\tau;\tau\biggr)\biggr\rangle\,d\tau \nonumber \\ &\qquad-(-a_1)^{-k}\sum^{k+l-2}_{i=0}(a_2^{i+1}- (-a_1)^{i+1})f^{(i;k+l-i-2)}\biggl(0;t-\frac{x}{a_1}\biggr)\biggr\} \nonumber \\ &\qquad+(-a_1)^{-k}\biggl\{\sum_{i=0}^{k+l}C_{k+l}^{i} g^{(i)}\biggl(t-\frac{x}{a_1}\biggr) \biggl\langle\mu^{(k+l-i)}\biggl(t-\frac{x}{a_1}\biggr)- a_1 \Phi^{(k+l-i)}\biggl(t-\frac{x}{a_1}\biggr) \nonumber \\ &\qquad-\Psi^{(k+l-i)}\biggl(t-\frac{x}{a_1}\biggr)- \mathfrak{F}^{(k+l-i)} \biggl(t-\frac{x}{a_1}\biggr)\biggr\rangle\biggr\}, \qquad k+l=3,4,\dots, m. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Найдем значение выражения (4.14) на характеристике $x=a_1 t$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{\partial^{k+l}}{\partial x^{k}\partial t^{l} }(u_+(x,t)- u_-(x,t))\bigg|_{x=a_1 t}=\frac{1}{a_{1}+ a_{2}}\biggl\{a_2(-a_1)^{l}\varphi^{(k+l)}(0) \\ &\qquad-a_2^{k+l}(-a_1)^{-k+1}\varphi^{(k+l)}(0)- (-a_1)^{-k}a_2^{k+l}\psi^{(k+l-1)}(0)+(-a_1)^l\psi^{(k+l-1)}(0) \\ &\qquad-(-a_1)^{-k}\sum^{k+l-2}_{i=0}(a_2^{i+1}- (-a_1)^{i+1})f^{(i;k+l-i-2)}(0;0)\biggr\}+(-a_1)^{-k} \\ &\qquad\times\biggl\{\,\sum_{i=0}^{k+l}C_{k+l}^{i} g^{(i)}(0) \langle\mu^{(k+l-i)}(0)-a_1 \Phi^{(k+l-i)}(0)- \Psi^{(k+l-i)}(0)-\mathfrak{F}^{(k+l-i)}(0)\rangle\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее прибавим и вычтем из $\mu^{(k+l-i)}(0)$ левую часть выражения $J_{k+l-i+1}$ вида (3.19). Вынесем за скобки множитель $(-a_1)^{-k}$ и приведем подобные слагаемые с производными одинакового порядка от $\varphi$ и $\psi$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(-a_1)^{-k}\biggl\{\frac{a_2(-a_1)^{k+l}+a_1 a_2^{k+1}}{a_1+a_2} \varphi^{(k+l)}(0)+\frac{(-a_1)^{k+l}-a_2^{k+l}}{a_{1}+ a_{2}}\psi^{(k+l-1)}(0) \nonumber \\ &\quad-\sum^{k+l-2}_{i=0} \frac{a_2^{i+1}-(-a_1)^{i+1}}{a_1+a_2}f^{(i;k+l-i-2)}(0;0) +\sum_{i=0}^{k+l}C_{k+l}^{i} g^{(i)}(0) \langle\mu^{(k+l-i)}(0)-J_{k+l-i+1}\rangle \nonumber \\ &\quad+\sum_{i=0}^{k+l}C_{k+l}^{i} g^{(i)}(0) \langle J_{k+l-i+1}-a_1 \Phi^{(k+l-i)}(0) -\Psi^{(k+l-i)}(0)- \mathfrak{F}^{(k+l-i)}(0)\rangle\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
Распишем подробно то, что мы подставляем вместо $J_{k+l-i+1}$. Для этого используем условия согласования вида (3.19)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, J_{k+l-i+1}&=a_1 \Phi^{(k+l-i)}(0)+\Psi^{(k+l-i)}(0)+ \mathfrak{F}^{(k+l-i)}(0)+\gamma^{(k+l-i)}(0)\varphi(0)+ \nonumber \\ &\qquad+(k+l-i)\gamma^{(k+l-i-1)} (0)\psi (0) \nonumber \\ &\qquad+\sum_{j=2}^{k+l-i}C_{k+l-i}^{j}\gamma^{(k+l-i-j)} \biggl\langle\frac{a_{2}^{j}-(-a_{1})^{j}}{a_{1}+a_{2}} \psi^{(j-1)}(0) \nonumber \\ &\qquad+a_{1} a_{2}\frac{a_{2}^{j-1}-(-a_{1})^{j-1}}{a_{1}+a_{2}} \varphi^{(j)}(0)+\sum_{s=0}^{j-2}\frac{a_{2}^{s+1}- (-a_{1})^{s+1}}{a_{1}+a_{2}}f^{(s;j-s-2)}(0,0)\biggr\rangle. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Слагаемые, содержащие $\mu^{(k+l-i)}(0) -J_{k+l-i+1}$, обнуляются в силу (3.19). Поэтому после подстановки (4.16) в (4.15) и сокращения одинаковых слагаемых получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(-a_1)^{-k} \bigg\{\frac{a_2(-a_1)^{k+l}+a_1 a_2^{k+1}}{a_1+a_2} \varphi^{(k+l)}(0)+\frac{(-a_1)^{k+l}-a_2^{k+l}}{a_{1} + a_{2}}\psi^{(k+l-1)}(0) \nonumber \\ &\qquad-\sum^{k+l-2}_{i=0} \frac{a_2^{i+1}-(-a_1)^{i+1}}{a_1+a_2}f^{(i;k+l-i-2)}(0;0) \nonumber \\ &\qquad+\sum_{i=0}^{k+l}C_{k+l}^{i} g^{(i)}(0) \biggl\langle\gamma^{(k+l-i)} (0)\varphi (0) +(k+l-i)\gamma^{(k+l-i-1)} (0)\psi (0) \nonumber \\ &\qquad+\sum_{j=2}^{k+l-i}C_{k+l-i}^{j}\gamma^{(k+l-i-j)} (0) \biggl[\frac{a_{2}^{j} -(-a_{1} )^{j} }{a_{1} + a_{2}} \psi^{(j-1)} (0)+a_{1} a_{2} \frac{a_{2}^{j-1}-(-a_{1})^{j-1}}{a_{1}+a_{2}}\varphi^{(j)}(0) \nonumber \\ &\qquad+\sum_{s=0}^{j-2} \frac{a_{2}^{s+1}-(-a_{1})^{s+1}}{a_{1}+a_{2}} f^{(s;j-s-2)}(0,0)\biggr]\biggr\rangle\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Нам осталось доказать то, что выражение (4.17) равно нулю. Вычисляем подробно следующие слагаемые из (4.17):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{i=0}^{k+l}C_{k+l}^{i}g^{(i)}(0)\gamma^{(k+l-i)}(0)\varphi(0)= \varphi(0)(g(t)\gamma (t))^{(k+l)}|_{t=0} \\ &\qquad=\varphi(0) \biggl(\frac{1}{\gamma(t)}\gamma(t)\biggr)^{(k+l)}\bigg|_{t=0}=0, \\ &\sum_{i=0}^{k+l}C_{k+l}^{i}g^{(i)}(0)(k+l-i-1) \gamma^{(k+l-i-1)}(0)\psi(0) \\ &\qquad=(k+l)\sum_{i=0}^{k+l-1}C_{k+l-1}^{i}g^{(i)}(0) \gamma^{(k+l-i-1)}(0)\psi(0) \\ &\qquad=(k+l)\psi(0)(g(t)\gamma(t))^{(k+l-1)}|_{t=0}=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Указанные выше равенства справедливы благодаря формуле Лейбница производной от произведения функций. В оставшихся слагаемых меняем порядок суммирования:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(-a_{1})^{-k}\biggl\{\,\sum_{j=2}^{k+l-1}C_{k+l}^{j} \frac{a_{1} a_{2}^{j} +a_{2}(-a_{1})^{j}}{a_{1} +a_{2}} \varphi^{(j)}(0)\sum_{i=0}^{k+l-j}C_{k+l-j}^{i}g^{(i)}(0) \gamma^{(k+l-j-i)}(0) \nonumber \\ &\qquad+\varphi^{(k+l)}(0)\frac{a_{2}(-a_{1} )^{k+l}+ a_{1} a_{2}^{k+l}}{a_{1}+a_{2}}(1-g(0)\gamma (0)) \nonumber \\ &\qquad+ \sum_{j=2}^{k+l-1}C_{k+l}^{j} \frac{a_{2}^{j}-(-a_{1})^{j}}{a_{1}+a_{2}}\psi^{(j-1)}(0) \sum_{i=0}^{k+l-j}C_{k+l-j}^{i}g^{(i)}(0)\gamma^{(k+l-j-i)}(0) \nonumber \\ &\qquad+\psi^{(k+l-1)}(0)\frac{a_{2}^{k+l}- (-a_{1})^{k+l}}{a_{1}+a_{2}}(1-g(0)\gamma(0)) \nonumber \\ &\qquad+\sum_{j=2}^{k+l-1}C_{k+l}^{j} \sum_{s=0}^{j-2} \frac{a_{2}^{s+1} -(-a_{1} )^{s+1}}{a_{1}+ a_{2}}f^{(s;j-s-2)} (0,0)\sum_{i=2}^{k+l-j}C_{k+l-j}^{i} g^{(i)}(0)\gamma^{(k+l-j-i)}(0) \nonumber \\ &\qquad+\sum_{i=0}^{k+l-2}\frac{a_{2}^{i+1}-(-a_{1})^{i+1}}{a_{1}+ a_{2}}f^{(i;j-i-2)}(0,0)(g(0)\gamma(0)-1)\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
Тогда согласно обозначению $g(t)=1/\gamma (t)$ все слагаемые, содержащие множитель $g(0)\gamma(0)-1=0$, очевидно равны нулю. В выражениях (4.18) каждая из оставшихся сумм обращается в ноль, так как в силу формулы Лейбница производных от произведения двух функций, равного единице, верно равенство
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=0}^{k+l}C_{k+l}^{i} g^{(i)} (0)\gamma^{(k+l-i)} (0)= (g(t)\gamma (t))^{(k+l)}|_{t=0}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым лемма 4.1 доказана. Таким образом, мы доказали существование, единственность и устойчивость решения $u\in C^{m}(G_{\infty})$, которое выражается формулой (4.6) на $G_{-}$ и формулой (4.7) на $G_{+}$. Мы также обосновали критерий корректности по Адамару характеристической смешанной задачи (2.1)–(2.3) на $\dot{G}_{\infty}$ при $m=2,3,4,\dots$ . Теорема 4.1 доказана. Следствие 4.1. Если правая часть $f$ уравнения (2.1) зависит только от $x$ или $t$ и $f\in C^{m-2}(\mathbb{R}_{+})$ по $x$ или $t$, то утверждение теоремы 4.1 верно без интегральных требований гладкости (4.3)– (4.5) на $f$. Следствие 4.2. Из теоремы 4.1 при $\alpha \equiv 0$ имеем гладкое решение и критерий корректности первой смешанной задачи в классах функций $C^{m}(G_{\infty})$, $m=2,3,\dots$ . Следствие 4.3. Для $\varphi \in C^{m+1}(\mathbb{R}_{+})$, $\psi \in C^{m}(\mathbb{R}_{+})$, $f\in C^{m-1}(G_{\infty})$, $\mu \in C^{m}(\mathbb{R}_{+})$ справедливы достаточные условия теоремы 4.1 без требований гладкости (3.18), (4.3)–(4.5) на $\varphi$, $\psi$, $f$ при натуральных $m=2,3,4,\dots$ . Замечание 4.1. Для $\gamma \in C^{m}(\mathbb{R}_{+})$, $\gamma(t)\ne 0$, граничный режим (2.3) равносилен 5. ЗаключениеВ данной работе указана явная формула (4.6), (4.7) единственного и устойчивого гладкого решения $u\in C^{m}(G_{\infty})$, $m\geqslant 2$, смешанной задачи (2.1)–(2.3) на $\dot{G}_\infty$ при зависящих от времени коэффициентах в граничном режиме с характеристической косой производной. Для однозначной и устойчивой разрешимости этой характеристической смешанной задачи найдены необходимые и достаточные требования гладкости (3.1), (3.18), (4.3)–(4.5) и $m+1$ условий согласования (3.2), (3.5) и (3.19) на правую часть уравнения, начальные данные и граничное данное при $m=2,3,\dots$ . Правильность условий (3.19), решений (4.6), (4.7) и равенств (4.13) проверена нами на персональном компьютере в системе компьютерной алгебры Wolfram Mathematica. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{LomUst24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|